Physics · Livre 2 · Grades 10–12

Physique du lycée

Physique du lycée · Grades 10–12

17Travail d’une force

Poussez une armoire à travers la pièce et vous avez travaillé ; poussez contre un mur tout l’après-midi et, quoi qu’en disent vos muscles, la physique compte zéro. Le travail est ce qu’une force livre le long d’un mouvement — de l’énergie en transit (Chapitre 9), payée en joules. Ce chapitre tarifie les forces du Chapitre 16 — tractions en biais, poids, frottement — et chronomètre le taux de paiement : la puissance.

17.1 Travail d’une force constante

Définition 17.1 (Travail d’une force constante)

Une force constante F→\vect F appliquée à un objet se déplaçant le long d’un segment rectiligne de AA à BB fait le travail

WAB(F→)=F×AB×cos⁡θ,W_{AB}(\vect F) = F \times AB \times \cos\theta ,

où FF est la grandeur de la force (en N\mathrm{N}), ABAB la longueur du déplacement (en m\mathrm{m}) et θ\theta l’angle entre F→\vect F et AB→\vect{AB}. Le travail se mesure en joules (J\mathrm{J}) : un joule est le travail d’une force d’un newton le long d’un mètre de sa propre direction.

Remarque 17.2

F×AB×cos⁡θF \times AB \times \cos\theta est exactement le produit scalaire F→⋅AB→\vect F \cdot \vect{AB} du volume de mathématiques de cette année. Seule la composante Fcos⁡θF\cos\theta le long du mouvement rapporte quoi que ce soit.

Seule la projection F de la force sur le déplacement travaille : W_AB( F) = F × AB ×.
Seule la projection Fcos⁡θF\cos\theta de la force sur le déplacement travaille : WAB(F→)=F×AB×cos⁡θW_{AB}(\vect F) = F \times AB \times \cos\theta.

Exemple 17.3 (Valise en laisse)

Un voyageur traîne une valise sur 300 m300\,\mathrm{m} à travers un terminal, la sangle tirée avec F=40 NF = 40\,\mathrm{N} à θ=50∘\theta = 50{}^{\circ} du sol : W=40×300×cos⁡50∘≈7.7 kJW = 40 \times 300 \times \cos50{}^{\circ} \approx 7.7\,\mathrm{kJ}. Tirée à plat (θ=0\theta = 0) la même force livrerait 12 kJ12\,\mathrm{kJ} : un tiers de la traction ne soulève rien.

Définition 17.4 (Travail moteur, résistant, nul)

Le signe de cos⁡θ\cos\theta range chaque force en trois régimes :

  • θ<90∘\theta < 90{}^{\circ} : W>0W > 0, le travail est moteur — la force alimente de l’ énergie dans le mouvement ;
  • θ=90∘\theta = 90{}^{\circ} : W=0W = 0, la force ne travaille pas du tout, si grande soit-elle ;
  • θ>90∘\theta > 90{}^{\circ} : W<0W < 0, le travail est résistant — la force draine de l’ énergie. Le cas pur est un frein à 180∘180{}^{\circ} : 800 N800\,\mathrm{N} sur 45 m45\,\mathrm{m} retire 800×45×(−1)=−36 kJ800 \times 45 \times (-1) = -36\,\mathrm{kJ} d’une voiture, dans des disques chauds.
Les trois régimes — moteur, nul, résistant — selon l’angle entre force et déplacement (flèche rouge). Les trois régimes — moteur, nul, résistant — selon l’angle entre force et déplacement (flèche rouge). Les trois régimes — moteur, nul, résistant — selon l’angle entre force et déplacement (flèche rouge).
Les trois régimes — moteur, nul, résistant — selon l’angle entre force et déplacement (flèche rouge).

17.2 Le travail du poids

Proposition 17.5 (Travail du poids)

Lorsqu’un objet de masse mm se déplace de AA (altitude zAz_A) à BB (altitude zBz_B) le long de n’importe quel chemin fait de segments rectilignes, son poids P→\vect P fait le travail

WAB(P→)=mg (zA−zB)=± mgh,W_{AB}(\vect P) = mg\,(z_A - z_B) = \pm\, mgh ,

où h=∣zA−zB∣h = \abs{z_A - z_B} est la descente de hauteur : +mgh+mgh en descendant, −mgh-mgh en montant — seule la descente compte, non la route.

