Physique du lycée · Grades 10–12

30Circuits RC et RL

Appuyez à mi-course sur le déclencheur d’un appareil photo : un sifflement fin monte pendant deux secondes, une lumière passe au vert — seulement alors le flash se déclenchera, déversant en une milliseconde ce qu’il a passé deux secondes à rassembler. Ce chapitre rencontre les deux composants qui donnent aux circuits une mémoire et une horloge — condensateur et bobine — et les premières équations différentielles de la physique, vérifiables avec les dérivées de cette année.

30.1 Le condensateur

Définition 30.1 (Condensateur et capacité)

Un condensateur est une paire de plaques métalliques en regard séparées par un isolant mince. Branchées à une source, les plaques prennent des charges opposées $+q$ et $-q$ — un champ électrique remplit l’intervalle (Chapitre 14) — et la tension $u$ entre les plaques est proportionnelle à la charge stockée :

q = C\,u .

La constante $C$ est la capacité, en farads ( $\mathrm{F}$ ) : $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$ .

Exemple 30.2 (Ordres de grandeur)

Un farad est énorme — un coulomb garé par volt. Céramiques des circuits radio : $\mathrm{pF}$ à $\mathrm{nF}$ ; électrolytiques des alimentations de puissance et des flashs : $\text{µ}\mathrm{F}$ à $\mathrm{mF}$ ; supercondensateurs : des milliers de farads.

Proposition 30.3 (Courant entrant dans un condensateur)

Le courant qui arrive sur une plaque d’un condensateur est le taux auquel sa charge croît :

i = \frac{dq}{dt} = C\,\frac{du}{dt} ,

les minuscules marquant les grandeurs variables dans le temps ( $U$ , $I$ restent stationnaires, Chapitre 12).

Démonstration. Le courant est la charge livrée par seconde (Définition 12.1) : sur un intervalle qui se rétrécit, $i$ est la dérivée de $q$ ; et $q = Cu$ avec $C$ constant donne $C\,du/dt$ . ∎

Remarque 30.4 (Deux conséquences)

Si $u$ est constant, $i = 0$ : un condensateur chargé ne laisse passer aucun courant permanent. Et $u$ ne peut jamais sauter — un échelon exigerait un courant infini : la tension du condensateur est la mémoire du circuit.

30.2 Charger un condensateur : le circuit RC

Une seule boucle — source $\mathcal{E}$ (Définition 12.18), interrupteur, résistor, condensateur vide : fermer $K$ à $t = 0$ .

Le circuit de charge RC : fermer K laisse la source pousser de la charge à travers R sur les plaques de C. — Le circuit de charge RC : fermer $K$ laisse la source pousser de la charge à travers $R$ sur les plaques de $C$ .

Théorème 30.5 (Loi de charge du circuit RC)

Après la fermeture de l’interrupteur, la tension du condensateur obéit, puis suit de $u(0) = 0$ :

RC\,\frac{du}{dt} + u = \mathcal{E}, \qquad u(t) = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = RC .

Démonstration. Les tensions le long de la boucle s’ajoutent (Proposition 12.4) : $\mathcal{E} = u_R + u = Ri + u$ à chaque instant ; substituer $i = C\,du/dt$ (Proposition 30.3). Maintenant vérifier la candidate : $du/dt = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$ , donc $RC\,(\mathcal{E}/RC)\,e^{-t/\tau} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/\tau}) = \mathcal{E}$ , vrai pour tout $t$ ; et $u(0) = \mathcal{E}(1-1) = 0$ . Qu’aucune autre courbe ne s’accorde à l’équation et au départ est prouvé dans le cours de mathématiques de cette année sur les équations différentielles. ∎

Définition 30.6 (Constante de temps)

La constante de temps d’un circuit RC est $\tau = RC$ . Unités : $\Omega \times \mathrm{F} = (\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$ — le propre tempo du circuit.

