Physique du lycée · Grades 10–12

20Ondes mécaniques

Samedi soir, un stade plein : une vague de spectateurs debout balaye les tribunes en moins d’une minute, sans que personne ne quitte son siège. L’anneau d’un caillou traverse l’étang tandis que le bouchon ne fait que bobiner. Ce chapitre étudie le voyageur lui-même — l’onde — et les quatre nombres qui la maîtrisent : célérité, retard, période, longueur d’onde — de quoi lire un séisme sur une bande de papier.

20.1 La perturbation voyage, le milieu reste

Définition 20.1 (Onde mécanique)

Une onde mécanique est une perturbation qui se propage dans un milieu matériel — corde, eau, air, roche — en transportant de l’énergie sans transporter de matière : chaque portion du milieu oscille brièvement sur place, transmet le mouvement, et se repose.

Exemple 20.2 (Pas de transport de matière)

Dans la vague du stade, le « milieu » est la foule : ce qui voyage est le geste de se lever, tandis que chaque spectateur garde son siège. Sur l’étang, l’anneau s’élargit mais un bouchon flottant ne fait que bobiner sur place.

Définition 20.3 (Ondes transversales et longitudinales)

Une onde est transversale lorsque le milieu se déplace perpendiculairement à la propagation : une bosse court le long d’une corde secouée tandis que chaque point ne fait que monter et descendre. Elle est longitudinale lorsque le milieu se déplace le long de la propagation : une zone de spires comprimées parcourt un ressort poussé, chaque spire oscillant sur place.

Transversale (corde) : le milieu se déplace perpendiculairement à la propagation. Longitudinale (ressort) : les compressions voyagent, les spires oscillent sur place.

Remarque 20.4 (Le son est longitudinal)

Le son est l’onde longitudinale par excellence : de l’air comprimé — pression plus élevée (Chapitre 7) — voyage de la source au tympan ; le Chapitre 21 lui est consacré. Les séismes envoient les deux types : les ondes P compressent la roche, les ondes S la secouent latéralement.

20.2 Célérité et retard

Définition 20.5 (Célérité)

La célérité d’une onde est la distance parcourue par la perturbation divisée par le temps mis : $v = d/t$ . C’est la vitesse de la forme qui voyage, non celle du milieu.

Une impulsion sur une corde photographiée deux fois : la crête a avancé de 2.4\, m en 0.30\, s, d’où v = 8.0\, m/ s — la forme voyage, la corde reste. — Une impulsion sur une corde photographiée deux fois : la crête a avancé de $2.4\,\mathrm{m}$ en $0.30\,\mathrm{s}$ , d’où $v = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — la forme voyage, la corde reste.

Proposition 20.6 (Le milieu fixe la célérité)

Pour de petites perturbations, la célérité ne dépend que du milieu, non de la forme ni de la taille de la perturbation. Sur une corde tendue, $v$ croît avec la tension et décroît avec la masse par mètre : tendue et légère va vite, lâche et lourde va lentement.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 20.7 (Où vit la formule)

La formule exacte de la célérité sur une corde est établie dans le volume de Licence 1 ; cette année, les faits expérimentaux ci-dessus suffisent.

Exemple 20.8 (Célérités du son)

Le son se propage à $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’air, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’eau, $5900\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’acier — plus le milieu est rigide, plus c’est rapide. D’où l’oreille collée au rail des westerns : l’acier annonce le train le premier.

Définition 20.9 (Retard)

Une onde de célérité $v$ atteint un point à la distance $d$ après le retard $\tau = d/v$ : deux points distants de $d$ reproduisent le même mouvement, le plus éloigné retardé de $\tau$ — la télémétrie par écho du Chapitre 8, lue à l’envers.