Démonstration. Sur un segment rectiligne ABAB, le poids (grandeur mgmg, droit vers le bas) fait un angle θ\theta avec AB→\vect{AB}, et ABcos⁡θAB\cos\theta est précisément la projection du déplacement sur la verticale descendante : zA−zBz_A - z_B. D’où W=mg×ABcos⁡θ=mg (zA−zB)W = mg \times AB\cos\theta = mg\,(z_A - z_B). Le long d’une chaîne de segments les travaux s’ajoutent et les descentes se télescopent : mg(zA−zC)+mg(zC−zB)=mg(zA−zB)mg(z_A - z_C) + mg(z_C - z_B) = mg(z_A - z_B). ∎

Proposition 17.6 (Tout chemin)

La même formule tient le long de tout chemin courbe de AA à BB.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 17.7

Plausible — une courbe est aussi proche qu’on veut d’une ligne brisée de nombreux petits segments — mais rendre « aussi proche qu’on veut » honnête est du calcul, fait dans le Chapitre 29.

Droit (bleu) ou errant (vert), chaque chemin de A à B descend le même h : le poids fait +mgh sur les deux.
Droit (bleu) ou errant (vert), chaque chemin de AA à BB descend le même hh : le poids fait +mgh+mgh sur les deux.

Exemple 17.8 (Randonneur)

Un randonneur de 78 kg78\,\mathrm{kg} (sac compris) grimpe 450 m450\,\mathrm{m}, par quelque sentier que ce soit : W(P→)=−78×9.81×450≈−344 kJW(\vect P) = -78 \times 9.81 \times 450 \approx -344\,\mathrm{kJ}, et exactement +344 kJ+344\,\mathrm{kJ} en redescendant, quels que soient les détours.

17.3 Le travail du frottement

Proposition 17.9 (Travail du frottement de glissement)

Une force de frottement de grandeur constante ff, à chaque instant opposée au mouvement, fait le travail W=−fLW = -fL le long d’un chemin de longueur totale LL : toujours résistant, et proportionnel à la longueur du chemin parcouru — non au déplacement.

Démonstration. Chaque petit morceau rectiligne a la force à 180∘180{}^{\circ} du mouvement, contribuant −f×(sa longueur)-f \times (\text{sa longueur}) ; les morceaux s’ajoutent en −fL-fL. Un chemin courbe se découpe en petits morceaux de même, la limite étant admise comme pour le poids (Remarque 17.7). ∎

Remarque 17.10 (Frottement contre poids : le grand partage)

Le travail du poids oublie le chemin ; celui du frottement est un péage par mètre. Sur un aller-retour le poids fait un bilan nul — ce qu’il prend en montant il le rembourse en descendant — tandis que le frottement facture −fL-fL à chaque étape et ne rembourse rien : le travail du poids peut être stocké et récupéré (énergie potentielle, Chapitre 18), celui du frottement est perdu en chaleur.

Exemple 17.11 (Aller et retour)

Une caisse glisse 5.0 m5.0\,\mathrm{m} sur un plancher et 5.0 m5.0\,\mathrm{m} en retour, contre f=60 Nf = 60\,\mathrm{N} : le frottement fait −60×10=−600 J-60 \times 10 = -600\,\mathrm{J} même si la caisse finit où elle a commencé. Poids et force normale, perpendiculaires au mouvement : zéro tout du long.

Remarque 17.12 (Et un ressort ?)

Un ressort tire plus fort plus il est étiré : sa force n’est pas constante et la Définition 17.1 ne s’applique pas. Son travail signifie découper l’étirement en pas infinitésimaux et sommer — calcul, livré dans le Chapitre 29.

17.4 Puissance

Définition 17.13 (Puissance)

La puissance d’une force est le taux auquel elle travaille, P=W/ΔtP = W/\Delta t, en watts (W=J/s\mathrm{W} = \mathrm{J}/\mathrm{s}) — le même watt que dans le Chapitre 12. Une unité pré-SI survit sur les plaques moteur : le cheval-vapeur, 1 hp=736 W1\,\mathrm{hp} = 736\,\mathrm{W}.

