Physics · Livre 2 · Grades 10–12

Physique du lycée

Physique du lycée · Grades 10–12

13Les interactions fondamentales

Frottez un ballon sur vos cheveux et il ramasse des bouts de papier — battant, avec quelques centimètres carrés de caoutchouc, l’attraction gravitationnelle de la planète entière. Cette victoire facile est la raison pour laquelle les atomes tiennent ensemble et pour laquelle les noyaux lourds finissent par éclater (Chapitre 19). L’univers tourne sur exactement quatre interactions ; ce chapitre les rencontre, les pèse l’une contre l’autre, et assigne à chacune son étage.

13.1 La matière des quarks aux galaxies

Définition 13.1 (L’échelle de structure)

La matière est construite en étages, chacun assemblé à partir de celui du dessous : trois quarks (ponctuels, plus petits que 10−18 m10^{-18}\,\mathrm{m}) se lient en un nucléon — proton ou neutron, d’environ 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} de diamètre ; les nucléons s’empilent en un noyau (10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} à 10−14 m10^{-14}\,\mathrm{m}) ; un noyau plus son nuage d’électrons est un atome (10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m}) ; les atomes se lient en molécules et cristaux (à partir de 10−9 m10^{-9}\,\mathrm{m}), qui s’assemblent en objets du quotidien (1 m1\,\mathrm{m}), planètes (107 m10^{7}\,\mathrm{m}), systèmes planétaires (1011 m10^{11}\,\mathrm{m}), galaxies (1021 m10^{21}\,\mathrm{m}) et l’univers observable (1026 m10^{26}\,\mathrm{m}).

Définition 13.2 (Les quatre interactions)

Une interaction fondamentale est une force non réductible à d’autres forces ; il y en a exactement quatre : la gravitation, l’interaction électromagnétique, l’interaction forte et l’interaction faible.

Remarque 13.3

Les étages sont séparés par des vides : un atome est 10510^{5} fois plus large que son noyau — ramenez le noyau à une bille de 1 cm1\,\mathrm{cm} et le nuage électronique fait un kilomètre de diamètre. Quelque chose doit tenir ces étages clairsemés, et la gravité n’y est presque jamais pour rien.

L’échelle de structure sur un axe en puissances de dix : quarante-quatre décades séparent le quark de l’univers observable. Tailles en mètres.
L’échelle de structure sur un axe en puissances de dix : quarante-quatre décades séparent le quark de l’univers observable. Tailles en mètres.

13.2 Charge électrique

Définition 13.4 (Charge électrique)

La charge électrique est la propriété de la matière sur laquelle agit l’interaction électromagnétique, comme la masse est la propriété sur laquelle agit la gravitation. Elle se mesure en coulombs (C\mathrm{C}) et se présente sous deux signes, positif et négatif, qui s’annulent par addition ; les charges de même signe se repoussent, de signes opposés s’attirent.

Définition 13.5 (Charge élémentaire)

La charge est granulaire : toute charge observée est un multiple entier de la charge élémentaire e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}. Le proton porte +e+e, l’électron −e-e, le neutron 00 ; une charge qq contient N=∣q∣/eN = \abs{q}/e charges élémentaires.

Proposition 13.6 (Conservation de la charge)

La charge totale d’un système isolé ne change jamais : la charge n’est ni créée ni détruite, seulement transférée — en pratique par les électrons, les porteurs les plus légers.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 13.7

Aucune violation n’a jamais été observée ; la raison profonde, une symétrie de l’électromagnétisme, est donnée dans les volumes universitaires.

Définition 13.8 (Électrisation par frottement et par contact)

Frotter deux isolants arrache des électrons de l’un vers l’autre, laissant des charges opposées d’égale grandeur (électrisation par frottement) ; toucher un objet chargé à un objet neutre partage la charge (électrisation par contact). Seuls les électrons se déplacent ; la charge totale est conservée.

Exemple 13.9 (Compter les électrons)

Un ballon frotté sur des cheveux acquiert q=−1.6×10−8 Cq = -1.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{C} : il a gagné N=1.6×10−8/1.6×10−19=1.0×1011N = 1.6 \times 10^{-8} / 1.6 \times 10^{-19} = 1.0 \times 10^{11} électrons, et les cheveux restent avec exactement +1.6×10−8 C+1.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}.

