Physique du lycée · Grades 10–12

8Signaux et ondes

Chaque message que vous avez jamais reçu est arrivé comme un signal : une voix a pressé sur votre tympan, cette page vous a atteint comme un scintillement de radio. Derrière la variété se tient une seule idée — une grandeur physique variant dans le temps — et une seule boîte à outils : période, fréquence, amplitude, et l’art de chronométrer un délai. Avec elle, un bateau mesure le fond de la mer et un médecin compte les battements de cœur.

8.1 Les signaux portent de l’information

Définition 8.1 (Signal)

Un signal est une grandeur physique qui varie dans le temps pour porter de l’information : la pression de l’air sur votre tympan, la tension aux bornes d’un microphone, la luminosité de la lumière dans une fibre optique. Pour étudier un signal, l’enregistrer comme fonction du temps et lire l’information sur la courbe.

Dans un appel téléphonique la même information change de porteur plusieurs fois : pression dans l’air, puis tension dans le microphone, puis radio à l’antenne — et à l’envers à l’autre bout. Un seul vocabulaire les gère tous ; ce chapitre le construit.

8.2 Signaux périodiques

Définition 8.2 (Signal périodique, période)

Un signal est périodique lorsqu’il se répète à l’identique à intervalles réguliers. La période $T$ est la durée d’un cycle complet, en secondes.

Définition 8.3 (Fréquence)

La fréquence d’un signal périodique est le nombre de cycles par seconde :

f = \frac{1}{T} .

Son unité, un cycle par seconde, est le hertz ( $\mathrm{Hz}$ ), avec les multiples habituels $\mathrm{kHz}$ , $\mathrm{MHz}$ , $\mathrm{GHz}$ .

Définition 8.4 (Amplitude)

L’amplitude d’un signal périodique est son écart maximal par rapport à la valeur de repos. Pour une tension oscillant symétriquement autour de zéro, l’amplitude est la valeur de crête ; de crête à creux mesure deux fois l’amplitude (la valeur crête à crête).

Exemple 8.5 (Secteur et la de concert)

La tension du secteur oscille à $f = 50\,\mathrm{Hz}$ : sa période est $T = 1/f = 0.020\,\mathrm{s} = 20\,\mathrm{ms}$ . Le la de concert d’un orchestre est un signal de pression à $440\,\mathrm{Hz}$ : un cycle dure $T = 1/440 = 2.3\,\mathrm{ms}$ . Plus haute la fréquence, plus court le cycle : $f$ et $T$ sont inverses l’un de l’autre.

Un signal périodique : le motif se répète toutes les T secondes, et l’amplitude est l’écart maximal par rapport à la valeur de repos. — Un signal périodique : le motif se répète toutes les $T$ secondes, et l’amplitude est l’écart maximal par rapport à la valeur de repos.

8.3 Lire un oscillogramme

Définition 8.6 (Oscilloscope)

Un oscilloscope trace une tension en fonction du temps ; la courbe sur son écran quadrillé est un oscillogramme. Deux réglages convertissent les divisions d’écran en valeurs physiques : la base de temps (secondes par division horizontale) et le gain vertical (volts par division verticale).

Méthode 8.7 (De l’écran aux nombres)

Compter les divisions horizontales couvertes par un cycle complet (crête à crête est le plus sûr) ; multiplier par la base de temps pour obtenir $T$ , puis $f = 1/T$ .
Compter les divisions verticales de la ligne centrale à une crête et multiplier par le gain pour obtenir l’amplitude (crête à creux donne la valeur crête à crête : la diviser par deux).

Exemple 8.8 (Une lecture complète)

Sur l’oscillogramme ci-dessous, la base de temps est $5\,\mathrm{ms}$ par division et le gain $2\,\mathrm{V}$ par division. Un cycle couvre $4{,}0$ divisions : $T = 4.0 \times 5\,\mathrm{ms} = 20\,\mathrm{ms}$ et $f = 1/0.020\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{Hz}$ — le secteur encore. Une crête se trouve $3{,}0$ divisions au-dessus de l’axe : l’amplitude est $3.0 \times 2\,\mathrm{V} = 6.0\,\mathrm{V}$ .