Proposition 17.14 (Puissance à vitesse constante)

Si l’objet se déplace à vitesse constante vv, une force constante F→\vect F à l’angle θ\theta du mouvement livre la puissance P=Fvcos⁡θP = F v \cos\theta — en particulier P=FvP = Fv pour une force le long du mouvement.

Démonstration. En un temps Δt\Delta t l’objet parcourt d=v Δtd = v\,\Delta t, donc W=F×v Δt×cos⁡θW = F \times v\,\Delta t \times \cos\theta ; diviser par Δt\Delta t. ∎

Exemple 17.15 (Grue)

Une grue hisse une palette de 600 kg600\,\mathrm{kg} à un régime permanent de 0.90 m/s0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s} : la force du câble égale le poids, mg=5.89×103 Nmg = 5.89 \times 10^{3}\,\mathrm{N}, donc P=Fv=5890×0.90≈5.3 kW≈7.2 hpP = Fv = 5890 \times 0.90 \approx 5.3\,\mathrm{kW} \approx 7.2\,\mathrm{hp} — une équipe de sept chevaux dans une boîte d’acier.

Méthode 17.16 (Monter avec moins de force : le zigzag)

Pour élever une charge d’une hauteur hh avec une force limitée :

  1. La facture est fixe : par la Proposition 17.5, toute route jusqu’au sommet coûte le travail mghmgh.
  2. Étirez le chemin : sur une pente de longueur LL la force nécessaire (vitesse constante, frottement mis à part) est F=mgh/LF = mgh/L — doublez la longueur, divisez la force par deux.
  3. Payez le supplément : le frottement facture au mètre (Proposition 17.9), ajoutant fLfL.

Les routes de montagne serpentent pour l’étape 2 : même hauteur, moins de force, même travail.

Tirer 1200\, kg sur h = 300\, m : le produit F × L = mgh = 3.53\, MJ est fixe, donc la route échange longueur contre force (voir le ).
Tirer 1200 kg1200\,\mathrm{kg} sur h=300 mh = 300\,\mathrm{m} : le produit F×L=mgh=3.53 MJF \times L = mgh = 3.53\,\mathrm{MJ} est fixe, donc la route échange longueur contre force (voir le Exercice 17.12).

17.5 Exercices

Exercice 17.1 ★

Une force constante F=40 NF = 40\,\mathrm{N} agit sur un déplacement rectiligne de 50 m50\,\mathrm{m} : calculer son travail pour θ=0∘\theta = 0{}^{\circ}, 60∘60{}^{\circ}, 90∘90{}^{\circ} et 120∘120{}^{\circ}.

Solution

Solution de Exercice 17.1.

W=40×50×cos⁡θW = 40 \times 50 \times \cos\theta : +2000 J+2000\,\mathrm{J} ; +1000 J+1000\,\mathrm{J} ; 00 ; −1000 J-1000\,\mathrm{J}.

Exercice 17.2 ★

Une boîte à outils de 12 kg12\,\mathrm{kg} est abaissée de 2.5 m2.5\,\mathrm{m} d’un fourgon, puis relevée plus tard. Travail de son poids dans chaque cas ?

Solution

Solution de Exercice 17.2.

mgh=12×9.81×2.5=294 Jmgh = 12 \times 9.81 \times 2.5 = 294\,\mathrm{J} : abaissée, +294 J+294\,\mathrm{J} (poids le long de la descente) ; relevée, −294 J-294\,\mathrm{J}.

Exercice 17.3 ★

Moteur, résistant ou nul ? (a) le poids d’une pomme qui tombe ; (b) le poids d’une balle qui monte ; (c) la force normale sur une caisse qui glisse ; (d) le frottement sur un vélo qui freine ; (e) la tension du fil sur le bob d’un pendule qui oscille.

Solution

Solution de Exercice 17.3.

(a) moteur ; (b) résistant ; (c) nul (perpendiculaire) ; (d) résistant ; (e) nul — la tension du fil reste perpendiculaire au mouvement du bob.

Exercice 17.4 ★

Une grue lève 600 kg600\,\mathrm{kg} de 25 m25\,\mathrm{m} à vitesse constante. Travail de la force de levage et du poids ? Quelle est leur somme, et pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 17.4.

