Physique du lycée · Grades 10–12

24Cinématique à deux dimensions

Regardez une voiture prendre un rond-point à un $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ constant : l’aiguille ne bouge pas, pourtant chaque passager se sent tiré de côté — le mouvement change, et ce n’est pas la vitesse. Un nombre par instant ne suffit plus : le mouvement dans le plan a besoin de flèches. Ce chapitre équipe un point mobile de trois — position, vitesse, accélération — enchaînées par la dérivée, et lit des familles entières de mouvements sur leur géométrie.

24.1 Le vecteur position

Le mouvement n’existe que par rapport à un référentiel déclaré — un corps rigide plus une horloge (Chapitre 5). Nouveau cette année : la précision. Attacher au référentiel une origine $O$ et deux axes gradués perpendiculaires $Ox$ , $Oy$ , et enregistrer où se trouve le point à chaque instant, comme une paire de fonctions.

Définition 24.1 (Vecteur position)

Dans un référentiel muni d’une origine $O$ et d’axes $Ox$ , $Oy$ , le vecteur position d’un point mobile $M$ à l’instant $t$ est $\vect{OM}(t)$ , de coordonnées $\bigl(x(t),\, y(t)\bigr)$ : deux fonctions du temps, une par axe. La courbe tracée par $M$ lorsque $t$ varie est sa trajectoire.

24.2 Le vecteur vitesse

Définition 24.2 (Vecteur vitesse)

Sur un court intervalle le point se déplace de $\vect{OM}(t+\Delta t) - \vect{OM}(t)$ ; diviser par $\Delta t$ et laisser l’intervalle se rétrécir : c’est la dérivée de votre cours de mathématiques, appliquée à chaque coordonnée. Le vecteur vitesse de $M$ est la dérivée de son vecteur position, $\vect v(t) = \bigl(x'(t),\, y'(t)\bigr)$ , en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Sa norme $v = \sqrt{x'^2 + y'^2}$ est la vitesse — le seul nombre que montre le compteur.

Exemple 24.3 (Un drone en vol horizontal)

Un drone vole avec $x(t) = 4.0\,t$ et $y(t) = 3.0\,t$ (mètres, secondes) : trajectoire la droite $y = \tfrac34 x$ , vitesse $\vect v = (4.0, 3.0)$ à tout instant, vitesse $\sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , constante.

Proposition 24.4 (Tangente à la trajectoire)

À chaque instant, $\vect v(t)$ est tangent à la trajectoire à la position actuelle de $M$ , et pointe dans le sens du parcours.

Démonstration. Le déplacement est une corde de la trajectoire ; lorsque $\Delta t$ se rétrécit, la direction de la corde devient celle de la tangente. ∎

24.3 Le vecteur accélération

Définition 24.5 (Vecteur accélération)

Le vecteur accélération de $M$ est la dérivée de son vecteur vitesse, $\vect a(t) = \bigl(v_x'(t),\, v_y'(t)\bigr) = \bigl(x''(t),\, y''(t)\bigr)$ , en $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : à quelle vitesse, et dans quelle direction, le vecteur vitesse change actuellement.

Remarque 24.6 (Accélérer sans accélérer)

$\vect a \neq \vect 0$ dès que le vecteur vitesse change — en longueur ou en direction : une voiture qui freine accélère (vers l’arrière) ; une voiture qui tourne à vitesse constante accélère (latéralement). C’est la grandeur que contrôlent les forces (Chapitres 16 et 25).

Méthode 24.7 (Lire une chronophotographie)

Une chronophotographie enregistre les positions $M_0, M_1, M_2, \dots$ d’un point mobile à intervalles de temps égaux $\Delta t$ .

