Physique du lycée · Grades 10–12

25Les lois de Newton

Faites passer une balance de salle de bain dans un ascenseur. Quand la cabine s’élance vers le haut, l’aiguille lit trois kilogrammes de trop ; près du sommet, elle en lit trop peu. Entre les deux, une vérité toute simple : rien à bord n’a changé, sinon le mouvement. Ce chapitre énonce les trois lois derrière cette aiguille et en tire la méthode qui mène toute la mécanique : choisir un système, dessiner ses forces, projeter $\sum \vect F = m\vect a$ .

25.1 Quantité de mouvement, et la première loi rendue exacte

Définition 25.1 (Quantité de mouvement)

La quantité de mouvement d’un corps de masse $m$ ( $\mathrm{kg}$ ) se déplaçant à la vitesse $\vect v$ est le vecteur

\vect p = m \vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}):

la vitesse, pondérée par la masse ; pour un système, la somme vectorielle sur ses parties.

Définition 25.2 (Référentiel galiléen)

Un référentiel galiléen est un référentiel dans lequel tout corps isolé — sans forces, ou des forces qui se compensent — se déplace en ligne droite à vitesse constante (Chapitre 6). Le sol en est un à excellente précision, et toute cabine en mouvement rectiligne uniforme dessus ; un train qui freine ou un manège qui tourne ne l’est pas : là, des bagages lâches accélèrent sans être poussés.

Théorème 25.3 (Première loi de Newton)

Dans un référentiel galiléen, la quantité de mouvement d’un système isolé ne change pas : $\vect p$ est constante, c.-à-d. $d\vect p/dt = \vect 0$ .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 25.4 (Inertie, affûtée deux fois)

Le principe d’inertie du Chapitre 6, mis à jour deux fois : il dit où il vaut — il définit les référentiels galiléens comme ceux où il vaut — et il protège un vecteur, $m\vect v$ , dont la comptabilité paie à la fin du chapitre.

25.2 Deuxième loi de Newton

Théorème 25.5 (Deuxième loi de Newton)

Dans un référentiel galiléen, la force résultante sur un corps égale le taux de variation de sa quantité de mouvement ; pour une masse constante, comme $\vect p = m\vect v$ ,

\sum \vect F = \frac{d\vect p}{dt} = m\,\frac{d\vect v}{dt} = m \vect a .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 25.6 (Une loi de la nature, et son unité)

Il n’y a pas de preuve : c’est une loi de la nature, pesée contre l’expérience depuis trois siècles. L’année dernière (Chapitre 16) en a donné l’ombre, $\Delta v \propto F\,\Delta t/m$ ; la dérivée (Chapitre 24) la rend exacte à chaque instant — ses petits caractères attendent dans le volume de Licence 1. La force reçoit une unité, $\mathrm{N} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; et un corps sous son seul poids obéit à $m\vect a = m\vect g$ : toute masse tombe avec $\vect a = \vect g$ , et $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — les deux lectures n’en font qu’une.

Exemple 25.7 (Force moyenne, sans le détail)

Une voiture de $1300\,\mathrm{kg}$ passe du repos à $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) en $8.0\,\mathrm{s}$ : quelle que soit l’histoire instant par instant, la force résultante moyenne est $\Delta p/\Delta t = 1300 \times 27.8/8.0 \approx 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — la quantité de mouvement transforme une question de force en une comptabilité avant-après.

25.3 Troisième loi de Newton

Théorème 25.8 (Troisième loi de Newton)

Si un corps $A$ exerce une force $\vect F_{A \to B}$ sur un corps $B$ , alors $B$ exerce sur $A$ la force $\vect F_{B \to A} = -\vect F_{A \to B}$ : même droite d’action, même norme, directions opposées — à chaque instant, quel que soit le mouvement, contact ou action à distance.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 25.9 (Le livre, la table et la Terre)

Un livre repose sur une table : deux interactions, deux paires. Gravitationnelle : la Terre tire le livre vers le bas ( $\vect P$ ), le livre tire la Terre vers le haut. Contact : la table pousse le livre vers le haut ( $\vect N$ ), le livre appuie la table vers le bas. Marcher est le même marché : poussez le sol vers l’arrière ; sa réaction est la seule force qui vous entraîne vers l’avant.

