Physique du lycée · Grades 10–12

22La lumière comme onde : diffraction et interférences

Inclinez un film de savon vers une fenêtre : des couleurs y glissent, bien que rien dans le savon ni dans l’eau ne soit coloré. Pointez un laser sur un seul cheveu : le mur derrière ne montre pas une ombre fine comme un cheveu mais une traînée lumineuse, barrée de lignes sombres, des milliers de fois plus large que le cheveu. Des rayons en ligne droite (Chapitre 3) n’expliquent ni l’un ni l’autre. Ce chapitre promeut la lumière au rang d’onde complète — un demi-micromètre de crête à crête — puis encaisse l’idée : un laser et un mur nu mesureront un cheveu, une longueur d’onde, les sillons d’un CD.

22.1 La lumière est une onde

Définition 22.1 (Ondes lumineuses)

La lumière monochromatique — une seule couleur pure, qu’aucun prisme ne peut scinder davantage (Chapitre 2) — est une onde lumineuse périodique : elle traverse le vide à $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et se caractérise par sa fréquence $f$ ou sa longueur d’onde dans le vide $\lambda = c/f$ , la distance crête à crête du Chapitre 20. L’œil répond d’environ $400\,\mathrm{nm}$ (violet) à $800\,\mathrm{nm}$ (rouge) ; la lumière blanche mélange tout le domaine.

Exemple 22.2 (Ordres de grandeur)

Un laser hélium–néon émet de la lumière rouge de $\lambda = 633\,\mathrm{nm} = 6.33 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ , donc $f = c/\lambda \approx 4.7 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ : aucune électronique ne compte si vite — chaque longueur d’onde de ce chapitre sera mesurée par la géométrie. Pour l’échelle, un cheveu (environ $70\,\text{µ}\mathrm{m}$ ) fait une centaine de longueurs d’onde de largeur. Quelles ondes ? Pas l’air : un champ électrique et magnétique, décrit honnêtement dans le volume de Licence 2 ; seule la longueur d’onde importe ci-dessous.

22.2 Diffraction

Définition 22.3 (Diffraction)

Lorsqu’une onde rencontre une ouverture ou un obstacle de taille $a$ comparable à sa longueur d’onde, elle s’étale dans la région que les rayons laisseraient sombre. Cet étalement est la diffraction — négligeable tant que $\lambda/a$ est minuscule, dominante lorsque $a$ se rapproche de $\lambda$ .

Des fronts d’onde plans (un par crête, distants de ) rencontrent une fente de largeur a comparable à : l’onde s’éventaille — diffraction. — Des fronts d’onde plans (un par crête, distants de $\lambda$ ) rencontrent une fente de largeur $a$ comparable à $\lambda$ : l’onde s’éventaille — diffraction.

Proposition 22.4 (Demi-largeur angulaire de l’étalement)

Une fente de largeur $a$ , éclairée avec une longueur d’onde $\lambda < a$ , étale la lumière autour de la direction incidente dans la demi-largeur angulaire $\theta$ (radians) ; un écran à la distance $D$ montre une bande centrale brillante de largeur $L$ , deux fois $D \tan\theta \approx D\,\theta$ (petit angle) :

\theta \approx \frac{\lambda}{a}, \qquad L = \frac{2\lambda D}{a}.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 22.5 (Lire la formule à l’envers)

Plus la fente est étroite, plus l’étalement est large — le contraire de la prédiction des rayons. La dérivation honnête (sommer les ondelettes réémises à travers la fente) vit dans le volume de Licence 2 ; ici la formule est un outil de mesure.

Exemple 22.6 (Un laser à travers une fente)

Laser rouge, $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ ; fente $a = 0.10\,\mathrm{mm}$ ; écran à $D = 2.00\,\mathrm{m}$ . Alors $\theta = 6.33 \times 10^{-7} / 1.0 \times 10^{-4} = 6.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ — un tiers de degré, mais la bande centrale sur le mur a pour largeur $L = 2 \times 6.33 \times 10^{-7} \times 2.00 / 1.0 \times 10^{-4} \approx 2.5\,\mathrm{cm}$ , flanquée de lignes sombres et de bandes latérales plus faibles. Divisez la fente par deux et la bande double.

