5Mouvement relatif

Solution de Exercice 5.1.

Par rapport à la voiture : au repos. Par rapport au sol et à l’arbre : en mouvement à $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Par rapport au train venant en sens inverse : les vitesses en sens opposés s’additionnent, $100 + 100 = 200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Dans le référentiel du train du passager, l’arbre se déplace en arrière à $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ le long d’une droite.

Solution de Exercice 5.2.

$72 / 3.6 = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $108 / 3.6 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $25 \times 3.6 = 90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; $340 \times 3.6 = 1224\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Dans chaque paire le chiffre en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ est le plus grand, comme l’exige la règle de vraisemblance.

Solution de Exercice 5.3.

Cycliste : $v = \frac{36\,\mathrm{km}}{1.5\,\mathrm{h}} = 24\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 24/3.6 \approx 6.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Sprinter : $v = \frac{100\,\mathrm{m}}{10.0\,\mathrm{s}} = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Le sprinter est une fois et demie plus rapide — mais seulement pendant dix secondes, tandis que le cycliste tient l’allure une heure et demie. Les vitesses moyennes ne se comparent équitablement que sur des durées comparables.

Solution de Exercice 5.4.

Même sens : $1.4 + 0.9 = 2.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Contre la bande : $1.4 - 0.9 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Immobile sur la bande : les propres $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de la bande.

Solution de Exercice 5.5.

Stylo lâché : le référentiel du sol fonctionne, mais le référentiel du train est encore meilleur — là le stylo tombe simplement tout droit. Station spatiale : référentiel géocentrique (elle orbite la Terre dans son ensemble, ignorant sa rotation). Année martienne : référentiel héliocentrique (Mars suit un quasi-cercle autour du Soleil). Sprint : référentiel du sol (ligne de départ, ligne d’arrivée et chronomètre sont tous fixés au sol).

Solution de Exercice 5.6.

1. $108/3.6 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Vers l’avant : $30 + 1.5 = 31.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; vers l’arrière : $30 - 1.5 = 28.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

2. Par rapport au train le passager parcourt $60\,\mathrm{m}$ à $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $t = 60/1.5 = 40\,\mathrm{s}$. Par rapport au sol le passager parcourt $31.5 \times 40 = 1260\,\mathrm{m}$ — les $1200\,\mathrm{m}$ emportés par le train plus les $60\,\mathrm{m}$ marchés, comme le prédit la règle de composition.

Solution de Exercice 5.7.

1. Aval : $5.0 + 2.0 = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, donc $t_1 = 420/7.0 = 60\,\mathrm{s}$. Amont : $5.0 - 2.0 = 3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, donc $t_2 = 420/3.0 = 140\,\mathrm{s}$.

2. Vitesse moyenne : $v = \frac{840}{60 + 140} = \frac{840}{200} = 4.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. L’aide et la gêne du courant sont égales en vitesse mais non en temps : le bateau passe $140\,\mathrm{s}$ ralenti et seulement $60\,\mathrm{s}$ aidé, donc le trajet lent domine la moyenne.

Solution de Exercice 5.8.

1. Sens opposés : dans le référentiel de A, B s’approche à $25 + 20 = 45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Le croisement est complet lorsque B a glissé sur la longueur combinée $180 + 90 = 270\,\mathrm{m}$ : $t = 270/45 = 6.0\,\mathrm{s}$.

2. Même sens : vitesse relative $25 - 20 = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, et $t = 270/5.0 = 54\,\mathrm{s}$ — neuf fois plus long, c’est pourquoi dépasser un camion semble interminable.

Solution de Exercice 5.9.

Référentiel du cycliste : un cercle (le cercle de la jante, centré sur le moyeu). Référentiel du sol : une cycloïde — une chaîne d’arches, une par tour de roue. Référentiel de la valve elle-même : la valve est au repos, un seul point. Le moyeu dans le référentiel du sol : une droite horizontale à la hauteur d’un rayon de roue.

Solution de Exercice 5.10.