Un livre, deux interactions, quatre flèches : la paire gravitationnelle (la Terre tire le livre, le livre tire la Terre) et la paire de contact (la table pousse le livre, le livre appuie la table). P et N ne sont pas partenaires : elles agissent sur le même livre — et ne s’annulent que parce que son accélération est nulle. — Un livre, deux interactions, quatre flèches : la paire gravitationnelle (la Terre tire le livre, le livre tire la Terre) et la paire de contact (la table pousse le livre, le livre appuie la table). $\vect P$ et $\vect N$ ne sont *pas* partenaires : elles agissent sur le même livre — et ne s’annulent que parce que son accélération est nulle.

25.4 La méthode : choisir, dessiner, projeter

Méthode 25.10 (Résoudre un problème de dynamique)

Système : nommer le corps (ou l’ensemble de corps) étudié.
Référentiel : choisir un référentiel galiléen et des axes adaptés au mouvement — axes de pente, ou le repère de Frenet pour une courbe (Chapitre 24).
Inventaire : lister chaque force — le poids, puis une force par contact, rien d’autre — et dessiner le diagramme des forces : un point, une flèche par force.
Projeter : écrire $\sum \vect F = m\vect a$ , projeter sur chaque axe.
Résoudre et vérifier : unités, signes, cas limites ( $\mu \to 0$ , $\alpha \to 0$ , …).

Définition 25.11 (Force normale et frottement)

Une surface agit sur un corps par deux composantes : la force normale $\vect N$ , perpendiculaire à la surface, et le frottement $\vect f$ , tangentiel. L’expérience donne les lois de frottement : tant que le corps ne glisse pas, le frottement statique s’ajuste jusqu’à un plafond, $f_s \leq \mu_s N$ ; une fois qu’il glisse, le frottement cinétique est $f_k = \mu_k N$ , contre le glissement. Les coefficients de frottement $\mu_s$ et $\mu_k$ ( $\mu_k \leq \mu_s$ ) ne dépendent que des deux matériaux.

Exemple 25.12 (Le plan incliné, deux fois)

Un bloc glisse le long d’une pente d’angle $\alpha$ ; axes : $x$ vers le bas de la pente, $y$ perpendiculaire. Sur $y$ : $N = mg\cos\alpha$ . Sur $x$ , sans frottement : $ma = mg\sin\alpha$ , donc $a = g\sin\alpha$ — pas de masse ; à $\alpha = 30^\circ$ , $a = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Avec frottement cinétique : $a = g(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha)$ ; pour $\mu_k = 0.20$ , $a = 9.81\,(0.500 - 0.173) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Et il restait d’abord immobile tant que le frottement statique nécessaire tenait sous son plafond : $\tan\alpha \leq \mu_s$ .

Diagramme des forces sur le plan incliné : poids P, force normale N, frottement f vers le haut de la pente pour un bloc qui glisse vers le bas. Les axes le long et perpendiculairement à la pente découpent P en mg et mg (tirets). — Diagramme des forces sur le plan incliné : poids $\vect P$ , force normale $\vect N$ , frottement $\vect f$ vers le haut de la pente pour un bloc qui glisse vers le bas. Les axes le long et perpendiculairement à la pente découpent $\vect P$ en $mg\sin\alpha$ et $mg\cos\alpha$ (tirets).

Définition 25.13 (Poids apparent)

Le poids apparent d’un corps est la force normale entre lui et son support — ce qu’une balance sous lui lit.

Exemple 25.14 (L’ascenseur)

Un passager de $70\,\mathrm{kg}$ se tient sur une balance dans un ascenseur d’accélération verticale $a_z$ (haut positif) : $N - mg = ma_z$ , donc $N = m(g + a_z)$ . En s’élançant vers le haut à $a_z = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $792\,\mathrm{N}$ , lourd ; freinage près du sommet : $582\,\mathrm{N}$ , léger ; croisière régulière : $mg = 687\,\mathrm{N}$ — la première loi ; chute libre, $a_z = -g$ : $N = 0$ , apesanteur sur une balance.