13.3 Loi de Coulomb

Théorème 13.10 (Loi de Coulomb)

Deux charges ponctuelles q1q_1 et q2q_2 distantes de dd exercent l’une sur l’autre des forces le long de la droite qui les joint, d’égales grandeurs et de directions opposées — répulsives pour des signes identiques, attractives pour des signes opposés — avec

F=k ∣q1q2∣d2,k=8.99×109 N m2/C2.F = k\,\frac{\abs{q_1 q_2}}{d^{2}}, \qquad k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 13.11

Coulomb a établi la loi en 1785 en mesurant la torsion d’une fibre mince ; pourquoi l’exposant est exactement 22 est répondu dans les volumes universitaires.

Charges de même signe se repoussent (à gauche), de signes opposés s’attirent (à droite) ; les deux forces ont toujours des grandeurs égales et des directions opposées. Charges de même signe se repoussent (à gauche), de signes opposés s’attirent (à droite) ; les deux forces ont toujours des grandeurs égales et des directions opposées.
Charges de même signe se repoussent (à gauche), de signes opposés s’attirent (à droite) ; les deux forces ont toujours des grandeurs égales et des directions opposées.

Remarque 13.12 (Un jumeau formel de la gravitation)

La loi de Coulomb est, symbole pour symbole, la loi de gravitation universelle (Chapitre 4) avec des charges à la place des masses :

sourcemasse mmcharge qq
loiF=G m1m2d2F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{d^2}F=k ∣q1q2∣d2F = k\,\dfrac{\abs{q_1 q_2}}{d^2}
[1.5ex] constanteG=6.67×10−11 N m2/kg2G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}k=8.99×109 N m2/C2k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}
signetoujours attractiveattractive ou répulsive

Les deux différences mènent tout ce qui suit : l’électricité est écrasamment plus forte, et elle seule peut s’annuler elle-même.

Exemple 13.13 (Deux protons, les deux forces à la fois)

Deux protons (mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}) sont distants de d=1.0×10−15 md = 1.0 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} — voisins nucléaires. Répulsion électrique :

FE=8.99×109×(1.60×10−19)2(1.0×10−15)2≈2.3×102 NF_E = 8.99 \times 10^{9} \times \frac{(1.60 \times 10^{-19})^{2}}{(1.0 \times 10^{-15})^{2}} \approx 2.3 \times 10^{2}\,\mathrm{N}

— le poids d’une valise de 2323 kg, porté par une particule de 10−2710^{-27} kilogrammes. Attraction gravitationnelle : FG=6.67×10−11×(1.67×10−27)2/(1.0×10−15)2≈1.9×10−34 NF_G = 6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^{2} / (1.0 \times 10^{-15})^{2} \approx 1.9 \times 10^{-34}\,\mathrm{N}. Le rapport FE/FG=ke2/(Gmp2)≈1.2×1036F_E / F_G = k e^{2} / (G m_p^{2}) \approx 1.2 \times 10^{36} est indépendant de la distance (d2d^{2} s’annule) : entre particules élémentaires, la gravité est 103610^{36} fois trop faible pour compter — à n’importe quelle distance.

13.4 Les interactions forte et faible

L’exemple laisse un scandale : un noyau d’hélium tient deux protons qui se repoussent avec des dizaines de newtons — et pourtant l’hélium existe.

Définition 13.14 (L’interaction forte)

L’interaction forte lie les quarks en nucléons et les nucléons en noyaux. À 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} elle est attractive et bien plus forte que la répulsion électrique (des milliers de newtons entre nucléons) ; au-delà de quelques 10−1510^{-15} mètres elle s’éteint : sa portée est d’environ 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}. Elle saisit protons et neutrons indifféremment et ignore la charge.

Le bras de fer à l’intérieur d’un noyau : à 10-15 m l’attraction forte (des milliers de newtons) bat la répulsion électrique.
Le bras de fer à l’intérieur d’un noyau : à 10−1510^{-15} m l’attraction forte (des milliers de newtons) bat la répulsion électrique.

Remarque 13.15 (Pourquoi les noyaux existent — et pourquoi les lourds cèdent)

Les deux forces dans le noyau ne scalent pas de la même façon. La colle forte est à courte portée : un nucléon ne lie que ses quelques voisins dans 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}. La répulsion électrique est à longue portée : chaque proton pousse sur tous les autres protons. À mesure que les noyaux grossissent, la répulsion s’accumule plus vite que la colle : les noyaux lourds ont besoin de neutrons supplémentaires (colle sans charge), et au-delà d’environ 8080 protons même cela échoue — les noyaux les plus lourds vivent à crédit (Chapitre 19).