Un oscillogramme, base de temps 5\, ms/div et gain 2\, V/div : un cycle couvre 4,0 divisions (T = 20\, ms, f = 50\, Hz) et la crête se trouve 3,0 divisions en haut (amplitude 6.0\, V). — Un oscillogramme, base de temps $5\,\mathrm{ms}$ /div et gain $2\,\mathrm{V}$ /div : un cycle couvre $4{,}0$ divisions ( $T = 20\,\mathrm{ms}$ , $f = 50\,\mathrm{Hz}$ ) et la crête se trouve $3{,}0$ divisions en haut (amplitude $6.0\,\mathrm{V}$ ).

8.4 Signaux sonores et électromagnétiques

Définition 8.9 (Son)

Le son est un signal de pression : un objet vibrant — corde, membrane, cordes vocales — pousse rythmiquement sur l’air, et les compressions se propageant vers l’extérieur à environ $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Un microphone convertit la pression arrivante en tension ; le tympan, en impulsions nerveuses. Le son a besoin d’un milieu : une cloche agitée sous une cloche à vide se tait à mesure que l’air est pompé.

Définition 8.10 (Onde)

Une perturbation qui se propage — le motif de compression d’un son, l’ondulation d’un étang, une impulsion radio — est une onde. Le milieu, lorsqu’il y en a un, reste en place : chaque portion d’eau bobine sur place tandis que l’ondulation traverse l’étang. La géométrie des ondes — longueur d’onde, interférence, diffraction — est reprise dans un chapitre ultérieur ; ce chapitre n’a besoin que de leurs vitesses.

Définition 8.11 (Ultrason et infrason)

L’oreille humaine entend le son entre environ $20\,\mathrm{Hz}$ et $20\,\mathrm{kHz}$ (le plafond baisse avec l’âge). Le son au-dessus de $20\,\mathrm{kHz}$ est ultrason — les chauves-souris chassent à $50\,\mathrm{kHz}$ , les scanners médicaux imagent le corps à quelques mégahertz. Le son en dessous de $20\,\mathrm{Hz}$ est infrason, senti par les éléphants et les sismomètres.

Proposition 8.12 (Signaux électromagnétiques)

La radio, le Wi-Fi et la lumière sont des signaux électromagnétiques : une seule famille, tous voyageant à travers le vide — aucun milieu nécessaire — et tous à une seule vitesse, la vitesse de la lumière du Chapitre 3,

c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \quad \text{(très presque la même dans l'air).}

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 8.13

Ici c’est un fait expérimental — la lumière du Soleil traverse $150$ millions de kilomètres d’espace vide ; elle est dérivée honnêtement dans le volume de 2^e année des lois de l’électricité et du magnétisme. Garder le contraste : le son est une vibration du milieu et meurt sans lui ; un signal électromagnétique porte son propre champ à travers le vide, un million de fois plus vite.

Fréquences sonores sur une échelle logarithmique (chaque pas × 10). L’oreille entend de 20\, Hz à 20\, kHz ; en dessous c’est l’infrason, au-dessus l’ultrason. — Fréquences sonores sur une échelle logarithmique (chaque pas $\times 10$ ). L’oreille entend de $20\,\mathrm{Hz}$ à $20\,\mathrm{kHz}$ ; en dessous c’est l’infrason, au-dessus l’ultrason.

8.5 Échos : des distances à partir de délais

Un signal se déplaçant à la vitesse $v$ couvre $d = v\,t$ en un temps $t$ : chaque délai est une distance déguisée. Mieux encore, envoyer une courte impulsion vers un obstacle et chronométrer son écho — l’aller-retour couvre $2d$ .

Méthode 8.14 (Télémétrie par écho)

Envoyer une courte impulsion ; mesurer le temps d’aller-retour $t$ de l’écho.
Prendre la vitesse $v$ du signal dans le milieu traversé.
L’impulsion a couvert $2d = v\,t$ , donc $d = \dfrac{v\,t}{2}$ .

Des impulsions de son dans l’eau font le sonar ( $v \approx 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) ; des impulsions radio dans l’air font le radar ( $v = c$ ) ; des impulsions d’ultrason dans le corps font le scanner médical ( $v \approx 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans les tissus mous).