Vitesse constante : force de levage =mg=5.89×103 N= mg = 5.89 \times 10^{3}\,\mathrm{N}, donc Wlevage=5886×25≈+147 kJW_{\text{levage}} = 5886 \times 25 \approx +147\,\mathrm{kJ} et W(P→)=−147 kJW(\vect P) = -147\,\mathrm{kJ}. Somme nulle : à vitesse constante les forces s’équilibrent (Chapitre 16), donc leurs travaux s’annulent.

Exercice 17.5 ★

Un moteur d’escalier mécanique fait 90 kJ90\,\mathrm{kJ} de travail chaque minute. Sa puissance en watts ? En chevaux-vapeur ?

Solution

Solution de Exercice 17.5.

P=9.0×104/60=1.5 kWP = 9.0 \times 10^{4}/60 = 1.5\,\mathrm{kW} ; 1500/736≈2.0 hp1500/736 \approx 2.0\,\mathrm{hp}.

Exercice 17.6 ★★

Un traîneau est tracté sur 200 m200\,\mathrm{m} par une corde de tension 120 N120\,\mathrm{N} à 30∘30{}^{\circ} au-dessus de la neige ; le frottement est 45 N45\,\mathrm{N}. Travail de chacune des quatre forces (corde, frottement, poids, normale) et total ?

Solution

Solution de Exercice 17.6.

Corde : 120×200×cos⁡30∘≈+20.8 kJ120 \times 200 \times \cos30{}^{\circ} \approx +20.8\,\mathrm{kJ} ; frottement : −45×200=−9.0 kJ-45 \times 200 = -9.0\,\mathrm{kJ} ; poids et force normale, perpendiculaires : 00. Total +11.8 kJ+11.8\,\mathrm{kJ} : le traîneau gagne de la vitesse.

Exercice 17.7 ★★

Un cycliste roule à un régime permanent de 25 km/h25\,\mathrm{km}/\mathrm{h} contre une traînée totale de 18 N18\,\mathrm{N}. Puissance livrée ? Travail fait en une heure ?

Solution

Solution de Exercice 17.7.

v=25/3.6=6.94 m/sv = 25/3.6 = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s} ; P=Fv=18×6.94≈125 WP = Fv = 18 \times 6.94 \approx 125\,\mathrm{W}. En une heure, W=P Δt=125×3600=450 kJW = P\,\Delta t = 125 \times 3600 = 450\,\mathrm{kJ} (équivalemment 18×25 000 m18 \times 25\,000\,\mathrm{m}).

Exercice 17.8 ★★

Un skieur de 65 kg65\,\mathrm{kg} descend 120 m120\,\mathrm{m} de hauteur, par une pente raide de 800 m800\,\mathrm{m} ou une piste douce de 1500 m1500\,\mathrm{m} ; le frottement sur les skis est 30 N30\,\mathrm{N} sur les deux. Travail du poids et du frottement sur chaque route ? Quel travail se soucie de la route ?

Solution

Solution de Exercice 17.8.

Poids, les deux routes : +65×9.81×120≈+76.5 kJ+65 \times 9.81 \times 120 \approx +76.5\,\mathrm{kJ} (descente seule). Frottement : −30×800=−24 kJ-30 \times 800 = -24\,\mathrm{kJ} sur la pente, −30×1500=−45 kJ-30 \times 1500 = -45\,\mathrm{kJ} sur la piste. Seul le frottement se soucie de la route.

Exercice 17.9 ★★

Une caisse de 20 kg20\,\mathrm{kg} est poussée de 4.0 m4.0\,\mathrm{m} sur une rampe à 25∘25{}^{\circ} à vitesse constante, contre 30 N30\,\mathrm{N} de frottement. Calculer les travaux du poids et du frottement, puis (d’après la vitesse constante) le travail et la grandeur de la poussée, parallèle à la rampe.

Solution

Solution de Exercice 17.9.