Méthode 30.7 (Lire $\tau$ sur la courbe)

Trois lectures équivalentes, directement sur un graphe :

tangente à l’origine : $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ , donc la tangente initiale atteint l’asymptote en $t = \tau$ ;
63% : $u(\tau) = \mathcal{E}(1 - e^{-1}) \approx 0.63\,\mathcal{E}$ ;
95% : $u(3\tau) \approx 0.95\,\mathcal{E}$ — chargé, pour les besoins pratiques ( $5\tau$ : $99\%$ ).

Proposition 30.8 (Décharge)

Un condensateur chargé à $U_0$ et fermé sur un résistor $R$ seul obéit à $RC\,du/dt + u = 0$ et suit

u(t) = U_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = RC

— $37\%$ restants à $\tau$ , $5\%$ à $3\tau$ .

Démonstration. Même loi de maille, sans source ; substitution encore : $RC(-U_0/\tau)e^{-t/\tau} + U_0 e^{-t/\tau} = 0$ , avec $u(0) = U_0$ . ∎

Charge (bleu, de u = 0 vers E) et décharge (rouge, depuis U_0 = E). Les deux tangentes initiales rencontrent leur asymptote en t = ; 63\% faits à , 95\% à 3. — Charge (bleu, de $u = 0$ vers $\mathcal{E}$ ) et décharge (rouge, depuis $U_0 = \mathcal{E}$ ). Les deux tangentes initiales rencontrent leur asymptote en $t = \tau$ ; $63\%$ faits à $\tau$ , $95\%$ à $3\tau$ .

Exemple 30.9 (Les nombres d’un flash photo)

Un flash photo charge $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$ à travers $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ : $\tau = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}$ , donc le voyant « prêt » — câblé pour se déclencher à $95\%$ — attend $3\tau \approx 2.4\,\mathrm{s}$ : le sifflement de l’accroche. Déclenché à travers les maigres $0.50\,\Omega$ du tube éclair, le même condensateur se vide avec $\tau' = 0.40\,\mathrm{ms}$ : deux mille fois plus vite en sortie qu’en entrée.

30.3 La bobine : inductance et circuit RL

Définition 30.10 (Bobine et inductance)

Une bobine est un solénoïde de fil : son courant enfile ses propres spires d’un champ magnétique (Chapitre 15) ; dès qu’il change, une tension apparaît aux bornes de la bobine :

u = L\,\frac{di}{dt} .

La constante $L$ est l’inductance, en henrys ( $\mathrm{H}$ ) : $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 30.11 (La bobine résiste au changement)

Pourquoi un courant variable produit une tension — l’induction — se dérive dans les volumes universitaires ; ici on prend la loi et son caractère : la bobine s’oppose aux changements de son courant. Jumeaux miroir : la $u$ d’un condensateur ne peut pas sauter, le $i$ d’une bobine non plus.

Le circuit RL : après la fermeture de K, la bobine ne laisse le courant grimper qu’à son propre rythme = L/R. — Le circuit RL : après la fermeture de $K$ , la bobine ne laisse le courant grimper qu’à son propre rythme $\tau = L/R$ .

Proposition 30.12 (Montée du courant dans un circuit RL)

Fermer l’interrupteur sur une source $\mathcal{E}$ , un résistor $R$ et une bobine $L$ en série donne $\mathcal{E} = Ri + L\,di/dt$ , c’est-à-dire

\frac{L}{R}\,\frac{di}{dt} + i = \frac{\mathcal{E}}{R}, \qquad\text{résolu par}\quad i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \quad \tau = \frac{L}{R} .