Exemple 8.15 (Sonar)

Le sonar d’un navire envoie un ping et l’écho du fond revient après $t = 0.80\,\mathrm{s}$ : la profondeur est $d = \frac{1500 \times 0.80}{2} = 600\,\mathrm{m}$ . Oublier le facteur $2$ double l’océan.

Un ping de sonar voyage en bas et en haut : le délai mesuré t couvre 2d, donc la profondeur est d = v\,t/2 avec v 1500\, m/ s dans l’eau de mer. — Un ping de sonar voyage en bas et en haut : le délai mesuré $t$ couvre $2d$ , donc la profondeur est $d = v\,t/2$ avec $v \approx 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’eau de mer.

Exemple 8.16 (Radar)

Un radar d’aéroport reçoit l’écho d’un avion $0.30\,\mathrm{ms}$ après l’impulsion : $d = \frac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}}{2} = 45\,\mathrm{km}$ . Parce que $c$ est si grand, le radar vit sur des horloges à la microseconde : chronométrer la lumière est un travail de précision.

Exemple 8.17 (Le cœur comme signal)

Chaque battement de cœur envoie une petite impulsion de tension à travers la poitrine ; des électrodes l’enregistrent comme l’électrocardiogramme (ECG), un signal quasi périodique. Si les pics hauts sont distants de $T = 0.75\,\mathrm{s}$ , le cœur bat à $f = 1/0.75 = 1.33\,\mathrm{Hz}$ , c’est-à-dire $1.33 \times 60 = 80$ battements par minute : lire $T$ sur un tracé, c’est ainsi qu’un cardiologue prend votre pouls.

8.6 Exercices

Exercice 8.1 ★

Calculer la fréquence du signal périodique de période (a) $T = 20\,\mathrm{ms}$ ; (b) $T = 4.0\,\mathrm{ms}$ ; (c) $T = 50\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Solution

Solution de Exercice 8.1.

$f = 1/T$ : (a) $1/0.020\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{Hz}$ ; (b) $1/4.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} = 250\,\mathrm{Hz}$ ; (c) $1/5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{s} = 20\,\mathrm{kHz}$ .

Exercice 8.2 ★

Calculer la période de (a) le secteur à $50\,\mathrm{Hz}$ ; (b) un la de concert à $440\,\mathrm{Hz}$ ; (c) un signal Wi-Fi à $2.4\,\mathrm{GHz}$ .

Solution

Solution de Exercice 8.2.

$T = 1/f$ : (a) $20\,\mathrm{ms}$ ; (b) $1/440 = 2.3\,\mathrm{ms}$ ; (c) $1/2.4 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz} = 0.42\,\mathrm{ns}$ .

Exercice 8.3 ★

Classer en infrason, son audible ou ultrason : $12\,\mathrm{Hz}$ ; $440\,\mathrm{Hz}$ ; $18\,\mathrm{kHz}$ ; $40\,\mathrm{kHz}$ (un capteur de stationnement) ; $5\,\mathrm{MHz}$ (une sonde médicale).

Solution

Solution de Exercice 8.3.

$12\,\mathrm{Hz}$ : infrason. $440\,\mathrm{Hz}$ et $18\,\mathrm{kHz}$ : audible (le second seulement pour de jeunes oreilles). $40\,\mathrm{kHz}$ et $5\,\mathrm{MHz}$ : ultrason.

Exercice 8.4 ★

Sur un oscilloscope réglé à $2\,\mathrm{ms}$ par division et $0.5\,\mathrm{V}$ par division, un cycle couvre $5{,}0$ divisions et une crête se trouve $4{,}0$ divisions au-dessus de l’axe. Trouver $T$ , $f$ et l’amplitude.

Solution

Solution de Exercice 8.4.

$T = 5.0 \times 2\,\mathrm{ms} = 10\,\mathrm{ms}$ , donc $f = 100\,\mathrm{Hz}$ ; amplitude $4.0 \times 0.5\,\mathrm{V} = 2.0\,\mathrm{V}$ .

