Physique du lycée · Grades 10–12

19Le noyau et la radioactivité

En ce moment même, quelque huit mille noyaux atomiques explosent dans votre corps chaque seconde. Rien ne les attaque : certains noyaux naissent instables, et chacun tôt ou tard se transforme lui-même, en projetant un fragment à une bonne fraction de la vitesse de la lumière. Ce chapitre revient à l’étage des $10^{-15}$ mètres du Chapitre 13 pour voir quels noyaux sont fragiles, comment ils se brisent, et comment leur impatience régulière date les grottes et surveille les plafonds.

19.1 Noyaux, nucléons et isotopes

Définition 19.1 (Notation nucléaire)

Un noyau contient $Z$ protons (charge $+e$ chacun) et $N$ neutrons (sans charge), $A = Z + N$ nucléons en tout ; on l’écrit ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}$ , où $\mathrm X$ est le symbole chimique, $Z$ le numéro atomique et $A$ le nombre de masse. Une espèce spécifiée par $A$ et $Z$ est un nucléide ; des nucléides de même $Z$ mais de $A$ différents sont des isotopes d’un même élément : même chimie (le nuage électronique ne voit que $Ze$ ), noyaux et stabilité différents.

Exemple 19.2 (Hydrogène et carbone)

L’hydrogène a trois isotopes : ${}^{1}_{1}\mathrm{H}$ (un proton seul), ${}^{2}_{1}\mathrm{H}$ (deutérium : un proton, un neutron), ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$ instable (tritium : deux neutrons). Carbone naturel : surtout ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ ( $6$ protons, $6$ neutrons), $1{,}1\,\%$ de ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$ , et un atome sur $10^{12}$ de ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ instable ( $8$ neutrons), héros de l’Exemple 19.17.

19.2 Noyaux stables et instables

Proposition 19.3 (La vallée de stabilité)

Les nucléides stables occupent une bande étroite dans le plan $(Z, N)$ : $N \approx Z$ pour les noyaux légers, puis un excès de neutrons croissant, jusqu’à $N \approx 1.5\,Z$ . Tout nucléide hors de la bande — trop de neutrons, trop de protons, ou trop gros (au-delà du plomb, $Z = 82$ , aucun nucléide n’est vraiment stable) — se transforme tôt ou tard.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 19.4

Localiser la bande exactement est de la mécanique quantique — les volumes universitaires. Le motif est le grand livre du Chapitre 13 : la colle forte ne lie que les voisins, la répulsion de Coulomb traverse tout le noyau, donc les noyaux lourds ont besoin de colle neutronique supplémentaire ; et pourtant un excès de neutrons est instable aussi (l’ interaction faible s’en charge).

Les nucléides stables serrent N = Z, puis dérivent riches en neutrons ; au-dessus de la bande un noyau se désintègre -, en dessous +, au-delà du bismuth . — Les nucléides stables serrent $N = Z$ , puis dérivent riches en neutrons ; au-dessus de la bande un noyau se désintègre $\beta^-$ , en dessous $\beta^+$ , au-delà du bismuth $\alpha$ .

Définition 19.5 (Radioactivité)

La radioactivité est la transformation spontanée d’un noyau instable en un autre nucléide, avec émission de rayonnement. Elle est aléatoire : rien n’annonce quel noyau se désintègre ensuite, et aucune pression, température ou chimie ne peut la hâter ou la retarder ; seules les grandes populations sont prévisibles (Définition 19.14).

Remarque 19.6 (Becquerel et les Curie)

En 1896 Henri Becquerel trouva que des sels d’uranium voilent une plaque photographique à travers du papier noir, dans un tiroir fermé, sans énergie fournie. Marie et Pierre Curie montrèrent que l’effet est atomique, le mesurèrent, et isolèrent le polonium et le radium, un million de fois plus actifs. Le mot radioactivité est de Marie Curie ; deux prix Nobel aussi.

19.3 Alpha, bêta, gamma

Définition 19.7 (Les trois rayonnements historiques)

Trois rayonnements, nommés avant que quiconque sache ce qu’ils étaient :

alpha ( $\alpha$ ) : un noyau d’hélium ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ éjecté entier — lourd, doublement chargé, arrêté par une feuille de papier ou des centimètres d’air ;
bêta ( $\beta^-$ ) : un électron ${}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ créé dans le noyau et éjecté — léger, rapide, arrêté par des millimètres d’aluminium ;
gamma ( $\gamma$ ) : rayonnement électromagnétique, bien plus énergétique que la lumière — jamais tout à fait arrêté, seulement atténué : un centimètre de plomb absorbe la moitié.

meurt dans le papier, - dans des millimètres d’aluminium ; n’est qu’amincie, même par le plomb. — $\alpha$ meurt dans le papier, $\beta^-$ dans des millimètres d’aluminium ; $\gamma$ n’est qu’amincie, même par le plomb.

