Physique du lycée · Grades 10–12

18Énergie mécanique et sa conservation

Un grand huit n’a plus de moteur passé la première colline : chaque boucle, chaque élan de vitesse ensuite se dépense depuis le compte ouvert à la montée. Ce chapitre transforme la comptabilité en deux nombres — énergie cinétique et potentielle — et une règle : tant que seul le poids travaille, leur somme ne change pas. Le frottement est le péage ; nous apprendrons à le lire dans les livres.

18.1 Énergie cinétique

Définition 18.1 (Énergie cinétique)

Un corps de masse $m$ ( $\mathrm{kg}$ ) se déplaçant à la vitesse $v$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) porte l’énergie cinétique

E_k = \tfrac12\, m v^2 .

Vérification des unités : $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2} = \mathrm{N}\,\mathrm{m} = \mathrm{J}$ — des joules, comme toute énergie (Chapitre 9).

Exemple 18.2 (Ordres de grandeur)

un piéton, $70\,\mathrm{kg}$ à $1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k = \tfrac12 \times 70 \times 1.4^2 \approx 69\,\mathrm{J}$ ;
une voiture, $1300\,\mathrm{kg}$ à $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ;
un train à grande vitesse, $m = 3.85 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ , à $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ ;
une balle de fusil, $8.0\,\mathrm{g}$ à $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 2.6\,\mathrm{kJ}$ .

Sept ordres de grandeur séparent la promenade du train. Et $E_k$ croît comme le carré de la vitesse : à $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ la voiture porte $4$ fois l’énergie qu’elle a à $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — quatre fois ce que ses freins doivent retirer.

18.2 Le théorème de l’énergie cinétique

Théorème 18.3 (Théorème de l’énergie cinétique)

Pour un corps de masse $m$ se déplaçant en ligne droite de $A$ à $B$ , la variation d’énergie cinétique égale le travail total (Chapitre 17) reçu :

\Delta E_k = E_k(B) - E_k(A) = \sum W_{AB}(\vect F),

la somme portant sur toutes les forces agissant sur le corps. Il s’étend au mouvement le long de tout chemin, comme nous l’admettons aussi ici.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 18.4 (Chute libre, vérifiée image par image)

Une balle de $0.200\,\mathrm{kg}$ est lâchée et filmée ; les images donnent :

$t$ ( $\mathrm{s}$ )	0.10	0.20	0.30	0.40
hauteur tombée $h$ ( $\mathrm{m}$ )	0.049	0.196	0.441	0.785
vitesse $v$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )	0.98	1.96	2.94	3.92
$E_k = \tfrac12 mv^2$ ( $\mathrm{J}$ )	0.096	0.384	0.864	1.54
$W = mgh$ ( $\mathrm{J}$ )	0.096	0.385	0.865	1.54

Partant de $E_k = 0$ , à chaque image $E_k$ coïncide avec le travail $mgh$ du poids : $\Delta E_k = W(\vect P)$ , c.-à-d. $v^2 = 2gh$ — le théorème, vérifié à la précision des lectures.

Remarque 18.5 (Où vit la preuve)

L’énoncé général — valide le long de tout chemin, non seulement une ligne droite — découle de la deuxième loi de Newton et d’un peu de calcul, tous deux plus tard dans ce livre (Chapitres 25 et 29) ; d’ici là la vérification en chute libre est notre caution, et nous admettons la version en chemin courbe et l’utilisons librement.

18.3 Énergie potentielle de gravitation

Définition 18.6 (Énergie potentielle de gravitation)

Un corps de masse $m$ à l’altitude $z$ , mesurée vers le haut depuis un niveau de référence choisi où $z = 0$ , stocke l’énergie potentielle de gravitation

E_p = m g z, \qquad g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.

Remarque 18.7 (Seules les différences comptent)

Passer de $A$ à $B$ change $E_p$ de $mg(z_B - z_A) = -W_{AB}(\vect P)$ : l’opposé du travail du poids (Chapitre 17). Le niveau de référence est un choix libre — sol, niveau de la mer, dessus de table — décalant $E_p$ partout d’une constante qui s’élimine de toute différence. Placez-le là où les nombres sont les plus simples, et ne le déplacez pas en cours de problème.

Exemple 18.8 (Un livre sur une étagère)

Un livre de $1.2\,\mathrm{kg}$ est à $1.8\,\mathrm{m}$ au-dessus du sol, lui-même à $9.0\,\mathrm{m}$ au-dessus de la rue. Référence au sol : $E_p = 1.2 \times 9.81 \times 1.8 \approx 21\,\mathrm{J}$ ; dans la rue : $E_p \approx 127\,\mathrm{J}$ . Tomber au sol libère $21\,\mathrm{J}$ dans les deux comptes.

