Physique du lycée · Grades 10–12

31Oscillations électriques libres : RLC

Tournez le gros cadran d’une radio de grenier et les stations défilent devant l’aiguille : une voix, des violons, du grésillement, une voix encore. Derrière le panneau il n’y a ni moteur ni ordinateur — une bobine, un condensateur dont les plaques entrelacées le cadran fait tourner, et un bout de fil d’antenne. Ce chapitre relie tête-bêche les deux réservoirs d’énergie du chapitre précédent (Chapitre 30) et trouve le pendule le plus rapide jamais construit : de la charge qui bascule d’avant en arrière, jusqu’à des millions de fois par seconde, au tempo que le cadran choisit.

31.1 Un pendule électrique : le circuit LC

Chargez un condensateur $C$ à une tension $U_0$ — ses plaques tiennent alors $\pm Q_0$ avec $Q_0 = C U_0$ — et à $t = 0$ basculez-le sur une bobine idéale $L$ , de résistance nulle. Aucune source nulle part dans la boucle : quoi qu’il arrive ensuite, le circuit le fait tout seul.

Le circuit LC : un condensateur chargé à Q_0, un interrupteur, une bobine idéale. Fermer K laisse la charge se déverser à travers la bobine — et la bobine, qui déteste le changement, ne la laissera pas s’arrêter. — Le circuit LC : un condensateur chargé à $Q_0$ , un interrupteur, une bobine idéale. Fermer $K$ laisse la charge se déverser à travers la bobine — et la bobine, qui déteste le changement, ne la laissera pas s’arrêter.

Proposition 31.1 (L’équation LC)

Dans la boucle LC idéale la charge $q(t)$ de la plaque supérieure obéit à

L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \frac{d^2q}{dt^2} = -\frac{1}{LC}\,q .

Démonstration. Autour de la boucle les tensions se somment à zéro (Proposition 12.4) : $u_L + u_C = 0$ . Le condensateur donne $u_C = q/C$ et la bobine $u_L = L\,di/dt$ (Définition 30.10), avec $i = dq/dt$ comptant la charge arrivant sur la plaque supérieure (Proposition 30.3) ; substituer. ∎

Théorème 31.2 (Oscillations libres du circuit LC)

Lâché à $t = 0$ avec $q(0) = Q_0$ et $i(0) = 0$ , le circuit oscille :

q(t) = Q_0 \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right), \qquad i(t) = -I_0 \sin\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right), \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{LC},

avec un courant de crête $I_0 = 2\pi Q_0/T_0 = Q_0/\sqrt{LC}$ .

Démonstration. Vérifier par substitution. En dérivant, $i = dq/dt = -\frac{2\pi}{T_0} Q_0 \sin(2\pi t/T_0)$ — le $i(t)$ énoncé — et encore $\frac{d^2q}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 q$ , qui égale $-q/(LC)$ exactement lorsque $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$ , c’est-à-dire $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ . Et $q(0) = Q_0$ , $i(0) = 0$ . Qu’aucune autre fonction ne s’accorde à l’équation et au départ est admis, exactement comme pour le ressort (Remarque 28.9). ∎

Définition 31.3 (Période et fréquence propres)

La période propre d’un circuit LC est $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ ; sa fréquence propre est

f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} .

Contrôle dimensionnel : $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ et $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$ , donc $LC$ porte $\mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ est un temps, comme il se doit.

Exemple 31.4 (Premiers nombres)

$L = 10\,\mathrm{mH}$ avec $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ : $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ , donc $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ et $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ — un ton audible. $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ avec $C = 100\,\mathrm{pF}$ : $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — une fréquence radio. Seul le produit $LC$ fixe le tempo.

Remarque 31.5 (Un quart de période en décalage)

Le courant est d’un quart de période en décalage de phase avec la charge : $i = 0$ lorsque $q = \pm Q_0$ (plaques pleines, flux qui s’inverse) et $i = \pm I_0$ lorsque $q = 0$ (plaques vides, flux à pleine vitesse) — exactement le pendule, immobile aux extrêmes et le plus rapide en bas.