Proposition 20.10 (Superposition sans interaction)

Là où deux ondes se chevauchent, le déplacement du milieu est à chaque instant la somme des déplacements que chacune produirait seule ; après le croisement, chaque onde poursuit inchangée — résultat établi dans le volume de Licence 2 à partir de la linéarité des équations du mouvement.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 20.11 (Impulsions qui se croisent)

Envoyez une bosse vers le haut depuis chaque extrémité d’une corde : là où elles se rencontrent, la corde monte brièvement à la somme des deux hauteurs ; puis deux bosses intactes émergent — comme deux conversations qui se croisent et atteignent leurs auditeurs.

20.3 Ondes périodiques : la double périodicité

Définition 20.12 (Onde périodique)

Lorsque la source répète son mouvement avec la période $T$ et la fréquence $f = 1/T$ (Chapitre 8), elle alimente le milieu d’une onde périodique : chaque point répète son propre mouvement avec la période $T$ , chacun retardé par rapport à ses voisins du retard de parcours.

Définition 20.13 (Longueur d’onde)

Une photographie d’une onde périodique montre un motif qui se répète dans l’espace ; sa période spatiale — crête à crête — est la longueur d’onde $\lambda$ , en mètres. Une onde périodique est doublement périodique : période $T$ en temps en chaque point, période $\lambda$ en espace à chaque instant.

Théorème 20.14 (La relation de l’onde)

Une onde périodique de célérité $v$ , de période $T$ et de fréquence $f$ a pour longueur d’onde $\lambda = v\,T = v/f$ .

Démonstration. Pendant une période, le motif glisse de $v\,T$ ; mais la source — donc chaque point — est alors revenue à son état de départ, de sorte que le motif glissé coïncide avec l’original : la distance de répétition est $v\,T$ . ∎

Le même sinus deux fois : l’instantané se répète tous les en espace, le signal en un point tous les T en temps ; = v\,T. — Le même sinus deux fois : l’instantané se répète tous les $\lambda$ en espace, le signal en un point tous les $T$ en temps ; $\lambda = v\,T$ .

Remarque 20.15 (La fréquence appartient à la source)

En passant d’un milieu à un autre — son de l’air à l’eau — une onde conserve sa fréquence, dictée par la source, tandis que sa célérité change ; par $\lambda = v/f$ , la longueur d’onde change avec elle.

Exemple 20.16 (Le la du concert, dans l’air et sous l’eau)

Le la à $440\,\mathrm{Hz}$ du Chapitre 8 a pour longueur d’onde $340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ dans l’air et $1500/440 = 3.4\,\mathrm{m}$ dans l’eau : même note, étirée par le milieu plus rapide.

Définition 20.17 (En phase, en opposition de phase)

Deux points séparés d’un nombre entier de longueurs d’onde, $d = k\lambda$ , se déplacent identiquement à chaque instant : ils sont en phase. Des points séparés de $d = (k + \tfrac12)\lambda$ se déplacent toujours en sens opposés — crête contre creux : ils sont en opposition de phase.

Méthode 20.18 (Lire la double périodicité)

Sur un enregistrement $y(t)$ en un point fixe, lire $T$ de crête à crête ; $f = 1/T$ .
Sur un instantané $y(x)$ à un instant fixe, lire $\lambda$ de crête à crête.
En déduire $v = \lambda/T = \lambda f$ ; vérifier par un chronométrage direct $v = d/\tau$ quand c’est possible.
Ne jamais confondre les deux graphiques : un axe porte des secondes, l’autre des mètres.

20.4 Fronts d’onde et atténuation

Définition 20.19 (Front d’onde)

Un front d’onde est une ligne (ou une surface) de points que l’onde atteint au même instant — une ligne de crête sur l’étang. Depuis une source ponctuelle, les fronts sont des cercles qui s’élargissent ; loin de toute source, ils sont presque droits. L’onde se propage perpendiculairement à ses fronts, les crêtes successives étant distantes de $\lambda$ .

Définition 20.20 (Atténuation)

La diminution de l’amplitude d’une onde au cours de sa propagation est son atténuation. Deux causes s’additionnent : l’énergie d’un front circulaire est partagée sur une crête toujours plus longue, et le milieu en absorbe un peu au passage. Les fronts droits échappent à la première cause — comment la houle d’une tempête lointaine peut traverser un océan.