Proposition 19.8 (Conservation dans les équations nucléaires)

Dans toute transformation nucléaire, le nombre de masse total $A$ et la charge totale — la somme des indices inférieurs, en comptant $-1$ pour un électron émis — sont les mêmes avant et après.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 19.9

La conservation de la charge régnait déjà dans le Chapitre 13 ; la conservation de $A$ dit que les nucléons ne sont que convertis, jamais créés ni détruits — comptabilité honnête pour les volumes universitaires.

Méthode 19.10 (Équilibrer une équation de désintégration)

Écrire chaque acteur avec les deux étiquettes : $\alpha = {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ , $\beta^- = {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ , $\beta^+ = {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ ; un $\gamma$ porte $A = Z = 0$ .
Égaler les sommes des $A$ , puis des $Z$ (Proposition 19.8) ; résoudre, et lire l’élément fils sur son $Z$ dans le tableau périodique.

Exemple 19.11 (Une désintégration alpha)

Le radium-226, le radium des Curie, est un émetteur $\alpha$ : ${}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \to {}^{A}_{Z}\mathrm{Y} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ impose $A = 226 - 4 = 222$ et $Z = 88 - 2 = 86$ ; l’élément $86$ est le radon, donc ${}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \to {}^{222}_{86}\mathrm{Rn} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ — le gaz radioactif des caves mal ventilées.

Exemple 19.12 (Une désintégration bêta-moins)

Le carbone-14 siège au-dessus de la bande ( $8$ neutrons contre $6$ protons) : ${}^{14}_{6}\mathrm{C} \to {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ . Vérification : $14 = 14 + 0$ , $6 = 7 - 1$ ; un neutron est devenu un proton plus l’électron éjecté — l’ interaction faible au travail.

Remarque 19.13 (Bêta-plus et gamma)

Sous la bande, la désintégration miroir $\beta^+$ transforme un proton en neutron plus un positon ${}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ , l’antiparticule de l’électron : ${}^{18}_{9}\mathrm{F} \to {}^{18}_{8}\mathrm{O} + {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ , cheval de trait des scanners TEP. Et après la plupart des désintégrations le noyau fils, né en vibration, se calme en émettant un $\gamma$ par-dessus.

Les premières étapes de la chaîne de l’uranium-238 ; onze désintégrations de plus ( et -) aboutissent au 206_82 Pb stable. — Les premières étapes de la chaîne de l’uranium-238 ; onze désintégrations de plus ( $\alpha$ et $\beta^-$ ) aboutissent au ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ stable.

19.4 Demi-vie et activité

Définition 19.14 (Demi-vie)

La demi-vie $T_{1/2}$ d’un nucléide est le temps au bout duquel la moitié de tout grand échantillon s’est désintégrée. Chaque demi-vie supplémentaire divise par deux ce qui reste : sur $N_0$ noyaux, $N_0/2$ restent à $T_{1/2}$ , $N_0/4$ à $2\,T_{1/2}$ , $N_0/8$ à $3\,T_{1/2}$ , $N_0/2^{\,n}$ après $n$ demi-vies.

Remarque 19.15

Aléatoire pour un noyau, mécanique pour $10^{23}$ : une foule immense de joueurs de pile ou face, imprévisibles un par un, la moitié éliminée à chaque tour. Interpoler entre des demi-vies entières prend la fonction exponentielle — l’année suivante, avec le volume de mathématiques.

Exemple 19.16 (Vingt puissances de dix)

polonium-214	$\alpha$	$1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$	maillon de la chaîne du radium
technétium-99m	$\gamma$	$6{,}0$ heures	imagerie médicale
américium-241	$\alpha$	$432$ ans	détecteurs de fumée
carbone-14	$\beta^-$	$5700$ ans	archéologie
potassium-40	$\beta$	$1.25 \times 10^{9}$ ans	dans chaque banane
uranium-238	$\alpha$	$4.5 \times 10^{9}$ ans	chaleur intérieure de la Terre

Exemple 19.17 (Datation au carbone-14)

La matière vivante échange du carbone avec l’atmosphère, donc elle détient la proportion atmosphérique de carbone-14 ; à la mort l’apport s’arrête et la proportion se divise par deux tous les $5700$ ans. Du charbon d’une grotte peinte montre un quart de la proportion vivante : un quart est la moitié d’une moitié, donc le feu a brûlé deux demi-vies, $2 \times 5700 = 11\,400$ ans, auparavant.