Définition 13.16 (L’interaction faible)

L’interaction faible, de portée encore plus courte, laisse un neutron se transformer en proton (et inversement) : elle pilote la radioactivité β\beta du Chapitre 19.

13.5 Qui règne à quel étage

Méthode 13.17 (Auditer une échelle)

Pour trouver quelle interaction règne sur une structure de taille dd, vérifier la portée et l’annulation :

  1. d≤10−14 md \leq 10^{-14}\,\mathrm{m} : l’interaction forte règne — elle bat la répulsion électrique, et la gravité est hors jeu d’un facteur 103610^{36}.
  2. des atomes aux montagnes (10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m} à 104 m10^{4}\,\mathrm{m}) : la force forte est hors de portée ; l’interaction électromagnétique règne — liaisons, cohésion, frottement, contact.
  3. planètes et au-delà (d≥106 md \geq 10^{6}\,\mathrm{m}) : la matière est neutre à une précision fantastique, donc l’électricité s’annule ; la masse n’a qu’un signe et s’ajoute toujours — la gravitation règne sur le ciel.

L’interaction faible ne tient aucun étage : elle ne lie rien, mais arbitre des transformations (désintégration β\beta).

Qui règne où : forte pour les noyaux, électromagnétique des atomes aux montagnes, gravitation pour les planètes et au-delà. Tailles en mètres.
Qui règne où : forte pour les noyaux, électromagnétique des atomes aux montagnes, gravitation pour les planètes et au-delà. Tailles en mètres.

13.6 Exercices

Exercice 13.1 ★

Donner l’ordre de grandeur de chaque taille et son étage de l’échelle : proton 1.7×10−15 m1.7 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} ; molécule d’eau 2.8×10−10 m2.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} ; grain de sable 2×10−4 m2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m} ; Terre 1.3×107 m1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m} ; Voie lactée 9.5×1020 m9.5 \times 10^{20}\,\mathrm{m}.

Solution

Solution de Exercice 13.1.

Proton : 10−1510^{-15} (étage nucléon) ; molécule d’eau : 10−1010^{-10} (étage molécule — les molécules isolées siègent aux tailles atomiques) ; sable : 10−410^{-4} (matière du quotidien) ; Terre : 10710^{7} (planète) ; Voie lactée : 102110^{21} (galaxie). Tout en mètres.

Exercice 13.2 ★

Un ballon frotté sur des cheveux porte q=−4.8×10−9 Cq = -4.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}. A-t-il gagné ou perdu des électrons, et combien ? Quelle est la charge des cheveux ensuite, et quelle loi le dit ?

Solution

Solution de Exercice 13.2.

Charge négative : il a gagné N=4.8×10−9/1.6×10−19=3.0×1010N = 4.8 \times 10^{-9}/1.6 \times 10^{-19} = 3.0 \times 10^{10} électrons. Les cheveux portent +4.8×10−9 C+4.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}, par conservation de la charge (Proposition 13.6).

Exercice 13.3 ★

Des charges q1=2.0×10−6 Cq_1 = 2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} et q2=−3.0×10−6 Cq_2 = -3.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} sont distantes de 30 cm30\,\mathrm{cm}. Calculer la force ; attractive ou répulsive ? Comparer les forces sur q1q_1 et sur q2q_2.

Solution

Solution de Exercice 13.3.

F=8.99×109×2.0×10−6×3.0×10−60.302=5.39×10−20.090≈0.60 NF = 8.99 \times 10^{9} \times \dfrac{2.0 \times 10^{-6} \times 3.0 \times 10^{-6}}{0.30^2} = \dfrac{5.39 \times 10^{-2}}{0.090} \approx 0.60\,\mathrm{N}, attractive (signes opposés). Les deux forces ont la même grandeur, des directions opposées.

Exercice 13.4 ★

Deux charges s’attirent avec une force F0F_0. Que devient-elle si : la distance double ; la distance est divisée par 33 ; une charge double ; les deux charges et la distance doublent ?

Solution

Solution de Exercice 13.4.

F0/4F_0/4 ; 9F09F_0 ; 2F02F_0 ; F0F_0 (numérateur ×4\times 4, dénominateur ×4\times 4).

Exercice 13.5 ★

Nommer l’interaction responsable de : (a) la Lune orbitant autour de la Terre ; (b) la cohésion d’un cristal de sel ; (c) la cohésion d’un noyau d’hélium ; (d) la désintégration β\beta du carbone-14 ; (e) le ballon de l’Exercice 13.2 collé au mur.

Solution

Solution de Exercice 13.5.

