Physique du lycée · Grades 10–12

29Travail et énergie mécanique

Faites basculer une bille dans un saladier : elle plonge, dépasse le fond, remonte à sa hauteur de départ, hésite, rebrousse chemin — et chaque retournement se prédit à partir d’une courbe (le profil du bol) et d’une droite horizontale (l’énergie de la bille), sans résoudre d’équation du mouvement. L’an dernier tarifait les forces sur des droites (Chapitre 17) et équilibrait le cinétique contre l’énergie potentielle (Chapitre 18) ; cette année la comptabilité va partout : chemins courbes, ressorts, paysages d’un coup d’œil.

29.1 Travail le long d’un chemin quelconque

Définition 29.1 (Travail le long d’un chemin)

Soit une force $\vect F$ agissant sur un corps qui se déplace le long d’un chemin quelconque de $A$ à $B$ : découper le chemin en déplacements $\vect{\dd\ell}$ assez courts pour que chacun soit droit et que $\vect F$ y change à peine. Chaque pas gagne le petit travail $\scal{F}{\dd\ell} = F\,\dd\ell\cos\theta$ (Chapitre 17), et le travail le long du chemin est leur somme, $W_{AB}(\vect F) = \sum \scal{F}{\dd\ell}$ — qui, sur un chemin droit à force constante, se réduit au $F \times AB \times \cos\theta$ de l’an dernier.

Un chemin courbe est une ligne brisée de nombreux petits pas : chaque gagne F\, ; le travail est la somme. — Un chemin courbe est une ligne brisée de nombreux petits pas : chaque $\vect{\dd\ell}$ gagne $F\,\dd\ell\cos\theta$ ; le travail est la somme.

Proposition 29.2 (Travail du poids, chemin quelconque)

Le long de n’importe quel chemin de $A$ (altitude $z_A$ ) à $B$ (altitude $z_B$ ), le poids d’une masse $m$ effectue le travail $W_{AB}(\vect P) = mg\,(z_A - z_B)$ : la dénivellation entre, jamais l’itinéraire.

Démonstration. Chaque petit pas contribue $mg \times (\text{petite chute})$ (calcul du segment droit de l’an dernier) ; les chutes se télescopent en $z_A - z_B$ . Le cas courbe, admis alors, est livré. ∎

Définition 29.3 (Forces conservatives et non conservatives)

Une force est conservative si son travail entre deux points est le même le long de tout chemin (nul sur tout aller-retour), non conservative sinon. Poids et force de ressort (section suivante) : conservatives. Le frottement de glissement ne l’est pas : opposé au mouvement, il effectue $W = -fL$ sur un chemin de longueur $L$ — un péage par mètre, jamais remboursé.

Exemple 29.4 (Deux sentiers vers le refuge)

Un randonneur de $75\,\mathrm{kg}$ gagne $300\,\mathrm{m}$ par un sentier raide de $800\,\mathrm{m}$ ou $2.4\,\mathrm{km}$ de lacets. Le poids facture $-75 \times 9.81 \times 300 \approx -2.2 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ sur les deux ; une force de frottement de $30\,\mathrm{N}$ , $-2.4 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ sur l’un, $-7.2 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ sur l’autre. Le poids rembourse à la descente ; la facture du frottement est partie en chaleur, dans les deux sens.

29.2 Énergie potentielle

Définition 29.5 (Énergie potentielle)

À toute force conservative on attache une énergie potentielle $E_p$ , un nombre ne dépendant que de la position, définie par $W_{AB} = E_p(A) - E_p(B)$ : le travail livré est l’énergie potentielle dépensée. Fixer $E_p = 0$ en un point de référence choisi la fixe partout ; le choix décale toutes les valeurs d’une constante qui s’annule de toute différence. Pour le poids cela redonne le $E_p = mgz$ de l’an dernier, valable désormais le long de tout chemin. Le frottement ne peut posséder de $E_p$ : une facture dépendant de l’itinéraire n’est pas une différence de nombres aux extrémités — seules les forces conservatives stockent de façon récupérable, exactement ce que le nom conserve.

Proposition 29.6 (Énergie potentielle élastique)

Un ressort de raideur $k$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ) étiré ou comprimé de $x$ tire en arrière avec la force $F = kx$ (Chapitre 28) ; le travail qu’il livre en revenant au repos — son énergie potentielle élastique — est $E_p = \tfrac12\, k x^2$ .