Définition 19.18 (Activité)

L’activité $\mathcal A$ d’un échantillon est son nombre de désintégrations par seconde, mesurée en becquerels : $1\,\mathrm{Bq} = 1$ désintégration par seconde. Moins de noyaux survivants signifie moins de désintégrations, donc l’activité se divise aussi par deux à chaque demi-vie.

L’escalier de division par deux : après n demi-vies l’ activité est A_0/2\,n — un huitième après trois, un millième après dix. — L’escalier de division par deux : après $n$ demi-vies l’ activité est $\mathcal A_0/2^{\,n}$ — un huitième après trois, un millième après dix.

Exemple 19.19 (Ordres de grandeur)

Tout est légèrement radioactif. Une banane : environ $15\,\mathrm{Bq}$ (potassium-40). Un corps humain : environ $8000\,\mathrm{Bq}$ — le crochet de ce chapitre, quelque cinq cents bananes. Un mètre cube de granite : autour de $3 \times 10^{6}\,\mathrm{Bq}$ (uranium et sa chaîne, d’où le radon des caves). Une injection de technétium : environ $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Bq}$ , disparue en quelques jours.

19.5 Serviteurs et dangers

Exemple 19.20 (Trois carrières d’un noyau instable)

Médecine : le technétium-99m, émetteur $\gamma$ pur de $T_{1/2} = 6$ heures, est fixé à une molécule que l’organe cible absorbe ; une caméra filme les $\gamma$ de l’extérieur, et dès le lendemain le traceur a pour l’essentiel disparu — tandis que la radiothérapie inverse la logique, en focalisant des faisceaux pour détruire une tumeur. Datation : carbone-14 pour le bois, l’os et le tissu jusqu’à quelque $50\,000$ ans ; uranium-238 pour les roches — et la Terre, à $4.5 \times 10^{9}$ ans. Détecteurs de fumée : une pincée d’américium-241 ionise l’air d’une petite chambre, laissant passer un petit courant ; la fumée étouffe le courant et l’alarme sonne — les $\alpha$ meurent en centimètres d’air.

Remarque 19.21 (Dose et sievert)

Le rayonnement arrache des électrons aux molécules et peut endommager l’ADN. Le dommage biologique est suivi par la dose, en sieverts ( $\mathrm{Sv}$ ), qui pèse l’énergie déposée par kilogramme de tissu selon la nocivité de chaque rayonnement. Trois règles : distance, blindage ( $\alpha$ : la peau suffit — sauf si l’émetteur est inhalé, le crime du radon ; $\beta$ : aluminium ; $\gamma$ : plomb), et temps. La dosimétrie proprement dite est matière universitaire.

19.6 Exercices

Exercice 19.1 ★

Donner le nombre de protons et de neutrons dans ${}^{16}_{8}\mathrm{O}$ , ${}^{27}_{13}\mathrm{Al}$ , ${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$ , ${}^{235}_{92}\mathrm{U}$ et ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$ .

Solution

Solution de Exercice 19.1.

${}^{16}_{8}\mathrm{O}$ : $8$ p, $8$ n ; ${}^{27}_{13}\mathrm{Al}$ : $13$ p, $14$ n ; ${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$ : $27$ p, $33$ n ; ${}^{235}_{92}\mathrm{U}$ : $92$ p, $143$ n ; ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$ : $1$ p, $2$ n. ( $N = A - Z$ chaque fois.)

Exercice 19.2 ★

Parmi ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ , ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ , ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ , ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$ et ${}^{16}_{8}\mathrm{O}$ , lesquels sont des isotopes les uns des autres ? Pourquoi ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ et ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ ne sont-ils pas des isotopes, malgré des nombres de masse égaux ?

Solution

Solution de Exercice 19.2.

Les trois carbones ( $Z = 6$ ) sont des isotopes les uns des autres. ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ et ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ partagent $A = 14$ mais non $Z$ : éléments différents (nuages électroniques différents), donc pas des isotopes.