18.4 Énergie mécanique et sa conservation

Définition 18.9 (Énergie mécanique)

L’énergie mécanique d’un corps est

E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + m g z .

Théorème 18.10 (Conservation de l’énergie mécanique)

Si la seule force qui travaille sur un corps est son poids (pas de frottement ; d’autres forces, comme la réaction d’une piste sans frottement, perpendiculaires au mouvement), $E_m$ est conservée : pour deux points quelconques $A$ , $B$ du mouvement,

\tfrac12 m v_A^2 + m g z_A = \tfrac12 m v_B^2 + m g z_B .

Démonstration. Par le théorème de l’énergie cinétique, $E_k(B) - E_k(A) = W_{AB}(\vect P) = mg(z_A - z_B) = E_p(A) - E_p(B)$ : ce que $E_k$ gagne, $E_p$ le perd. ∎

Exemple 18.11 (Toboggan aquatique)

Un enfant part du repos au sommet d’un toboggan sans frottement de hauteur $h = 3.2\,\mathrm{m}$ . Référence en bas : $mgh = \tfrac12 mv^2$ , donc $v = \sqrt{2gh} \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $29\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) — quelle que soit la masse et quelle que soit la forme du toboggan : droit, courbe ou spiralé, seule la descente de hauteur entre en jeu.

Exemple 18.12 (Pendule)

Un bob de pendule est écarté jusqu’à s’élever de $h = 12\,\mathrm{cm}$ au-dessus de son point le plus bas, puis lâché. Aux extrêmes $v = 0$ ; en bas tout le $mgh$ est cinétique, $v = \sqrt{2gh} \approx 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; de l’autre côté le bob remonte exactement à $12\,\mathrm{cm}$ .

Le pendule échange E_p contre E_k et inversement : tout potentiel aux extrêmes, tout cinétique en bas, la même montée h deux fois. — Le pendule échange $E_p$ contre $E_k$ et inversement : tout potentiel aux extrêmes, tout cinétique en bas, la même montée $h$ deux fois.

Diagramme en barres d’énergie d’un grand huit sans frottement : à chaque position les barres E_p et E_k s’empilent jusqu’au même total E_m (ligne en pointillés). — Diagramme en barres d’énergie d’un grand huit sans frottement : à chaque position les barres $E_p$ et $E_k$ s’empilent jusqu’au même total $E_m$ (ligne en pointillés).

Exemple 18.13 (Vitesse d’atterrissage au saut à ski)

Un sauteur à ski quitte le tremplin à $v_A = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et atterrit $\Delta z = 40\,\mathrm{m}$ plus bas. En négligeant la résistance de l’air, $v_B = \sqrt{v_A^2 + 2g\,\Delta z} = \sqrt{625 + 785} \approx 38\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — aucune connaissance de la trajectoire de vol n’est nécessaire.

Saut à ski : quelle que soit la courbe volée de A à B, seule la descente z entre dans le bilan d’ énergie. — Saut à ski : quelle que soit la courbe volée de $A$ à $B$ , seule la descente $\Delta z$ entre dans le bilan d’ énergie.

18.5 Dissipation par frottement

Définition 18.14 (Dissipation)

L’énergie quittant le compte mécanique est dite dissipée : elle réapparaît comme énergie thermique dans les surfaces qui frottent et l’air. L’ énergie totale est conservée (Chapitre 9) ; l’ énergie mécanique seule ne l’est pas.

Proposition 18.15 (Le déficit mesure le frottement)

Si une force de frottement $\vect f$ travaille aussi le long du mouvement,

\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A) = W_{AB}(\vect f) < 0:

la perte d’énergie mécanique égale le travail du frottement.