Fronts d’onde circulaires, distants d’une longueur d’onde, s’atténuent à mesure que l’énergie se répartit sur des crêtes plus longues ; les fronts droits (à droite) s’atténuent lentement.

20.5 Exercices

Exercice 20.1 ★

Une vague de stade parcourt l’anneau de $320\,\mathrm{m}$ des tribunes en $40\,\mathrm{s}$ . (a) Calculer sa célérité. (b) Un spectateur parcourt-il l’anneau ? Qu’est-ce qui voyage ? (c) Chaque spectateur se lève $1.5\,\mathrm{s}$ après son voisin situé à $12\,\mathrm{m}$ : vérifier la cohérence.

Solution

Solution de Exercice 20.1.

(a) $v = 320/40 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) Aucun spectateur ne se déplace le long de l’anneau : la perturbation (le geste de se lever) voyage, non la foule. (c) $12/1.5 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — cohérent.

Exercice 20.2 ★

Transversale ou longitudinale ? (a) une impulsion sur une corde secouée de haut en bas ; (b) une compression envoyée le long d’un ressort ; (c) le son dans l’air ; (d) une ride d’étang (la surface bobine verticalement, l’anneau voyage horizontalement) ; (e) ondes sismiques P (compression le long du parcours) et S (secousse latérale).

Solution

Solution de Exercice 20.2.

(a) transversale ; (b) longitudinale ; (c) longitudinale ; (d) transversale ; (e) P longitudinale, S transversale.

Exercice 20.3 ★

Le tonnerre vous parvient $4.0\,\mathrm{s}$ après l’éclair. (a) À quelle distance est la foudre ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) ? (b) Un plongeur entend le même retard entre un flash et un bang sous-marin ( $v = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) : à quelle distance est cette source ? (c) Que faut-il connaître avant de convertir un retard en distance ?

Solution

Solution de Exercice 20.3.

(a) $d = 340 \times 4.0 \approx 1.4\,\mathrm{km}$ . (b) $1500 \times 4.0 = 6.0\,\mathrm{km}$ . (c) La célérité dans le milieu traversé.

Exercice 20.4 ★

Calculer la longueur d’onde d’un son à $440\,\mathrm{Hz}$ dans l’air et dans l’eau. Lorsque le son passe de l’air à l’eau, lesquels de $f$ , $v$ , $\lambda$ changent, et lequel reste fixe ?

Solution

Solution de Exercice 20.4.

$\lambda = v/f$ : $340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ dans l’air, $1500/440 = 3.4\,\mathrm{m}$ dans l’eau. La fréquence reste fixe (la source la dicte) ; $v$ et $\lambda$ changent tous les deux.

Exercice 20.5 ★

Sur un étang, des crêtes de rides adjacentes sont distantes de $12\,\mathrm{cm}$ et les anneaux avancent à $0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Trouver la longueur d’onde, la période et la fréquence de l’onde.

Solution

Solution de Exercice 20.5.

$\lambda = 12\,\mathrm{cm}$ ; $T = \lambda/v = 0.12/0.30 = 0.40\,\mathrm{s}$ ; $f = 1/T = 2.5\,\mathrm{Hz}$ .

Exercice 20.6 ★★

Une impulsion sur une longue corde est photographiée deux fois, à $0.30\,\mathrm{s}$ d’intervalle : sa crête se trouve en $x = 1.0\,\mathrm{m}$ , puis $3.4\,\mathrm{m}$ . (a) La célérité ? (b) Quand l’impulsion atteint-elle le mur en $x = 7.0\,\mathrm{m}$ ? (c) Un ruban noué en $x = 5.0\,\mathrm{m}$ : son mouvement au passage de l’impulsion ?

Solution

Solution de Exercice 20.6.

