Physique du lycée · Grades 10–12

15Magnétisme et champs magnétiques

Mille ans durant, les marins se sont guidés sur des aiguilles aimantées sans que personne sache pourquoi elles pointent le nord. La réponse est venue en 1820, lorsqu’un courant fit tiquer une boussole : le magnétisme est fait de charges en mouvement. Ce chapitre cartographie le champ magnétique — celui des aimants, celui de la Terre, celui des courants — puis ferme la boucle. Car le champ exerce en retour une force sur les courants : c’est ainsi que tourne tout moteur électrique.

15.1 Aimants et champ magnétique

Définition 15.1 (Aimant et pôles)

Un aimant attire le fer et, suspendu par un fil, s’oriente vers le nord. Son action se concentre en deux pôles magnétiques, nord (l’extrémité qui cherche le nord géographique) et sud : les pôles de même nom se repoussent, de noms opposés s’attirent. Scier un aimant en deux donne deux aimants complets — aucune expérience n’a jamais isolé un pôle.

Définition 15.2 (Champ magnétique)

Un aimant modifie l’espace autour de lui (Chapitre 14) : il crée partout un champ magnétique $\vect B$ . Une boussole lit sa direction (l’aiguille s’aligne sur $\vect B$ , extrémité nord en avant) ; une sonde de Hall mesure sa grandeur, en teslas ( $\mathrm{T}$ ).

Définition 15.3 (Lignes de champ magnétique)

Les lignes de champ magnétique sont des courbes tangentes à $\vect B$ , se resserrant là où le champ est fort. Hors d’un aimant elles vont du pôle nord au pôle sud ; contrairement aux lignes de champ électrique elles n’ont pas d’extrémités : chacune se ferme à travers le corps de l’ aimant.

Lignes de champ d’un aimant droit : hors de N, vers S, fermées à travers le corps. Une boussole placée n’importe où s’aligne le long de la ligne qui la traverse.

15.2 La Terre est un aimant

Définition 15.4 (Le champ magnétique terrestre)

Des courants dans le noyau de fer fondu de la Terre font de la planète un aimant géant : en surface $B \approx 50\,\text{µ}\mathrm{T}$ , et une aiguille libre s’aligne sur la composante horizontale du champ — c’est la boussole. Les pôles géomagnétiques ne sont pas les géographiques ; l’angle entre le nord de la boussole et le nord vrai est la déclinaison, corrigée sur chaque relèvement.

Exemple 15.5 (Corriger un relèvement)

Là où la déclinaison est de $7{}^{\circ}$ ouest, un navire gouvernant « nord boussole » sur $5.0\,\mathrm{km}$ dérive de $5000 \times \sin7{}^{\circ} \approx 6.1 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ à l’ouest de sa route : pour naviguer plein nord vrai, gouverner $7{}^{\circ}$ est de l’aiguille.

15.3 Le champ magnétique d’un courant

Remarque 15.6 (Ørsted, 1820)

Pendant un cours en 1820, Hans Christian Ørsted vit une aiguille de boussole basculer lorsqu’il ferma un circuit à proximité : électricité et magnétisme n’étaient qu’un seul sujet — les courants créent des champs magnétiques.

Proposition 15.7 (Champ d’un fil rectiligne)

Un long fil rectiligne parcouru par une intensité $I$ crée un champ dont les lignes sont des cercles centrés sur le fil, dans des plans perpendiculaires à lui. À la distance $d$ du fil,

B = \frac{\mu_0\, I}{2\pi d}, \qquad \mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A} \approx 1.26 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A}.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Lignes de champ circulaires autour d’un fil rectiligne, vu de face ( : courant sortant de la page ; : entrant). Saisir le fil de la main droite, pouce dans le sens du courant : les doigts s’enroulent dans le sens de B. — Lignes de champ circulaires autour d’un fil rectiligne, vu de face ( $\odot$ : courant sortant de la page ; $\otimes$ : entrant). Saisir le fil de la main droite, pouce dans le sens du courant : les doigts s’enroulent dans le sens de $\vect B$ .