L’espacement des points lit la vitesse : espacements égaux, vitesse constante ; qui s’ouvrent, accélération ; qui se resserrent, ralentissement.
La vitesse en $M_i$ est la corde symétrique, $\vect v_i \approx \vect{M_{i-1}M_{i+1}}/(2\,\Delta t)$ , tracée en $M_i$ , tangente au chemin pointillé.
Pour l’accélération en $M_i$ : reporter $\vect v_{i-1}$ et $\vect v_{i+1}$ en $M_i$ , tracer $\Delta\vect v = \vect v_{i+1} - \vect v_{i-1}$ bout à bout ; alors $\vect a_i \approx \Delta\vect v/(2\,\Delta t)$ .

Chronophotographie d’une balle lancée : v_2 et v_4, construites à partir des cordes, sont reportées en M_3 ; leur différence v livre a — verticale, vers le bas. — Chronophotographie d’une balle lancée : $\vect v_2$ et $\vect v_4$ , construites à partir des cordes, sont reportées en $M_3$ ; leur différence $\Delta\vect v$ livre $\vect a$ — verticale, vers le bas.

24.4 Mouvements rectilignes

Le long d’une droite un seul axe suffit : $x(t)$ , $v(t) = x'(t)$ , $a(t) = v'(t)$ , tous nombres signés.

Définition 24.8 (Mouvement rectiligne uniforme)

Un mouvement est rectiligne uniforme lorsque $\vect v$ est un vecteur constant : trajectoire droite, vitesse constante, $\vect a = \vect 0$ . Alors $x(t) = v\,t + x_0$ .

Proposition 24.9 (Mouvement rectiligne uniformément accéléré)

Si un point se déplace le long de $Ox$ avec une accélération $a$ constante, partant en $t = 0$ de la position $x_0$ avec la vitesse $v_0$ , alors

v(t) = a\,t + v_0, \qquad x(t) = \tfrac12\,a\,t^2 + v_0\,t + x_0 .

Démonstration. $v$ est une primitive de la constante $a$ : $v(t) = a t + C$ , et $t = 0$ force $C = v_0$ . À son tour $x$ est une primitive de $a t + v_0$ : $x(t) = \tfrac12 a t^2 + v_0 t + C'$ , avec $C' = x_0$ . ∎

Mouvement uniformément accéléré (a = 2.0\, m/ s2, v_0 = 1.0\, m/ s, x_0 = 0) : chaque graphique est la dérivée de celui du dessus — une parabole, sa pente, la pente de la pente. — Mouvement uniformément accéléré ( $a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $v_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $x_0 = 0$ ) : chaque graphique est la dérivée de celui du dessus — une parabole, sa pente, la pente de la pente.

Exemple 24.10 (Distance de freinage)

Une voiture à la vitesse $v_0$ freine avec une décélération constante $a$ (accélération $-a$ ). Elle s’arrête lorsque $v(t) = -a t + v_0 = 0$ , en $t_s = v_0/a$ , ayant parcouru $d = -\tfrac12 a t_s^2 + v_0 t_s = v_0^2/(2a)$ . Le carré est le titre de la sécurité routière : doubler la vitesse quadruplé la distance de freinage — avec $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $16\,\mathrm{m}$ depuis $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , $64\,\mathrm{m}$ depuis $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

24.5 Mouvement circulaire uniforme et repère de Frenet

Définition 24.11 (Mouvement circulaire uniforme)

Un mouvement est circulaire uniforme lorsque la trajectoire est un cercle de rayon $R$ et la vitesse $v$ est constante. La période $T$ est la durée d’un tour, et la fréquence $f = 1/T$ (en $\mathrm{Hz}$ ) le nombre de tours par seconde : $v = 2\pi R/T = 2\pi R f$ .

Vitesse constante — pourtant la vitesse tourne : il y a une accélération. Dans quelle direction, et de quelle taille ?

Théorème 24.12 (Accélération centripète)

En mouvement circulaire uniforme de rayon $R$ et de vitesse $v$ , l’accélération — dite centripète — pointe du point mobile vers le centre du cercle, de norme constante

a = \frac{v^2}{R}.