Exercice 19.3 ★

Le polonium-210, ${}^{210}_{84}\mathrm{Po}$ , est un émetteur $\alpha$ . Écrire l’équation de désintégration et nommer le noyau fils ( $Z = 81$ : thallium, $82$ : plomb, $83$ : bismuth).

Solution

Solution de Exercice 19.3.

$A = 210 - 4 = 206$ , $Z = 84 - 2 = 82$ : ${}^{210}_{84}\mathrm{Po} \to {}^{206}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ — le noyau fils est le plomb-206.

Exercice 19.4 ★

Écrire les équations de désintégration $\beta^-$ du cobalt-60 ( ${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$ ) et de l’iode-131 ( ${}^{131}_{53}\mathrm{I}$ ) ; noyaux fils : $Z = 28$ nickel, $Z = 54$ xénon.

Solution

Solution de Exercice 19.4.

${}^{60}_{27}\mathrm{Co} \to {}^{60}_{28}\mathrm{Ni} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ et ${}^{131}_{53}\mathrm{I} \to {}^{131}_{54}\mathrm{Xe} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ : $A$ inchangé, $Z$ augmente d’un.

Exercice 19.5 ★

Une source d’iode-131 ( $T_{1/2} = 8{,}0$ jours) a une activité de $800\,\mathrm{MBq}$ aujourd’hui. Quelle est son activité après $16$ jours ? Après $32$ jours ?

Solution

Solution de Exercice 19.5.

$16$ jours $= 2\,T_{1/2}$ : $800/4 = 200\,\mathrm{MBq}$ . $32$ jours $= 4\,T_{1/2}$ : $800/16 = 50\,\mathrm{MBq}$ .

Exercice 19.6 ★★

Quatre rayonnements traversent un fort champ magnétique, puis des écrans. Identifier chacun : (a) arrêté par le papier, à peine dévié par le champ ; (b) traverse le papier, arrêté par $4\,\mathrm{mm}$ d’aluminium, fortement dévié ; (c) traverse les deux, seulement atténué par le plomb, non dévié ; (d) comme (b), dévié de l’autre côté.

Solution

Solution de Exercice 19.6.

(a) $\alpha$ (lourde, donc à peine déviée) ; (b) $\beta^-$ ; (c) $\gamma$ (neutre, pénétrante) ; (d) $\beta^+$ (positon : aussi léger que (b), charge opposée).

Exercice 19.7 ★★

Le radon-222 ( ${}^{222}_{86}\mathrm{Rn}$ ) ouvre une chaîne rapide : une désintégration $\alpha$ , puis une autre $\alpha$ , puis une $\beta^-$ . Écrire les trois équations ( $Z = 82$ : plomb, $83$ : bismuth, $84$ : polonium).

Solution

Solution de Exercice 19.7.

${}^{222}_{86}\mathrm{Rn} \to {}^{218}_{84}\mathrm{Po} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ ; ${}^{218}_{84}\mathrm{Po} \to {}^{214}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ ; ${}^{214}_{82}\mathrm{Pb} \to {}^{214}_{83}\mathrm{Bi} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ .

Exercice 19.8 ★★

Le fluor-18, ${}^{18}_{9}\mathrm{F}$ , est le traceur des scanners TEP ; le fluor stable est ${}^{19}_{9}\mathrm{F}$ . De quel côté de la bande de stabilité est-il ? Prédire son mode de désintégration et écrire l’équation ( $Z = 8$ : oxygène).

Solution

Solution de Exercice 19.8.

Le fluor-18 a $9$ neutrons là où le fluor-19 stable en a $10$ : pauvre en neutrons, sous la bande, donc $\beta^+$ : ${}^{18}_{9}\mathrm{F} \to {}^{18}_{8}\mathrm{O} + {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ .

Exercice 19.9 ★★

Un patient reçoit $500\,\mathrm{MBq}$ de technétium-99m ( $T_{1/2} = 6{,}0$ heures) à 08 h. Quelle est l’ activité à 08 h le lendemain matin ? Après combien d’heures descend-elle pour la première fois sous $1\,\mathrm{MBq}$ ?

Solution

Solution de Exercice 19.9.

$24$ heures $= 4\,T_{1/2}$ : $500/16 \approx 31\,\mathrm{MBq}$ . Comme $2^9 = 512$ , neuf demi-vies amènent $500/512 < 1\,\mathrm{MBq}$ : après $9 \times 6 = 54\,\mathrm{h}$ .