L’expérience de la fente unique : un cône de demi-angle /a peint une bande centrale de largeur L = 2 D/a. — L’expérience de la fente unique : un cône de demi-angle $\theta \approx \lambda/a$ peint une bande centrale de largeur $L = 2\lambda D/a$ .

Proposition 22.7 (Un obstacle diffracte comme une fente)

Un obstacle opaque mince de largeur $d$ — un fil, un cheveu — produit, hors du faisceau incident, le même motif qu’une fente de largeur $d$ (principe de Babinet, établi dans le volume de Licence 2).

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Méthode 22.8 (Mesurer une largeur minuscule)

Étirez le cheveu en travers du faisceau du laser ; placez un écran à une distance $D$ mesurée (quelques mètres).
Mesurez la largeur $L$ de la bande centrale, de ligne sombre à ligne sombre.
Puisque $L = 2\lambda D/d$ : $d = 2\lambda D/L$ — cheveu plus fin, motif plus large.

Remarque 22.9 (La diffraction limite tout instrument)

La lumière entre dans un appareil photo, un télescope ou un œil par une ouverture de largeur $a$ , si bien qu’une lentille parfaite estompe encore un point en une tache de taille angulaire environ $\lambda/a$ : des détails plus proches fusionnent. Un microscope en lumière visible ne résout donc rien de bien plus fin que $\lambda \approx 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ (bactéries oui, virus non) ; les miroirs de télescope sont construits larges pour la même raison.

22.3 Interférences

Définition 22.10 (Sources cohérentes, différence de marche)

Deux sources d’ondes sont cohérentes lorsqu’elles ont la même fréquence et vibrent en phase — en pratique, lorsqu’elles sont deux copies d’une même onde, obtenues en la scindant. Pour un point $M$ atteint par les deux, la différence de marche est $\delta = S_2M - S_1M$ .

Proposition 22.11 (Conditions d’interférence)

Là où deux ondes cohérentes de longueur d’onde $\lambda$ se chevauchent, elles s’additionnent — elles interfèrent :

$\delta = k\lambda$ ( $k$ entier) : en phase, se renforçant — interférence constructive (brillante) ;
$\delta = (k + \tfrac12)\lambda$ : crête sur creux, s’annulant — interférence destructive (sombre).

Démonstration. Décaler une onde périodique d’un nombre entier de longueurs d’onde ne change rien : les crêtes s’empilent sur les crêtes. Une demi-longueur d’onde de plus place crête sur creux : des ondes égales s’annulent. ∎

Exemple 22.12 (L’expérience des deux fentes de Young)

Percez deux fentes fines $S_1$ , $S_2$ , distantes d’une fraction de millimètre, dans une plaque opaque, et éclairez-les toutes deux avec un seul laser : deux sources cohérentes. Sur un écran à quelques mètres, le chevauchement est rayé : au centre $\delta = 0$ , brillant ; en montant l’écran, $\delta$ croît en passant par $\lambda/2$ (sombre), $\lambda$ (brillant)… obscurité là où de la lumière ajoutée à de la lumière s’annule.

Les fentes de Young : les chemins jusqu’à M diffèrent de = S_2M - S_1M ; les franges brillantes (traits gris) siègent là où = k. — Les fentes de Young : les chemins jusqu’à $M$ diffèrent de $\delta = S_2M - S_1M$ ; les franges brillantes (traits gris) siègent là où $\delta = k\lambda$ .

Définition 22.13 (Franges et interfrange)

Les bandes alternativement brillantes et sombres du motif sont ses franges d’interférence ; la distance $i$ entre centres brillants consécutifs est l’interfrange.

Proposition 22.14 (L’interfrange)

Pour des fentes distantes de $a$ et un écran à la distance $D \gg a$ , le point de l’écran à la distance $x$ du centre $O$ a pour différence de marche $\delta \approx a\,x/D$ (géométrie admise) ; par le Proposition 22.11, les franges brillantes siègent en $x_k = k\,\lambda D/a$ , espacées régulièrement de l’interfrange

i = \frac{\lambda D}{a}.