(a) $v = 2.4/0.30 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) Depuis la première photo la crête a $6.0\,\mathrm{m}$ à parcourir : $t = 6.0/8.0 = 0.75\,\mathrm{s}$ après elle. (c) Le ruban monte puis descend, purement transversalement, et reste en $x = 5.0\,\mathrm{m}$ : la corde ne voyage pas.

Exercice 20.7 ★★

Deux impulsions vers le haut, de hauteurs $3.0\,\mathrm{cm}$ et $2.0\,\mathrm{cm}$ , voyagent l’une vers l’autre à $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ chacune, crêtes distantes de $4.0\,\mathrm{m}$ . (a) Quand les crêtes coïncident-elles ? (b) La hauteur maximale de la corde alors ? (c) Même question si la petite impulsion est vers le bas. (d) La corde juste après ?

Solution

Solution de Exercice 20.7.

(a) Vitesse de rapprochement $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , écart $4.0\,\mathrm{m}$ : $t = 1.0\,\mathrm{s}$ . (b) Superposition : $3.0 + 2.0 = 5.0\,\mathrm{cm}$ . (c) $3.0 - 2.0 = 1.0\,\mathrm{cm}$ . (d) Deux impulsions intactes émergent et poursuivent inchangées, comme si elles ne s’étaient jamais rencontrées.

Exercice 20.8 ★★

(a) Deux cordes à linge portent la même tension ; une impulsion est envoyée sur chacune. Laquelle est plus rapide : la fine ou la grosse ? Pourquoi ? (b) Un guitariste tend une corde : que devient la célérité de l’onde ? (c) Secouer deux fois plus fort (une impulsion plus haute) rend-il l’impulsion plus rapide ?

Solution

Solution de Exercice 20.8.

(a) La fine : moins de masse par mètre à tension égale signifie une onde plus rapide. (b) Elle augmente (tension plus élevée). (c) Non : la célérité ne dépend que du milieu, non de la taille de l’impulsion.

Exercice 20.9 ★★

Un ouvrier frappe un rail à $1.8\,\mathrm{km}$ ; vous écoutez une oreille sur l’acier. Calculer les temps d’arrivée par le rail ( $5900\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) et par l’air ( $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), et l’écart entre les deux bangs.

Solution

Solution de Exercice 20.9.

Rail : $1800/5900 \approx 0.31\,\mathrm{s}$ ; air : $1800/340 \approx 5.3\,\mathrm{s}$ ; écart $\approx 5.0\,\mathrm{s}$ .

Exercice 20.10 ★★

Une corde porte une onde périodique de longueur d’onde $24\,\mathrm{cm}$ . En phase, en opposition de phase, ou ni l’un ni l’autre, pour des séparations de points (a) $48\,\mathrm{cm}$ ; (b) $12\,\mathrm{cm}$ ; (c) $36\,\mathrm{cm}$ ; (d) $30\,\mathrm{cm}$ ; (e) $6.0\,\mathrm{cm}$ ?

Solution

Solution de Exercice 20.10.

Avec $\lambda = 24\,\mathrm{cm}$ : (a) $2\lambda$ , en phase ; (b) $\lambda/2$ , opposition ; (c) $\tfrac32\lambda$ , opposition ; (d) $1.25\lambda$ , ni l’un ni l’autre ; (e) $\lambda/4$ , ni l’un ni l’autre.

Exercice 20.11 ★★

Un séisme envoie des ondes P à $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ et des ondes S à $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , toutes deux de période $2.0\,\mathrm{s}$ . Calculer les deux longueurs d’onde, les comparer à un bâtiment, et expliquer pourquoi tout un quartier monte et descend presque ensemble.

Solution

Solution de Exercice 20.11.

$\lambda_P = 6.0 \times 2.0 = 12\,\mathrm{km}$ ; $\lambda_S = 3.5 \times 2.0 = 7.0\,\mathrm{km}$ — des centaines de fois la taille d’un bâtiment. Des points bien plus proches que $\lambda$ sont presque en phase, donc tout le quartier se déplace ensemble.