Charge et courant du circuit LC libre : le courant culmine chaque fois que la charge traverse zéro, un quart de période en décalage.

31.2 La valse de l’énergie

Proposition 31.6 (Conservation de l’énergie stockée)

Dans le circuit LC idéal l’énergie totale stockée (Proposition 30.15)

E \;=\; E_C + E_L \;=\; \frac{q^2}{2C} + \tfrac12\,L i^2 \;=\; \frac{Q_0^2}{2C} \;=\; \tfrac12\,L I_0^2

est constante : entièrement dans le condensateur lorsque $q = \pm Q_0$ , entièrement dans la bobine lorsque $i = \pm I_0$ .

Démonstration. Dériver : $\frac{dE}{dt} = \frac{q}{C}\frac{dq}{dt} + Li\frac{di}{dt} = i\left(\frac{q}{C} + L\frac{d^2q}{dt^2}\right) = 0$ par la Proposition 31.1. Sa valeur se lit à $t = 0$ (tout condensateur), et encore à l’instant de tout-courant $q = 0$ — d’où $\tfrac12 L I_0^2 = Q_0^2/2C$ , retrouvant $I_0 = Q_0/\sqrt{LC}$ par l’énergie seule. ∎

Une période de la valse : l’énergie bascule des plaques à la bobine et retour deux fois par période, la somme fixée à Q_02/2C — la figure même de l’oscillateur masse–ressort, relabelisée. — Une période de la valse : l’énergie bascule des plaques à la bobine et retour deux fois par période, la somme fixée à $Q_0^2/2C$ — la figure même de l’oscillateur masse–ressort, relabelisée.

Exemple 31.7 (La valse, mesurée)

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ chargé à $U_0 = 10\,\mathrm{V}$ , basculé sur $L = 10\,\mathrm{mH}$ : énergie $E = \tfrac12 C U_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ , période $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ , et un courant de crête $I_0 = U_0\sqrt{C/L} = 0.10\,\mathrm{A}$ atteint un quart de période ( $0.16\,\mathrm{ms}$ ) après la fermeture de l’interrupteur.

31.3 Circuits réels : oscillations amorties

Toute bobine réelle est enroulée en fil résistif : la boucle honnête est un circuit RLC série, et la résistance taxe la valse.

Définition 31.8 (Régimes pseudo-périodique et apériodique)

Dans un circuit RLC série le résistor dissipe de l’énergie par effet Joule (Chapitre 12) : les oscillations libres sont amorties. Deux régimes, lus sur un oscilloscope :

pseudo-périodique (petit $R$ ) : le circuit oscille encore à l’intérieur d’une enveloppe qui se rétrécit, avec un temps de reprise — la pseudo-période — proche de $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ lorsque l’amortissement est léger ;
apériodique (grand $R$ ) : la charge rampe vers zéro sans jamais le dépasser — pas d’oscillation du tout.

Le miroir exact de l’oscillateur mécanique amorti (Définition 28.12).

Les deux destins d’un circuit RLC réel : oscillations mourant dans une enveloppe exponentielle (tireté), ou une rampe vers zéro sans oscillation. Faiblement amorti, la pseudo-période reste T_0. — Les deux destins d’un circuit RLC réel : oscillations mourant dans une enveloppe exponentielle (tireté), ou une rampe vers zéro sans oscillation. Faiblement amorti, la pseudo-période reste $\approx T_0$ .

Remarque 31.9 (Entretenir les oscillations)

Pour garder l’amplitude vivante, alimenter le circuit exactement de l’énergie que la résistance brûle, une fois par cycle et en phase avec le balancement : un amplificateur fait pour la boucle RLC ce que la poussée de l’échappement fait pour le pendule (Chapitre 28). Toute montre à quartz et tout émetteur radio est un tel oscillateur entretenu, tournant à sa fréquence propre $f_0$ .