Avec $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ , $D = 2.0\,\mathrm{m}$ : $i = 6.3\,\mathrm{mm}$ — le montage grossit $\lambda$ d’un facteur $D/a = 10^4$ . La géométrie sous-jacente est établie dans le volume de Licence 2.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Intensité le long de l’écran dans l’expérience de Young : franges distantes de i = D/a, sous une enveloppe globale schématique. — Intensité le long de l’écran dans l’expérience de Young : franges distantes de $i = \lambda D/a$ , sous une enveloppe globale schématique.

Méthode 22.15 (Mesurer une longueur d’onde)

Envoyez le laser inconnu à travers une double fente d’écartement $a$ connu ; placez l’écran à une distance $D$ mesurée.
Mesurez l’empan de $10$ interfranges ; divisez par $10$ : l’interfrange $i$ , l’erreur de la règle étant divisée par dix.
Alors $\lambda = i\,a/D$ .

Remarque 22.16 (Pourquoi deux lampes n’interfèrent jamais)

Deux lampes de bureau éclairant un même mur ne produisent aucune frange : chacune émet de courts trains d’ondes non corrélés dont le calage relatif saute aléatoirement un milliard de fois par seconde, si bien que les franges se déplacent tout aussi vite et que l’œil les moyenne en une lumière uniforme. L’interférence exige la cohérence — une onde scindée en deux, comme le font les fentes de Young ; le laser est le raccourci moderne, une longue onde propre.

22.4 Couleurs peintes par interférence

Définition 22.17 (Iridescence)

Les couleurs qui glissent avec l’angle de vue — bulles de savon, irisations d’huile, plumes de paon, dos d’un CD — sont l’iridescence : pas de pigment, mais l’interférence dans la lumière blanche, renforçant certaines longueurs d’onde et en annulant d’autres.

Exemple 22.18 (Films de savon et irisations d’huile)

La lumière frappant un film de savon se réfléchit en partie sur sa face avant, en partie sur sa face arrière : deux copies cohérentes dont la différence de marche est fixée par l’épaisseur et l’angle de vue. Chaque épaisseur renvoie certaines longueurs d’onde renforcées, d’autres annulées : le film réfléchit une couleur qui glisse à mesure qu’il s’écoule et s’amincit. Une irisation d’huile sur asphalte humide joue le même tour.

Remarque 22.19 (Lumière monochromatique contre lumière blanche)

En lumière blanche, chaque longueur d’onde trace ses propres franges de Young avec son propre $i = \lambda D/a$ : au centre toutes les couleurs sont brillantes (une frange blanche) ; à quelques franges de là les motifs se désolidarisent — bords irisés, puis flou. La lumière monochromatique donne des franges nettes sans fin : d’où le laser dans chaque mesure précise ici.

22.5 Exercices

Exercice 22.1 ★

Calculer la fréquence de la lumière rouge ( $\lambda = 700\,\mathrm{nm}$ ) et de la lumière violette ( $400\,\mathrm{nm}$ ). Laquelle est plus élevée ?

Solution

Solution de Exercice 22.1.

$f = c/\lambda$ : rouge $3.00 \times 10^{8}/7.0 \times 10^{-7} \approx 4.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; violet $\approx 7.5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ — le violet est plus élevé (longueur d’onde plus courte, même célérité $c$ ).

Exercice 22.2 ★

Un laser vert ( $\lambda = 532\,\mathrm{nm}$ ) traverse une fente de largeur $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ : calculer $\theta$ , puis la largeur de la bande centrale sur un écran à $1.5\,\mathrm{m}$ .

Solution

Solution de Exercice 22.2.

$\theta = 5.32 \times 10^{-7}/2.0 \times 10^{-4} = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ ; $L = 2\theta D = 2 \times 2.66 \times 10^{-3} \times 1.5 \approx 8.0\,\mathrm{mm}$ .

Exercice 22.3 ★

Une porte a $0.80\,\mathrm{m}$ de large : calculer $\lambda/a$ pour une voix à $425\,\mathrm{Hz}$ ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) et pour de la lumière à $550\,\mathrm{nm}$ . Pourquoi entendez-vous, mais ne voyez-vous pas, au coin de la rue ?