Démonstration. La loi de maille encore ; et c’est la même équation qu’au Théorème 30.5 avec $u \to i$ , $\mathcal{E} \to \mathcal{E}/R$ , $RC \to L/R$ — la même substitution vérifie la solution, et chaque lecture de la Méthode 30.7 se transfère. ∎

Exemple 30.13 (Un électroaimant se réveille)

Une bobine de relais, $L = 0.30\,\mathrm{H}$ et $R = 6.0\,\Omega$ , sur une alimentation de $12\,\mathrm{V}$ : courant final $\mathcal{E}/R = 2.0\,\mathrm{A}$ , au rythme $\tau = 0.30/6.0 = 50\,\mathrm{ms}$ — éveillé en $3\tau \approx 0.15\,\mathrm{s}$ .

Remarque 30.14 (L’étincelle à l’ouverture)

Ouvrir un interrupteur sur une bobine sous tension et $i$ doit s’écraser à zéro en une fraction de milliseconde : $di/dt$ est énorme et $u = L\,di/dt$ atteint des centaines ou des milliers de volts — une étincelle saute le contact. La bobine d’allumage d’une voiture le fait exprès, des milliers de fois par minute.

30.4 Énergie stockée

Proposition 30.15 (Énergie dans un condensateur, énergie dans une bobine)

Un condensateur $C$ chargé à la tension $u$ et une bobine $L$ parcourue par un courant $i$ stockent

E_C = \tfrac12\,C u^2 = \frac{q^2}{2C}, \qquad E_L = \tfrac12\,L i^2 .

Démonstration. Déposer une petite charge $dq$ sur des plaques déjà à la tension $u$ coûte $u\,dq$ (Définition 12.3) ; en empilant les coûts, le total est l’aire sous la droite $u = q/C$ — le triangle ci-dessous — donc $E_C = \tfrac12 qu = \tfrac12 Cu^2$ . Le même triangle pour la bobine (élever $i$ de $di$ coûte $Li\,di$ ) donne $E_L = \tfrac12 Li^2$ . ∎

Chaque tranche dq coûte u\,dq ; la charge entière coûte l’aire du triangle E_C = 1/2 q_0 u_0 — les premiers coulombs montent à basse tension. — Chaque tranche $dq$ coûte $u\,dq$ ; la charge entière coûte l’aire du triangle $E_C = \tfrac12 q_0 u_0$ — les premiers coulombs montent à basse tension.

Exemple 30.16 (Ordres de grandeur d’énergie)

Le condensateur de flash de l’Exemple 30.9 : $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$ . Un supercondensateur de $3000\,\mathrm{F}$ à $2.7\,\mathrm{V}$ : $1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ — l’équivalent d’une pile AA. Une bobine de $10\,\mathrm{mH}$ à $10\,\mathrm{A}$ : $0.50\,\mathrm{J}$ . Moins que ce que tiennent les piles — mais libérable en une milliseconde.

Remarque 30.17 (À quoi servent les deux garde-temps)

L’entrée lente, la sortie rapide alimente le flash photo et le défibrillateur. Le délai $\tau = RC$ fait tourner les circuits de temporisation : essuie-glaces intermittents, balises clignotantes, lumières de cage d’escalier. Un condensateur aux bornes d’une alimentation lisse la tension ( $u$ ne peut pas sauter) ; une bobine en série lisse le courant ( $i$ ne peut pas sauter). Et bobine plus condensateur ensemble font un oscillateur (Chapitre 31).

30.5 Exercices

Exercice 30.1 ★

Un condensateur de $470\,\text{µ}\mathrm{F}$ est chargé à $12\,\mathrm{V}$ : quelle charge tient-il ? Quelle tension mettrait $2.0\,\mathrm{mC}$ sur $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ ?

Solution

Solution de Exercice 30.1.

$q = Cu = 4.7\times10^{-4} \times 12 \approx 5.6\,\mathrm{mC}$ ; $u = q/C = 2.0\times10^{-3}/10^{-4} = 20\,\mathrm{V}$ .

Exercice 30.2 ★

Attribuer $47\,\mathrm{pF}$ , $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ et $10\,\mathrm{F}$ entre un lisseur d’alimentation, un accord radio et un supercondensateur ; calculer l’énergie du dernier à $2.7\,\mathrm{V}$ .