31.4 Le jumeau mécanique

Proposition 31.10 (Le dictionnaire électrique–mécanique)

L’équation LC est l’équation masse–ressort (Proposition 28.8) mot pour mot :

circuit LC		mobile masse–ressort
[2pt] charge $q$	$\longleftrightarrow$	position $x$
courant $i = dq/dt$	$\longleftrightarrow$	vitesse $v = dx/dt$
inductance $L$	$\longleftrightarrow$	masse $m$
inverse de la capacité $1/C$	$\longleftrightarrow$	raideur $k$
résistance $R$	$\longleftrightarrow$	frottement
$L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$	$\longleftrightarrow$	$m\,\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$
[2pt] $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$	$\longleftrightarrow$	$T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$
[2pt] $E_C = q^2/2C$	$\longleftrightarrow$	$E_p = \tfrac12 kx^2$
$E_L = \tfrac12 Li^2$	$\longleftrightarrow$	$E_k = \tfrac12 mv^2$

Même équation, mêmes solutions : tout résultat sur l’un ou l’autre oscillateur se traduit instantanément dans l’autre langue.

Démonstration. Comparer la Proposition 31.1 avec $m\,d^2x/dt^2 = -kx$ : substituer $q \to x$ , $L \to m$ , $1/C \to k$ transforme l’une en l’autre, et $LC \to m/k$ transforme $2\pi\sqrt{LC}$ en $2\pi\sqrt{m/k}$ . ∎

Exemple 31.11 (Accorder une radio)

Une antenne envoie un murmure de chaque station dans une boucle LC, mais seule celle qui émet près de $f_0$ pousse en phase et s’amplifie — la résonance (Définition 28.13). Le cadran fait tourner les plaques d’un condensateur variable : changer $C$ déplace $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ , et l’aiguille tend à l’écouteur une station à la fois. Côté émission, un oscillateur entretenu (Remarque 31.9) fixe la fréquence émise ; dans une montre, un cristal de quartz — un jumeau mécanique d’une raideur époustouflante — joue le même rôle.

31.5 Exercices

Exercice 31.1 ★

Calculer $T_0$ et $f_0$ pour (a) $L = 10\,\mathrm{mH}$ , $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ ; (b) $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ , $C = 100\,\mathrm{pF}$ . Par quel facteur les fréquences diffèrent-elles ?

Solution

Solution de Exercice 31.1.

(a) $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ : $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ , $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ . (b) $\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}$ : $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — un facteur $\sqrt{10^5} \approx 316$ .

Exercice 31.2 ★

En utilisant $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ et $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$ , montrer unité par unité que $\sqrt{LC}$ est un temps. Pourquoi le $2\pi$ ne change-t-il rien ?

Solution

Solution de Exercice 31.2.

$LC$ : $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s} \times \mathrm{s} = \mathrm{s}^{2}$ , donc $\sqrt{LC}$ est en secondes. $2\pi$ est un nombre pur — aucune dimension à changer.

Exercice 31.3 ★

Un condensateur de $470\,\mathrm{nF}$ est chargé à $6.0\,\mathrm{V}$ . Calculer $Q_0$ et l’énergie stockée ; décrire, sans calcul, ce qui suit lorsqu’on le bascule sur une bobine idéale.

Solution

Solution de Exercice 31.3.

$Q_0 = CU_0 = 2.8\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $E = \tfrac12 CU_0^2 = \tfrac12 \times 4.7 \times 10^{-7} \times 36 \approx 8.5\,\text{µ}\mathrm{J}$ . La charge oscille à $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$ , le courant d’un quart de période en décalage de phase, l’énergie basculant entre plaques et bobine, total constant.