Démonstration. Le théorème de l’énergie cinétique se lit maintenant $\Delta E_k = W_{AB}(\vect P) + W_{AB}(\vect f) = -\Delta E_p + W_{AB}(\vect f)$ ; faire passer $\Delta E_p$ . Le frottement s’oppose au mouvement, donc son travail est négatif. ∎

Exemple 18.16 (Audit de luge)

Un enfant et sa luge ( $m = 40\,\mathrm{kg}$ ) partent du repos, descendent $h = 5.0\,\mathrm{m}$ le long de $12\,\mathrm{m}$ de neige, et arrivent à $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ au lieu du $\sqrt{2gh} \approx 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sans frottement. Référence en bas : $\Delta E_m = \tfrac12 \times 40 \times 7.0^2 - 40 \times 9.81 \times 5.0 = 980 - 1962 = -982\,\mathrm{J}$ . Donc $W(\vect f) = -982\,\mathrm{J}$ sur $12\,\mathrm{m}$ : une force de frottement moyenne $f = 982/12 \approx 82\,\mathrm{N}$ , et $982\,\mathrm{J}$ de chaleur dans les patins et la neige.

E_m le long d’un mouvement : plat sans frottement, décroissant avec lui — la chute à chaque instant est la chaleur produite jusque-là. — $E_m$ le long d’un mouvement : plat sans frottement, décroissant avec lui — la chute à chaque instant est la chaleur produite jusque-là.

Méthode 18.17 (Comptabilité de l’énergie)

Choisir un niveau de référence et le garder ; nommer $A$ (données), $B$ (question).
Écrire $E_m = \tfrac12 mv^2 + mgz$ en $A$ et en $B$ .
Pas de frottement : $E_m(A) = E_m(B)$ ; résoudre — typiquement $v_B = \sqrt{v_A^2 + 2g(z_A - z_B)}$ .
Frottement : $E_m(B) - E_m(A) = -f\ell$ ( $\ell$ = longueur du chemin) ; résoudre pour l’inconnue.
Vérifier : les barres $E_k$ / $E_p$ s’empilent jusqu’à $E_m$ , plates sauf frottement.

18.6 Exercices

Exercice 18.1 ★

Calculer l’énergie cinétique de (a) un scooter et son conducteur de $90\,\mathrm{kg}$ à $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; (b) une voiture de $1200\,\mathrm{kg}$ à $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . (c) Par quel facteur $E_k$ change-t-elle lorsque la vitesse double ? Triple ?

Solution

Solution de Exercice 18.1.

(a) $v = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k = \tfrac12 \times 90 \times 6.94^2 \approx 2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ . (b) $v = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k = \tfrac12 \times 1200 \times 36.1^2 \approx 7.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . (c) $\times 4$ ; $\times 9$ — le carré.

Exercice 18.2 ★

Un grimpeur de $75\,\mathrm{kg}$ gagne $850\,\mathrm{m}$ d’altitude. Calculer le gain d’énergie potentielle. Dépend-il du niveau de référence ? De la route ?

Solution

Solution de Exercice 18.2.

$\Delta E_p = 75 \times 9.81 \times 850 \approx 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . Non : la référence décale les deux valeurs également. Non : seule la différence de hauteur entre en jeu.

Exercice 18.3 ★

Un pot de fleurs tombe de $20\,\mathrm{m}$ d’un balcon. En négligeant la résistance de l’air, trouver sa vitesse au sol en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Où est passée la masse ?

Solution

Solution de Exercice 18.3.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 20} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . $mgh = \tfrac12 mv^2$ : la masse s’annule.

Exercice 18.4 ★

Une voiture de $1200\,\mathrm{kg}$ freine de $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à l’arrêt sur $50\,\mathrm{m}$ . Utiliser le théorème de l’ énergie cinétique pour trouver le travail des freins, puis la force de freinage moyenne.

Solution

Solution de Exercice 18.4.

$W = \Delta E_k = 0 - \tfrac12 \times 1200 \times 25^2 = -3.75 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ; $F = 3.75 \times 10^{5}/50 = 7.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ .

Exercice 18.5 ★

Un bob de pendule est lâché $8.0\,\mathrm{cm}$ au-dessus de son point le plus bas. Trouver sa vitesse en bas et la hauteur atteinte de l’autre côté.

Solution

Solution de Exercice 18.5.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.080} \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; elle remonte à $8.0\,\mathrm{cm}$ (conservation).

Exercice 18.6 ★★

En utilisant l’Exemple 18.2 : par quel facteur l’énergie cinétique du train dépasse-t-elle celle de la balle ? À quelle hauteur sa propre $E_k$ pourrait-elle soulever le train ( $h = v^2/2g$ ) ?

Solution

Solution de Exercice 18.6.

$1.5 \times 10^{9}/2.6 \times 10^{3} \approx 5.9 \times 10^{5}$ : environ six cent mille balles. $h = 88.9^2/(2 \times 9.81) \approx 4.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ — sa propre vitesse pourrait soulever le train de $400$ mètres.