Exercice 19.10 ★★

Un os d’une tourbière montre une proportion de carbone-14 d’un huitième de celle d’un os vivant ( $T_{1/2} = 5700$ ans). Quel âge a l’os ? Et pourquoi le carbone-14 est-il inutile pour dater des os de dinosaures (âge d’environ $10^{8}$ ans) ?

Solution

Solution de Exercice 19.10.

$\frac18 = \frac1{2^3}$ : trois demi-vies, $3 \times 5700 = 17\,100$ ans. Un os de dinosaure a environ $17\,500$ demi-vies d’âge : une fraction $1/2^{17500}$ reste — pas un seul atome de carbone-14 (un gramme de carbone n’en détient qu’environ $5 \times 10^{22}$ atomes).

Exercice 19.11 ★★

En utilisant la vallée de stabilité, prédire le mode de désintégration ( $\alpha$ , $\beta^-$ ou $\beta^+$ ) de ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ , ${}^{11}_{6}\mathrm{C}$ et ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ , en justifiant chacun en une ligne (carbone stable : ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ , ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$ ).

Solution

Solution de Exercice 19.11.

${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ : $8$ neutrons contre $6$ – $7$ dans le carbone stable, au-dessus de la bande, $\beta^-$ . ${}^{11}_{6}\mathrm{C}$ : $5$ neutrons, pauvre en neutrons, $\beta^+$ . ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ : $Z = 92 > 83$ , trop lourd, $\alpha$ .

Exercice 19.12 ★★★

La chaîne de l’uranium-238 se termine, bien des étapes plus tard, au ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ stable ; chaque étape est une $\alpha$ ou une $\beta^-$ . En utilisant la conservation de $A$ seule, trouver le nombre d’étapes $\alpha$ ; puis, avec la conservation de $Z$ , le nombre d’étapes $\beta^-$ .

Solution

Solution de Exercice 19.12.

Seule $\alpha$ change $A$ : $238 - 206 = 32 = 4x$ , donc $x = 8$ alphas. Elles retirent $16$ de $Z$ : $92 - 16 + y = 82$ donne $y = 6$ désintégrations bêta-moins.

Exercice 19.13 ★★★

La source de cobalt-60 d’un hôpital ( $T_{1/2} = 5{,}3$ ans) a une activité de $6.4\,\mathrm{TBq}$ ; la réglementation autorise l’élimination sous $0.1\,\mathrm{TBq}$ . Après combien d’années peut-elle être éliminée ?

Solution

Solution de Exercice 19.13.

$6.4/0.1 = 64 = 2^{6}$ : six demi-vies, $6 \times 5.3 = 31.8 \approx 32$ années en stockage blindé.

Exercice 19.14 ★★★

L’activité de votre corps est d’environ $8000\,\mathrm{Bq}$ . Combien de vos noyaux se désintègrent par jour ? Sur une vie de $80$ ans ? Une banane ajoute environ $15\,\mathrm{Bq}$ pendant que vous la digérez : commenter, en une phrase, les titres qui craignent chaque becquerel.

Solution

Solution de Exercice 19.14.

Par jour : $8000 \times 86400 \approx 6.9 \times 10^{8}$ désintégrations. Sur $80$ ans : $6.9 \times 10^{8} \times 365 \times 80 \approx 2 \times 10^{13}$ . La vie a toujours tourné sur ce fond — un becquerel est un atome par seconde sur les $\sim 10^{27}$ du corps ; l’unité est minuscule, et un décompte de becquerels qui sonne effrayant peut valoir quelques bananes.

Exercice 19.15 ★★★

Un détecteur de fumée détient $0.2\,\text{µ}\mathrm{g}$ d’américium-241 ( $T_{1/2} = 432$ ans), d’ activité d’environ $25\,\mathrm{kBq}$ . Combien de désintégrations est-ce par jour ? Après dix ans de service, l’américium s’est-il désintégré de beaucoup moins de la moitié, d’environ la moitié, ou de beaucoup plus — et l’épuisement de la source est-il la raison pour laquelle on remplace les détecteurs ? Enfin, pourquoi cette source $\alpha$ est-elle inoffensive au plafond, mais dangereuse si la capsule est broyée et la poussière inhalée ?

Solution

Solution de Exercice 19.15.