Exercice 8.5 ★

Vous voyez l’éclair, puis entendez le tonnerre $6.0\,\mathrm{s}$ plus tard. À quelle distance a-t-il frappé ( $v_{\text{sound}} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) ? Pourquoi le temps de parcours de la lumière peut-il être négligé ?

Solution

Solution de Exercice 8.5.

$d = 340 \times 6.0 = 2040\,\mathrm{m} \approx 2.0\,\mathrm{km}$ . La lumière couvre cela en $2040/(3.00\times10^{8}) \approx 7\,\text{µ}\mathrm{s}$ , un million de fois moins que $6.0\,\mathrm{s}$ : l’éclair marque l’instant du coup.

Exercice 8.6 ★★

Un écho de sonar revient du fond après $0.60\,\mathrm{s}$ ( $v = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’eau de mer). Pourquoi le produit $v\,t$ doit-il être divisé par deux ? Calculer la profondeur. Combien de temps l’écho mettrait-il sur une fosse de $1200\,\mathrm{m}$ de profondeur ?

Solution

Solution de Exercice 8.6.

Le son descend et remonte, couvrant $2d$ : $d = \frac{1500 \times 0.60}{2} = 450\,\mathrm{m}$ . Au-dessus de la fosse : $t = 2d/v = 2 \times 1200/1500 = 1.6\,\mathrm{s}$ .

Exercice 8.7 ★★

Un radar d’aéroport reçoit un écho d’avion après $0.24\,\mathrm{ms}$ et, exactement $1.0\,\mathrm{s}$ plus tard, un second écho après $0.238\,\mathrm{ms}$ . Calculer les deux distances, puis la vitesse de l’avion. S’approche-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 8.7.

$d_1 = \frac{3.00\times10^{8} \times 2.4\times10^{-4}}{2} = 36.0\,\mathrm{km}$ et $d_2 = 35.7\,\mathrm{km}$ : l’avion a couvert $300\,\mathrm{m}$ en $1.0\,\mathrm{s}$ , donc $v = 300\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 1100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , en approche.

Exercice 8.8 ★★

Un ECG est imprimé à $25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; les pics hauts sont distants de $20\,\mathrm{mm}$ . Trouver la période et la fréquence cardiaque en battements par minute. La tachycardie signifie plus de $100$ battements par minute : en dessous de quel espacement de pics apparaît-elle sur ce papier ?

Solution

Solution de Exercice 8.8.

$T = 20\,\mathrm{mm}/25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s} = 0.80\,\mathrm{s}$ , donc $f = 1.25\,\mathrm{Hz}$ : $75$ battements par minute. Pour $100$ battements par minute, $T = 0.60\,\mathrm{s}$ , c’est-à-dire $25 \times 0.60 = 15\,\mathrm{mm}$ : la tachycardie apparaît en dessous de $15\,\mathrm{mm}$ .

Exercice 8.9 ★★

Vous devez afficher un signal à $200\,\mathrm{Hz}$ d’amplitude $3.0\,\mathrm{V}$ sur un écran de $10$ divisions horizontales et $8$ verticales ( $4$ au-dessus de la ligne centrale). Choisir une base de temps montrant environ deux cycles complets, et un gain utilisant la plupart de l’écran sans écrêtage.

Solution

Solution de Exercice 8.9.

$T = 1/200 = 5.0\,\mathrm{ms}$ ; deux cycles durent $10\,\mathrm{ms}$ , étalés sur $10$ divisions : base de temps $1\,\mathrm{ms}$ par division. La crête doit tenir en $4$ divisions : gain d’au moins $3.0/4 = 0.75\,\mathrm{V}$ par division — prendre $1\,\mathrm{V}$ par division (crête $3{,}0$ divisions en haut).

Exercice 8.10 ★★

Une sonde médicale envoie une impulsion d’ultrason dans l’abdomen ( $v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans les tissus mous) et entend des échos après $40\,\text{µ}\mathrm{s}$ (paroi avant d’un organe) et $60\,\text{µ}\mathrm{s}$ (paroi arrière). Trouver la profondeur de chaque paroi et l’épaisseur de l’organe.

Solution

Solution de Exercice 8.10.