Exercice 18.7 ★★

Deux toboggans sans frottement descendent de la même plate-forme de $3.0\,\mathrm{m}$ , l’un droit et raide, l’autre long et sinueux. Comparer les vitesses d’arrivée (les calculer) et les temps d’arrivée (sans calcul).

Solution

Solution de Exercice 18.7.

Même vitesse $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 3.0} \approx 7.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (seule la descente entre en jeu). Le toboggan raide gagne sur le temps : il atteint vite une grande vitesse et son chemin est plus court.

Exercice 18.8 ★★

Une balle est lancée verticalement vers le haut à $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Trouver la hauteur maximale atteinte, puis la vitesse à $4.0\,\mathrm{m}$ — à la montée et à la descente.

Solution

Solution de Exercice 18.8.

$h = v^2/2g = 144/19.62 \approx 7.3\,\mathrm{m}$ . À $4.0\,\mathrm{m}$ : $v = \sqrt{144 - 2 \times 9.81 \times 4.0} \approx 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — la même dans les deux sens : $E_m$ dépend de la hauteur, non du sens de parcours.

Exercice 18.9 ★★

Un sauteur à ski quitte le tremplin à $23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et atterrit $35\,\mathrm{m}$ plus bas. Prédire la vitesse d’atterrissage sans résistance de l’air ; la valeur réelle est-elle plus grande ou plus petite, et pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 18.9.

$v = \sqrt{23^2 + 2 \times 9.81 \times 35} = \sqrt{1216} \approx 35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Plus petite en réalité : la résistance de l’air dissipe une partie de $E_m$ .

Exercice 18.10 ★★

Une luge de $45\,\mathrm{kg}$ part du repos, descend $6.0\,\mathrm{m}$ le long de $15\,\mathrm{m}$ de pente, arrivant à $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Trouver l’ énergie mécanique perdue, puis la force de frottement moyenne. Où est passée l’ énergie ?

Solution

Solution de Exercice 18.10.

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 45 \times 8.0^2 - 45 \times 9.81 \times 6.0 = 1440 - 2649 \approx -1.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ ; $f = 1209/15 \approx 81\,\mathrm{N}$ . En chaleur, dans les skis et la neige.

Exercice 18.11 ★★

Le crochet de Galilée : un pendule lâché $15\,\mathrm{cm}$ au-dessus de son point le plus bas rencontre un crochet bloquant la moitié supérieure du fil à la verticale. Trouver la vitesse en bas et la remontée au-delà du crochet ; que change le crochet, et que ne change-t-il pas ?

Solution

Solution de Exercice 18.11.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.15} \approx 1.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; elle remonte à $15\,\mathrm{cm}$ . Le crochet change le chemin (un cercle plus serré), non l’énergie : hauteurs et vitesses sont intactes.

Exercice 18.12 ★★★

Un skateur plonge dans un half-pipe de $2.5\,\mathrm{m}$ ; chaque passage (d’un côté à l’autre) dissipe $10\,\%$ de l’ énergie mécanique. Trouver la vitesse en bas de la première descente, puis — en calculant les hauteurs de remontée successives — le premier passage se terminant sous $1.0\,\mathrm{m}$ .

Solution

Solution de Exercice 18.12.

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.5} = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Les hauteurs de remontée scalent avec $E_m$ , donc $\times 0.9$ à chaque passage : $2.25$ , $2.03$ , $1.82$ , $1.64$ , $1.48$ , $1.33$ , $1.20$ , $1.08$ , $0.97$ — première fois sous $1.0\,\mathrm{m}$ au $9$ e passage.

Exercice 18.13 ★★★

Depuis le sommet d’une falaise de $45\,\mathrm{m}$ , une pierre est lancée à $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — vers le haut, horizontalement, ou sous n’importe quel angle. Montrer que la vitesse d’atterrissage est la même dans tous les cas et la calculer. Qu’est-ce qui dépend de l’angle ?

Solution

Solution de Exercice 18.13.

Même $E_m$ initiale $= \tfrac12 m \times 15^2 + m \times 9.81 \times 45$ quel que soit l’angle, donc la vitesse au sol est $v = \sqrt{225 + 2 \times 9.81 \times 45} = \sqrt{1108} \approx 33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . L’angle fixe la direction de la vitesse d’atterrissage, le temps de vol et la portée — non la vitesse d’atterrissage.