Exemple 25.15 (Deux blocs et une poulie)

Un bloc $m_1 = 4.0\,\mathrm{kg}$ sur une table sans frottement est relié par une corde légère, sur une poulie idéale, à un bloc suspendu $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$ . La corde transmet la même tension $T$ aux deux bouts ; les blocs partagent une même norme d’accélération $a$ . Une deuxième loi chacun, le long de chaque mouvement : $m_1 a = T$ et $m_2 a = m_2 g - T$ , donc $a = m_2\,g/(m_1 + m_2) = 1.96\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ et $T = m_1 a = 7.8\,\mathrm{N}$ — plus petit que $m_2 g = 9.8\,\mathrm{N}$ , comme il se doit pour que $m_2$ accélère vers le bas.

Deux blocs, une corde légère, une poulie idéale : la même tension T tire les deux bouts, les blocs partagent une même norme d’accélération — une deuxième loi chacun, deux équations, deux inconnues. — Deux blocs, une corde légère, une poulie idéale : la même tension $T$ tire les deux bouts, les blocs partagent une même norme d’accélération — une deuxième loi chacun, deux équations, deux inconnues.

Exemple 25.16 (Le virage plat)

Une voiture de masse $m$ prend un virage plat de rayon $R$ à vitesse constante $v$ . Dans le repère de Frenet (Chapitre 24) l’accélération est purement normale, $a_N = v^2/R$ , dirigée vers le centre. Verticalement, $N = mg$ ; horizontalement, la seule force centripète disponible est le frottement statique de la route sur les pneus : $f = mv^2/R \leq \mu_s N = \mu_s mg$ , donc $v \leq \sqrt{\mu_s\, g R}$ , quelle que soit la masse. Pour $R = 90\,\mathrm{m}$ , route sèche ( $\mu_s = 0.70$ ) : $v_{\max} \approx 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) ; sur glace le plafond s’effondre — l’Exercice 25.13 déverse la route ; l’Exercice 25.10 balance la même projection sur un fil.

Une voiture dans un virage plat à vitesse constante : vue de dessus (gauche) la vitesse est tangente et la force résultante vise le centre ; de derrière (droite) N équilibre P, et le frottement statique latéral de la route est toute la force centripète. — Une voiture dans un virage plat à vitesse constante : vue de dessus (gauche) la vitesse est tangente et la force résultante vise le centre ; de derrière (droite) $\vect N$ équilibre $\vect P$ , et le frottement statique latéral de la route est toute la force centripète.

25.5 Systèmes isolés : la quantité de mouvement se conserve

Proposition 25.17 (Conservation de la quantité de mouvement)

Pour deux corps dont les forces extérieures s’annulent ou se compensent, la quantité de mouvement totale $\vect p_1 + \vect p_2$ est constante, quelles que soient les forces qu’ils exercent l’un sur l’autre.

Démonstration. Additionner les deux deuxièmes lois : $\frac{d}{dt}(\vect p_1 + \vect p_2) = \vect F_{2 \to 1} + \vect F_{1 \to 2} + \vect F_{\text{ext}}$ : la paire interne s’annule par la troisième loi, et $\vect F_{\text{ext}} = \vect 0$ par hypothèse. ∎

Exemple 25.18 (Recul)

Une patineuse de $60\,\mathrm{kg}$ au repos sur de la glace lisse lance une balle médicinale de $4.0\,\mathrm{kg}$ horizontalement à $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Avant : $\vect p = \vect 0$ ; après : $0 = 60\,V + 4.0 \times 6.0$ , donc $V = -0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — elle dérive vers l’arrière. Rien d’extérieur ne l’a poussée : la balle l’a fait (troisième loi), et les comptes restent à zéro.