Exemple 15.8 (Un fil est un aimant faible)

À $d = 1.0\,\mathrm{cm}$ d’un fil portant $I = 15\,\mathrm{A}$ : $B = 2 \times 10^{-7} \times 15 / 0.010 = 0.30\,\mathrm{mT}$ — six champs terrestres, pour un courant qui ferait sauter un disjoncteur domestique. De forts champs exigent une meilleure géométrie.

Définition 15.9 (Bobine et solénoïde)

Enrouler le fil concentre son champ. Une bobine plate ( $N$ spires en disque) se comporte comme un aimant mince, une face nord, l’autre sud ; un solénoïde — un long enroulement cylindrique, $n$ spires par mètre — comme un aimant droit.

Proposition 15.10 (Champ à l’intérieur d’un solénoïde)

À l’intérieur d’un long solénoïde, loin des extrémités, le champ est uniforme : parallèle à l’axe et le même en tout point intérieur, de grandeur $B = \mu_0\, n\, I$ , indépendante de la largeur du tube. À l’extérieur, le champ est faible.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 15.11

Les deux formules sont dérivées honnêtement dans le volume de l’année 1, à partir de la loi reliant la circulation d’un champ au courant qu’elle enserre. Noter ce qui compte : $n$ , spires par mètre — enrouler plus serré, non plus long.

Méthode 15.12 (La main droite, deux fois)

Fil : pouce $=$ courant ; doigts enroulés $=$ sens de rotation des lignes.
Bobine, solénoïde : doigts enroulés $=$ courant dans les spires ; pouce $=$ $\vect B$ à l’intérieur, pointant vers la face nord.

Un solénoïde coupé dans la longueur (/ : les spires croisant la page) : à l’intérieur, un B = _0 n I uniforme le long de l’axe ; à l’extérieur, un champ de retour faible et étalé (en pointillés). — Un solénoïde coupé dans la longueur ( $\odot$ / $\otimes$ : les spires croisant la page) : à l’intérieur, un $B = \mu_0 n I$ uniforme le long de l’axe ; à l’extérieur, un champ de retour faible et étalé (en pointillés).

Exemple 15.13 (Nombres de solénoïde)

À $10$ spires par centimètre ( $n = 1000\,\mathrm{m}^{-1}$ ) et $I = 5.0\,\mathrm{A}$ : $B = 1.26 \times 10^{-6} \times 1000 \times 5.0 \approx 6.3\,\mathrm{mT}$ — cent champs terrestres, réglables d’un bouton.

15.4 Électroaimants

Définition 15.14 (Électroaimant)

Un électroaimant est un solénoïde enroulé sur un noyau de fer doux : le fer s’aimante dans le champ de la bobine et le multiplie, typiquement par $100$ à $1000$ . Contrairement à un aimant permanent, il s’éteint avec le courant.

Remarque 15.15 (Trois machines)

La grue de casse lève une voiture avec un électroaimant et — tout l’intérêt — la lâche en ouvrant un interrupteur. Le petit électroaimant d’un relais tire un contact fermé : un faible courant commute un fort (Chapitre 12). Un scanner IRM maintient un $1.5\,\mathrm{T}$ uniforme autour du patient avec un solénoïde supraconducteur.

Ordres de grandeur, de la galaxie à une étoile morte :

espace interstellaire	$\sim 10^{-10}\,\mathrm{T}$
champ de surface de la Terre	$5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$
aimant de frigo	$\sim 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{T}$
aimant néodyme, à son pôle	$\sim 0.5\,\mathrm{T}$
solénoïde d’IRM	$1.5\,\mathrm{T}$
surface d’une étoile à neutrons	$\sim 10^{8}\,\mathrm{T}$

15.5 La force de Laplace

Proposition 15.16 (Force de Laplace)