Démonstration. La force de rappel agit le long du mouvement, donc $\sum F\,\dd\ell$ est l’aire sous le graphe $F$ – $x$ : un triangle de base $x$ et de hauteur $kx$ , aire $\tfrac12 x \times kx$ . La force à chaque allongement est la même à l’aller et au retour : travail fixé par les extrémités, force de ressort conservative, $E_p$ bien définie. ∎

La force du ressort croît avec l’allongement ; l’énergie stockée est l’aire sous la droite : un triangle, 1/2 × x × kx. — La force du ressort croît avec l’allongement ; l’énergie stockée est l’aire sous la droite : un triangle, $\tfrac12 \times x \times kx$ .

29.3 Les deux théorèmes de l’énergie

Théorème 29.7 (Théorème de l’énergie cinétique)

Pour tout mouvement d’un corps de masse $m$ de $A$ à $B$ — courbe, bouclé, tridimensionnel —

\Delta E_k = E_k(B) - E_k(A) = \sum W_{AB}(\vect F),

la somme courant sur toutes les forces agissant sur le corps.

Démonstration. Puisque $v^2 = \scal{v}{v}$ , la règle du produit des mathématiques de cette année donne la dérivée de $v^2$ comme $2\,\scal{a}{v}$ , donc $\dd E_k/\dd t = m\,\scal{a}{v} = \scal{F_{\text{tot}}}{v}$ par la deuxième loi de Newton (Chapitre 25). En un court $\dd t$ le corps se déplace de $\vect{\dd\ell} = \vect v\,\dd t$ : $E_k$ gagne le petit travail de la Définition 29.1 ; sommer les pas somme les travaux — l’énoncé admis de l’an dernier, gagné en plein. ∎

Proposition 29.8 (Puissance instantanée)

À chaque instant une force $\vect F$ sur un corps de vitesse $\vect v$ livre la puissance $P = \scal{F}{v} = Fv\cos\theta$ , et $\dd E_k/\dd t$ est la somme des puissances de toutes les forces : la formule à vitesse constante de l’an dernier, exacte à chaque instant de tout mouvement.

Démonstration. Lire sur la preuve précédente : chaque force alimente $\scal{F}{\dd\ell} = \scal{F}{v}\,\dd t$ dans $E_k$ pendant $\dd t$ . ∎

Théorème 29.9 (Théorème de l’énergie mécanique)

Soit $E_m = E_k + E_p$ , où $E_p$ regroupe les énergies potentielles de toutes les forces conservatives au travail. Alors, le long de tout chemin,

\Delta E_m = W_{AB}(\text{forces non conservatives}),

et $E_m$ est conservée dès que les forces non conservatives n’effectuent aucun travail.

Démonstration. Scinder le théorème de l’énergie cinétique : $\Delta E_k = W_{\text{cons}} + W_{\text{nc}} = -\Delta E_p + W_{\text{nc}}$ ; passer $\Delta E_p$ de l’autre côté. ∎

Exemple 29.10 (Le pendule, honnêtement cette fois)

Une masse de pendule sur un fil de longueur $L = 2.5\,\mathrm{m}$ est lâchée au repos à $45{}^{\circ}$ de la verticale. La tension, perpendiculaire au mouvement, est sans puissance ; le poids est conservatif : $E_m$ est conservée sur l’arc courbe, ce que l’an dernier ne pouvait que vérifier. La masse part de $h = L(1 - \cos45{}^{\circ}) = 0.73\,\mathrm{m}$ plus haut, donc au bas $v = \sqrt{2gh} \approx 3.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Méthode 29.11 (Audit énergétique d’un mouvement quelconque)

Choisir le système et lister les forces sur lui.
Trier : perpendiculaire au mouvement $\to$ pas de travail ; conservative $\to$ une $E_p$ dans $E_m$ ; le reste $\to$ $W_{\text{nc}}$ (frottement de glissement : $-fL$ , $L$ = longueur du chemin).
Écrire $\Delta E_m = W_{\text{nc}}$ entre le point de données et le point de la question ; résoudre. L’énergie répond « à quelle vitesse, à quelle hauteur » ; seuls le temps et l’accélération exigent les lois de Newton.