1. $v = \frac{40\,000\,\mathrm{km}}{24\,\mathrm{h}} \approx 1.7 \times 10^{3}\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 1667/3.6 \approx 463\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — plus vite que le son.

2. Nous ne le sentons pas parce que tout autour de nous — sol, air, bâtiments — partage exactement le même mouvement, donc rien ne se déplace par rapport à nous (et le principe d’inertie, le Chapitre 6, expliquera pourquoi un mouvement uniforme partagé est indétectable de l’intérieur). « Le Soleil se lève » est le rapport dans le référentiel du sol et « la Terre tourne » le rapport dans le référentiel géocentrique d’une seule et même observation.

Solution de Exercice 5.11.

Soit $L$ la longueur de l’escalator. Vitesse de l’escalator : $L/60$ ; vitesse de marche : $L/90$. En marchant sur l’escalator en marche, les vitesses s’additionnent :

donc la montée dure $36\,\mathrm{s}$. (Pas la moyenne de $60$ et $90$ : les vitesses s’additionnent, les temps non.)

Solution de Exercice 5.12.

1. Sur une distance $d$ dans chaque sens : $t = \frac{d}{60} + \frac{d}{90} = d\,\frac{3 + 2}{180} = \frac{d}{36}$, donc $v = \frac{2d}{d/36} = 72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

2. Les $75$ naïfs moyennent les deux vitesses comme si le conducteur passait des temps égaux à chacune ; en fait les distances sont égales, donc le trajet lent dure plus longtemps ($\frac{d}{60} > \frac{d}{90}$) et tire la moyenne vers $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. La vitesse moyenne est la distance totale sur le temps total — rien d’autre.

Solution de Exercice 5.13.

1. Dans le référentiel du premier cycliste, le second s’approche en ligne droite à $15 + 20 = 35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ depuis $35\,\mathrm{km}$ : ils se rencontrent après exactement $1.0\,\mathrm{h}$.

2. Le premier a parcouru $15 \times 1 = 15\,\mathrm{km}$, le second $20 \times 1 = 20\,\mathrm{km}$ — total $35\,\mathrm{km}$, comme il se doit.

3. Même sens : vitesse de rapprochement $20 - 15 = 5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, donc la poursuite dure $35/5 = 7\,\mathrm{h}$.

Solution de Exercice 5.14.

1. Le courant pousse le nageur le long de la rivière, non en travers : les deux mouvements se composent indépendamment, et le progrès vers la rive opposée se fait à $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ indépendamment de la dérive. Temps de traversée : $t = 60/1.2 = 50\,\mathrm{s}$.

2. Dérive : $0.9 \times 50 = 45\,\mathrm{m}$ en aval.

3. La vitesse dans le référentiel du sol est l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés $1.2$ et $0.9$ : $v = \sqrt{1.2^2 + 0.9^2} = \sqrt{2.25} = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (un triangle $3$–$4$–$5$ mis à l’échelle de $0.3$). Longueur du trajet : $1.5 \times 50 = 75\,\mathrm{m}$ — ou directement $\sqrt{60^2 + 45^2} = 75\,\mathrm{m}$.

Solution de Exercice 5.15.

1. $v = \frac{2\pi \times 1.50 \times 10^{11}}{3.16 \times 10^{7}} = \frac{9.42 \times 10^{11}}{3.16 \times 10^{7}} \approx 2.98 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

2. $30 / 0.46 \approx 65$ : la Terre nous emporte autour du Soleil environ soixante-cinq fois plus vite qu’elle ne nous fait tourner autour de son axe.

3. Dans le référentiel géocentrique, la trajectoire apparente de Mars combine son propre mouvement orbital avec celui de la Terre, et lorsque la Terre plus rapide dépasse Mars la combinaison recule pendant quelques semaines. Dans le référentiel héliocentrique les deux planètes tournent simplement autour du Soleil à des allures régulières — la « boucle en arrière » n’est pas un mouvement de Mars mais un artefact du référentiel.