Un fil rectiligne de longueur $L$ , parcouru par une intensité $I$ dans un champ uniforme $\vect B$ perpendiculaire au fil, ressent la force de Laplace de grandeur $F = I\,L\,B$ , perpendiculaire au fil et à $\vect B$ : main droite à plat, pouce dans le sens du courant, doigts tendus le long de $\vect B$ — la paume pousse dans le sens de $\vect F$ . Un fil parallèle au champ ne ressent aucune force.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 15.17 (Le rail sauteur)

Le volume de l’année 1 dérive cela de la force magnétique sur chaque charge en mouvement. Au laboratoire : une tige de cuivre repose sur deux rails horizontaux entre les pôles d’un aimant (champ entrant dans la page sur la figure) ; fermez l’interrupteur, et la tige file le long des rails. Inversez le courant, ou retournez l’ aimant : elle file de l’autre côté.

L’expérience des rails : courant le long de la tige, champ entrant dans la page () — la force de Laplace F = ILB pousse la tige le long des rails. — L’expérience des rails : courant le long de la tige, champ entrant dans la page ( $\otimes$ ) — la force de Laplace $F = ILB$ pousse la tige le long des rails.

Exemple 15.18 (Nombres de Laplace)

Une tige de longueur $L = 5.0\,\mathrm{cm}$ portant $I = 8.0\,\mathrm{A}$ dans $B = 0.50\,\mathrm{T}$ : $F = 8.0 \times 0.050 \times 0.50 = 0.20\,\mathrm{N}$ — le poids de $20\,\mathrm{g}$ , sur un fil de quelques grammes.

Remarque 15.19 (Le moteur à courant continu)

Pliez le fil en une boucle dans le champ : les deux côtés perpendiculaires à $\vect B$ portent des courants opposés, donc leurs forces de Laplace sont opposées — un couple qui fait tourner la boucle. Un demi-tour plus tard le couple la ferait revenir, donc un commutateur tournant (le collecteur) inverse le courant à chaque demi-tour. Chaque ventilateur et chaque perceuse est cette boucle, multipliée.

15.6 Exercices

Exercice 15.1 ★

Un aimant droit est scié en deux entre ses pôles. Quels pôles porte chaque morceau ? Remis ensemble, les faces fraîchement coupées s’attirent-elles ou se repoussent-elles ? Un schéma de découpe peut-il isoler le pôle nord ?

Solution

Solution de Exercice 15.1.

Chaque morceau est un aimant complet avec un pôle nord et un pôle sud : un nouveau pôle apparaît sur chaque face de coupe. Les faces fraîches sont un N et un S, donc elles s’attirent — les morceaux tentent de se réassembler. Aucun schéma n’isole un pôle : chaque coupe crée une paire.

Exercice 15.2 ★

Vrai ou faux, avec une raison chacune : (a) deux lignes de champ magnétique se croisent là où le champ est fort ; (b) hors d’un aimant, les lignes de champ vont du pôle nord au pôle sud ; (c) chaque ligne de champ magnétique est une boucle fermée ; (d) une aiguille se place perpendiculairement à la ligne qui la traverse.

Solution

Solution de Exercice 15.2.

(a) Faux : le champ a une seule direction en chaque point. (b) Vrai. (c) Vrai : chaque ligne se ferme à travers le corps de l’aimant. (d) Faux : l’aiguille se place le long de la ligne, tangente à elle.

Exercice 15.3 ★

Calculer le champ à $2.0\,\mathrm{cm}$ d’un fil rectiligne portant $10\,\mathrm{A}$ . Combien de fois le $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ terrestre est-ce ?

Solution

Solution de Exercice 15.3.

$B = 2 \times 10^{-7} \times 10 / 0.020 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ — deux fois le champ terrestre.

Exercice 15.4 ★

Un solénoïde de $800$ spires enroulées sur $40\,\mathrm{cm}$ porte $I = 1.5\,\mathrm{A}$ . Calculer $n$ , puis $B$ à l’intérieur ; que devient $B$ si le courant double ?

Solution

Solution de Exercice 15.4.