Exercice 20.12 ★★★

Un enregistrement de la hauteur d’eau à une bouée montre des crêtes toutes les $0.50\,\mathrm{s}$ ; une photo aérienne montre des crêtes distantes de $0.75\,\mathrm{m}$ . (a) Trouver $T$ et $f$ . (b) Trouver $\lambda$ . (c) En déduire la célérité. (d) La bouée chevauche une crête en $t = 0$ : quand la prochaine ? (e) Un point distant de $1.875\,\mathrm{m}$ est-il en phase avec la bouée, en opposition de phase, ou ni l’un ni l’autre ?

Solution

Solution de Exercice 20.12.

(a) $T = 0.50\,\mathrm{s}$ , $f = 2.0\,\mathrm{Hz}$ . (b) $\lambda = 0.75\,\mathrm{m}$ . (c) $v = \lambda/T = 0.75/0.50 = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (d) En $t = T = 0.50\,\mathrm{s}$ . (e) $1.875/0.75 = 2.5$ longueurs d’onde $= (2 + \tfrac12)\lambda$ : opposition de phase.

Exercice 20.13 ★★★

Une bouée ancrée accomplit $10$ oscillations complètes en $80\,\mathrm{s}$ sur une houle régulière dont les crêtes sont distantes de $120\,\mathrm{m}$ . (a) Trouver la période et la fréquence. (b) Trouver la célérité de la houle, en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . (c) Combien de temps une crête maintenant à la bouée met-elle pour atteindre la plage à $900\,\mathrm{m}$ ? (d) La bouée dérive-t-elle vers le rivage avec elle ?

Solution

Solution de Exercice 20.13.

(a) $T = 80/10 = 8.0\,\mathrm{s}$ , $f = 0.125\,\mathrm{Hz}$ . (b) $v = \lambda/T = 120/8.0 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . (c) $t = 900/15 = 60\,\mathrm{s}$ . (d) Non : les ondes ne transportent pas de matière — la bouée ancrée ne fait que bobiner.

Exercice 20.14 ★★★

Deux impulsions identiques, l’une vers le haut et l’autre vers le bas, voyagent l’une vers l’autre à $3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ chacune, centres distants de $6.0\,\mathrm{m}$ . (a) Quand leurs centres coïncident-ils, et à quoi ressemble alors la corde ? (b) La corde est-elle alors au repos ? Où est passée l’énergie ? (c) Que se passe-t-il ensuite ? (d) Pourquoi « momentanément plate » ne signifie-t-il pas « rien là » ?

Solution

Solution de Exercice 20.14.

(a) Rapprochement à $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sur $6.0\,\mathrm{m}$ : $t = 1.0\,\mathrm{s}$ ; les déplacements opposés s’annulent — la corde est momentanément plate. (b) Non : ses points bougent (les vitesses transversales s’ajoutent, elles ne s’annulent pas) ; l’énergie est toute cinétique. (c) Les deux impulsions réapparaissent et poursuivent inchangées. (d) La corde plate porte de la vitesse, donc de l’énergie : l’onde est momentanément stockée dans le mouvement, non dans la forme.

Exercice 20.15 ★★★

La ride d’un caillou s’étale sur un étang calme. (a) Calculer la longueur de crête en $r = 0.50\,\mathrm{m}$ et $r = 8.0\,\mathrm{m}$ ; facteur de croissance ? (b) L’énergie de la crête est à peu près conservée : que devient l’énergie par mètre, et l’amplitude ? (c) Pourquoi une houle à front droit s’atténue-t-elle bien moins ? (d) Et la vague du stade, pas du tout ?

Solution

Solution de Exercice 20.15.

(a) $2\pi r$ : $3.1\,\mathrm{m}$ et $50\,\mathrm{m}$ — $\times 16$ . (b) L’énergie par mètre chute d’un facteur $16$ , donc l’amplitude diminue (l’énergie croît avec l’amplitude). (c) Les fronts droits ne s’allongent pas : seule l’absorption demeure. (d) Le milieu est actif : chaque spectateur se lève sur sa propre énergie musculaire, réalimentant l’onde.