Remarque 25.19 (Comment une fusée pousse sur rien)

Une fusée est une machine à jeter de la masse. Chaque seconde ses moteurs projettent un lot de gaz vers l’arrière ; les gaz emportent de la quantité de mouvement vers l’arrière, donc la fusée gagne la même quantité vers l’avant — une poussée régulière, à peu près la masse éjectée par seconde fois la vitesse d’éjection. La fusée pousse sur ses propres gaz d’échappement, non sur l’air : elle fonctionne le mieux dans le vide.

25.6 Exercices

Exercice 25.1 ★

Calculer la quantité de mouvement de (a) un sprinteur de $70\,\mathrm{kg}$ à $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; (b) une voiture de $1300\,\mathrm{kg}$ à $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; (c) une balle de $8.0\,\mathrm{g}$ à $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Les classer. Pourquoi le plus rapide arrive-t-il en dernier ?

Solution

Solution de Exercice 25.1.

(a) $p = 70 \times 10 = 7.0 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $v = 13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $p \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $p = 0.0080 \times 800 = 6.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Voiture $>$ sprinteur $>$ balle : cinq ordres de grandeur de masse valent plus que la vitesse.

Exercice 25.2 ★

Un passager de $70\,\mathrm{kg}$ se tient sur une balance dans un ascenseur. Que lit-elle lorsque la cabine (a) accélère vers le haut à $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; (b) monte à une $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ constante ; (c) accélère vers le bas à $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ? Quelle loi tranche (b) ?

Solution

Solution de Exercice 25.2.

$N = m(g + a_z)$ : (a) $70 \times 11.01 = 771\,\mathrm{N}$ ; (b) $a_z = 0$ , donc $N = mg = 687\,\mathrm{N}$ — la première loi : vitesse constante, les forces se compensent ; (c) $70 \times 8.61 = 603\,\mathrm{N}$ .

Exercice 25.3 ★

Un bloc est lâché sur une pente sans frottement d’angle $30^\circ$ . Calculer son accélération, puis sa vitesse après avoir glissé $3.0\,\mathrm{m}$ . Où est passée la masse ?

Solution

Solution de Exercice 25.3.

$a = g\sin 30^\circ = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v = \sqrt{2 \times 4.905 \times 3.0} = 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . La masse s’annule entre $ma$ et $mg\sin\alpha$ .

Exercice 25.4 ★

Une balle de tennis de $58\,\mathrm{g}$ arrive à $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et est renvoyée le long de la même ligne à $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; le contact dure $5.0\,\mathrm{ms}$ . Calculer le changement de quantité de mouvement et la force moyenne des cordages ; comparer cette force au poids de la balle.

Solution

Solution de Exercice 25.4.

Inversion : $\Delta p = 0.058 \times (25 + 15) = 2.3\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $F = 2.32/0.0050 = 4.6 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ — environ $800$ fois le $0.57\,\mathrm{N}$ de poids, d’où l’ignorance de la gravité pendant le contact.

Exercice 25.5 ★

Un livre repose sur une table. Nommer les deux forces agissant sur le livre et, pour chacune, son partenaire action–réaction (quel corps ? quelle direction ?). Pourquoi le poids du livre et la poussée de la table ne sont-ils pas partenaires l’un de l’autre ?

Solution

Solution de Exercice 25.5.

Poids (Terre sur le livre, vers le bas) : partenaire = le livre attire la Terre, vers le haut. Force normale (table sur le livre, vers le haut) : partenaire = le livre appuie sur la table, vers le bas. Poids et normale agissent sur le même corps et appartiennent à deux interactions différentes — égaux ici seulement parce que $\vect a = \vect 0$ .

Exercice 25.6 ★★

Une caisse de $50\,\mathrm{kg}$ repose sur un sol horizontal, $\mu_s = 0.45$ , $\mu_k = 0.35$ . (a) Quelle poussée horizontale la met tout juste en marche ? (b) Si cette poussée est maintenue, quelle est son accélération ? (c) Quelle poussée la maintient en mouvement à vitesse constante ?

Solution

Solution de Exercice 25.6.