$n = 800/0.40 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $B = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 1.5 \approx 3.8\,\mathrm{mT}$ . $B \propto I$ : doubler le courant donne $7.5\,\mathrm{mT}$ .

Exercice 15.5 ★

Un segment de fil de longueur $10\,\mathrm{cm}$ porte $5.0\,\mathrm{A}$ perpendiculairement à un champ de $0.20\,\mathrm{T}$ . Calculer la force de Laplace ; le poids de quelle masse l’égale-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 15.5.

$F = ILB = 5.0 \times 0.10 \times 0.20 = 0.10\,\mathrm{N}$ — le poids de $m = F/g = 0.10/9.81 \approx 10\,\mathrm{g}$ .

Exercice 15.6 ★★

Là où une randonneuse se trouve, la déclinaison est de $8{}^{\circ}$ ouest. Elle marche $2.0\,\mathrm{km}$ « nord à la boussole » : de combien, et de quel côté du nord vrai, dérive-t-elle ? Quel cap l’aurait menée plein nord vrai ?

Solution

Solution de Exercice 15.6.

1. Sa piste pointe $8{}^{\circ}$ ouest du nord vrai : $2000 \times \sin8{}^{\circ} \approx 2.8 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ vers l’ouest.

2. Gouverner $8{}^{\circ}$ est du nord de l’aiguille.

Exercice 15.7 ★★

À quelle distance d’un fil rectiligne portant $20\,\mathrm{A}$ son champ égale-t-il le $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ terrestre ? Que dit cela de la confiance en une boussole près de câbles sous tension ?

Solution

Solution de Exercice 15.7.

$d = \mu_0 I / (2\pi B) = 2 \times 10^{-7} \times 20 / 5.0 \times 10^{-5} = 8.0\,\mathrm{cm}$ . Dans le décimètre d’un tel câble la boussole lit le fil, non la planète — la tenir loin des conducteurs sous tension.

Exercice 15.8 ★★

Concevoir un solénoïde produisant $B = 10\,\mathrm{mT}$ avec $I = 4.0\,\mathrm{A}$ : calculer le $n$ requis, puis le nombre de spires pour une bobine de $25\,\mathrm{cm}$ .

Solution

Solution de Exercice 15.8.

$n = B/(\mu_0 I) = 0.010 / (1.26 \times 10^{-6} \times 4.0) \approx 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; sur $25\,\mathrm{cm}$ , $N = 1989 \times 0.25 \approx 500$ spires.

Exercice 15.9 ★★

Dans l’expérience des rails, la tige (masse $20\,\mathrm{g}$ , longueur $L = 12\,\mathrm{cm}$ entre les rails) porte $10\,\mathrm{A}$ dans un champ perpendiculaire de $0.50\,\mathrm{T}$ . Calculer la force de Laplace, puis l’accélération initiale de la tige ; comparer avec $g$ .

Solution

Solution de Exercice 15.9.

$F = 10 \times 0.12 \times 0.50 = 0.60\,\mathrm{N}$ ; $a = F/m = 0.60/0.020 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — environ $3g$ : la tige saute vraiment.

Exercice 15.10 ★★

Un fil horizontal de masse $5.0\,\mathrm{g}$ et de longueur $20\,\mathrm{cm}$ repose dans un champ horizontal $B = 0.10\,\mathrm{T}$ perpendiculaire à lui. Quelle intensité fait équilibrer la force de Laplace le poids du fil, de sorte qu’il lévite ? Dans quel sens la force doit-elle pointer ?

Solution

Solution de Exercice 15.10.

Équilibre : $ILB = mg$ , donc $I = 5.0 \times 10^{-3} \times 9.81 / (0.20 \times 0.10) \approx 2.5\,\mathrm{A}$ . La force doit pointer vers le haut ; avec $\vect B$ horizontal et perpendiculaire au fil, la main droite à plat (paume vers le haut) fixe le sens de courant requis.