(a) gravitation ; (b) électromagnétique ; (c) forte ; (d) faible ; (e) électromagnétique.

Exercice 13.6 ★★

Les deux protons d’un noyau d’hélium sont distants de d=2.0×10−15 md = 2.0 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} (mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}). Calculer leur répulsion électrique, leur attraction gravitationnelle, et le rapport. Qu’est-ce qui maintient le noyau entier ?

Solution

Solution de Exercice 13.6.

FE=8.99×109×(1.60×10−19)2/(2.0×10−15)2=2.30×10−28/4.0×10−30≈58 NF_E = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2/(2.0 \times 10^{-15})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/4.0 \times 10^{-30} \approx 58\,\mathrm{N} ; FG=6.67×10−11×(1.67×10−27)2/4.0×10−30≈4.7×10−35 NF_G = 6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^2/4.0 \times 10^{-30} \approx 4.7 \times 10^{-35}\,\mathrm{N}. Rapport FE/FG≈1.2×1036F_E/F_G \approx 1.2 \times 10^{36}. L’interaction forte tient le noyau, la gravité est hors sujet.

Exercice 13.7 ★★

Dans un atome d’hydrogène, l’électron (me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}) est à d=5.3×10−11 md = 5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} du proton (mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}). Calculer les forces électrique et gravitationnelle entre eux et leur rapport. Qu’est-ce qui tient les atomes ensemble ?

Solution

Solution de Exercice 13.7.

FE=2.30×10−28/(5.3×10−11)2=2.30×10−28/2.81×10−21≈8.2×10−8 NF_E = 2.30 \times 10^{-28}/(5.3 \times 10^{-11})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/2.81 \times 10^{-21} \approx 8.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{N} ; FG=6.67×10−11×1.67×10−27×9.11×10−31/2.81×10−21≈3.6×10−47 NF_G = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times 9.11 \times 10^{-31} / 2.81 \times 10^{-21} \approx 3.6 \times 10^{-47}\,\mathrm{N}. Rapport ≈2.3×1039\approx 2.3 \times 10^{39} : l’interaction électromagnétique tient les atomes ensemble.

Exercice 13.8 ★★

La sphère A porte qA=8.0×10−9 Cq_A = 8.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{C} ; une sphère B identique est neutre. On les met en contact, puis on les sépare de 10 cm10\,\mathrm{cm}. Quelle charge porte chacune (vérifier la conservation de la charge) ? Calculer la force entre elles — attractive ou répulsive ?

Solution

Solution de Exercice 13.8.

Par contact la charge est partagée : qA=qB=4.0×10−9 Cq_A = q_B = 4.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{C} (total toujours 8.0×10−9 C8.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}). Alors F=8.99×109×(4.0×10−9)2/0.102=1.4×10−5 NF = 8.99 \times 10^{9} \times (4.0 \times 10^{-9})^2/0.10^2 = 1.4 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}, répulsive (mêmes signes).

Exercice 13.9 ★★

Deux charges identiques q=1.0×10−6 Cq = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C} se repoussent avec 0.90 N0.90\,\mathrm{N} : à quelle distance sont-elles ? Où la force tombe-t-elle à 0.10 N0.10\,\mathrm{N} ?

Solution

Solution de Exercice 13.9.

d=kq2/F=8.99×109×1.0×10−12/0.90≈0.10 md = \sqrt{k q^2/F} = \sqrt{8.99 \times 10^{9} \times 1.0 \times 10^{-12}/0.90} \approx 0.10\,\mathrm{m}. Une force 99 fois plus petite exige une distance 33 fois plus grande : d=0.30 md = 0.30\,\mathrm{m}.

Exercice 13.10 ★★

Deux protons dans des molécules voisines sont distants de d=1.0×10−10 md = 1.0 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}. Calculer leur répulsion électrique. Que contribue l’interaction forte à cette distance ? Quelle interaction lie les molécules ?

Solution

Solution de Exercice 13.10.

F=2.30×10−28/(1.0×10−10)2=2.3×10−8 NF = 2.30 \times 10^{-28}/(1.0 \times 10^{-10})^2 = 2.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}. L’interaction forte ne contribue rien : 10−1010^{-10} m est 10510^{5} fois sa portée. Les molécules sont liées par l’ interaction électromagnétique.

Exercice 13.11 ★★

Chacune de deux pièces de monnaie détient environ 102310^{23} électrons. Déplacer un électron sur un million entre elles et placer les pièces à 1.0 m1.0\,\mathrm{m}. Calculer la charge de chaque pièce, puis la force. Le poids de quelle masse l’égale-t-il ? Conclure sur la neutralité de la matière ordinaire.