Solution

Solution de Exercice 22.3.

Voix : $\lambda = 340/425 = 0.80\,\mathrm{m}$ , donc $\lambda/a = 1.0$ — diffraction maximale, le son inonde le couloir. Lumière : $\lambda/a \approx 5.5 \times 10^{-7}/0.80 \approx 7 \times 10^{-7}$ — étalement négligeable : la lumière reste droite, donc le coin la cache.

Exercice 22.4 ★

Deux haut-parleurs pilotés par un même générateur émettent, en phase, un son de longueur d’onde $2.0\,\mathrm{cm}$ . Différence de marche en $M$ : $6.0\,\mathrm{cm}$ ; en $N$ : $5.0\,\mathrm{cm}$ . Fort ou silencieux en chaque point ? Justifier.

Solution

Solution de Exercice 22.4.

En $M$ : $\delta = 6.0\,\mathrm{cm} = 3\lambda$ , constructive — fort. En $N$ : $\delta = 5.0\,\mathrm{cm} = (2 + \tfrac12)\lambda$ , destructive — (presque) silencieux.

Exercice 22.5 ★

Fentes de Young : $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , $a = 0.25\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.8\,\mathrm{m}$ . Calculer l’interfrange. Combien de franges brillantes tiennent dans les $2.0\,\mathrm{cm}$ centraux de l’écran ?

Solution

Solution de Exercice 22.5.

$i = \lambda D/a = 6.33 \times 10^{-7} \times 1.8/2.5 \times 10^{-4} \approx 4.6\,\mathrm{mm}$ . Dans $\pm1.0\,\mathrm{cm}$ : $|k| \leq 10/4.6 = 2.2$ , donc $k = -2, \dots, 2$ : cinq franges brillantes.

Exercice 22.6 ★★

Un cheveu dans un faisceau de $\lambda = 650\,\mathrm{nm}$ , écran à $1.6\,\mathrm{m}$ , donne une bande centrale de $2.8\,\mathrm{cm}$ de large. Calculer le diamètre du cheveu.

Solution

Solution de Exercice 22.6.

$d = 2\lambda D/L = 2 \times 6.5 \times 10^{-7} \times 1.6/0.028 \approx 74\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

Exercice 22.7 ★★

Un laser inconnu à travers les fentes de Young ( $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.50\,\mathrm{m}$ ) : dix interfranges s’étendent sur $4.7\,\mathrm{cm}$ . Trouver $\lambda$ et la couleur. Pourquoi mesurer dix plutôt qu’une ?

Solution

Solution de Exercice 22.7.

$i = 4.7\,\mathrm{mm}$ , donc $\lambda = i\,a/D = 4.7 \times 10^{-3} \times 2.0 \times 10^{-4}/1.5 \approx 6.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 630\,\mathrm{nm}$ : rouge. Mesurer dix interfranges divise l’erreur de lecture de la règle par dix.

Exercice 22.8 ★★

Deux lampes de bureau identiques éclairent le même mur ; les faisceaux se chevauchent, pourtant aucune frange n’apparaît jamais. Quelle condition de cohérence (Définition 22.10) échoue, et comment le montage de Young la répare-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 22.8.

Les lampes ont (largement) des fréquences assorties mais ne sont pas en phase : chacune émet de courts trains d’ondes à phase sautant aléatoirement, si bien que les sources sont incohérentes et que les franges instantanées se déplacent des milliards de fois par seconde — l’œil voit la moyenne, uniforme. Young éclaire les deux fentes depuis une onde : les deux copies héritent de chaque saut de phase ensemble et restent en phase.

Exercice 22.9 ★★

Sur un motif à deux fentes ( $a = 0.30\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.4\,\mathrm{m}$ ), les centres de la première et de la septième frange brillante sont distants de $18.0\,\mathrm{mm}$ : trouver l’interfrange, puis $\lambda$ .

Solution

Solution de Exercice 22.9.