Exercice 31.4 ★

Un circuit LC suit $q(t) = 2.0\cos(2\pi t/T_0)$ en microcoulombs, avec $T_0 = 4.0\,\mathrm{ms}$ . Lire $Q_0$ ; calculer $f_0$ , $q(T_0/2)$ , $i(0)$ , et le courant de crête $I_0 = 2\pi Q_0/T_0$ .

Solution

Solution de Exercice 31.4.

$Q_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $f_0 = 1/T_0 = 250\,\mathrm{Hz}$ ; $q(T_0/2) = -2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $i(0) = 0$ (cosinus plat en $t=0$ ) ; $I_0 = 2\pi \times 2.0 \times 10^{-6}/4.0 \times 10^{-3} \approx 3.1\,\mathrm{mA}$ .

Exercice 31.5 ★

À quels instants du cycle l’énergie est-elle entièrement dans le condensateur ? Entièrement dans la bobine ? Quel est le pendant mécanique de chaque moment pour un pendule ?

Solution

Solution de Exercice 31.5.

Tout dans le condensateur lorsque $q = \pm Q_0$ , $i = 0$ ( $t = 0$ , $T_0/2$ , $T_0$ , …) : les extrêmes du pendule. Tout dans la bobine lorsque $q = 0$ , $i = \pm I_0$ ( $t = T_0/4$ , $3T_0/4$ , …) : le point le plus bas et le plus rapide du pendule.

Exercice 31.6 ★★

Vérifier par substitution que $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ satisfait $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$ exactement lorsque $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

Solution

Solution de Exercice 31.6.

$d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2\,Q_0\cos(2\pi t/T_0) = -(2\pi/T_0)^2 q$ , donc $L\,d^2q/dt^2 + q/C = q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ pour tout $t$ exactement lorsque $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$ , c’est-à-dire $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

Exercice 31.7 ★★

Une station grandes ondes émet à $198\,\mathrm{kHz}$ . Avec $C = 220\,\mathrm{pF}$ , quelle inductance s’y accorde ?

Solution

Solution de Exercice 31.7.

$L = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 C} = \dfrac{1}{39.5 \times (1.98 \times 10^{5})^2 \times 2.2 \times 10^{-10}} \approx 2.9\,\mathrm{mH}$ .

Exercice 31.8 ★★

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ chargé à $10\,\mathrm{V}$ se décharge dans $L = 10\,\mathrm{mH}$ . Calculer l’énergie stockée, le courant de crête (par conservation de l’énergie), et l’instant où il est atteint pour la première fois.

Solution

Solution de Exercice 31.8.

$E = \tfrac12 CU_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; $\tfrac12 LI_0^2 = E$ donne $I_0 = \sqrt{2E/L} = \sqrt{1.0 \times 10^{-2}} = 0.10\,\mathrm{A}$ , atteint pour la première fois à $T_0/4 = \tfrac14 \times 0.63\,\mathrm{ms} \approx 0.16\,\mathrm{ms}$ .

Exercice 31.9 ★★

Expliquer pourquoi $E_C$ et $E_L$ oscillent à la fréquence $2f_0$ , pas $f_0$ . Montrer qu’à $t = T_0/8$ (parti de $q = Q_0$ ) l’énergie est exactement partagée en deux.

Solution

Solution de Exercice 31.9.

$E_C \propto \cos^2(2\pi t/T_0)$ , et $\cos^2$ se répète à chaque demi-tour : deux remplissages du condensateur par période, d’où $2f_0$ . À $t = T_0/8$ la phase est $\pi/4$ : $\cos^2(\pi/4) = \tfrac12$ , donc $E_C = E_L = E/2$ .

Exercice 31.10 ★★

Sur un oscillogramme d’un circuit RLC faiblement amorti, les maxima successifs lisent $4.0\,\mathrm{V}$ puis $3.0\,\mathrm{V}$ . En supposant le rapport constant, prédire le sixième maximum après celui de $4.0\,\mathrm{V}$ . Quelle fraction de l’énergie survit à chaque pseudo-période ? Que peut-on dire de la pseudo-période elle-même ?