Solution

Solution de Exercice 13.11.

q=1023/106×1.6×10−19=1.6×10−2 Cq = 10^{23}/10^{6} \times 1.6 \times 10^{-19} = 1.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{C} sur chaque pièce. F=8.99×109×(1.6×10−2)2/1.02≈2.3×106 NF = 8.99 \times 10^{9} \times (1.6 \times 10^{-2})^2/1.0^2 \approx 2.3 \times 10^{6}\,\mathrm{N} — le poids de 2.3×106/9.81≈2.3×105 kg2.3 \times 10^{6}/9.81 \approx 2.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}, un train de marchandises chargé, pour un millionième des électrons. La matière ordinaire doit être (et est) neutre bien mieux qu’à une partie par million.

Exercice 13.12 ★★★

Un noyau d’uranium a un diamètre 1.4×10−14 m1.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m} et 9292 protons. Calculer la répulsion entre deux protons aux extrémités opposées. L’interaction forte peut-elle lier cette paire — pourquoi non ? Combien de paires de protons se repoussent-elles ? Pourquoi les noyaux lourds ont-ils besoin de neutrons supplémentaires, et pourquoi au-delà d’une certaine taille même les neutrons ne peuvent-ils les sauver ?

Solution

Solution de Exercice 13.12.

F=2.30×10−28/(1.4×10−14)2=2.30×10−28/1.96×10−28≈1.2 NF = 2.30 \times 10^{-28}/(1.4 \times 10^{-14})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/1.96 \times 10^{-28} \approx 1.2\,\mathrm{N} — encore énorme à cette échelle. Non : ils sont 1414 fois la portée forte ; chacun n’est collé qu’à ses plus proches voisins. Paires : 92×912=4186\frac{92 \times 91}{2} = 4186, toutes se repoussant à toute distance, tandis que la colle ne croît pas avec la taille. Les neutrons ajoutent de l’attraction sans répulsion et diluent les protons ; mais la répulsion croît avec le carré du nombre de protons et la colle seulement avec le nombre de voisins, donc au-delà d’environ 8080 protons aucun budget de neutrons n’équilibre les comptes — de tels noyaux se désintègrent (Chapitre 19).

Exercice 13.13 ★★★

Deux balles de masse 1.0 g1.0\,\mathrm{g} pendent à des fils de 50 cm50\,\mathrm{cm} attachés au même point. Dotées de la même charge qq, elles s’écartent de 6.0 cm6.0\,\mathrm{cm}. Chaque balle est en équilibre sous son poids, la tension du fil et la force électrique : montrer que F=mgtan⁡θF = mg\tan\theta (θ\theta : angle du fil à la verticale) et qu’ici tan⁡θ≈0.060\tan\theta \approx 0.060. Calculer FF, puis qq, puis le nombre de charges élémentaires déplacées.

Solution

Solution de Exercice 13.13.

Équilibre : verticalement Tcos⁡θ=mgT\cos\theta = mg, horizontalement Tsin⁡θ=FT\sin\theta = F, donc F=mgtan⁡θF = mg\tan\theta. Ici sin⁡θ=3.0/50=0.060\sin\theta = 3.0/50 = 0.060, et pour les petits angles tan⁡θ≈sin⁡θ=0.060\tan\theta \approx \sin\theta = 0.060. Alors F=1.0×10−3×9.81×0.060≈5.9×10−4 NF = 1.0 \times 10^{-3} \times 9.81 \times 0.060 \approx 5.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{N} ; q=dF/k=0.060×5.9×10−4/8.99×109≈1.54×10−8 Cq = d\sqrt{F/k} = 0.060 \times \sqrt{5.9 \times 10^{-4}/8.99 \times 10^{9}} \approx 1.54 \times 10^{-8}\,\mathrm{C} ; N=1.54×10−8/1.6×10−19≈9.6×1010N = 1.54 \times 10^{-8}/1.6 \times 10^{-19} \approx 9.6 \times 10^{10} charges élémentaires.

Exercice 13.14 ★★★

Données : ME=5.97×1024 kgM_E = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}, MM=7.35×1022 kgM_M = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}, distance Terre–Lune d=3.84×108 md = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}. Calculer la force gravitationnelle Terre–Lune. La gravité est coupée : quelles charges +Q+Q sur la Terre et −Q-Q sur la Lune maintiennent la même attraction ? Combien d’électrons vaut QQ, et combien pèsent-ils (me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}) ? Commenter.