De la première à la septième $= 6i = 18.0\,\mathrm{mm}$ , donc $i = 3.0\,\mathrm{mm}$ ; $\lambda = i\,a/D = 3.0 \times 10^{-3} \times 3.0 \times 10^{-4}/1.4 \approx 6.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 640\,\mathrm{nm}$ .

Exercice 22.10 ★★

Les pistes d’un CD forment un réseau d’écartement $d = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ . En admettant $d \sin\theta = k\lambda$ ( $k$ entier), trouver les directions des faisceaux pour $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ . Ordre $k$ maximal ?

Solution

Solution de Exercice 22.10.

$\sin\theta = k\lambda/d = 0.396\,k$ : $k = 1$ , $\theta = 23^\circ$ ; $k = 2$ , $\sin\theta = 0.79$ , $\theta = 52^\circ$ ; $k = 3$ exigerait $\sin\theta = 1.19 > 1$ : impossible. Ordre maximal $k = 2$ .

Exercice 22.11 ★★

Un télescope d’ouverture $a = 10\,\mathrm{cm}$ à $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ : calculer son flou de diffraction $\theta \approx \lambda/a$ . Peut-il séparer deux phares distants de $1.5\,\mathrm{m}$ , à $100\,\mathrm{km}$ ?

Solution

Solution de Exercice 22.11.

$\theta = 5.5 \times 10^{-7}/0.10 = 5.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ . Les phares sous-tendent $1.5/1.0 \times 10^{5} = 1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ , environ trois fois le flou : séparés, tout juste.

Exercice 22.12 ★★★

Un film de savon vertical s’écoule, plus épais en bas, et montre des bandes colorées horizontales qui rampent vers le bas. Expliquer : pourquoi des couleurs, pourquoi des bandes, pourquoi le mouvement. (Pas de calcul.)

Solution

Solution de Exercice 22.12.

Les réflexions sur les faces avant et arrière interfèrent ; en lumière blanche chaque épaisseur renforce certaines longueurs d’onde et en annule d’autres, d’où une couleur. L’épaisseur du film ne dépend que de la hauteur, donc les points de même couleur forment des bandes horizontales. L’écoulement amincit le film, si bien que l’épaisseur qui peignait une couleur donnée siège toujours plus bas : les bandes rampent vers le bas.

Exercice 22.13 ★★★

Fentes de Young en lumière blanche, $a = 0.20\,\mathrm{mm}$ , $D = 1.5\,\mathrm{m}$ : calculer l’interfrange pour le violet ( $400\,\mathrm{nm}$ ) et le rouge ( $750\,\mathrm{nm}$ ), puis déduire ce que montre l’écran au centre, à quelques millimètres, et au loin.

Solution

Solution de Exercice 22.13.

$i = \lambda D/a$ : violet $4.0 \times 10^{-7} \times 1.5/2.0 \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{mm}$ ; rouge $5.6\,\mathrm{mm}$ . Centre : toutes les couleurs brillantes — une frange blanche. À quelques millimètres les motifs colorés se sont décalés : franges irisées. Plus loin, les maxima de toutes les couleurs se chevauchent partout : flou blanc uniforme.

Exercice 22.14 ★★★

Un satellite de surveillance porte un miroir de $2.4\,\mathrm{m}$ à $250\,\mathrm{km}$ . Avec $\theta \approx \lambda/a$ à $550\,\mathrm{nm}$ , trouver le plus petit détail au sol qu’il résout ; juger l’affirmation qu’il « lit le journal par-dessus votre épaule ».

Solution

Solution de Exercice 22.14.

$\theta = 5.5 \times 10^{-7}/2.4 = 2.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$ ; à $250\,\mathrm{km}$ cela fait $2.3 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^{5} \approx 6\,\mathrm{cm}$ . Il peut compter des voitures et repérer une personne, mais le journal (lettres millimétriques) est vingt fois sous la limite de diffraction : l’affirmation est un mythe.

Exercice 22.15 ★★★

Un montage de Young montre $i = 4.0\,\mathrm{mm}$ dans l’air, puis est immergé dans l’eau ( $n = 1.33$ ). En rappelant le Chapitre 3 : la fréquence change-t-elle ? La longueur d’onde ? Calculer la nouvelle interfrange.