$N = mg = 490\,\mathrm{N}$ . (a) $F > \mu_s N = 221\,\mathrm{N}$ . (b) $a = (220.7 - 0.35 \times 490.5)/50 = 0.98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (c) $F = \mu_k N = 172\,\mathrm{N}$ .

Exercice 25.7 ★★

La même caisse est placée sur une rampe réglable ( $\mu_s = 0.45$ , $\mu_k = 0.35$ ). (a) À quel angle commence-t-elle à glisser ? (b) À $30^\circ$ , calculer son accélération. (c) Une fois partie à l’angle de (a), continue-t-elle d’accélérer ? Pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 25.7.

(a) Glisse quand $\tan\alpha > \mu_s$ : $\alpha = \arctan 0.45 \approx 24^\circ$ . (b) $a = g(\sin 30^\circ - 0.35\cos 30^\circ) = 9.81 \times 0.197 = 1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (c) Oui : une fois en glissement, le frottement tombe à $\mu_k < \mu_s$ , donc $a = g\cos\alpha\,(\tan\alpha - \mu_k) \approx 0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} > 0$ .

Exercice 25.8 ★★

Un bloc de $3.0\,\mathrm{kg}$ sur une table sans frottement est relié par une poulie idéale à un bloc suspendu de $2.0\,\mathrm{kg}$ . Calculer l’accélération et la tension. Pourquoi la tension a-t-elle dû sortir plus petite que le poids suspendu ?

Solution

Solution de Exercice 25.8.

$a = m_2 g/(m_1 + m_2) = 19.62/5.0 = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $T = m_1 a = 11.8\,\mathrm{N}$ . Le bloc suspendu accélère vers le bas, donc la force résultante sur lui pointe vers le bas : $T$ doit sous-coter $m_2 g$ .

Exercice 25.9 ★★

Un virage de rayon $50\,\mathrm{m}$ est plat. Calculer la vitesse maximale d’une voiture pour $\mu_s = 0.70$ (sec) et $0.40$ (humide), en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Pourquoi la réponse vaut-elle pour un scooter et un camion ?

Solution

Solution de Exercice 25.9.

$v_{\max} = \sqrt{\mu_s g R}$ : sec $\sqrt{0.70 \times 9.81 \times 50} = 18.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 67\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; humide $14.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . $mv^2/R$ et $\mu_s mg$ portent tous deux $m$ : il s’annule.

Exercice 25.10 ★★

Un pendule de $0.30\,\mathrm{kg}$ au bout d’un fil de $1.2\,\mathrm{m}$ trace un cercle horizontal, le fil maintenant un angle constant de $25^\circ$ avec la verticale (pendule conique). Projeter la deuxième loi verticalement, puis le long du rayon : calculer la tension et la vitesse.

Solution

Solution de Exercice 25.10.

Vertical : $T\cos\theta = mg$ , donc $T = 2.943/\cos 25^\circ = 3.2\,\mathrm{N}$ . Rayon $R = L\sin\theta = 0.507\,\mathrm{m}$ ; radial : $T\sin\theta = mv^2/R$ , donc $v = \sqrt{gR\tan\theta} = \sqrt{9.81 \times 0.507 \times 0.466} = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercice 25.11 ★★

Un colis de $5.0\,\mathrm{kg}$ voyage sur une balance dans un ascenseur de fret ; les lectures :

phase	$0\text{ to }2\,\mathrm{s}$	$2\text{ to }8\,\mathrm{s}$	$8\text{ to }10\,\mathrm{s}$
balance ( $\mathrm{N}$ )	54.0	49.0	44.1

Calculer l’accélération de chaque phase et décrire un trajet possible. L’ascenseur a-t-il pu se déplacer vers le bas tout le temps ?

Solution

Solution de Exercice 25.11.

$a_z = (N - mg)/m$ avec $mg = 49.05\,\mathrm{N}$ : $+1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $0$ , $-1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Ex. : un trajet vers le haut : accélérer, croisière, freiner. Oui : en entrant déjà en descente, les mêmes lectures signifient freiner, croisière, réaccélérer vers le bas — la balance lit l’accélération, non la vitesse.