Montée h=4.0sin⁡25∘=1.69 mh = 4.0\sin25{}^{\circ} = 1.69\,\mathrm{m} : W(P→)=−20×9.81×1.69≈−332 JW(\vect P) = -20 \times 9.81 \times 1.69 \approx -332\,\mathrm{J} ; Wf=−30×4.0=−120 JW_f = -30 \times 4.0 = -120\,\mathrm{J}. Vitesse constante : travail total nul, donc Wpousseˊe=+452 JW_{\text{poussée}} = +452\,\mathrm{J} et F=452/4.0≈113 NF = 452/4.0 \approx 113\,\mathrm{N}.

Exercice 17.10 ★★

Une voiture croisière à 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h} avec son moteur livrant 50 kW50\,\mathrm{kW} aux roues. Quelle force résistante totale combat-elle ?

Solution

Solution de Exercice 17.10.

v=130/3.6=36.1 m/sv = 130/3.6 = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s} ; vitesse constante, donc F=P/v=5.0×104/36.1≈1.4 kNF = P/v = 5.0 \times 10^{4}/36.1 \approx 1.4\,\mathrm{kN}.

Exercice 17.11 ★★

Un cheval de canal remorque une péniche à 1.0 m/s1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, la corde de tension 800 N800\,\mathrm{N} faisant 20∘20{}^{\circ} avec le chemin de halage. Calculer la puissance du cheval, en watts et en chevaux-vapeur. Commenter.

Solution

Solution de Exercice 17.11.

P=Fvcos⁡θ=800×1.0×cos⁡20∘≈752 WP = Fv\cos\theta = 800 \times 1.0 \times \cos20{}^{\circ} \approx 752\,\mathrm{W} ; en chevaux-vapeur, 752/736≈1.02752/736 \approx 1.02 — presque exactement ce qu’un cheval fort soutient, la comparaison sur laquelle Watt a bâti son unité.

Exercice 17.12 ★★★

Une voiture de 1200 kg1200\,\mathrm{kg} gravit h=300 mh = 300\,\mathrm{m} jusqu’à un col, par une piste droite de pente 20 %20\,\% ou une route en zigzag de pente 6 %6\,\% (pente =sin⁡α= \sin\alpha). En négligeant le frottement, à vitesse constante, calculer pour chaque route la longueur, la force nécessaire le long de la pente, et son travail. Conclure en une phrase.

Solution

Solution de Exercice 17.12.

Longueurs L=h/penteL = h/\text{pente} : 1500 m1500\,\mathrm{m} et 5000 m5000\,\mathrm{m}. Forces F=mg×penteF = mg \times \text{pente} : 1200×9.81×0.20≈2.35 kN1200 \times 9.81 \times 0.20 \approx 2.35\,\mathrm{kN} et 0.71 kN0.71\,\mathrm{kN}. Travaux FLFL : 2354×1500≈3.53 MJ2354 \times 1500 \approx 3.53\,\mathrm{MJ} et 706×5000≈3.53 MJ706 \times 5000 \approx 3.53\,\mathrm{MJ} — tous deux égaux à mghmgh : la route échange force contre longueur, jamais travail.

Exercice 17.13 ★★★

Un treuil élève 250 kg250\,\mathrm{kg} de tuiles de 15 m15\,\mathrm{m} sur un échafaudage à un régime permanent de 0.40 m/s0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. Calculer le travail de la force du câble, la durée, la puissance mécanique (deux fois : W/ΔtW/\Delta t et FvFv), et la puissance électrique tirée à 70 %70\,\% de rendement du moteur.

Solution

Solution de Exercice 17.13.

F=mg=2.45×103 NF = mg = 2.45 \times 10^{3}\,\mathrm{N} ; W=2453×15≈36.8 kJW = 2453 \times 15 \approx 36.8\,\mathrm{kJ} ; Δt=15/0.40=37.5 s\Delta t = 15/0.40 = 37.5\,\mathrm{s} ; P=36800/37.5≈981 W=2453×0.40P = 36800/37.5 \approx 981\,\mathrm{W} = 2453 \times 0.40 (FvFv d’accord) ; électrique : 981/0.70≈1.4 kW981/0.70 \approx 1.4\,\mathrm{kW}.

Exercice 17.14 ★★★

Une armoire est glissée contre f=140 Nf = 140\,\mathrm{N} de frottement d’un coin d’une pièce à l’opposé : en droite ligne le long de la diagonale de 6.0 m6.0\,\mathrm{m}, ou 3.6 m3.6\,\mathrm{m} puis 4.8 m4.8\,\mathrm{m} le long des murs. Travail du frottement sur chaque route, puis sur un aller-retour en diagonale ? Que fait le poids sur cet aller-retour, et quelle différence profonde entre les deux forces cela expose-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 17.14.