Démonstration. Centrer les axes au centre du cercle et poser $\omega = v/R$ , de sorte que l’arc $v t$ sous-tend l’angle $\omega t$ : la position est $x(t) = R\cos(\omega t)$ , $y(t) = R\sin(\omega t)$ . En dérivant, $\vect v = (-R\omega\sin(\omega t),\, R\omega\cos(\omega t))$ , de norme constante $R\omega = v$ ; en dérivant encore, $\vect a = -\omega^2\,\vect{OM}$ : opposé au vecteur position — vers le centre — de norme $\omega^2 R = v^2/R$ . ∎

Mouvement circulaire uniforme : v tangent, de longueur fixe ; a dirigé vers le centre, de longueur fixe v2/R — tournant pour toujours la vitesse sans jamais l’étirer. — Mouvement circulaire uniforme : $\vect v$ tangent, de longueur fixe ; $\vect a$ dirigé vers le centre, de longueur fixe $v^2/R$ — tournant pour toujours la vitesse sans jamais l’étirer.

Définition 24.13 (Repère de Frenet)

Le repère de Frenet à la position actuelle d’un point sur un chemin courbe est le couple de vecteurs unitaires perpendiculaires $(\vect{u_t}, \vect{u_n})$ : $\vect{u_t}$ tangent, le long du mouvement ; $\vect{u_n}$ normal, vers le centre du cercle de rayon $R$ qui épouse le mieux la courbe là.

Proposition 24.14 (Accélération dans le repère de Frenet)

Le long de tout chemin plan de rayon local $R$ , parcouru à la vitesse $v(t)$ ,

\vect a = a_t\,\vect{u_t} + a_n\,\vect{u_n}, \qquad a_t = \frac{\dd v}{\dd t}, \qquad a_n = \frac{v^2}{R}:

l’accélération tangentielle $a_t$ change la vitesse ; l’accélération normale $a_n$ tourne la vitesse.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 24.15 (Où vit la preuve)

Nous avons prouvé les extrêmes : $a_t$ pure sur une droite (Proposition 24.9), $a_n$ pure sur un cercle (Théorème 24.12) ; la décomposition générale est établie dans le volume de Licence 1.

Exemple 24.16 (Freiner dans un virage)

Une voiture entre dans un virage de rayon $R = 50\,\mathrm{m}$ à $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en freinant à $\dd v/\dd t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $a_t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a_n = 15^2/50 = 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , donc $a = \sqrt{3.0^2 + 4.5^2} \approx 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , pointant vers l’arrière et vers l’intérieur du virage. Les pneus doivent fournir les deux à la fois — pourquoi les pilotes freinent avant le virage.

24.6 Exercices

Exercice 24.1 ★

Pour $x(t) = 3.0\,t$ , $y(t) = 4.0\,t$ (mètres, secondes), donner $\vect v$ , la vitesse, la trajectoire et la classe de mouvement.

Solution

Solution de Exercice 24.1.

$\vect v = (3.0, 4.0)$ , constant ; vitesse $\sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Trajectoire : la droite $y = \tfrac43 x$ . Vecteur vitesse constant : mouvement rectiligne uniforme.

Exercice 24.2 ★

Sur une chronophotographie prise toutes les $0.10\,\mathrm{s}$ , les points sont alignés, espacés régulièrement de $0.35\,\mathrm{m}$ . Identifier le mouvement et calculer la vitesse. Que indiqueraient des espacements qui s’ouvrent ?

Solution

Solution de Exercice 24.2.

Droite, espacements égaux : rectiligne uniforme ; $v = 0.35/0.10 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Des espacements qui s’ouvrent signifieraient que la vitesse augmente.

Exercice 24.3 ★

Pour $x(t) = 2.0\,t^2$ le long de $Ox$ (mètres, secondes), dériver $v(t)$ et $a(t)$ , nommer la classe de mouvement, et calculer la vitesse en $t = 3.0\,\mathrm{s}$ .