Exercice 15.11 ★★

Donner la direction de la force de Laplace (ou dire qu’elle s’annule) : (a) courant vers la droite de la page, $\vect B$ entrant dans la page ; (b) courant vers le haut de la page, $\vect B$ sortant de la page ; (c) courant parallèle à $\vect B$ . Utiliser la main droite à plat.

Solution

Solution de Exercice 15.11.

Main droite à plat : (a) vers le haut de la page ; (b) vers la droite ; (c) aucune force — le fil est parallèle au champ.

Exercice 15.12 ★★★

Un fil horizontal court nord–sud géographique, à $3.0\,\mathrm{cm}$ au-dessus d’une boussole ; la composante horizontale terrestre y est $20\,\text{µ}\mathrm{T}$ . Le fil porte $I = 5.0\,\mathrm{A}$ : calculer son champ à la boussole, donner sa direction, puis la déviation de l’aiguille (les champs s’ajoutent comme des vecteurs).

Solution

Solution de Exercice 15.12.

1. $B = 2 \times 10^{-7} \times 5.0 / 0.030 \approx 33\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; les lignes encerclent le fil, donc directement sous lui le champ est horizontal, perpendiculaire au fil : est–ouest.

2. L’aiguille suit la somme vectorielle : $\tan\theta = 33/20 = 1.67$ , donc $\theta \approx 59{}^{\circ}$ hors du nord.

Exercice 15.13 ★★★

Un électroaimant de casse est une bobine de $400$ spires sur $20\,\mathrm{cm}$ , de résistance $2.0\,\Omega$ , sur une alimentation $12\,\mathrm{V}$ ; son noyau de fer multiplie le champ nu par $100$ . Calculer l’intensité, le champ de la bobine nue, le champ avec le noyau, et la puissance que dissipe la bobine (Chapitre 12). Pourquoi la ferraille tombe-t-elle à l’instant où l’interrupteur s’ouvre ?

Solution

Solution de Exercice 15.13.

1. $I = U/R = 12/2.0 = 6.0\,\mathrm{A}$ ; $n = 400/0.20 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $B_0 = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 6.0 \approx 15\,\mathrm{mT}$ ; avec le noyau, $100 B_0 \approx 1.5\,\mathrm{T}$ .

2. $P = UI = 12 \times 6.0 = 72\,\mathrm{W}$ .

3. Pas de courant, pas de champ — et le fer doux ne reste pas aimanté : la charge se libère instantanément, par conception.

Exercice 15.14 ★★★

La boucle rectangulaire d’un moteur a $N = 50$ spires portant $I = 2.0\,\mathrm{A}$ ; ses deux côtés de longueur $5.0\,\mathrm{cm}$ sont perpendiculaires à un champ $B = 0.30\,\mathrm{T}$ . Calculer la force sur chacun de ces côtés ; pourquoi les deux forces sont-elles opposées, et que font-elles à la boucle ? Pourquoi les deux autres côtés ne ressentent-ils parfois aucune force ? Pourquoi le courant doit-il être inversé à chaque demi-tour ?

Solution

Solution de Exercice 15.14.

1. $F = NILB = 50 \times 2.0 \times 0.050 \times 0.30 = 1.5\,\mathrm{N}$ de chaque côté. Le courant court en sens opposés dans les deux côtés, donc les forces sont opposées : un couple qui fait tourner la boucle.

2. Lorsqu’ils sont parallèles à $\vect B$ , un fil ne ressent aucune force de Laplace.

3. Après un demi-tour le couple s’inverserait et déferait la rotation ; le collecteur inverse le courant à chaque demi-tour pour que la boucle continue de tourner dans le même sens.

Exercice 15.15 ★★★

À quelle distance d’un câble portant $100\,\mathrm{A}$ faudrait-il être pour que son champ atteigne $1\,\mathrm{T}$ ? Comparer avec le rayon millimétrique du câble, et conclure pourquoi les champs de l’ordre du tesla sont construits avec des solénoïdes, non des fils seuls. Puis : le champ de surface d’une étoile à neutrons de $10^{8}\,\mathrm{T}$ est combien de puissances de dix au-dessus de celui de la Terre ?