Diagonale : −140×6.0=−840 J-140 \times 6.0 = -840\,\mathrm{J} ; murs : −140×8.4≈−1.18 kJ-140 \times 8.4 \approx -1.18\,\mathrm{kJ} ; aller-retour : −140×12=−1.68 kJ-140 \times 12 = -1.68\,\mathrm{kJ}. Le poids fait zéro sur l’aller-retour (pas de descente nette). Le travail du frottement dépend du chemin et ne rembourse jamais ; celui du poids ne dépend que des extrémités (Remarque 17.10).

Exercice 17.15 ★★★

Un cycliste (80 kg80\,\mathrm{kg} avec vélo) gravit un col : 600 m600\,\mathrm{m} de hauteur sur 12 km12\,\mathrm{km} de route, à un régime permanent de 15 km/h15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}, contre 14 N14\,\mathrm{N} de traînée et de résistance au roulement. Calculer le travail fourni contre la gravité, contre le frottement, et au total ; la durée de la montée ; la puissance moyenne, en watts et chevaux-vapeur.

Solution

Solution de Exercice 17.15.

Gravité : 80×9.81×600≈471 kJ80 \times 9.81 \times 600 \approx 471\,\mathrm{kJ} ; frottement : 14×12000=168 kJ14 \times 12000 = 168\,\mathrm{kJ} ; total 639 kJ639\,\mathrm{kJ}. v=4.17 m/sv = 4.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, donc Δt=12000/4.17=2880 s=48 min\Delta t = 12000/4.17 = 2880\,\mathrm{s} = 48\,\mathrm{min} et P=6.39×105/2880≈222 W≈0.30 hpP = 6.39 \times 10^{5}/2880 \approx 222\,\mathrm{W} \approx 0.30\,\mathrm{hp} — un amateur fort, un tiers de cheval.

17.6 Problème : La journée du déménageur

Problème 17.1

Problème du week-end — la physique paie au joule : une journée de glissements, de levages et d’épingles à cheveux, s’achevant par l’humiliante découverte de ce qu’une bouilloire pense d’un labeur honnête

L’équipe d’un déménageur vide un entrepôt, hisse la charge jusqu’à un appartement au troisième étage, puis conduit le fourgon jusqu’à un village de colline. Chaque tâche est tarifée en joules ; la bouilloire de la cuisine auditera la journée. Caisses : 30 kg30\,\mathrm{kg}.

Partie I — À travers le plancher de l’entrepôt. Une caisse est poussée avec une force horizontale F=110 NF = 110\,\mathrm{N} sur d=8.0 md = 8.0\,\mathrm{m} ; le frottement de glissement est f=95 Nf = 95\,\mathrm{N}.

  1. Calculer le travail de la poussée.
  2. Calculer le travail du frottement, du poids, et de la force normale (justifier les zéros).
  3. Travail total sur la caisse, et le sens de son signe (la caisse est partie du repos) ? Quelle poussée maintient la vitesse constante (Chapitre 16) ?
  4. Le coin opposé peut être atteint le long de la diagonale de 10.0 m10.0\,\mathrm{m} ou le long de deux murs (6.0 m6.0\,\mathrm{m} puis 8.0 m8.0\,\mathrm{m}). Travail du frottement sur chaque route ?
  5. Sur un aller-retour en diagonale (aller et retour), calculer le travail du frottement et le travail du poids. Quelle force rembourse ?

Partie II — Jusqu’au troisième étage (h=9.0 mh = 9.0\,\mathrm{m}).