Solution

Solution de Exercice 31.10.

Rapport $3.0/4.0 = 0.75$ par pseudo-période : sixième maximum $4.0 \times 0.75^6 \approx 0.71\,\mathrm{V}$ . Énergie $\propto$ amplitude au carré : $0.75^2 \approx 56\%$ survit à chaque période. La pseudo-période reste $\approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ : un amortissement léger rétrécit l’amplitude, à peine le tempo.

Exercice 31.11 ★★

Un circuit LC a $L = 0.50\,\mathrm{H}$ et $C = 20\,\text{µ}\mathrm{F}$ . Calculer $T_0$ ; puis, à l’aide du dictionnaire (Proposition 31.10), trouver la raideur $k$ donnant à un mobile de $0.50\,\mathrm{kg}$ la même période, et vérifier.

Solution

Solution de Exercice 31.11.

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.50 \times 2.0 \times 10^{-5}} = 2\pi \times 3.16 \times 10^{-3} \approx 20\,\mathrm{ms}$ . Dictionnaire : $k = m/(LC) = 0.50/1.0 \times 10^{-5} = 5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; vérification $2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-5}}$ — les mêmes $20\,\mathrm{ms}$ .

Exercice 31.12 ★★★

Un accord utilise $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ et un condensateur variable balayant $50\text{ to }500\,\mathrm{pF}$ . Calculer les deux fréquences extrêmes. Montrer que $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ , donc un facteur dix en $C$ ne donne que $\sqrt{10} \approx 3.2$ en fréquence.

Solution

Solution de Exercice 31.12.

$C = 500\,\mathrm{pF}$ : $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-13}}) \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ ; $C = 50\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{MHz}$ . À $L$ fixée, $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1} C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$ : $C$ multiplié par dix, seulement $\sqrt{10} \approx 3.2$ en $f_0$ — comme trouvé.

Exercice 31.13 ★★★

Une bobine réelle fait perdre au circuit $5.0\%$ de son énergie à chaque pseudo-période. Après combien de périodes l’énergie a-t-elle été divisée par deux ? Quelle est alors l’amplitude, en fraction du départ ? À $f_0 = 1.0\,\mathrm{MHz}$ , combien de temps cela fait-il en microsecondes ?

Solution

Solution de Exercice 31.13.

$0.95^n = \tfrac12$ : $n = \ln 2/\lvert\ln 0.95\rvert \approx 13.5$ , donc environ $14$ périodes. Amplitude $\propto \sqrt{E}$ : descend à $1/\sqrt{2} \approx 0.71$ du départ. À $1.0\,\mathrm{MHz}$ , $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ : environ $14\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

Exercice 31.14 ★★★

Un oscillateur de montre stocke $E = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J}$ et en perd $2.0\%$ par cycle à $f_0 = 32\,768\,\mathrm{Hz}$ . Quelle puissance moyenne le circuit d’entretien doit-il fournir ? Pourquoi la poussée doit-elle arriver en phase avec l’oscillation ?

Solution

Solution de Exercice 31.14.

Perte par cycle $0.020 \times 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J} = 2.0 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$ , à $32\,768$ cycles par seconde : $P = 32\,768 \times 2.0 \times 10^{-11} \approx 6.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}$ — moins d’un microwatt, des années sur une pile bouton. En phase, parce que seule une poussée à la bonne phase ajoute de l’énergie (résonance) ; hors phase elle freinerait le balancement.

Exercice 31.15 ★★★

Après chaque front d’un signal carré, le câblage d’un expérimentateur « sonne » à $25\,\mathrm{MHz}$ ; l’inductance parasite est d’environ $1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$ . Estimer la capacité parasite responsable. Dans quel régime un petit résistor série ajouté doit-il pousser le circuit, et pourquoi cela guérit-il le sonnement ?

Solution

Solution de Exercice 31.15.