Solution

Solution de Exercice 15.15.

1. $d = 2 \times 10^{-7} \times 100 / 1 = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} = 20\,\text{µ}\mathrm{m}$ — profondément à l’intérieur du cuivre millimétrique. Aucun point accessible près d’un fil seul n’atteint $1\,\mathrm{T}$ : les forts champs empilent des milliers de spires (un solénoïde), plus du fer ou des supraconducteurs.

2. $10^{8} / 5 \times 10^{-5} = 2 \times 10^{12}$ : environ douze puissances de dix.

15.7 Problème : La boussole, la grue et l’IRM

Problème 15.1

Problème du week-end — trois aimants au travail : une boussole traversant un océan, un électroaimant levant une voiture, et un solénoïde d’IRM — un seul champ, s’étalant sur dix puissances de dix, faisant trois métiers

Le même vecteur $\vect B$ gouverne un voilier avec $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ , lève de la ferraille avec $1\,\mathrm{T}$ , et image un genou avec $1.5\,\mathrm{T}$ — trois machines pour les trois formules de ce chapitre.

Partie I — La boussole. À la position du navire, le champ terrestre a une composante horizontale $20\,\text{µ}\mathrm{T}$ et une composante verticale $44\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; la déclinaison est de $6{}^{\circ}$ ouest.

Pourquoi une aiguille de boussole pointe-t-elle du tout le nord (magnétique) ?
Calculer la grandeur du champ total et son angle avec l’horizontale.
En gouvernant « nord boussole » sur $30\,\mathrm{km}$ , de combien à l’ouest de la route plein nord vrai le navire finit-il ?
Une cargaison d’acier dévie encore l’aiguille de $4{}^{\circ}$ ouest : même question.
Près du pôle géomagnétique une boussole est inutile : quelle composante est en cause, et pourquoi ?

Partie II — La grue. L’électroaimant de casse est un solénoïde de $600$ spires enroulées sur $30\,\mathrm{cm}$ , de résistance $1.5\,\Omega$ , alimenté sous $12\,\mathrm{V}$ ; son noyau de fer multiplie le champ nu par $50$ .

Calculer $n$ , la densité de spires.
Calculer l’intensité dans la bobine (Chapitre 12).
Calculer le champ de la bobine nue $\mu_0 n I$ .
Calculer le champ avec le noyau ; comparer avec le $0.5\,\mathrm{T}$ du néodyme.
Calculer la puissance dissipée dans la bobine, puis l’énergie pour un poste de levage de $10\,\mathrm{min}$ .
Un aimant permanent aussi fort existe. Pourquoi un électroaimant quand même ?

Partie III — Le moteur du treuil. Le treuil de la grue est un moteur à courant continu : une boucle rectangulaire de $N = 100$ spires, côtés de longueur $4.0\,\mathrm{cm}$ perpendiculaires à $B = 0.25\,\mathrm{T}$ , portant $I = 3.0\,\mathrm{A}$ .

Calculer la force de Laplace sur chaque faisceau de côtés perpendiculaires à $\vect B$ .
Les deux forces sont égales et opposées, et pourtant leur effet ne s’annule pas. Que produisent-elles, et pourquoi doivent-elles être opposées ?
Quelle force agit sur les deux autres côtés, lorsqu’ils sont parallèles à $\vect B$ ?
Après un demi-tour, les mêmes forces déferaient la rotation. Que fait le collecteur, et quand ?
Donner trois modifications de conception distinctes qui doublent chacune la paire de forces.

Partie IV — L’IRM. Le solénoïde du scanner maintient un $1.5\,\mathrm{T}$ uniforme avec une intensité $I = 500\,\mathrm{A}$ .