Solution

Solution de Exercice 24.3.

$v(t) = 4.0\,t$ , $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : accélération constante, rectiligne uniformément accéléré. $v(3.0) = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 24.4 ★

Un cheval de manège parcourt un cercle de rayon $4.5\,\mathrm{m}$ , un tour toutes les $8.0\,\mathrm{s}$ : calculer la fréquence, la vitesse et l’accélération (norme et direction).

Solution

Solution de Exercice 24.4.

$f = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{Hz}$ ; $v = 2\pi \times 4.5/8.0 \approx 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = v^2/R = 3.53^2/4.5 \approx 2.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , pointant vers l’axe du manège.

Exercice 24.5 ★

Un graphique $v(t)$ grimpe en droite de $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $t = 0$ à $10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $t = 4.0\,\mathrm{s}$ . Lire l’accélération, puis la distance parcourue (aire sous le graphique).

Solution

Solution de Exercice 24.5.

Pente : $a = (10.0 - 2.0)/4.0 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Aire (trapèze) : $d = \tfrac12 (2.0 + 10.0) \times 4.0 = 24\,\mathrm{m}$ .

Exercice 24.6 ★★

Un train à grande vitesse prend une courbe de rayon $6.0\,\mathrm{km}$ à $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Calculer $a_n$ et la comparer à $g$ ; pourquoi les lignes à grande vitesse doivent-elles éviter les courbes serrées, même parfaitement déversées ?

Solution

Solution de Exercice 24.6.

$v = 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $a_n = 88.9^2/6000 \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.13\,g$ . Comme $a_n = v^2/R$ , une $v$ élevée exige un $R$ énorme pour garder l’accélération latérale (et la force sur la voie et les passagers) acceptable — le dévers change qui la fournit, non sa taille.

Exercice 24.7 ★★

Un chariot sur un rail droit a $x(t) = -1.2\,t^2 + 8.0\,t + 3.0$ (mètres, secondes). Trouver $v(t)$ et $a$ , l’instant et la position du retournement, et décrire le mouvement avant et après.

Solution

Solution de Exercice 24.7.

$v(t) = -2.4\,t + 8.0$ ; $a = -2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , constante. Retournement à $v = 0$ : $t = 8.0/2.4 \approx 3.3\,\mathrm{s}$ , en $x \approx 16.3\,\mathrm{m}$ . Avant : en avant, freinant ; après : en arrière, accélérant — uniformément accéléré tout du long.

Exercice 24.8 ★★

Une chronophotographie le long d’une droite, toutes les $\Delta t = 0.20\,\mathrm{s}$ , donne $x = 0$ , $0.10$ , $0.28$ , $0.54$ , $0.88\,\mathrm{m}$ . Estimer la vitesse aux trois points intérieurs (Méthode 24.7), puis l’accélération ; conclure.

Solution

Solution de Exercice 24.8.

$v_1 = 0.28/0.40 = 0.70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_2 = (0.54 - 0.10)/0.40 = 1.10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_3 = (0.88 - 0.28)/0.40 = 1.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . La vitesse gagne $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ toutes les $0.20\,\mathrm{s}$ : $a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , constante — rectiligne uniformément accéléré.

Exercice 24.9 ★★

La Lune orbite la Terre sur un quasi-cercle de rayon $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ en $27.3\,\mathrm{d}$ . Calculer sa vitesse et son accélération centripète ; comparer cette dernière à $g$ , sachant que la Lune est à environ $60$ rayons terrestres (Chapitre 4).

Solution

Solution de Exercice 24.9.

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $v = 2\pi \times 3.84 \times 10^{8}/2.36 \times 10^{6} \approx 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Rapport : $g/a_n \approx 3600 = 60^2$ — la gravité, diluée comme l’inverse du carré de la distance (Chapitre 4), rend exactement compte du virage de la Lune.