$C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times (2.5 \times 10^{7})^2 \times 1.0 \times 10^{-6}} \approx 41\,\mathrm{pF}$ . Le résistor doit pousser la boucle dans le régime apériodique : la charge se fixe alors sans dépasser — pas d’oscillation, pas de sonnement.

31.6 Problème : Construire une radio à galène

Problème 31.1

Problème du week-end — construire une radio à galène : une bobine, un condensateur variable, une diode et un écouteur — pas de pile, pas d’amplificateur, et les nouvelles du soir arrivent sur l’énergie de l’onde elle-même

Un kit du grenier d’un grand-parent : une bobine $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ enroulée sur un tube de carton, un condensateur variable dont les plaques tournent de $20\,\mathrm{pF}$ à $480\,\mathrm{pF}$ , une diode à galène, un écouteur, et $20\,\mathrm{m}$ de fil d’antenne. Les stations à attraper émettent entre $530\,\mathrm{kHz}$ et $1700\,\mathrm{kHz}$ .

Partie I — La boucle d’accord.

Le condensateur, chargé, est laissé se décharger dans la bobine : écrire la loi de maille et la transformer en équation différentielle pour $q(t)$ .
Vérifier par substitution que $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ la résout, pourvu que $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .
Vérifier par analyse dimensionnelle que $\sqrt{LC}$ est un temps.
Cadran réglé à $C = 330\,\mathrm{pF}$ : calculer $T_0$ et $f_0$ . La boucle est-elle accordée dans la bande ?
Trouver la capacité qui s’accorde exactement à $1.00\,\mathrm{MHz}$ .

Partie II — Le condensateur variable.

Calculer la capacité nécessaire pour $530\,\mathrm{kHz}$ .
Calculer la capacité nécessaire pour $1700\,\mathrm{kHz}$ .
Calculer les deux fréquences que le condensateur $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ du kit atteint réellement. Couvre-t-il toute la bande ?
Montrer que $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ à $L$ fixée ; par quel facteur $C$ doit-elle changer pour doubler $f_0$ ?
Les plaques s’ouvrent linéairement, donc $C$ chute régulièrement à mesure que le cadran tourne. Expliquer pourquoi les stations se serrent alors à une extrémité du cadran — et laquelle.

Partie III — Énergie et amortissement. Accordé à $1.00\,\mathrm{MHz}$ ( $C = 127\,\mathrm{pF}$ ), l’antenne charge momentanément le condensateur à $U_0 = 20\,\mathrm{mV}$ .

Calculer la charge $Q_0$ et l’énergie stockée $E$ .
Calculer le courant de crête $I_0$ , en utilisant la conservation de l’énergie.
La résistance de la bobine dissipe $4.0\%$ de l’énergie stockée par cycle : après combien de cycles l’énergie a-t-elle été divisée par deux ?
Combien de temps cela fait-il en microsecondes ? Pourquoi ce « sonnement » seul ne peut-il pas jouer les nouvelles du soir ?
Expliquer pourquoi l’onde qui arrive ne maintient le balancement de la boucle que lorsqu’elle est accordée sur cette station — et ce qui entretient l’oscillation à l’émetteur (Remarque 31.9).

Partie IV — Le jumeau mécanique.

À l’aide du dictionnaire (Proposition 31.10) avec un mobile de masse $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ , calculer la raideur $k$ du ressort qui épouse le circuit accordé.
Un ressort de voiture raide a $k \approx 5 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Commenter : un système masse–ressort de paillasse peut-il osciller à des mégahertz ?
Garder une $k$ raisonnable $100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ à la place : quelle masse oscille à $1.00\,\mathrm{MHz}$ ?
Quel objet réel est un tel oscillateur mécanique ultra-léger et ultra-raide, et où l’a-t-on rencontré plus tôt cette année (Chapitre 28) ?
Fiche technique, une phrase : la bande que balaye votre radio, la capacité qui choisit $1.00\,\mathrm{MHz}$ , combien dure un sonnement solitaire, et ce qui joue les nouvelles quand même.