Solution

Solution de Exercice 30.2.

$47\,\mathrm{pF}$ : accord radio ; $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ : lisseur ; $10\,\mathrm{F}$ : supercondensateur. $E = \tfrac12 \times 10 \times 2.7^2 \approx 36\,\mathrm{J}$ .

Exercice 30.3 ★

La tension aux bornes d’un condensateur de $220\,\text{µ}\mathrm{F}$ monte régulièrement de $0$ à $5.0\,\mathrm{V}$ en $10\,\mathrm{ms}$ : quel courant entre ? Quel courant une fois la tension stabilisée, et pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 30.3.

$i = C\,\Delta u/\Delta t = 2.2\times10^{-4} \times 5.0/0.010 = 0.11\,\mathrm{A}$ . Ensuite $i = C\,du/dt = 0$ : un condensateur chargé est un circuit ouvert — pas de courant permanent.

Exercice 30.4 ★

Calculer $\tau$ pour $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ , puis pour $L = 0.10\,\mathrm{H}$ , $R = 50\,\Omega$ . Vérifier, unité par unité, que les deux combinaisons sont des secondes.

Solution

Solution de Exercice 30.4.

$RC = 10^4 \times 10^{-4} = 1.0\,\mathrm{s}$ ; $L/R = 0.10/50 = 2.0\,\mathrm{ms}$ . $\Omega\,\mathrm{F} = (\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$ ; $\mathrm{H}/\Omega = (\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})/(\mathrm{V}/\mathrm{A}) = \mathrm{s}$ .

Exercice 30.5 ★

Un condensateur se charge vers $6.0\,\mathrm{V}$ , passant par $3.8\,\mathrm{V}$ à $t = 2.0\,\mathrm{s}$ . Lire la constante de temps ; quand la charge est-elle faite à $95\%$ ?

Solution

Solution de Exercice 30.5.

$3.8/6.0 = 0.63$ , donc $\tau = 2.0\,\mathrm{s}$ ; $95\%$ à $3\tau = 6.0\,\mathrm{s}$ .

Exercice 30.6 ★★

Un circuit RC : $\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$ , $R = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$ , $C = 220\,\text{µ}\mathrm{F}$ . Calculer $\tau$ , $u(\tau)$ , $u(3\tau)$ , et le courant à l’instant où l’interrupteur se ferme.

Solution

Solution de Exercice 30.6.

$\tau = 4700 \times 2.2\times10^{-4} \approx 1.0\,\mathrm{s}$ ; $u(\tau) = 0.63 \times 9.0 = 5.7\,\mathrm{V}$ ; $u(3\tau) = 0.95 \times 9.0 = 8.6\,\mathrm{V}$ ; $I_0 = \mathcal{E}/R = 9.0/4700 \approx 1.9\,\mathrm{mA}$ (condensateur vide : tout $\mathcal{E}$ se trouve aux bornes de $R$ ).

Exercice 30.7 ★★

Vérifier par substitution que $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ satisfait $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$ ; que codent physiquement sa valeur en $t = 0$ et sa limite aux grands $t$ ?

Solution

Solution de Exercice 30.7.

$du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$ , donc $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$ . $u(0) = 0$ : le condensateur part vide ; $u \to \mathcal{E}$ : complètement chargé, le courant s’est arrêté.

Exercice 30.8 ★★

Un condensateur de $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ chargé à $12\,\mathrm{V}$ se décharge à travers $47\,\mathrm{k}\Omega$ : calculer $\tau$ , $u(\tau)$ , et le temps pour que $u$ descende sous $0.60\,\mathrm{V}$ .

Solution

Solution de Exercice 30.8.

$\tau = 4.7\times10^{4} \times 10^{-4} = 4.7\,\mathrm{s}$ ; $u(\tau) = 12\,e^{-1} \approx 4.4\,\mathrm{V}$ ; $0.60\,\mathrm{V}$ est $5\%$ , atteint à $3\tau \approx 14\,\mathrm{s}$ .