Solution

Solution de Exercice 22.15.

La fréquence est fixée par la source : inchangée. La célérité tombe à $c/n$ , donc $\lambda' = \lambda/n$ et $i' = i/n = 4.0/1.33 \approx 3.0\,\mathrm{mm}$ : les franges se resserrent.

22.6 Problème : Mesurer avec la lumière

Problème 22.1

Problème du week-end — mesurer avec la lumière : un laser, une règle et un mur nu deviennent un atelier micrométrique jaugeant une fente, un cheveu humain, une longueur d’onde inconnue et les sillons de deux disques d’argent

Votre kit : un laser rouge ( $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ , d’après l’étiquette), un laser vert de longueur d’onde inconnue, une fente calibrée $a = 100\,\text{µ}\mathrm{m}$ , une double fente d’écartement $a' = 0.250\,\mathrm{mm}$ , un mètre ruban, deux cheveux, un CD et un DVD.

Partie I — Calibrer sur la fente connue. Laser rouge, fente, mur à $D = 3.00\,\mathrm{m}$ .

Calculer la demi-largeur angulaire $\theta$ du faisceau diffracté.
Montrer que la bande centrale a pour largeur $L = 2\lambda D/a$ ; la calculer.
Vous mesurez $L = 3.7\,\mathrm{cm}$ : calculer l’écart relatif. La méthode est-elle validée ?
Une seconde fente est deux fois plus étroite, $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : prédire son $L$ . Énoncer la règle liant largeur de fente et largeur du motif.
Justifier l’étape $\tan\theta \approx \theta$ de la question 2 : comparer $\theta$ et $\tan\theta$ à cet angle.

Partie II — Le cheveu. Même laser et même mur ; un cheveu tendu remplace la fente.

Quel résultat admis permet de garder la formule de la fente pour un cheveu, et que dit-il ?
La bande centrale a $L = 5.4\,\mathrm{cm}$ de large : calculer le diamètre $d$ du cheveu.
Votre règle lit $L$ à $\pm0.2\,\mathrm{cm}$ : donner le domaine résultant pour $d$ , sous la forme $d \pm \Delta d$ .
Le cheveu de votre ami donne $L = 7.6\,\mathrm{cm}$ : son diamètre ? Lequel est le plus fin, et pourquoi plus fin signifie plus large ?
Une lampe de bureau pourrait-elle remplacer le laser ? Donner deux raisons.

Partie III — La longueur d’onde du laser vert. Laser vert, double fente, mur à $D = 2.00\,\mathrm{m}$ .

Pourquoi les deux fentes doivent-elles être éclairées par le même laser ?
Pourquoi la frange centrale est-elle brillante quelle que soit la longueur d’onde ?
Dix interfranges s’étendent sur $4.26\,\mathrm{cm}$ . Donner $i$ , et la raison de mesurer dix d’un coup.
En déduire la longueur d’onde du laser vert.
L’étiquette du fabricant indique $(532 \pm 10)\,\mathrm{nm}$ : cohérent ? Quelle couleur attendez-vous ?

Partie IV — Lire des disques d’argent. Le laser rouge frappe un CD en incidence normale ; ses pistes agissent comme un réseau par réflexion obéissant (admis) à $d \sin\theta = k\lambda$ . Sur le mur à $D = 1.00\,\mathrm{m}$ , chaque faisceau d’ordre un fait une tache en $x$ de la centrale.

Pour le CD, $x = 43\,\mathrm{cm}$ : calculer $\theta$ . Pourquoi le raccourci des petits angles de la partie I est-il maintenant interdit ?
En déduire l’écartement $d$ des pistes du CD.
Le DVD envoie sa tache d’ordre un en $x = 1.65\,\mathrm{m}$ : calculer son $\theta$ et l’écartement de ses pistes.
Comparer les deux écartements. Pourquoi un DVD stocke-t-il plus qu’un CD ?
Fermer le carnet : lister les longueurs mesurées ce week-end, et énoncer en une phrase ce qui a fait de la lumière une règle pour toutes.

Solution

Solution de Problème 22.1.