Solution

Solution de Exercice 13.14.

F=6.67×10−11×5.97×1024×7.35×1022/(3.84×108)2=2.93×1037/1.47×1017≈2.0×1020 NF = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22} / (3.84 \times 10^{8})^2 = 2.93 \times 10^{37}/1.47 \times 10^{17} \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}. En posant kQ2/d2=FkQ^2/d^2 = F : Q=dF/k=3.84×108×2.0×1020/8.99×109≈5.7×1013 CQ = d\sqrt{F/k} = 3.84 \times 10^{8} \times \sqrt{2.0 \times 10^{20}/8.99 \times 10^{9}} \approx 5.7 \times 10^{13}\,\mathrm{C}. C’est N=5.7×1013/1.6×10−19≈3.6×1032N = 5.7 \times 10^{13}/1.6 \times 10^{-19} \approx 3.6 \times 10^{32} électrons, de masse 3.6×1032×9.11×10−31≈3.2×102 kg3.6 \times 10^{32} \times 9.11 \times 10^{-31} \approx 3.2 \times 10^{2}\,\mathrm{kg} : quelques centaines de kilogrammes d’électrons pourraient faire le travail de 7.35×1022 kg7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg} de Lune — la force de l’électricité et la faiblesse de la gravité en un seul nombre.

Exercice 13.15 ★★★

Dans un cristal de sel, des ions Na+^{+} et Cl−^{-} (charges ±e\pm e) sont distants de d=2.8×10−10 md = 2.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} ; un ion Cl−^{-} a une masse 5.9×10−26 kg5.9 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}. Calculer la force entre ions voisins et le poids d’un ion Cl−^{-} ; donner le rapport. Puis expliquer comment la gravité gagne aux grandes échelles — aucun sommet de montagne à 104 m10^{4}\,\mathrm{m} — bien que chaque liaison la batte de quinze ordres de grandeur.

Solution

Solution de Exercice 13.15.

F=2.30×10−28/(2.8×10−10)2=2.30×10−28/7.84×10−20≈2.9×10−9 NF = 2.30 \times 10^{-28}/(2.8 \times 10^{-10})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/7.84 \times 10^{-20} \approx 2.9 \times 10^{-9}\,\mathrm{N} ; poids P=5.9×10−26×9.81≈5.8×10−25 NP = 5.9 \times 10^{-26} \times 9.81 \approx 5.8 \times 10^{-25}\,\mathrm{N} ; rapport F/P≈5×1015F/P \approx 5 \times 10^{15}. Chaque liaison a une force fixe, mais le poids croît avec toute la masse au-dessus : empilez de la roche et la charge sur la couche du bas croît sans limite tandis que ses liaisons non. Vers 104 m10^{4}\,\mathrm{m} de roche la charge écrase les liaisons électriques — la gravité gagne non par force par particule mais en s’additionnant lorsque la charge s’annule.

13.7 Problème : L’audit des quatre forces

Problème 13.1

Problème du week-end — pourquoi le monde ne s’effondre ni ne s’envole : les quatre interactions auditées étage par étage, jusqu’à la neutralité de la matière à deux parties près sur 101810^{18}

Les atomes n’implosent pas, les noyaux tiennent pour la plupart, la Lune ni ne s’écrase ni ne s’échappe : ce problème audite à qui en revient le crédit. Données : e=1.60×10−19 Ce = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}, k=8.99×109 N m2/C2k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}, G=6.67×10−11 N m2/kg2G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}, mp=1.67×10−27 kgm_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}, me=9.11×10−31 kgm_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}, ME=5.97×1024 kgM_E = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}, MM=7.35×1022 kgM_M = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}, distance Terre–Lune 3.84×108 m3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}.

Partie I — L’échelle.

  1. Lister les étages de l’échelle du quark à la galaxie, un ordre de grandeur de taille chacun.
  2. Modèle réduit : le noyau devient une bille de 1 cm1\,\mathrm{cm} ; quelle largeur a l’ atome ?
  3. Quelle fraction du volume d’un atome son noyau occupe-t-il ?
  4. Un cheveu fait 70 µm70\,\text{µ}\mathrm{m} d’épaisseur. Combien d’atomes le traversent ?
  5. Combien de puissances de dix du plafond du quark (10−18 m10^{-18}\,\mathrm{m}) à une galaxie (1021 m10^{21}\,\mathrm{m}) ?

Partie II — L’étage électrique.