Exercice 30.9 ★★

Le courant dans une bobine de $0.50\,\mathrm{H}$ monte régulièrement de $0$ à $2.0\,\mathrm{A}$ en $40\,\mathrm{ms}$ : quelle tension apparaît à ses bornes ? Avec $u = L\,di/dt$ , pourquoi l’ouverture d’un interrupteur sur une bobine produit-elle une étincelle, pas la fermeture ?

Solution

Solution de Exercice 30.9.

$u = L\,\Delta i/\Delta t = 0.50 \times 2.0/0.040 = 25\,\mathrm{V}$ . À la fermeture, $i$ grimpe au rythme propre du circuit, $di/dt$ modeste ; à l’ouverture $i$ est forcé à zéro presque instantanément, $di/dt$ est énorme et $u$ atteint des valeurs d’étincelle.

Exercice 30.10 ★★

Le relais de l’Exemple 30.13 : vérifier par substitution que $i(t) = (\mathcal{E}/R)(1 - e^{-Rt/L})$ satisfait $L\,di/dt + Ri = \mathcal{E}$ , puis calculer $i(\tau)$ et $i(3\tau)$ .

Solution

Solution de Exercice 30.10.

$di/dt = (\mathcal{E}/L)e^{-Rt/L}$ , donc $L\,di/dt + Ri = \mathcal{E}e^{-Rt/L} + \mathcal{E}(1 - e^{-Rt/L}) = \mathcal{E}$ . $i(\tau) = 0.63 \times 2.0 = 1.3\,\mathrm{A}$ ; $i(3\tau) = 0.95 \times 2.0 = 1.9\,\mathrm{A}$ .

Exercice 30.11 ★★

Montrer que $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ , et en déduire que la tangente à l’origine rencontre l’asymptote en $t = \tau$ . Sur une courbe enregistrée qui donne $\tau = 0.50\,\mathrm{s}$ , avec $R = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$ : trouver $C$ .

Solution

Solution de Exercice 30.11.

$u'(t) = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$ , donc $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ : la tangente $u = (\mathcal{E}/\tau)\,t$ atteint $\mathcal{E}$ en $t = \tau$ . $C = \tau/R = 0.50/2000 = 250\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

Exercice 30.12 ★★★

Classer par énergie stockée, en calculant chacune : un supercondensateur de $3000\,\mathrm{F}$ à $2.7\,\mathrm{V}$ ; un condensateur de flash, $800\,\text{µ}\mathrm{F}$ à $300\,\mathrm{V}$ ; une bobine de $10\,\mathrm{mH}$ à $10\,\mathrm{A}$ ; une pile AA ( $E \approx 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ). Que offrent les trois premiers que la pile ne peut pas ?

Solution

Solution de Exercice 30.12.

Supercondensateur $\tfrac12 \times 3000 \times 2.7^2 \approx 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ; flash $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$ ; bobine $\tfrac12 \times 0.010 \times 10^2 = 0.50\,\mathrm{J}$ . Pile ( $1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ) $>$ supercondensateur $\gg$ flash $\gg$ bobine — mais les trois peuvent déverser leur énergie en millisecondes : la puissance, pas l’énergie.

Exercice 30.13 ★★★

Un minuteur de cage d’escalier allume tant que $u < 0.63\,\mathcal{E}$ aux bornes de son condensateur en charge, s’éteignant à $t = \tau$ . Concevoir la lumière pour durer $5.0\,\mathrm{s}$ avec $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ : quel $R$ ? Pour un seuil $0.50\,\mathcal{E}$ , montrer que le délai est $\tau \ln 2$ et le calculer.

Solution

Solution de Exercice 30.13.