1. $\theta = \lambda/a = 6.33 \times 10^{-7}/1.00 \times 10^{-4} = 6.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ .

2. Demi-largeur $D\tan\theta \approx D\theta = \lambda D/a$ , donc $L = 2\lambda D/a = 2 \times 6.33 \times 10^{-7} \times 3.00/1.00 \times 10^{-4} = 3.8\,\mathrm{cm}$ .

3. $(3.8 - 3.7)/3.8 \approx 3\%$ : dans la précision d’une règle — validé.

4. $L \propto 1/a$ : diviser $a$ par deux double $L$ , donc $L = 7.6\,\mathrm{cm}$ . Obstacle ou fente plus étroit, motif plus large.

5. $\tan(6.33 \times 10^{-3}) = 6.330\,08 \times 10^{-3}$ : ils coïncident à environ $1 \times 10^{-5}$ en relatif — l’approximation est bien meilleure que toute mesure ici.

6. Par la Proposition 22.7 : un obstacle de largeur $d$ diffracte comme une fente de largeur $d$ , donc $L = 2\lambda D/d$ tient encore.

7. $d = 2\lambda D/L = 2 \times 6.33 \times 10^{-7} \times 3.00/0.054 \approx 70\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

8. $L = 5.2\,\mathrm{cm} \to d = 73\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $L = 5.6\,\mathrm{cm} \to d = 68\,\text{µ}\mathrm{m}$ : donc $d = (70 \pm 3)\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

9. $d = 3.80 \times 10^{-6}/0.076 = 50\,\text{µ}\mathrm{m}$ : celui de l’ami est plus fin — et $L \propto 1/d$ , donc le cheveu plus fin jette le motif plus large.

10. Non : une lampe est blanche (chaque longueur d’onde peint un motif différent, et ils se brouillent) et incohérente-et-étendue (pas de faisceau unique propre à diffracter). Le laser est monochromatique et directionnel.

11. Seules des copies d’une même onde sont cohérentes ; deux sources indépendantes dérivent hors phase et les franges s’effacent (Remarque 22.16).

12. Au centre $\delta = 0 = 0 \times \lambda$ pour chaque $\lambda$ : constructive quelle que soit la longueur d’onde.

13. $i = 4.26/10 = 4.3\,\mathrm{mm}$ ; un empan de dix se lit avec la même erreur de règle qu’une seule interfrange, donc l’erreur sur $i$ est divisée par dix.

14. $\lambda = i\,a'/D = 4.26 \times 10^{-3} \times 2.50 \times 10^{-4}/2.00 = 5.33 \times 10^{-7} \approx 533\,\mathrm{nm}$ .

15. $533\,\mathrm{nm}$ se trouve dans $(532 \pm 10)\,\mathrm{nm}$ : cohérent ; cette longueur d’onde est verte.

16. $\tan\theta = 0.43/1.00$ , donc $\theta = 23^\circ$ . Ici $\tan\theta = 0.43$ tandis que $\sin\theta = 0.40$ : à $23^\circ$ l’identification à petit angle de $\sin$ , $\tan$ et $\theta$ se trompe de presque $10\%$ — utiliser les fonctions exactes.

17. $d = \lambda/\sin\theta = 6.33 \times 10^{-7}/0.396 \approx 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

18. $\tan\theta = 1.65$ , $\theta = 59^\circ$ , $\sin\theta = 0.855$ : $d = 6.33 \times 10^{-7}/0.855 \approx 0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$ .

19. $1.6/0.74 \approx 2.2$ : les pistes du DVD sont deux fois plus denses, et ses creux sont correspondamment plus petits (lus avec un laser de longueur d’onde plus courte) — plusieurs fois plus de données sur le même disque de $12\,\mathrm{cm}$ .

20. Cheveu $(70 \pm 3)\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; cheveu de l’ami $50\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; laser vert $533\,\mathrm{nm}$ ; pistes CD $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; pistes DVD $0.74\,\text{µ}\mathrm{m}$ — une longueur d’onde connue transforme la géométrie de chaque motif en une longueur, si bien que de la lumière d’un demi-micromètre est une règle graduée au demi-micromètre.