  1. Calculer le travail du poids sur une caisse élevée jusqu’à l’appartement. Quel travail l’équipe doit-elle au moins fournir ?
  2. Portée par les escaliers par un déménageur de 70 kg70\,\mathrm{kg}, la gravité facture pour le déménageur et la caisse : travail total contre la gravité, et la fraction réellement dépensée sur la caisse ?
  3. Une rampe de chariot fait 30 m30\,\mathrm{m} de long pour la même montée de 9.0 m9.0\,\mathrm{m}, avec 40 N40\,\mathrm{N} de frottement de roulement. À vitesse constante, calculer la poussée nécessaire le long de la rampe et son travail.
  4. Comparer la rampe avec un treuil vertical droit : force nécessaire, travail fait. Qu’achète la rampe, et à quel prix ?
  5. Un treuil à corde et poulie élève la caisse à 0.50 m/s0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. Durée et puissance mécanique ?
  6. Retrouver cette puissance comme P=FvP = Fv. Le moteur du treuil a un rendement de 60 %60\,\% : puissance électrique tirée ?

Partie III — La route en zigzag. Le fourgon chargé (3500 kg3500\,\mathrm{kg}) doit atteindre un village à 240 m240\,\mathrm{m} au-dessus de la vallée : voie droite, 1.0 km1.0\,\mathrm{km} à pente 24 %24\,\%, ou route pavée, 8.0 km8.0\,\mathrm{km} à pente 3,0 %3{,}0\,\% (pente =sin⁡α= \sin\alpha).

  1. Vérifier que les deux routes grimpent les mêmes 240 m240\,\mathrm{m}.
  2. À vitesse constante et en négligeant le frottement, calculer la force motrice nécessaire le long de chaque route.
  3. Travail de la force motrice sur chaque route ? Comparer avec mghmgh.
  4. La résistance au roulement est 400 N400\,\mathrm{N} sur les deux : calculer le travail supplémentaire sur chaque route. Que coûte le confort du zigzag ?
  5. À 36 km/h36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}, calculer la puissance moteur nécessaire sur chaque route (en kW\mathrm{kW} et hp\mathrm{hp}). Pourquoi les routes serpentent-elles ?

Partie IV — Le grand livre de la journée.

  1. L’équipe glisse 6060 caisses sur le plancher (la poussée de la question 1) et hisse les 6060 des 9.0 m9.0\,\mathrm{m} (question 6). Travail mécanique total livré aux caisses ?
  2. Ajouter le corps propre du porteur d’escalier : 2020 allers en haut à 70 kg70\,\mathrm{kg} (les remboursements en descente vont aux genoux chauds, non au grand livre). Total de la journée ?
  3. L’équipe a travaillé 8,08{,}0 heures : puissance mécanique moyenne ? Combien de temps la bouilloire de 2.0 kW2.0\,\mathrm{kW} mettrait-elle à dépenser la même énergie ?
  4. Final : en deux phrases, dire ce que le joule paie — et ne paie pas (le mur poussé tout l’après-midi, la caisse tenue immobile) — et pourquoi les déménageurs possèdent des treuils, des rampes et des routes en zigzag plutôt que de plus gros muscles.
Solution

Solution de Problème 17.1.

1. W=110×8.0=+880 JW = 110 \times 8.0 = +880\,\mathrm{J}.

2. Frottement : −95×8.0=−760 J-95 \times 8.0 = -760\,\mathrm{J}. Poids et force normale sont perpendiculaires au mouvement : zéro chacun.

3. Total +120 J+120\,\mathrm{J} : travail moteur net, la caisse accélère. Une poussée de 95 N95\,\mathrm{N} équilibre le frottement — force résultante nulle, vitesse constante, travail total nul.

4. Diagonale : −95×10.0=−950 J-95 \times 10.0 = -950\,\mathrm{J} ; murs : −95×14.0=−1.33 kJ-95 \times 14.0 = -1.33\,\mathrm{kJ} : le frottement facture au mètre.

5. Frottement : −95×20.0=−1.9 kJ-95 \times 20.0 = -1.9\,\mathrm{kJ} ; poids : 00 (pas de descente nette). Seul le poids rembourse.

6. W(P→)=−30×9.81×9.0=−2.65 kJW(\vect P) = -30 \times 9.81 \times 9.0 = -2.65\,\mathrm{kJ} ; l’équipe doit fournir au moins +2.65 kJ+2.65\,\mathrm{kJ}.

7. (70+30)×9.81×9.0=8.83 kJ(70 + 30) \times 9.81 \times 9.0 = 8.83\,\mathrm{kJ} ; la part de la caisse est 2.65/8.83≈30 %2.65/8.83 \approx 30\,\% — porter, c’est surtout se transporter soi-même.