$\tau = 5.0\,\mathrm{s}$ , donc $R = \tau/C = 5.0/10^{-4} = 50\,\mathrm{k}\Omega$ . $1 - e^{-t/\tau} = 0.50$ donne $e^{-t/\tau} = 0.50$ , $t = \tau\ln 2 \approx 0.69\,\tau = 3.5\,\mathrm{s}$ .

Exercice 30.14 ★★★

Un condensateur de $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ lisse une alimentation : entre deux recharges, il alimente seul une charge puisant $0.50\,\mathrm{A}$ pendant $10\,\mathrm{ms}$ . À partir de $i = C\,du/dt$ , calculer la chute de tension, puis la capacité qui la maintient sous $0.50\,\mathrm{V}$ .

Solution

Solution de Exercice 30.14.

$\Delta u = i\,\Delta t/C = 0.50 \times 0.010/2.2\times10^{-3} \approx 2.3\,\mathrm{V}$ . Il faut $C \geq i\,\Delta t/\Delta u = 5.0\times10^{-3}/0.50 = 10\,\mathrm{mF}$ .

Exercice 30.15 ★★★

Une bobine d’allumage, $L = 0.80\,\mathrm{H}$ , porte $2.0\,\mathrm{A}$ lorsque le rupteur la coupe en environ $1.0\,\mathrm{ms}$ . Estimer la tension de la bobine pendant la coupure et l’énergie de l’étincelle ; pourquoi une interruption lente ne donne-t-elle pas d’étincelle ?

Solution

Solution de Exercice 30.15.

$u \approx L\,\Delta i/\Delta t = 0.80 \times 2.0/10^{-3} = 1.6\,\mathrm{kV}$ ; $E_L = \tfrac12 \times 0.80 \times 2.0^2 = 1.6\,\mathrm{J}$ . Coupée lentement, $di/dt$ reste petit, $u$ reste à quelques volts : pas d’étincelle.

30.6 Problème : Le flash photo

Problème 30.1

Problème du week-end — le flash photo : un sifflement de deux secondes, une milliseconde de gloire, et le cousin mural qui redémarre les cœurs — une seule exponentielle les fait tous tourner

Un flash compact (une unité) stocke de l’énergie dans un condensateur $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$ , chargé à travers $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ depuis un convertisseur modélisé comme une source idéale $\mathcal{E} = 300\,\mathrm{V}$ ; le voyant « prêt » se déclenche à $95\%$ de la tension pleine. Déclenché, le condensateur ne voit que le tube éclair, $R_f = 0.50\,\Omega$ . Données : une pile AA livre $1.5\,\mathrm{V}$ et $2.4\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ ; $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

Partie I — Le réservoir.

Calculer la charge sur le condensateur à $300\,\mathrm{V}$ .
Combien de charges élémentaires est-ce ?
Calculer l’énergie stockée $E_C$ .
La pile AA tient $q = It \approx 8.6 \times 10^{3}\,\mathrm{C}$ , donc environ $1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ . Combien de fois l’énergie du condensateur est-ce ?
Alors pourquoi s’embêter avec le condensateur ? Une phrase, en utilisant « puissance ».

Partie II — L’attente du vert.

Écrire la loi de maille et la transformer en équation différentielle pour $u(t)$ .
Vérifier par substitution que $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ la résout, partant de $u(0) = 0$ .
Calculer la constante de temps $\tau$ .
Au bout de quel temps le voyant prêt passe-t-il au vert, et à quelle tension ? Reconnaître le sifflement de deux secondes.
Calculer le courant de charge initial ; pourquoi meurt-il ensuite ?

Partie III — La milliseconde de gloire.

Écrire la loi de décharge $u(t)$ à travers le tube et calculer la nouvelle constante de temps $\tau'$ .
Calculer le courant de crête à travers le tube.
Calculer la puissance de crête ; la comparer à une bouilloire de $2.2\,\mathrm{kW}$ .
Prenant le flash pour terminé à $3\tau'$ , donner sa durée et sa puissance moyenne.
Former le rapport du temps de charge au temps de flash : même condensateur, même charge — qu’est-ce qui a changé, et qu’est-ce que cela fait d’un condensateur : un réservoir d’énergie, ou un levier de puissance ?