Solution

Solution de Problème 31.1.

1. Loi de maille : $u_L + u_C = 0$ , avec $u_C = q/C$ , $u_L = L\,di/dt$ , $i = dq/dt$ : $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$ .

2. $d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2 q$ , donc l’équation se lit $q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ , vrai pour tout $t$ exactement lorsque $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .

3. $LC$ : $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ est un temps.

4. $LC = 6.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$ : $T_0 = 2\pi \times 2.57 \times 10^{-7} \approx 1.6\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $f_0 \approx 620\,\mathrm{kHz}$ — dans $530\text{ to }1700\,\mathrm{kHz}$ .

5. $C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times 1.0 \times 10^{12} \times 2.0 \times 10^{-4}} \approx 127\,\mathrm{pF}$ .

6. Même formule à $530\,\mathrm{kHz}$ : $C \approx 451\,\mathrm{pF}$ .

7. À $1700\,\mathrm{kHz}$ : $C \approx 44\,\mathrm{pF}$ .

8. $C = 480\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 514\,\mathrm{kHz}$ ; $C = 20\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 2.5\,\mathrm{MHz}$ — toute la bande, avec de la marge aux deux extrémités.

9. $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1}C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$ ; doubler $f_0$ exige de diviser $C$ par $4$ .

10. Puisque $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ , des pas égaux de $C$ déplacent $f_0$ lentement aux grands $C$ et vite aux petits $C$ : un écart donné entre stations prend alors peu de course de cadran — elles se serrent à l’extrémité des hautes fréquences (faible $C$ ).

11. $Q_0 = CU_0 = 1.27 \times 10^{-10} \times 0.020 \approx 2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{C}$ ; $E = \tfrac12 CU_0^2 \approx 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$ .

12. $\tfrac12 LI_0^2 = E$ : $I_0 = U_0\sqrt{C/L} = 0.020\sqrt{6.35 \times 10^{-7}} \approx 16\,\text{µ}\mathrm{A}$ .

13. $0.96^n = \tfrac12$ : $n = \ln 2/\lvert\ln 0.96\rvert \approx 17$ cycles.

14. À $1.00\,\mathrm{MHz}$ , $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ : le sonnement est divisé par deux en environ $17\,\text{µ}\mathrm{s}$ . Un sonnement solitaire meurt en microsecondes ; la musique exige que la boucle soit alimentée en continu.

15. L’onde pousse des millions de fois par seconde ; seulement lorsque sa fréquence épouse $f_0$ les poussées arrivent en phase et construisent le balancement — la résonance ; les stations désaccordées poussent aussi souvent contre qu’avec. À l’émetteur, un amplificateur renvoie l’énergie dissipée chaque cycle : un oscillateur entretenu.

16. $LC = 2.54 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$ : $k = m/(LC) = 0.20/2.54 \times 10^{-14} \approx 7.9 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

17. Environ $10^8$ fois le ressort de voiture : aucun système masse–ressort de paillasse n’atteint les mégahertz — les raideurs et masses du quotidien sont désespérément lentes.

18. $m = \dfrac{k}{(2\pi f_0)^2} = \dfrac{100} {(6.28 \times 10^{6})^2} \approx 2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ — quelques nanogrammes, une poussière.

19. Un cristal de quartz : un lambeau ultra-léger et ultra-raide chantant à sa fréquence propre — le garde-temps rencontré plus tôt cette année.

20. Avec $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ et $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ la boucle balaie environ $0.51\text{ to }2.5\,\mathrm{MHz}$ , couvrant la bande ; $C \approx 127\,\mathrm{pF}$ choisit $1.00\,\mathrm{MHz}$ ; laissé seul le sonnement se divise par deux en $\approx 17\,\text{µ}\mathrm{s}$ , mais l’onde de la station, résonnant en phase, réalimente la boucle — les nouvelles jouent sur l’énergie de l’onde elle-même.