  1. Dans un atome d’hydrogène l’électron est à d=5.3×10−11 md = 5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} du proton : calculer la force électrique entre eux.
  2. Calculer la force gravitationnelle entre eux, et le rapport des deux. Laquelle tient l’ atome ensemble ?
  3. Que change-t-on si la gravité est coupée à l’intérieur des atomes ? Et si l’électricité l’est ?
  4. Pourquoi les forces de « contact » de la vie quotidienne — le sol qui pousse sous vos pieds, le frottement — sont-elles électromagnétiques déguisées ?
  5. Chacune de deux pièces détient environ 102310^{23} électrons. Transférer un électron sur un milliard entre elles, les placer à 1.0 m1.0\,\mathrm{m} : calculer les charges et la force. Conclusion ?
  6. Quelle interaction règne sur les étages de 10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m} à 104 m10^{4}\,\mathrm{m}, et pourquoi l’interaction forte ne concurrence-t-elle pas ?

Partie III — L’étage nucléaire.

  1. Deux protons sont distants de 1.0×10−15 m1.0 \times 10^{-15}\,\mathrm{m} dans un noyau : calculer leur répulsion électrique.
  2. Sans frein, quelle accélération cette force donnerait-elle à un proton ? Comparer avec gg.
  3. Lister les trois propriétés dont l’ interaction forte a besoin pour expliquer pourquoi les noyaux existent, pourquoi les neutrons sont saisis aussi, et pourquoi les noyaux sont minuscules.
  4. Dans un noyau d’uranium (diamètre 1.4×10−14 m1.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}, 9292 protons), calculer la répulsion entre deux protons aux extrémités opposées. L’ interaction forte peut-elle lier cette paire directement ? Expliquer pourquoi la répulsion gagne quand les noyaux grossissent, et à quoi servent les neutrons.
  5. En une phrase, comme promis : que fait l’ interaction faible ?

Partie IV — L’étage astronomique, et le verdict.

  1. Calculer la force gravitationnelle entre la Terre et la Lune.
  2. La Terre contient environ 1.8×10511.8 \times 10^{51} protons (et autant d’électrons), la Lune environ 2.2×10492.2 \times 10^{49}. Quelle fraction ff de la charge protonique de chaque corps, laissée non annulée, ferait égaler la force électrique à la gravitationnelle ?
  3. Pourquoi la gravitation, le faible de la question 7, règne-t-elle en astronomie ? Deux raisons.
  4. Verdict — une phrase par étage (noyau, atome à montagne, planète et au-delà) : qu’est-ce qui le tient ensemble ? Puis répondre au titre : pourquoi le monde ni ne s’effondre ni ne s’envole ?
Solution

Solution de Problème 13.1.

1. Quark <10−18 m< 10^{-18}\,\mathrm{m} ; nucléon 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} ; noyau 10−1510^{-15}–10−14 m10^{-14}\,\mathrm{m} ; atome 10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m} ; molécule 10−9 m10^{-9}\,\mathrm{m} ; objet du quotidien 1 m1\,\mathrm{m} ; planète 107 m10^{7}\,\mathrm{m} ; système planétaire 1011 m10^{11}\,\mathrm{m} ; galaxie 1021 m10^{21}\,\mathrm{m}.

2. Facteur d’échelle 10510^{5} : l’ atome fait 1 cm×105=1 km1\,\mathrm{cm} \times 10^{5} = 1\,\mathrm{km} de large.

3. (10−15/10−10)3=10−15(10^{-15}/10^{-10})^3 = 10^{-15} : la matière est 99.999 999 999 999 9 %99.999\,999\,999\,999\,9\,\% vide.

4. 7×10−5/10−10=7×1057 \times 10^{-5}/10^{-10} = 7 \times 10^{5} atomes — environ un million sur un cheveu.

5. De 10−1810^{-18} à 102110^{21} : 3939 puissances de dix.

6. FE=8.99×109×(1.60×10−19)2/(5.3×10−11)2≈8.2×10−8 NF_E = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2 / (5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 8.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}.

7. FG=6.67×10−11×1.67×10−27×9.11×10−31/(5.3×10−11)2≈3.6×10−47 NF_G = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times 9.11 \times 10^{-31}/(5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 3.6 \times 10^{-47}\,\mathrm{N} ; rapport FE/FG≈2.3×1039F_E/F_G \approx 2.3 \times 10^{39}. L’électricité tient l’ atome ; la gravité est spectatrice.

8. Sans gravité : rien de mesurable ne change (elle est 103910^{39} en dessous). Sans électricité : pas d’ atomes, pas de molécules, pas de matière du tout.