Exercice 24.10 ★★

Le tambour d’une machine à laver de rayon $25\,\mathrm{cm}$ tourne à $1200$ tours par minute. Calculer $f$ , $T$ , la vitesse au bord et l’accélération au bord en multiples de $g$ . Pourquoi le linge reste-t-il plaqué tandis que l’eau part ?

Solution

Solution de Exercice 24.10.

$f = 1200/60 = 20\,\mathrm{Hz}$ , $T = 0.050\,\mathrm{s}$ ; $v = 2\pi R f = 2\pi \times 0.25 \times 20 \approx 31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 400\,g$ . La paroi du tambour fournit l’ $a_n$ du linge ; à travers les trous rien ne pousse l’eau vers l’intérieur, donc elle s’envole le long de la tangente.

Exercice 24.11 ★★

Une voiture à $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ freine avec $a = 7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ constante : calculer le temps d’arrêt et la distance de freinage, et esquisser $v(t)$ .

Solution

Solution de Exercice 24.11.

$v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $t_s = 25/7.5 \approx 3.3\,\mathrm{s}$ ; $d = v_0^2/(2a) = 625/15 \approx 42\,\mathrm{m}$ . Graphique : un segment droit de $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ jusqu’à $0$ en $t_s$ .

Exercice 24.12 ★★★

Pour $x(t) = R\cos(\omega t)$ , $y(t) = R\sin(\omega t)$ : calculer $\vect v$ ; vérifier que la vitesse est la constante $R\omega$ et $\vect v \perp \vect{OM}$ ; calculer $\vect a$ , montrer qu’elle vaut $-\omega^2\,\vect{OM}$ , et retrouver $a = v^2/R$ .

Solution

Solution de Exercice 24.12.

$\vect v = (-R\omega\sin\omega t,\, R\omega\cos\omega t)$ , de norme constante $R\omega$ ; son produit scalaire avec $\vect{OM}$ s’annule, donc il est perpendiculaire au rayon, d’où tangent. En dérivant encore, $\vect a = -\omega^2\vect{OM}$ : vers $O$ , de norme $\omega^2 R = (v/R)^2 R = v^2/R$ .

Exercice 24.13 ★★★

Une moto entre dans un virage de rayon $80\,\mathrm{m}$ à $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , en freinant à $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Calculer $a_t$ , $a_n$ , la norme de $\vect a$ et son angle avec la direction du mouvement. Les pneus tiennent jusqu’à $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ en tout : le pilote est-il dans la limite ?

Solution

Solution de Exercice 24.13.

$a_t = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (vers l’arrière), $a_n = 20^2/80 = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $a = \sqrt{2.5^2 + 5.0^2} \approx 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; angle avec la direction du mouvement : $\theta = 180^\circ - \arctan(5.0/2.5) \approx 117^\circ$ (c.-à-d. $63^\circ$ depuis l’arrière droit). $5.6 < 7.0$ : dans l’adhérence, avec peu de marge.

Exercice 24.14 ★★★

Un métro accélère du repos à $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ jusqu’à $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , croisière pendant $40\,\mathrm{s}$ , puis freine à $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ jusqu’à l’arrêt. Calculer la durée et la longueur de chaque phase, la distance totale et la vitesse moyenne. Esquisser $v(t)$ et vérifier la distance comme une aire.

Solution

Solution de Exercice 24.14.

Lancement : $t_1 = 20/1.2 \approx 17\,\mathrm{s}$ , $d_1 = 20^2/(2 \times 1.2) \approx 167\,\mathrm{m}$ . Croisière : $40\,\mathrm{s}$ , $800\,\mathrm{m}$ . Freinage : $t_3 = 20/1.5 \approx 13\,\mathrm{s}$ , $d_3 = 400/3.0 \approx 133\,\mathrm{m}$ . Total : $1.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ en $70\,\mathrm{s}$ ; moyenne $1100/70 \approx 16\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). $v(t)$ est un trapèze dont l’aire, $\tfrac12(70 + 40) \times 20 = 1100\,\mathrm{m}$ , vérifie le total.