Exercice 25.12 ★★★

Une patineuse de $60\,\mathrm{kg}$ au repos sur de la glace lisse lance une balle de $4.0\,\mathrm{kg}$ horizontalement. (a) La balle part à $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport au sol : sa vitesse de recul ? (b) Les $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sont maintenant mesurés par rapport à elle : recalculer les deux vitesses. (c) Quelle force l’a poussée vers l’arrière ?

Solution

Solution de Exercice 25.12.

(a) $0 = 60V + 4.0 \times 8.0$ : $V = -0.53\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) Balle à $8.0 + V$ par rapport au sol : $0 = 60V + 4.0(8.0 + V)$ , donc $V = -32/64 = -0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et la balle vole à $7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) La poussée de la balle sur ses mains — le partenaire de la troisième loi de son lancer.

Exercice 25.13 ★★★

Un virage d’autoroute de rayon $80\,\mathrm{m}$ est conçu pour $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sans aide du frottement. Montrer que la chaussée doit être déversée de l’angle $\theta$ donné par $\tan\theta = v^2/(gR)$ et le calculer. Que doit faire le frottement pour une voiture prenant le virage plus lentement — ou plus vite ?

Solution

Solution de Exercice 25.13.

Sans frottement : $N\cos\theta = mg$ (vertical) et $N\sin\theta = mv^2/R$ (radial) ; en divisant, $\tan\theta = v^2/(gR) = 400/784.8$ : $\theta \approx 27^\circ$ . Plus lent : la voiture tend à glisser vers le bas du dévers, le frottement doit pointer vers le haut ; plus rapide : l’inverse.

Exercice 25.14 ★★★

Les moteurs d’une fusée éjectent $250\,\mathrm{kg}$ de gaz par seconde à $2500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Quelle quantité de mouvement part par seconde — quelle poussée les gaz renvoient-ils ? (b) La fusée pèse $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ à l’allumage : son poids ? son accélération au décollage ? (c) Pourquoi le moteur fonctionne-t-il aussi bien dans le vide ?

Solution

Solution de Exercice 25.14.

(a) $250 \times 2500 = 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ chaque seconde : poussée $6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ . (b) $P = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ ; $a = (6.25 - 4.905) \times 10^5 / 5.0 \times 10^{4} = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (c) Elle pousse sur ses propres gaz d’échappement (troisième loi), non sur l’air.

Exercice 25.15 ★★★

Un bloc de $4.0\,\mathrm{kg}$ sur une table ( $\mu_s = 0.35$ , $\mu_k = 0.25$ ) est relié par une poulie idéale à une masse suspendue $m_2$ . (a) Quel $m_2$ minimal démarre le mouvement ? (b) Pour $m_2 = 2.0\,\mathrm{kg}$ , calculer accélération et tension. (c) Vérifier que $\mu_k = 0$ retrouve la formule sans frottement de l’Exercice 25.8.

Solution

Solution de Exercice 25.15.

(a) $m_2 g > \mu_s m_1 g$ : $m_2 > 0.35 \times 4.0 = 1.4\,\mathrm{kg}$ . (b) $a = (m_2 - \mu_k m_1)\,g/(m_1 + m_2) = 1.0 \times 9.81/6.0 = 1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $T = m_2(g - a) = 16.4\,\mathrm{N}$ . (c) $\mu_k = 0$ donne $a = m_2 g/(m_1 + m_2)$ : la formule de l’Exercice 25.8.

25.7 Problème : Le téléphérique

Problème 25.1

Problème du week-end — certifier le téléphérique : la tension que la pente exige au repos, la surtaxe du démarrage, le soulagement au-dessus de la tour, le prix d’un arrêt d’urgence — et le seul nombre que la plaque de la cabine peut promettre

Un téléphérique de montagne — cabine plus chariot, masse à vide $M_0 = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ — roule sur un câble porteur incliné à $\alpha = 30^\circ$ , tiré par un câble tracteur parallèle à la pente avec la tension $\vect T$ . Le frottement de roulement est négligeable ; le plancher de la cabine reste horizontal tout du long. La cabine accueille $25$ passagers de masse moyenne $80\,\mathrm{kg}$ ; vous êtes l’ingénieur certificateur. Sauf mention contraire, la cabine est pleine : $M = 4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ .

Partie I — Au repos sur la pente.

Choisir le système ; dire pourquoi le référentiel de la montagne fera office de référentiel galiléen ; inventaire des trois forces, avec directions.
Quelle loi gouverne l’attente ? La projeter le long et perpendiculairement à la pente pour exprimer $T$ et la force normale $N$ du câble porteur.
Calculer $T$ et $N$ .
Recalculer $T$ pour la cabine vide. Pourquoi $T$ est-elle proportionnelle à la masse totale ?
Le câble tracteur casse, freins ouverts : montrer que l’accélération de l’emballement est $g \sin\alpha$ , chargée ou vide, et la calculer.

Partie II — Démarrage. Le treuil accélère la cabine pleine à $a = 0.60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ vers le haut de la pente jusqu’à la croisière à $v = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exprimer et calculer la tension $T'$ pendant cette phase.
De quelle fraction le démarrage élève-t-il la tension au-dessus de sa valeur au repos ?
Combien dure la phase, et sur quelle distance ?
Un passager de $80\,\mathrm{kg}$ se tient sur le plancher horizontal. Projeter la deuxième loi verticalement pour exprimer et calculer son poids apparent ; comparer à $mg$ .
Quelle force l’accélère horizontalement, et de quelle taille ? Pourquoi les passagers se penchent-ils ?

Partie III — Au-dessus de la tour. À une $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ constante, le câble porteur se courbe au-dessus d’une tour de support le long d’un arc circulaire vertical de rayon $R = 40\,\mathrm{m}$ ; au sommet la vitesse est horizontale.

Dans le repère de Frenet au sommet (Chapitre 24), donner les deux composantes de l’accélération, avec leurs valeurs.
Projeter la deuxième loi le long de la normale pour exprimer et calculer la force normale $N'$ du câble sur le chariot.
Même question pour le poids apparent du passager au sommet : de quelle fraction est-il plus léger ?
À quelle vitesse $N'$ s’annulerait-elle ? Comparer à la vitesse de croisière et commenter.
Quelle force le chariot exerce-t-il sur le câble au-dessus de la tour — quelle loi le dit, avec quelle norme et direction ?

Partie IV — Freinage, un saut, et la plaque.

Sur la section d’arrivée horizontale, un arrêt d’urgence ramène la cabine pleine de $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ au repos en $1.5\,\mathrm{s}$ : lire $\sum \vect F = d\vect p/dt$ comme une moyenne sur l’arrêt pour calculer la force de freinage.
Quelle force horizontale doit arrêter un passager de $80\,\mathrm{kg}$ , et le frottement statique chaussure–plancher ( $\mu_s = 0.40$ ) peut-il la fournir ? Conclure.
Sur le quai, freins ouverts, la cabine vide pend libre et immobile ; le dernier passager ( $80\,\mathrm{kg}$ ) saute horizontalement à $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport à la cabine. Calculer la vitesse de recul de la cabine et la vitesse du passager par rapport au sol.
En une phrase : quel dispositif de propulsion vit de ce principe de recul, et qu’est-ce qui fixe sa poussée ?
Certification. Le câble tracteur casse à $100\,\mathrm{kN}$ ; les règles plafonnent la tension de service au cinquième de cela. Montrer que le pire cas rencontré ci-dessus est le démarrage, en déduire la masse totale maximale, et imprimer la plaque : combien de passagers de $80\,\mathrm{kg}$ peuvent monter ? Vérifier le facteur de sécurité.

Solution

Solution de Problème 25.1.

1. Système : cabine $+$ chariot ( $+$ passagers). La montagne est fixée au sol, inertielle à excellente précision. Forces : poids $M\vect g$ (vers le bas), force normale $\vect N$ du câble porteur (perpendiculaire à lui), tension de traction $\vect T$ (vers le haut de la pente).