Partie IV — Le cousin sur le mur. Un défibrillateur doit livrer $E_C = 200\,\mathrm{J}$ à $U_0 = 1500\,\mathrm{V}$ ; poitrine et palettes présentent environ $50\,\Omega$ .

Calculer la capacité requise.
Calculer la charge stockée.
Calculer la constante de temps du choc et sa durée ( $3\tau$ ) ; comparer au flash.
Calculer le courant de crête et la puissance de crête dans le patient.
Le circuit de recharge doit rendre l’appareil prêt ( $95\%$ ) en $6.0\,\mathrm{s}$ : trouver la résistance de charge requise et le courant de charge initial — les nombres qu’un concepteur commanderait.

Solution

Solution de Problème 30.1.

1. $q = CU_0 = 8.0\times10^{-4} \times 300 = 0.24\,\mathrm{C}$ .

2. $N = 0.24/1.60\times10^{-19} = 1.5 \times 10^{18}$ .

3. $E_C = \tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$ .

4. $1.3 \times 10^{4}/36 \approx 360$ fois.

5. La pile stocke beaucoup mais livre lentement ; le condensateur transforme une énergie modeste en puissance énorme.

6. $\mathcal{E} = Ri + u$ avec $i = C\,du/dt$ : $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$ .

7. $du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$ : $\mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$ pour tout $t$ , et $u(0) = 0$ .

8. $\tau = RC = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}$ .

9. À $3\tau = 2.4\,\mathrm{s}$ , $u = 0.95 \times 300 = 285\,\mathrm{V}$ — le sifflement de deux secondes.

10. $I_0 = \mathcal{E}/R = 0.30\,\mathrm{A}$ ; à mesure que $u$ grimpe, le reste $\mathcal{E} - u$ aux bornes de $R$ se rétrécit, donc $i = (\mathcal{E}-u)/R$ meurt.

11. $u(t) = U_0\,e^{-t/\tau'}$ avec $\tau' = R_f C = 0.50 \times 8.0\times10^{-4} = 0.40\,\mathrm{ms}$ .

12. $I_0 = U_0/R_f = 300/0.50 = 600\,\mathrm{A}$ .

13. $P_0 = U_0 I_0 = 300 \times 600 = 180\,\mathrm{kW}$ — environ $80$ bouilloires à la fois.

14. Durée $3\tau' = 1.2\,\mathrm{ms}$ ; puissance moyenne $\approx 36/1.2\times10^{-3} = 30\,\mathrm{kW}$ .

15. $2.4/1.2\times10^{-3} = 2000$ . Seule la résistance a changé ( $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ en entrée, $0.50\,\Omega$ en sortie) : un levier de puissance.

16. $C = 2E_C/U_0^2 = 400/1500^2 \approx 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{F} = 180\,\text{µ}\mathrm{F}$ .

17. $q = CU_0 = 1.78\times10^{-4} \times 1500 \approx 0.27\,\mathrm{C}$ .

18. $\tau = 50 \times 1.78\times10^{-4} \approx 8.9\,\mathrm{ms}$ , durée $3\tau \approx 27\,\mathrm{ms}$ — quelque vingt fois le flash.

19. $I_0 = 1500/50 = 30\,\mathrm{A}$ ; $P_0 = 1500 \times 30 = 45\,\mathrm{kW}$ .

20. $3\tau_c = 6.0\,\mathrm{s}$ donne $\tau_c = 2.0\,\mathrm{s}$ , donc $R_c = \tau_c/C = 2.0/1.78\times10^{-4} \approx 11\,\mathrm{k}\Omega$ et $I_0 = 1500/1.12\times10^{4} \approx 0.13\,\mathrm{A}$ — prêt en six secondes, sur un dixième d’ampère.