$25\,000 \times 86400 \approx 2.2 \times 10^{9}$ désintégrations par jour. Dix ans sont $10/432 \approx 2\,\%$ d’une demi-vie : bien moins de la moitié a disparu, donc l’électronique et la poussière, non la source, imposent le remplacement. À l’extérieur, les $\alpha$ meurent dans l’air et le boîtier de la chambre ; la poussière inhalée gare l’émetteur dans les poumons, où chaque $\alpha$ déverse son énergie dans le tissu vivant — une grande dose (sieverts) pour une activité modeste.

19.7 Problème : La momie, le réacteur et le détecteur de fumée

Problème 19.1

Problème du week-end — trois carrières d’un noyau instable : une momie datée par divisions par deux, l’arbre généalogique de l’uranium équilibré, un détecteur de fumée audité, et pourquoi les étoiles ont dû être mortelles

Trois noyaux instables, trois métiers : le carbone-14 horodate chaque plante et animal morts, l’uranium-238 chauffe une planète de l’intérieur, l’américium-241 surveille les plafonds. Données : $T_{1/2} = 5700$ ans (C-14), $4.5 \times 10^{9}$ ans (U-238), $432$ ans (Am-241) ; le carbone vivant montre $13{,}6$ désintégrations par minute par gramme ; numéros atomiques : N $7$ , O $8$ , Pb $82$ , Bi $83$ , Po $84$ , Rn $86$ , Ra $88$ , Th $90$ , Pa $91$ , U $92$ , Np $93$ , Am $95$ .

Partie I — La momie.

Donner la composition (protons, neutrons) de ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ et ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ . Pourquoi une chimie identique dans un corps ?
Pourquoi la proportion de carbone-14 est-elle constante dans un corps vivant, et pourquoi commence-t-elle à chuter à la mort ?
Écrire l’équation de désintégration du carbone-14. Son rayonnement s’échapperait-il à travers les bandelettes de lin de la momie ?
Un gramme de carbone du lin montre $6{,}8$ désintégrations par minute. Quelle fraction du taux vivant est-ce ? Dater la momie.
Une seconde « momie », prix d’une collection privée, montre $13{,}2$ désintégrations par minute par gramme. Verdict ?
Estimer le taux d’un échantillon de dix demi-vies, et expliquer pourquoi la datation au carbone s’estompe au-delà d’environ $57\,000$ ans.

Partie II — Le réacteur sous le pré.

Donner la composition de ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ . Pourquoi les noyaux lourds ont-ils besoin d’un tel surplus de neutrons ?
Écrire son équation de désintégration $\alpha$ .
Le noyau fils se désintègre ensuite $\beta^-$ , et la petite-fille $\beta^-$ encore. Écrire les deux équations. Quel élément réapparaît ?
La chaîne se termine à ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ . Compter ses étapes $\alpha$ , puis ses étapes $\beta^-$ .
La Terre s’est formée il y a $4.5 \times 10^{9}$ ans. Quelle fraction de son uranium-238 primordial reste aujourd’hui ? Et dans $5$ milliards d’années de plus ?
En une phrase : que alimente cette chaleur de désintégration enfouie à la surface ? (Penser volcans et continents dérivants.)

Partie III — Le détecteur de fumée.

Écrire l’équation de désintégration $\alpha$ de ${}^{241}_{95}\mathrm{Am}$ .
Son activité est $33\,\mathrm{kBq}$ : combien de désintégrations par seconde ? Par jour ?
Expliquer le détecteur : que font les particules $\alpha$ à l’air de la chambre, et que change la fumée ?
Pourquoi un émetteur $\alpha$ est-il le bon choix ici — et un émetteur $\gamma$ d’ activité égale le pire ?
Après une demi-vie ( $432$ ans !) l’activité serait $16.5\,\mathrm{kBq}$ ; le manuel demande un remplacement après dix ans. La source est-elle le maillon faible ?

Partie IV — Pourquoi les étoiles ont dû être mortelles.

Les étoiles mourantes ont forgé et dispersé chaque élément plus lourd que l’hélium. Quelle fraction de l’uranium-238 forgé il y a $9 \times 10^{9}$ ans survit aujourd’hui ? Pourquoi l’abondance restante de la Terre rend-elle la planète bien plus jeune que les plus vieilles étoiles ?
La chaleur radioactive intérieure de la Terre pilote le volcanisme et la tectonique des plaques, et maintient le noyau en brassage produisant le bouclier magnétique du Chapitre 15. À quoi ressemblerait une planète de seuls atomes stables ?
Une ligne, comme poésie et comme comptabilité : où vos atomes ont-ils été forgés, et qu’est-ce qui chauffe encore le sol sous vos pieds ?