Exercice 24.15 ★★★

Un satellite géostationnaire tourne à un rayon $4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ du centre de la Terre avec une période $86\,164\,\mathrm{s}$ . Calculer sa vitesse et son accélération centripète. Qui la fournit, et pourquoi le satellite reste-t-il au-dessus d’un point équatorial fixe (Chapitre 27) ?

Solution

Solution de Exercice 24.15.

$v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx 3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 0.22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . La gravité terrestre à cette distance la fournit ; la période égale la période de rotation de la Terre, donc satellite et sol tournent ensemble et il reste au-dessus d’un point équatorial (Chapitre 27).

24.7 Problème : Le rapport d’accident

Problème 24.1

Problème du week-end — le rapport d’accident : un film de dashcam lu image par image, une loi de freinage reconstruite à partir des traces de freinage, un rond-point qui témoigne de l’adhérence, et un verdict en kilomètres par heure

Une voiture heurte une fourgonnette sortie d’une rue latérale ; personne n’est blessé, mais les assureurs ne sont pas d’accord. L’enquêteur dispose d’images de caméra aérienne (une image toutes les $0.50\,\mathrm{s}$ ), de traces de freinage mesurées, et de la dashcam de la voiture. La limite de vitesse est $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Partie I — Lire le film. Les images avant toute réaction donnent, le long de la route droite :

$t$ ( $\mathrm{s}$ )	0.00	0.50	1.00	1.50	2.00
$x$ ( $\mathrm{m}$ )	0.0	9.0	18.0	27.0	36.0

Pourquoi le rapport doit-il d’abord nommer un référentiel et des axes ? Lesquels sont utilisés ici ?
Calculer la vitesse moyenne sur chacun des quatre intervalles.
Quelle classe de mouvement est-ce ? Justifier à partir du tableau.
Donner la vitesse $v_0$ de la voiture en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Quelle est l’accélération pendant ces deux secondes ?

Partie II — Les traces de freinage. Des tests de pneus sur cet asphalte sec donnent une décélération de freinage constante $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; les traces mesurent $d_b = 27\,\mathrm{m}$ . Prendre $t = 0$ , $x = 0$ au début du freinage, vitesse inconnue $v_B$ .

Par primitives, écrire $v(t)$ et $x(t)$ pendant le freinage.
Exprimer le temps d’arrêt $t_s$ ; montrer $d_b = v_B^2/(2a)$ .
En déduire $v_B$ à partir des traces. Cohérent avec la partie I ?
Le temps de réaction est $1.0\,\mathrm{s}$ : calculer la distance de réaction et la distance d’arrêt totale.
Expliquer, à partir de la question 7, pourquoi doubler la vitesse multiplie par quatre la distance de freinage ; calculer $d_b$ à exactement $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Partie III — Le rond-point témoigne. Plus tôt, la dashcam montre la voiture tournant dans une voie de rond-point de rayon $R = 12.5\,\mathrm{m}$ à vitesse constante, un quart de tour en $2.5\,\mathrm{s}$ . La route peut fournir au plus $a_n = \mu g$ , avec $\mu = 0.70$ .

La vitesse est constante là — la vitesse vectorielle l’est-elle ? La voiture accélère-t-elle ? Expliquer.
Calculer la vitesse de la voiture sur le rond-point.
Calculer son accélération centripète (norme et direction).
Calculer la vitesse maximale sans dérapage. La voiture y était-elle ?
Donner la période et la fréquence d’un tour complet à cette vitesse.

Partie IV — Le verdict. La fourgonnette est apparue $D = 41\,\mathrm{m}$ devant la voiture à l’instant où le conducteur a commencé à réagir.