$d = v\,t/2$ : paroi avant $\frac{1540 \times 4.0\times10^{-5}}{2} = 3.1\,\mathrm{cm}$ ; paroi arrière $\frac{1540 \times 6.0\times10^{-5}}{2} = 4.6\,\mathrm{cm}$ ; épaisseur environ $1.5\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 8.11 ★★

Un concert est diffusé en direct. Qui entend un coup de tambour d’abord : un auditeur à $30\,\mathrm{m}$ de la scène, ou un auditeur radio à $3000\,\mathrm{km}$ ? De combien ?

Solution

Solution de Exercice 8.11.

Son : $30/340 = 0.088\,\mathrm{s}$ . Radio : $3.0\times10^{6}/(3.00\times10^{8}) = 0.010\,\mathrm{s}$ . L’auditeur radio lointain entend le tambour d’abord, d’environ $78\,\mathrm{ms}$ .

Exercice 8.12 ★★★

Une chauve-souris émet des impulsions d’ultrason durant $3.0\,\mathrm{ms}$ et ne peut entendre un écho tant qu’elle émet encore. À moins de quelle distance un papillon est-il indétectable ? Quel est le délai de l’écho pour un papillon à $1.7\,\mathrm{m}$ ? Pourquoi la chauve-souris doit-elle raccourcir ses impulsions pendant l’approche finale ?

Solution

Solution de Exercice 8.12.

En émettant pendant $3.0\,\mathrm{ms}$ la chauve-souris est sourde aux échos, c’est-à-dire à tout ce qui est dans $d = \frac{340 \times 3.0\times10^{-3}}{2} = 0.51\,\mathrm{m}$ . Papillon à $1.7\,\mathrm{m}$ : $t = 2 \times 1.7/340 = 10\,\mathrm{ms}$ . En se rapprochant, l’écho revient de plus en plus tôt ; l’impulsion doit se terminer avant qu’il n’arrive, donc elle doit se raccourcir.

Exercice 8.13 ★★★

Vous claquez des mains face à une falaise et entendez l’écho $1.5\,\mathrm{s}$ plus tard. À quelle distance est la falaise ? Vous marchez $100\,\mathrm{m}$ droit vers elle : nouveau délai ? L’oreille ne sépare plus claquement et écho en dessous d’environ $0.1\,\mathrm{s}$ : dans quelle distance l’écho disparaît-il dans le claquement ?

Solution

Solution de Exercice 8.13.

$d = \frac{340 \times 1.5}{2} = 255\,\mathrm{m}$ . À $155\,\mathrm{m}$ : $t = 2 \times 155/340 = 0.91\,\mathrm{s}$ . Écho et claquement se confondent lorsque $t < 0.1\,\mathrm{s}$ , c’est-à-dire à moins de $d < \frac{340 \times 0.1}{2} = 17\,\mathrm{m}$ .

Exercice 8.14 ★★★

À $5\,\mathrm{ms}$ par division, un cycle d’un signal couvre $3{,}0$ divisions d’un écran de $10$ divisions.

Trouver $T$ et $f$ .
La base de temps est passée à $2\,\mathrm{ms}$ par division : combien de divisions un cycle couvre-t-il maintenant ?
Combien de cycles complets tiennent sur l’écran à chaque réglage ?

Solution

Solution de Exercice 8.14.

1. $T = 3.0 \times 5\,\mathrm{ms} = 15\,\mathrm{ms}$ , $f = 1/0.015 \approx 67\,\mathrm{Hz}$ . 2. $15\,\mathrm{ms}/2\,\mathrm{ms} = 7{,}5$ divisions. 3. L’écran montre $50\,\mathrm{ms}$ , puis $20\,\mathrm{ms}$ : $3$ cycles complets ( $50/15 = 3{,}3$ ), puis $1$ ( $20/15 = 1{,}3$ ).

Exercice 8.15 ★★★

Un « ping » mesure le temps d’aller-retour d’un paquet internet vers un serveur à $1200\,\mathrm{km}$ . Quel est le plus petit temps d’aller-retour concevable (signaux à $c$ ) ? Dans une fibre optique, la lumière voyage à environ $2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : recalculer. Le ping mesuré est $40\,\mathrm{ms}$ : donner deux raisons pour lesquelles il dépasse vos réponses.