Solution

Solution de Problème 19.1.

1. ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ : $6$ p, $6$ n ; ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ : $6$ p, $8$ n. La chimie ne voit que le nuage électronique, fixé par $Z = 6$ : comportement identique.

2. Manger et respirer renouvellent constamment le carbone d’un corps vivant à la proportion atmosphérique ; à la mort l’apport s’arrête et la désintégration court sans frein.

3. ${}^{14}_{6}\mathrm{C} \to {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ ( $\beta^-$ ). Ces $\beta$ sont mous : des mètres de lin enveloppé les arrêtent, donc peu s’échappe de la momie — d’où la mesure sur un petit échantillon de carbone prélevé sur l’objet lui-même.

4. $6.8/13.6 = \frac12$ : une demi-vie. La momie a environ $5700$ ans.

5. $13.2/13.6 \approx 0.97$ : le lin est essentiellement moderne — au plus quelques siècles. Un faux.

6. $13.6/2^{10} = 13.6/1024 \approx 0.013$ désintégrations par minute — un coup toutes les $75$ minutes par gramme, noyé dans le fond naturel. Dix demi-vies, environ $57\,000$ ans, sont l’horizon pratique.

7. $92$ protons, $146$ neutrons. La répulsion de Coulomb agit entre toutes les paires de protons à travers le noyau tandis que la colle forte ne lie que les voisins : les noyaux lourds ne survivent qu’avec des neutrons en surplus, colle sans répulsion.

8. ${}^{238}_{92}\mathrm{U} \to {}^{234}_{90}\mathrm{Th} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ .

9. ${}^{234}_{90}\mathrm{Th} \to {}^{234}_{91}\mathrm{Pa} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ , puis ${}^{234}_{91}\mathrm{Pa} \to {}^{234}_{92}\mathrm{U} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ : l’uranium réapparaît, comme uranium-234.

10. $A$ : $238 - 206 = 32$ , donc $8$ étapes $\alpha$ ; $Z$ : $92 - 16 + y = 82$ , donc $6$ étapes $\beta^-$ .

11. $4.5 \times 10^{9}$ ans est une demi-vie : $\frac12$ reste. Cinq milliards d’années de plus $\approx$ une demi-vie de plus : environ $\frac14$ .

12. Elle pilote les volcans, la tectonique des plaques (continents dérivants, séismes) et la chaleur géothermique : la géologie de surface d’une planète chauffée de l’intérieur.

13. ${}^{241}_{95}\mathrm{Am} \to {}^{237}_{93}\mathrm{Np} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ .

14. $3.3 \times 10^{4}$ désintégrations par seconde ; $33\,000 \times 86400 \approx 2.9 \times 10^{9}$ par jour.

15. Chaque $\alpha$ ionise l’air qu’elle traverse ; les ions portent un petit courant entre les électrodes de la chambre. Les particules de fumée capturent les ions, le courant chute, l’alarme sonne.

16. Les $\alpha$ dépensent toute leur énergie dans la chambre et rien n’échappe du boîtier : ionisation maximale, zéro fuite. Une source $\gamma$ d’activité égale ioniserait à peine l’air de la chambre et irradierait toute la pièce à la place.

17. Dix ans sont $10/432 \approx 2\,\%$ d’une demi-vie : l’ activité est essentiellement inchangée. Les maillons faibles sont la poussière, les insectes et l’électronique — le noyau survit au gadget.

18. $9 \times 10^{9}$ ans $= 2$ demi-vies : $\frac14$ survit. L’uranium de la Terre est encore abondant, donc il a été forgé il y a au plus quelques demi-vies — la planète s’est condensée à partir de cendres d’étoiles fraîches, des milliards d’années après les premières étoiles.

19. Géologiquement morte : un intérieur froid, pas de volcanisme ni de tectonique des plaques pour recycler l’air et la roche, et pas de noyau en brassage — d’où pas de bouclier magnétique contre le vent solaire.

20. Chaque atome de vous au-delà de l’hélium a été forgé dans une étoile mourante, et les restes instables de cette forge chauffent encore le sol sous vos pieds : poussière d’étoiles, maintenue en vie par sa propre demi-vie.