2. Au repos, la première loi : $\sum \vect F = \vect 0$ . Le long de la pente : $T = Mg\sin\alpha$ ; perpendiculairement : $N = Mg\cos\alpha$ .

3. $T = 4000 \times 9.81 \times 0.500 = 19.6\,\mathrm{kN}$ ; $N = 4000 \times 9.81 \times 0.866 = 34.0\,\mathrm{kN}$ .

4. Vide : $T = 9.8\,\mathrm{kN}$ . Chaque force de l’équilibre est proportionnelle à $M$ , donc $T$ aussi.

5. Le long de la pente, $Ma = Mg\sin\alpha$ : $M$ s’annule, $a = g\sin\alpha = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ vers le bas de la pente.

6. $T' = M(g\sin\alpha + a) = 4000 \times 5.505 = 22.0\,\mathrm{kN}$ .

7. $a/(g\sin\alpha) = 0.60/4.905 \approx 12\%$ .

8. $t = v/a = 10\,\mathrm{s}$ ; $d = v^2/(2a) = 30\,\mathrm{m}$ .

9. Composante verticale de $\vect a$ : $a\sin\alpha = 0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , donc $N = m(g + a\sin\alpha) = 80 \times 10.11 = 809\,\mathrm{N}$ contre $mg = 785\,\mathrm{N}$ : $3\%$ plus lourd.

10. Le frottement statique du plancher, horizontal : $ma\cos\alpha = 80 \times 0.52 \approx 42\,\mathrm{N}$ . Se pencher place la poussée combinée du plancher à travers son centre de masse, de sorte qu’elle ne bascule pas.

11. $a_T = dv/dt = 0$ (vitesse constante) ; $a_N = v^2/R = 36/40 = 0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , dirigée vers le centre — tout droit vers le bas au sommet.

12. Axe normal (bas positif) : $Mg - N' = Mv^2/R$ , donc $N' = M(g - v^2/R) = 4000 \times 8.91 = 35.6\,\mathrm{kN}$ .

13. $N = m(g - v^2/R) = 80 \times 8.91 = 713\,\mathrm{N}$ : plus légère de $v^2/(gR) = 0.90/9.81 \approx 9\%$ .

14. $N' = 0$ à $v = \sqrt{gR} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — plus du triple de la croisière : le chariot chevauche le câble avec une large marge.

15. Troisième loi de Newton : $35.6\,\mathrm{kN}$ , pressant le câble vers le bas (donc la tour) — légèrement moins que le poids au repos, allégé par le vol courbe.

16. $F = \Delta p/\Delta t = 4000 \times 6.0/1.5 = 16\,\mathrm{kN}$ , opposée au mouvement ( $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

17. $f = ma = 80 \times 4.0 = 320\,\mathrm{N}$ ; le plafond est $\mu_s mg = 0.40 \times 785 = 314\,\mathrm{N} < 320\,\mathrm{N}$ : les pieds seuls glissent — tenir la main courante.

18. $0 = M_0 V + m(v_{\text{rel}} + V)$ : $V = -80 \times 2.5/2080 = -0.096\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; le passager se déplace à $2.5 - 0.096 \approx 2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport au sol.

19. La fusée : sa poussée est fixée par la masse éjectée par seconde fois la vitesse d’éjection par rapport à elle.

20. La plus grande tension rencontrée est le démarrage $T' = M \times 5.505\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ (le repos donne $Mg\sin\alpha$ , le sommet encore moins). Plafond : $T' \leq 20\,\mathrm{kN}$ , donc $M \leq 20000/5.505 = 3.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ : charge utile $1.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ , c.-à-d. $20$ passagers de $80\,\mathrm{kg}$ (pas $25$ ). Plaque : 20 personnes ; alors $M = 3.6 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ , $T' = 19.8\,\mathrm{kN}$ , facteur de sécurité $100/19.8 \approx 5.1 \geq 5$ .