Solution

Solution de Exercice 8.15.

1. $t = 2 \times 1.2\times10^{6}/(3.00\times10^{8}) = 8.0\,\mathrm{ms}$ . 2. $2 \times 1.2\times10^{6}/(2.0\times10^{8}) = 12\,\mathrm{ms}$ . 3. La fibre ne court pas en ligne droite entre les deux machines, et chaque routeur et serveur sur le chemin ajoute un délai de traitement.

8.7 Problème : Le sonar, l’orage et le cardiogramme

Problème 8.1

Problème du week-end — lire les signaux du monde : une loi, $d = v\,t$ , localise un orage, cartographie un fond, compte un battement de cœur et tire au clair comment fonctionne le GPS

Un bateau de pêche travaille une nuit d’orage : éclairs à l’horizon, le sonar balayant le fond, le cœur du patron sur le papier du médecin, un récepteur GPS écoutant des satellites. Quatre instruments, une loi. Prendre $v_{\text{sound}} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’air, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’eau de mer, et $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Partie I — L’orage.

Un éclair ; le tonnerre suit $9.0\,\mathrm{s}$ plus tard. À quelle distance est-il ?
Calculer le temps de parcours de la lumière sur cette distance, et justifier de traiter l’éclair comme instantané.
Les marins comptent les secondes entre éclair et tonnerre et divisent par trois pour obtenir des kilomètres. Justifier la règle.
Cinq minutes plus tard, un éclair donne $6.0\,\mathrm{s}$ . À quelle distance maintenant ? Trouver la vitesse moyenne d’approche de l’orage en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Le tonnerre gronde au lieu de claquer : le canal de foudre fait des kilomètres de long, donc ses parties sont à des distances différentes. Si le canal s’étend de $2.0\,\mathrm{km}$ à $5.0\,\mathrm{km}$ du bateau, combien de temps dure le grondement ?

Partie II — Le sonar.

Le sonar envoie un ping ; le fond répond en $0.90\,\mathrm{s}$ . Profondeur ?
Sur le plateau l’écho se raccourcit à $0.20\,\mathrm{s}$ . Profondeur ?
Un ping renvoie deux échos, à $0.16\,\mathrm{s}$ et $0.20\,\mathrm{s}$ . Les interpréter ; à quelle hauteur au-dessus du fond le banc de poissons nage-t-il ?
Le sonar envoie un ping toutes les $0.50\,\mathrm{s}$ . Quelle est la plus grande profondeur qu’il peut mesurer sans confusion, et que se passe-t-il au-delà ?
Dans l’air, le même délai de $0.60\,\mathrm{s}$ signifierait quelle distance ? Morale : que faut-il savoir avant de transformer un délai en distance ?

Partie III — Le cardiogramme.

Les pics d’ECG du patron sont distants de $0.86\,\mathrm{s}$ . Fréquence ? Battements par minute ?
La bande avance à $25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ . Quel espacement de pics le médecin a-t-il mesuré ?
Après avoir sorti les filets, l’espacement est $15\,\mathrm{mm}$ . Nouveau rythme cardiaque ?
Le jeune matelot, rameur entraîné, se repose à $50$ battements par minute. Période ? Espacement sur la bande ?
Un ECG est-il strictement périodique ? Que lit alors le médecin sur le tracé ?

Partie IV — Retour par la lumière.

Le bateau radio le port, à $50\,\mathrm{km}$ . Combien de temps le message met-il ? Combien de temps le son mettrait-il ?
Un satellite GPS orbite à environ $20\,200\,\mathrm{km}$ au-dessus. Combien de temps son signal met-il pour atteindre le bateau ?
Le GPS transforme le temps en position. Quelle erreur de distance une erreur d’horloge de $1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ provoque-t-elle ? Quelle précision de chronométrage une fix à $3.0\,\mathrm{m}$ exige-t-elle ?
Pourquoi aucun GPS fondé sur le son ne pourrait-il exister, même en principe ?
Final : lister les trois vitesses utilisées ce soir et la seule loi derrière les quatre instruments, puis énoncer l’habitude de télémétrie en une phrase.