Exercice 18.14 ★★★

Un skieur de descente de $80\,\mathrm{kg}$ part du repos et descend $120\,\mathrm{m}$ de dénivelé le long d’une piste de $800\,\mathrm{m}$ , contre une force de frottement constante de $65\,\mathrm{N}$ . Trouver la vitesse d’arrivée et la fraction de $E_m$ dissipée.

Solution

Solution de Exercice 18.14.

$\tfrac12 mv^2 = mgh - f\ell = 80 \times 9.81 \times 120 - 65 \times 800 = 94\,176 - 52\,000 = 4.22 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ , donc $v = \sqrt{2 \times 42\,176/80} \approx 32\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $117\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). Fraction dissipée : $52000/94176 \approx 55\,\%$ .

Exercice 18.15 ★★★

Une centrale de pompage-turbinage élève $V = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ d’eau ( $1000\,\mathrm{kg}$ par $\mathrm{m}^{3}$ ) de $300\,\mathrm{m}$ . Calculer l’ énergie stockée en joules et en $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; turbinée en retour à $85\,\%$ de rendement (Chapitre 9), combien de foyers tirant $10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ par jour alimente-t-elle pour une journée ?

Solution

Solution de Exercice 18.15.

$m = 2.0 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$ : $E_p = 2.0 \times 10^{9} \times 9.81 \times 300 \approx 5.9 \times 10^{12}\,\mathrm{J} = 5.9 \times 10^{12}/3.6 \times 10^{6} \approx 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ . Récupérée : $0.85 \times 1.64 \times 10^{6} \approx 1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ — environ $1.4 \times 10^{5}$ foyers pour une journée.

18.7 Problème : Concevoir la boucle

Problème 18.1

Problème du week-end — un audit d’énergie d’un grand huit : la hauteur de lancement qu’une boucle dicte, les vitesses qu’elle promet, le frottement avoué par deux capteurs, les freins qui ferment le compte — tout le parcours suspendu à un seul nombre

Un train de masse $m = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ est lâché du repos depuis une colline de lancement de hauteur $H$ et côtoie, sans moteur, une boucle circulaire verticale de rayon $R = 8.0\,\mathrm{m}$ dont le sommet est à la hauteur $2R$ . L’analyse du mouvement circulaire (l’année suivante) fournit la seule donnée que nous empruntons : au sommet de la boucle le train n’appuie sur la piste que si $v_{\text{sommet}}^2 \geq gR$ . Les parties I et II ignorent le frottement.

Partie I — La colline que dicte la boucle.

Calculer la vitesse minimale de sécurité au sommet de la boucle.
Sol comme niveau de référence : calculer l’ énergie mécanique du train au sommet de la boucle à cette vitesse minimale.
En déduire $H_{\min}$ et montrer $H_{\min} = 5R/2$ — ni masse, ni $g$ .
L’équipe prend $H = 24\,\mathrm{m}$ : calculer la vitesse réelle au sommet de la boucle et le rapport $v_{\text{sommet}}^2/(gR)$ .
Où est passée $m$ ? Pourquoi la conception convient-elle aux trains pleins et vides ?

Partie II — Ce que la hauteur promet ( $H = 24\,\mathrm{m}$ ).

Vitesse en bas de la boucle ( $z = 0$ ), en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
Vitesse sur le côté de la boucle ( $z = R$ ) ?
Calculer $E_p$ et $E_k$ au lancement, en bas, sur le côté et au sommet de la boucle ; vérifier que chaque paire somme à $mgH$ .
Une bosse de chameau de $12\,\mathrm{m}$ suit la boucle : vitesse à sa crête ?
Donner la formule générale de $v(z)$ ; où le parcours est-il le plus rapide, et le plus lent ?

Partie III — L’audit du frottement. Deux capteurs à la même hauteur $z = 2.0\,\mathrm{m}$ , distants de $60\,\mathrm{m}$ de piste, lisent $v_1 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ puis $v_2 = 19.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Calculer la variation d’ énergie mécanique entre les capteurs. Qu’est-ce qui a rendu le placement à même hauteur astucieux ?
En déduire le travail du frottement et la force de frottement moyenne.
Où est passée l’énergie manquante ? Nommer la forme et les lieux.
Quelle fraction de l’ $E_m$ du train est perdue par $60\,\mathrm{m}$ ? Pourquoi le simple $H_{\min}$ serait-il dangereux dans le monde réel qui frotte ?
Environ $90\,\mathrm{m}$ de piste séparent le lancement et le sommet de la boucle : estimer $E_m$ là ; la marge de la question 4 sauve-t-elle encore la boucle ?