20.6 Problème : Lire un sismogramme

Problème 20.1

Problème du week-end — lire un sismogramme : deux ondes s’élancent d’une faille rompue, trois cercles fixent l’épicentre, et une troisième onde lente donne à une côte son alerte

Nuit de garde dans un observatoire sismologique. À 09:14:32 l’aiguille de la station A sursaute : des zigzags rapides et nets, puis des oscillations plus lentes et plus amples. Un séisme a rompu la roche quelque part ; deux ondes s’élancent à travers la croûte : les ondes P, compressions à $v_P = 6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , et les ondes S, une secousse latérale à $v_S = 3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Partie I — Deux ondes, une horloge.

D’après les descriptions ci-dessus, classer les ondes P et S comme transversales ou longitudinales.
Quelle onde arrive la première à chaque station ? Calculer les temps de parcours des deux sur $d = 120\,\mathrm{km}$ .
Montrer que l’écart d’arrivée P–S est $\Delta t = d\,(1/v_S - 1/v_P)$ et le calculer pour $d = 120\,\mathrm{km}$ .
En déduire la règle de télémétrie du sismologue $d = \dfrac{v_P\,v_S}{v_P - v_S}\,\Delta t$ et montrer que le coefficient vaut environ $8.4\,\mathrm{km}$ par seconde d’écart.
Pourquoi l’écart croît-il avec la distance — et pourquoi est-ce un cadeau pour une station qui n’a jamais vu le début du séisme ?

Partie II — Cercles sur la carte.

La station A mesure $\Delta t_A = 25\,\mathrm{s}$ . À quelle distance de A se trouve l’épicentre ?
Expliquer pourquoi cette seule lecture place l’épicentre sur un cercle, non en un point.
Les stations B et C mesurent $\Delta t_B = 15\,\mathrm{s}$ et $\Delta t_C = 32\,\mathrm{s}$ : leurs distances à l’épicentre ?
Expliquer comment les trois cercles fixent ensemble l’épicentre.
L’onde P a atteint A à 09:14:32. Calculer son temps de parcours depuis l’épicentre, et l’heure d’origine du séisme.

Partie III — L’onde qui traverse l’océan. Les trois cercles se rencontrent au large : la faille s’est rompue sous le fond marin et a mis en mouvement la colonne d’eau. De longues ondes en eau profonde voyagent à une célérité fixée par la profondeur — environ $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en pleine mer, environ $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ près d’une plage (admis ici ; la formule est établie dans le volume de Licence 1). Un port se trouve à $D = 600\,\mathrm{km}$ de l’épicentre.

Convertir $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ et nommer un véhicule de vitesse de croisière comparable.
Combien de temps le tsunami met-il pour atteindre le port ?
Le sismomètre propre du port sent d’abord l’onde P. Au bout de combien de temps ? Si l’alarme sonne à cet instant, de combien de temps d’alerte la côte dispose-t-elle avant le tsunami ?
En mer, la période du tsunami est d’environ $15\,\mathrm{min}$ . Calculer sa longueur d’onde là-bas, et expliquer pourquoi un navire ne le remarque pas.
Près de la plage, la célérité tombe à $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tandis que la période reste fixe. Calculer la nouvelle longueur d’onde. Que doit-il arriver à l’onde lorsqu’elle se tasse ?

Partie IV — Énergie, et le rapport. Un fort séisme libère de l’ordre de $1 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ , emportés par les ondes.