9. Le « contact » est la répulsion électrique entre les nuages électroniques d’atomes amenés à environ 10−10 m10^{-10}\,\mathrm{m} : rien ne se touche jamais. Réaction du sol et frottement sont la loi de Coulomb en volume.

10. q=1023×10−9×1.6×10−19=1.6×10−5 Cq = 10^{23} \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19} = 1.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{C} chacune ; F=8.99×109×(1.6×10−5)2≈2.3 NF = 8.99 \times 10^{9} \times (1.6 \times 10^{-5})^2 \approx 2.3\,\mathrm{N} — une force bien visible pour un électron sur un milliard. La matière ordinaire est neutre bien mieux que 10−910^{-9}.

11. L’interaction électromagnétique. La force forte est hors de portée au-delà d’environ 10−14 m10^{-14}\,\mathrm{m} — 10410^{4} fois plus petit qu’un seul atome.

12. F=8.99×109×(1.60×10−19)2/(1.0×10−15)2≈2.3×102 NF = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2 / (1.0 \times 10^{-15})^2 \approx 2.3 \times 10^{2}\,\mathrm{N}.

13. a=F/mp=230/1.67×10−27≈1.4×1029 m/s2a = F/m_p = 230/1.67 \times 10^{-27} \approx 1.4 \times 10^{29}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}, environ 1.4×10281.4 \times 10^{28} fois gg : aucune force du quotidien n’approche.

14. Plus forte que 230 N230\,\mathrm{N} à 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} (les noyaux existent) ; agissant sur protons et neutrons indifféremment, aveugle à la charge (les neutrons sont saisis) ; portée d’environ 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m} (les noyaux restent minuscules — la colle ne peut aller plus loin).

15. F=2.30×10−28/(1.4×10−14)2≈1.2 NF = 2.30 \times 10^{-28}/(1.4 \times 10^{-14})^2 \approx 1.2\,\mathrm{N}. Non : 1414 fois la portée. La répulsion agit sur toutes les 92×912=4186\frac{92\times91}{2} = 4186 paires de protons ; la colle ne lie que les plus proches voisins, donc la croissance favorise la répulsion. Les neutrons ajoutent de la colle et de l’espacement sans ajouter de répulsion — jusqu’à ce qu’au-delà d’environ 8080 protons aucun mélange n’équilibre et le noyau se désintègre.

16. L’interaction faible transforme un neutron en proton (et inversement), provoquant la désintégration β\beta — elle transforme ; elle ne lie jamais.

17. F=6.67×10−11×5.97×1024×7.35×1022/(3.84×108)2≈2.0×1020 NF = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}/(3.84 \times 10^{8})^2 \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}.

18. QE=1.8×1051×1.6×10−19=2.9×1032 CQ_E = 1.8 \times 10^{51} \times 1.6 \times 10^{-19} = 2.9 \times 10^{32}\,\mathrm{C}, QM=3.5×1030 CQ_M = 3.5 \times 10^{30}\,\mathrm{C}. Égaler les forces signifie f2 k QEQM=GMEMMf^2\,k\,Q_E Q_M = G M_E M_M :

f=2.93×10378.99×109×2.9×1032×3.5×1030=3.2×10−36≈1.8×10−18:f = \sqrt{\frac{2.93 \times 10^{37}}{8.99 \times 10^{9} \times 2.9 \times 10^{32} \times 3.5 \times 10^{30}}} = \sqrt{3.2 \times 10^{-36}} \approx 1.8 \times 10^{-18} :

un déséquilibre de deux parties sur 101810^{18} annulerait la gravité.

19. La charge a deux signes et s’annule (la question 18 montre à quel point parfaitement), donc la force plus forte s’éteint d’elle-même aux grandes échelles ; la masse n’a qu’un signe, s’ajoute pour toujours, et rien ne l’écranne.

20. Noyau : l’ interaction forte domine la répulsion des protons à 10−15 m10^{-15}\,\mathrm{m}. Atome à montagne : l’ interaction électromagnétique lie les électrons aux noyaux et les atomes entre eux. Planète et au-delà : la gravitation, sans opposition une fois la charge annulée, tient planètes, orbites et galaxies. Le monde ne s’effondre pas parce que chaque étage est soutenu par un liant plus raide que la charge, et ne s’envole pas parce que la matière est neutre à environ 10−1810^{-18} — donc chaque échelle a exactement une force en charge, et elle est attractive là où elle doit l’être.