Solution

Solution de Problème 8.1.

1. $d = 340 \times 9.0 = 3060\,\mathrm{m} \approx 3.1\,\mathrm{km}$ .

2. $3060/(3.00\times10^{8}) \approx 10\,\text{µ}\mathrm{s}$ , un million de fois plus court que $9.0\,\mathrm{s}$ : l’éclair marque l’instant du coup.

3. En $3\,\mathrm{s}$ le son couvre $340 \times 3 = 1020\,\mathrm{m} \approx 1\,\mathrm{km}$ : les secondes divisées par trois donnent les kilomètres.

4. $d = 340 \times 6.0 = 2040\,\mathrm{m}$ . L’orage a refermé $1020\,\mathrm{m}$ en $300\,\mathrm{s}$ : $v = 3.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 12\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , en direction du bateau.

5. L’extrémité proche s’entend après $2000/340 = 5.9\,\mathrm{s}$ , l’extrémité lointaine après $5000/340 = 14.7\,\mathrm{s}$ : le grondement dure environ $8.8\,\mathrm{s}$ .

6. $d = 1500 \times 0.90/2 = 675\,\mathrm{m}$ .

7. $d = 1500 \times 0.20/2 = 150\,\mathrm{m}$ .

8. Deux obstacles : un banc de poissons à $1500 \times 0.16/2 = 120\,\mathrm{m}$ et le fond à $150\,\mathrm{m}$ . Le banc nage $30\,\mathrm{m}$ au-dessus du fond.

9. L’écho doit revenir avant le ping suivant : $d_{\max} = 1500 \times 0.50/2 = 375\,\mathrm{m}$ . Depuis une eau plus profonde l’écho arrive après le ping suivant et lui est attribué : l’affichage montre un faux fond beaucoup trop peu profond.

10. Dans l’air, $340 \times 0.60/2 = 102\,\mathrm{m}$ au lieu de $450\,\mathrm{m}$ . Un délai ne devient une distance qu’une fois que l’on connaît le porteur et sa vitesse dans le milieu traversé.

11. $f = 1/0.86 = 1.16\,\mathrm{Hz}$ , c’est-à-dire $1.16 \times 60 \approx 70$ battements par minute.

12. $25 \times 0.86 = 21.5\,\mathrm{mm}$ .

13. $T = 15/25 = 0.60\,\mathrm{s}$ : $100$ battements par minute.

14. $T = 60/50 = 1.2\,\mathrm{s}$ ; espacement $25 \times 1.2 = 30\,\mathrm{mm}$ .

15. Non : la période dérive d’un battement à l’autre avec l’effort, la respiration et le stress. Le médecin lit la période (le rythme), sa régularité, et la forme de chaque cycle — le diagnostic est dans le signal.

16. Radio : $5.0\times10^{4}/(3.00\times10^{8}) = 0.17\,\mathrm{ms}$ — instantané pour les sens humains. Son : $50\,000/340 \approx 147\,\mathrm{s}$ , deux minutes et demie.

17. $t = 2.02\times10^{7}/(3.00\times10^{8}) = 67\,\mathrm{ms}$ .

18. $c \times 1.0\,\text{µ}\mathrm{s} = 300\,\mathrm{m}$ . Pour une fix à $3.0\,\mathrm{m}$ : $3.0/(3.00\times10^{8}) = 10\,\mathrm{ns}$ — c’est pourquoi les satellites GPS portent des horloges atomiques.

19. Les satellites sont dans le vide, et le son a besoin d’un milieu : aucun signal ne quitterait le satellite. (Même en accordant de l’air tout le trajet, $20\,200\,\mathrm{km}$ à $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ font plus de $16\,\mathrm{h}$ — un point de position en retard de plusieurs heures.)

20. $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (son dans l’air), $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (son dans l’eau de mer) et $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (radio et lumière) ; la loi est $d = v\,t$ , divisée par deux pour un écho. L’habitude : connaître son porteur, connaître sa vitesse dans le milieu, chronométrer le délai — un délai est une distance déguisée.