Calculer la longueur d’un front d’onde circulaire à $10\,\mathrm{km}$ de l’épicentre, puis à $210\,\mathrm{km}$ ; de quel facteur a-t-elle grandi ?
En déduire pourquoi les secousses s’affaiblissent avec la distance même dans une croûte sans pertes — et nommer la seconde cause qu’ajoute une croûte réelle.
Un liquide ne résiste pas au cisaillement. Des stations antipodes enregistrent l’onde P mais pas l’onde S : que révèle cela sur le noyau de la Terre ?
Le train à grande vitesse du chapitre d’énergie de l’année précédente (Chapitre 18) transporte environ $1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ d’énergie cinétique : à combien de tels trains correspondent $1 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ?
Le rapport, en deux phrases : où et quand le séisme a-t-il eu lieu, et de combien de temps d’alerte le port a-t-il disposé ? Donner les trois nombres.

Solution

Solution de Problème 20.1.

1. P comprime le long du parcours : longitudinale ; S secoue latéralement : transversale.

2. P, la plus rapide, arrive la première partout. $t_P = 120/6.0 = 20\,\mathrm{s}$ ; $t_S = 120/3.5 \approx 34\,\mathrm{s}$ .

3. $\Delta t = d/v_S - d/v_P = d\,(1/v_S - 1/v_P)$ ; pour $120\,\mathrm{km}$ : $34.3 - 20 \approx 14\,\mathrm{s}$ .

4. Résoudre en $d$ : $d = \dfrac{v_P v_S}{v_P - v_S}\,\Delta t = \dfrac{6.0 \times 3.5}{2.5}\,\Delta t = 8.4\,\mathrm{km}$ par seconde d’écart.

5. $\Delta t \propto d$ : l’enregistrement propre d’une station donne sa distance à l’épicentre sans connaître l’heure d’origine.

6. $d_A = 8.4 \times 25 = 2.1 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$ .

7. L’écart donne une distance, non une direction : l’épicentre se trouve quelque part sur le cercle de rayon $d_A$ autour de A.

8. $d_B = 8.4 \times 15 = 1.3 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$ ; $d_C = 8.4 \times 32 \approx 2.7 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$ .

9. Deux cercles se rencontrent en deux points ; le troisième en sélectionne un : l’intersection commune est l’épicentre.

10. $t_P = 210/6.0 = 35\,\mathrm{s}$ : le séisme a commencé à $09{:}14{:}32 - 35\,\mathrm{s} = 09{:}13{:}57$ .

11. $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 720\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — un avion de ligne en croisière.

12. $t = 6.0 \times 10^{5}/200 = 3.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{min}$ .

13. $t_P = 600/6.0 = 100\,\mathrm{s}$ . Alerte : $3000 - 100 = 2.9 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 48\,\mathrm{min}$ .

14. $\lambda = vT = 200 \times 900 = 1.8 \times 10^{5}\,\mathrm{m} = 180\,\mathrm{km}$ : un mètre environ de montée étalé sur $180\,\mathrm{km}$ — le navire gravit une pente imperceptible pendant plusieurs minutes.

15. $\lambda = 10 \times 900 = 9.0\,\mathrm{km}$ : l’onde se tasse d’un facteur vingt, son énergie se concentre sur une longueur plus courte, donc sa hauteur doit croître — le tsunami se dresse sur le rivage.

16. $2\pi r$ : $63\,\mathrm{km}$ , puis $\approx 1.3 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ — $\times 21$ .

17. La même énergie est partagée sur un front $21\times$ plus long, donc l’amplitude chute même dans une croûte sans pertes ; une croûte réelle ajoute l’absorption.

18. Les ondes S, cisaillement transversal, ne peuvent pas traverser un liquide : l’ombre des ondes S montre que le noyau (externe) est liquide.

19. $1 \times 10^{15}/1.5 \times 10^{9} \approx 6.7 \times 10^{5}$ : environ sept cent mille trains à pleine vitesse.

20. Le séisme a frappé à $09{:}13{:}57$ , au large au croisement des trois cercles, $210\,\mathrm{km}$ de la station A. L’alarme onde P du port a sonné $100\,\mathrm{s}$ après l’origine, environ $48\,\mathrm{min}$ avant l’arrivée du tsunami.