8. sin⁡α=9.0/30=0.30\sin\alpha = 9.0/30 = 0.30 : F=mgsin⁡α+f=88.3+40=128 NF = mg\sin\alpha + f = 88.3 + 40 = 128\,\mathrm{N} ; W=128×30=3.85 kJW = 128 \times 30 = 3.85\,\mathrm{kJ} (=2.65+1.2= 2.65 + 1.2).

9. Treuil vertical : F=mg=294 NF = mg = 294\,\mathrm{N}, W=2.65 kJW = 2.65\,\mathrm{kJ}. La rampe achète une force plus petite (128128 contre 294 N294\,\mathrm{N}) au prix de plus de travail : le péage de 1.2 kJ1.2\,\mathrm{kJ} du frottement.

10. Δt=9.0/0.50=18 s\Delta t = 9.0/0.50 = 18\,\mathrm{s} ; P=2649/18≈147 WP = 2649/18 \approx 147\,\mathrm{W}.

11. P=Fv=294×0.50=147 WP = Fv = 294 \times 0.50 = 147\,\mathrm{W} — même. Électrique : 147/0.60≈245 W147/0.60 \approx 245\,\mathrm{W}.

12. 1000×0.24=240 m1000 \times 0.24 = 240\,\mathrm{m} et 8000×0.030=240 m8000 \times 0.030 = 240\,\mathrm{m} : même sommet.

13. F=mg×penteF = mg \times \text{pente} : voie 3500×9.81×0.24≈8.2 kN3500 \times 9.81 \times 0.24 \approx 8.2\,\mathrm{kN} ; route ≈1.0 kN\approx 1.0\,\mathrm{kN}.

14. 8240×1000≈8.24 MJ8240 \times 1000 \approx 8.24\,\mathrm{MJ} et 1030×8000≈8.24 MJ1030 \times 8000 \approx 8.24\,\mathrm{MJ} — tous deux =mgh=3500×9.81×240= mgh = 3500 \times 9.81 \times 240.

15. Résistance au roulement : 400×1000=0.40 MJ400 \times 1000 = 0.40\,\mathrm{MJ} contre 400×8000=3.2 MJ400 \times 8000 = 3.2\,\mathrm{MJ} : le confort de la route douce coûte 2.8 MJ2.8\,\mathrm{MJ} de frottement supplémentaire.

16. v=10 m/sv = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. Route : (1030+400)×10=14.3 kW≈19 hp(1030 + 400) \times 10 = 14.3\,\mathrm{kW} \approx 19\,\mathrm{hp} ; voie : (8240+400)×10=86.4 kW≈117 hp(8240 + 400) \times 10 = 86.4\,\mathrm{kW} \approx 117\,\mathrm{hp} — au-delà d’une camionnette chargée. Les routes serpentent pour que des moteurs modestes (et des pneus) puissent monter : même travail, étalé mince.

17. Par caisse : 880+2649=3.53 kJ880 + 2649 = 3.53\,\mathrm{kJ} ; pour 6060 caisses, 60×3529≈212 kJ60 \times 3529 \approx 212\,\mathrm{kJ}.

18. Escaliers : 20×70×9.81×9.0≈124 kJ20 \times 70 \times 9.81 \times 9.0 \approx 124\,\mathrm{kJ}. Total de la journée ≈336 kJ=0.34 MJ\approx 336\,\mathrm{kJ} = 0.34\,\mathrm{MJ}.

19. P=3.36×105/28800≈12 WP = 3.36 \times 10^{5}/28800 \approx 12\,\mathrm{W}. La bouilloire : 3.36×105/2000=168 s3.36 \times 10^{5}/2000 = 168\,\mathrm{s} — moins de trois minutes pour tout le labeur de la journée.

20. Le joule paie la force livrée le long d’un mouvement — rien pour le mur poussé ou la caisse tenue, si épuisant soit-ce (les muscles brûlent de l’ énergie chimique même en faisant zéro travail mécanique). Puisque la puissance humaine est de quelques dizaines de watts, les déménageurs laissent les machines remodeler la force — treuil, rampe, serpentines — tandis que la facture mghmgh ne change jamais.