Combien de fois le champ terrestre vaut $1.5\,\mathrm{T}$ ?
Calculer la densité de spires $n$ requise sans aucun noyau de fer.
Si l’enroulement avait une résistance $0.20\,\Omega$ , quelle puissance dissiperait-il ? Quelle propriété de l’enroulement réel évite cela, au prix d’un froid extrême ?
Chute : placer les champs du navire, de la grue et de l’IRM sur l’échelle des puissances de dix de l’espace interstellaire ( $10^{-10}\,\mathrm{T}$ ) à une étoile à neutrons ( $10^{8}\,\mathrm{T}$ ) ; qu’est-ce qui a changé entre les machines — la physique, ou les ampères ?

Solution

Solution de Problème 15.1.

1. L’aiguille est elle-même un petit aimant ; le champ terrestre l’aligne, extrémité nord le long de la composante horizontale de $\vect B$ , c.-à-d. vers le nord magnétique.

2. $B = \sqrt{20^2 + 44^2} = \sqrt{2336} \approx 48\,\text{µ}\mathrm{T}$ , incliné de $\tan^{-1}(44/20) \approx 66{}^{\circ}$ sous l’horizontale.

3. La piste court $6{}^{\circ}$ ouest du nord vrai : $30 \times \sin6{}^{\circ} \approx 3.1\,\mathrm{km}$ à l’ouest.

4. Les erreurs s’ajoutent : $10{}^{\circ}$ , donc $30 \times \sin10{}^{\circ} \approx 5.2\,\mathrm{km}$ — cinq kilomètres pour dix degrés.

5. La composante horizontale : près du pôle le champ est presque vertical, la partie horizontale se contracte vers zéro, et l’aiguille n’a plus rien sur quoi s’aligner.

6. $n = 600/0.30 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ .

7. $I = U/R = 12/1.5 = 8.0\,\mathrm{A}$ .

8. $B_0 = \mu_0 n I = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 8.0 \approx 20\,\mathrm{mT}$ .

9. $50 \times 20\,\mathrm{mT} = 1.0\,\mathrm{T}$ — deux fois le champ à un pôle de néodyme, sur une face bien plus grande.

10. $P = UI = 12 \times 8.0 = 96\,\mathrm{W}$ ; en $10\,\mathrm{min}$ : $E = 96 \times 600 \approx 58\,\mathrm{kJ}$ .

11. Parce qu’il lâche : ouvrir l’interrupteur, le champ meurt, la voiture tombe exactement où l’on veut. Un aimant permanent saisit pour toujours.

12. $F = NILB = 100 \times 3.0 \times 0.040 \times 0.25 = 3.0\,\mathrm{N}$ .

13. Un couple : appliquées de part et d’autre de l’axe, les deux forces opposées font toutes deux tourner la boucle dans le même sens. Des forces égales parallèles ne feraient que pousser la boucle de côté, non la faire tourner.

14. Aucune : un fil parallèle au champ ne ressent aucune force de Laplace.

15. Il inverse le courant dans la boucle à chaque demi-tour, juste quand le couple changerait de signe — donc le couple entraîne toujours la même rotation.

16. Doubler $N$ , ou doubler $I$ , ou doubler $B$ : la paire de forces $F = NILB$ est proportionnelle à chacun.

17. $1.5 / 5.0 \times 10^{-5} = 3.0 \times 10^{4}$ : trente mille Terres.

18. $n = B/(\mu_0 I) = 1.5 / (1.26 \times 10^{-6} \times 500) \approx 2.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{-1}$ — et chacune de ces spires porte $500\,\mathrm{A}$ .

19. $P = RI^2 = 0.20 \times 500^2 = 50\,\mathrm{kW}$ — la chauffe d’un quartier. L’enroulement réel est supraconducteur : zéro résistance, zéro dissipation, pourvu qu’il soit maintenu à quelques degrés au-dessus du zéro absolu.

20. Boussole $5 \times 10^{-5}$ , grue $1$ , IRM $1.5$ : le navire siège cinq échelons sous les deux machines, qui partagent une décade — entre l’interstellaire $10^{-10}$ et l’étoile à neutrons $10^{8}$ . Rien n’a changé que les ampères (et les spires, le fer et le supraconducteur qui les multiplient) : un seul champ, trois métiers.