De combien, en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ et en pour cent, la vitesse avant freinage dépassait-elle la limite ?
Calculer la vitesse de la voiture à l’impact.
Refaire le calcul d’arrêt à exactement $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ (même réaction, même freinage) : la voiture s’arrête-t-elle, avec quelle marge ?
Donner la formule générale de distance d’arrêt $d(v)$ ; pourquoi la vitesse entre-t-elle deux fois — une fois linéairement, une fois au carré ?
Le verdict, une phrase avec ses nombres : à quelle vitesse roulait le conducteur, et l’accident se serait-il produit à la limite ?

Solution

Solution de Problème 24.1.

1. Le mouvement est relatif (Chapitre 5) : chaque position et vitesse doit nommer son référentiel. Ici : le référentiel du sol (route), $x$ le long de la route depuis la position de la première image.

2. Chaque intervalle : $9.0/0.50 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — quatre valeurs égales.

3. Route droite, déplacements égaux en temps égaux : mouvement rectiligne uniforme.

4. $v_0 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 64.8\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

5. $\vect a = \vect 0$ .

6. $v(t) = -a\,t + v_B$ ; $x(t) = -\tfrac12 a t^2 + v_B\,t$ .

7. $v(t_s) = 0$ donne $t_s = v_B/a$ ; alors $d_b = -\tfrac12 a (v_B/a)^2 + v_B^2/a = v_B^2/(2a)$ .

8. $v_B = \sqrt{2 a d_b} = \sqrt{2 \times 6.0 \times 27} = \sqrt{324} = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — exactement la vitesse filmée : le conducteur n’a jamais ralenti avant de freiner.

9. Réaction : $18.0 \times 1.0 = 18\,\mathrm{m}$ ; total $18 + 27 = 45\,\mathrm{m}$ .

10. $d_b = v_B^2/(2a) \propto v_B^2$ : doubler $v_B$ multiplie $d_b$ par $4$ . À $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) : $d_b = 13.9^2/12.0 \approx 16\,\mathrm{m}$ .

11. La vitesse est constante mais la direction de la vitesse tourne : $\vect v$ n’est pas constant, donc la voiture accélère.

12. Quart de tour : $2\pi R/4 = 19.6\,\mathrm{m}$ ; $v = 19.6/2.5 \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).

13. $a_n = 7.85^2/12.5 \approx 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , vers le centre du rond-point.

14. $a_{\max} = \mu g = 0.70 \times 9.81 \approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v_{\max} = \sqrt{\mu g R} = \sqrt{6.87 \times 12.5} \approx 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $33\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). $7.9 < 9.3$ : dans l’adhérence — cohérent avec la voie propre, sans dérapage.

15. $T = 2\pi R/v = 78.5/7.85 \approx 10.0\,\mathrm{s}$ ; $f = 0.10\,\mathrm{Hz}$ .

16. $64.8 - 50 \approx 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ de trop — environ $30\%$ au-dessus de la limite.

17. Le freinage agit sur $41 - 18 = 23\,\mathrm{m}$ : $v^2 = v_B^2 - 2ad = 324 - 2 \times 6.0 \times 23 = 48$ , donc $v \approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ à l’impact.

18. À $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $13.9 \times 1.0 + 13.9^2/12.0 = 13.9 + 16.1 = 30.0\,\mathrm{m} < 41\,\mathrm{m}$ — la voiture s’arrête $11\,\mathrm{m}$ avant la fourgonnette.

19. $d(v) = v\,t_r + v^2/(2a)$ : une fois linéairement (la réaction couvre $v t_r$ avant que les freins n’agissent), une fois au carré (la partie cinétique $v^2/(2a)$ ) — d’où le coût disproportionné des excès modérés.

20. La dashcam et les traces s’accordent : $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ dans une zone à $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; à la limite légale la voiture se serait arrêtée $11\,\mathrm{m}$ avant la fourgonnette — l’accident, c’est les $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ de trop.