Partie IV — Fermer le compte. Le dernier capteur, à l’entrée de la ligne de freinage horizontale droite ( $z = 0$ ), lit $18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Calculer l’énergie cinétique du train là.
Les freins doivent l’arrêter en $d = 45\,\mathrm{m}$ : calculer la force de freinage (constante) requise.
Contrôle de confort : calculer la décélération $a = F/m$ ; comparer à $g$ .
Combien d’énergie le frottement de piste a-t-il dissipée sur tout le parcours ? Vérifier que frottement $+$ freins $= mgH$ , au joule près.
Chute, une phrase : quel seul nombre a fixé la sécurité de la boucle, chaque vitesse, la facture de frottement et la force de freinage — et quel était le prix d’ignorer le frottement ?

Solution

Solution de Problème 18.1.

1. $v_{\text{sommet}} = \sqrt{gR} = \sqrt{9.81 \times 8.0} \approx 8.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. $E_m = mg\,(2R) + \tfrac12 m gR = 3.14 \times 10^{5} + 7.8 \times 10^{4} \approx 3.92 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ .

3. $mgH_{\min} = E_m$ donne $H_{\min} = 20\,\mathrm{m}$ ; algébriquement $H_{\min} = 2R + \frac{gR}{2g} = \frac{5R}{2}$ .

4. $v_{\text{sommet}} = \sqrt{2g(H - 2R)} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 8.0} \approx 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_{\text{sommet}}^2/(gR) = 2.0$ — deux fois le minimum.

5. Chaque énergie est proportionnelle à $m$ , donc $m$ s’annule : mêmes vitesses et même sécurité, plein ou vide.

6. $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 24} \approx 21.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 78\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

7. $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times (24 - 8.0)} \approx 17.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

8. $mgH = 4.71 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . $(E_p, E_k)$ : lancement $(4.71 \times 10^{5}, 0)$ ; bas $(0, 4.71 \times 10^{5})$ ; côté $(1.57 \times 10^{5}, 3.14 \times 10^{5})$ ; sommet $(3.14 \times 10^{5}, 1.57 \times 10^{5})$ — chaque paire somme à $4.71 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ .

9. $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times (24 - 12)} \approx 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

10. $v(z) = \sqrt{2g(H - z)}$ : le plus rapide au point le plus bas de la piste, le plus lent au sommet de la boucle.

11. Même hauteur, donc $\Delta E_p = 0$ et $\Delta E_m = \Delta E_k = \tfrac12 \times 2000 \times (19.2^2 - 20.4^2) \approx -4.75 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ : le placement rend le déficit purement cinétique, lu sur deux compteurs de vitesse.

12. $W(\vect f) = -4.75 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ; $f = 4.75 \times 10^{4}/60 \approx 7.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ .

13. Énergie thermique, dans les roues, les rails et l’air.

14. $E_m$ au premier capteur : $4.16 \times 10^{5} + 3.9 \times 10^{4} = 4.55 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ; perte $4.75 \times 10^{4}/4.55 \times 10^{5} \approx 10\,\%$ par $60\,\mathrm{m}$ . À $H_{\min}$ le sommet de la boucle est atteint exactement à $\sqrt{gR}$ ; toute perte le fait descendre sous la vitesse de sécurité.

15. En perdant $\approx 10\,\%$ par $60\,\mathrm{m}$ , environ $15\,\%$ de $mgH$ ( $\approx 7.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ) a disparu : $E_m \approx 4.00 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ , encore au-dessus des $3.92 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ requis — sûr, avec seulement $2\,\%$ de marge. La marge n’était pas un luxe.

16. $E_k = \tfrac12 \times 2000 \times 18.0^2 = 3.24 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ .

17. $F = 3.24 \times 10^{5}/45 = 7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ .

18. $a = 7200/2000 = 3.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.37\,g$ : ferme mais confortable.

19. Frottement de piste : $mgH - 3.24 \times 10^{5} = 470\,880 - 324\,000 = 1.47 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . Audit : $1.47 \times 10^{5} + 3.24 \times 10^{5} = 4.71 \times 10^{5} = mgH$ — chaque joule est comptabilisé.

20. La hauteur de lancement $H = 24\,\mathrm{m}$ a fixé la sécurité de la boucle, chaque vitesse $\sqrt{2g(H - z)}$ , la facture de frottement et la force de freinage ; le prix d’ignorer le frottement est la marge — les $4\,\mathrm{m}$ de colline que le monde frottant consomme silencieusement.