29.4 Diagrammes d’énergie

Définition 29.12 (Diagramme d’énergie, points de rebroussement)

Pour un mouvement le long d’un axe $x$ avec $E_m$ conservée, le diagramme d’énergie trace la courbe $E_p(x)$ et la droite horizontale $E_m$ . Puisque $E_k = E_m - E_p \geq 0$ , le mouvement est confiné là où la courbe est sous la droite ; l’écart entre elles est $E_k$ , lu directement. En un point de rebroussement, où courbe et droite se rencontrent, $v = 0$ et le mouvement s’inverse.

Un diagramme d’énergie, lu sans rien résoudre : avec l’énergie E_m le corps oscille entre x_1 et x_2, le plus vite là où l’écart est le plus grand ; avec E_m' il grimpe la colline et s’échappe. — Un diagramme d’énergie, lu sans rien résoudre : avec l’énergie $E_m$ le corps oscille entre $x_1$ et $x_2$ , le plus vite là où l’écart est le plus grand ; avec $E_m'$ il grimpe la colline et s’échappe.

Proposition 29.13 (Force issue du paysage ; équilibres)

La force conservative le long de $x$ est moins la pente de $E_p$ : $F = -\,\dd E_p/\dd x$ — elle pointe vers le bas sur le diagramme, et s’annule là où la tangente est horizontale : un équilibre. Un minimum de $E_p$ est stable — le corps déplacé est repoussé, une bille dans une vallée ; un maximum est instable — il est chassé, une bille sur un sommet.

Démonstration. Sur un petit pas $\dd x$ la force travaille $F\,\dd x = E_p(x) - E_p(x + \dd x) = -\dd E_p$ ; diviser par $\dd x$ . Vers le bas de chaque côté d’une vallée pointe vers l’intérieur ; autour d’un sommet, vers l’extérieur. ∎

Remarque 29.14 (Oscillations et échappement)

Les petites oscillations du Chapitre 28 vivent au fond des vallées de $E_p$ . Et loin de la Terre la gravité s’affaiblit : la courbe $E_p(r)$ grimpe de plus en plus lentement vers un plafond fini (l’aire sous le graphe de force qui se rétrécit est finie). Une fusée dont $E_m$ atteint le plafond ne rencontre jamais de point de rebroussement : elle s’échappe — environ $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ depuis le sol (Exercice 29.13) ; en dessous elle est liée. Le plafond lui-même se calcule dans le volume de Licence 1.

Exemple 29.15 (Looping)

Une bille lâchée d’une hauteur $H$ glisse dans une boucle verticale de rayon $R$ . La dynamique circulaire (Chapitre 25) exige $v_{\text{top}}^2 \geq gR$ au sommet — la donnée empruntée par le problème de montagnes russes de l’an dernier, désormais nôtre. La conservation depuis le repos en $H$ jusqu’au sommet (hauteur $2R$ ) donne $v_{\text{top}}^2 = 2g(H - 2R)$ , donc $H \geq \tfrac52 R$ : un demi-rayon au-dessus du sommet de la boucle, quelle que soit la masse — un peu plus dans le monde réel, qui frotte.

Looping : le lâcher se place un demi-rayon au-dessus du sommet, pour que le E_k restant maintienne la bille appuyée (v_ top2 = gR). — Looping : le lâcher se place un demi-rayon au-dessus du sommet, pour que le $E_k$ restant maintienne la bille appuyée ( $v_{\text{top}}^2 = gR$ ).

29.5 Exercices

Exercice 29.1 ★

Un ressort de raideur $k = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ est étiré de $5.0\,\mathrm{cm}$ . Calculer l’énergie stockée ; que devient-elle si l’allongement double ? Combien coûte le second $5.0\,\mathrm{cm}$ ?

Solution

Solution de Exercice 29.1.

$E_p = \tfrac12 \times 200 \times 0.050^2 = 0.25\,\mathrm{J}$ . Allongement doublé : $\times 4$ , soit $1.0\,\mathrm{J}$ . Le second $5.0\,\mathrm{cm}$ seul coûte $1.0 - 0.25 = 0.75\,\mathrm{J}$ — la force y est plus grande.

Exercice 29.2 ★

Un drone de $0.90\,\mathrm{kg}$ vole sur un itinéraire errant d’une terrasse à $z = 12\,\mathrm{m}$ à un balcon à $z = 30\,\mathrm{m}$ . Travail de son poids ? Le long de la montée droite ? Sur l’aller-retour ?

Solution

Solution de Exercice 29.2.

$W = mg(z_A - z_B) = 0.90 \times 9.81 \times (12 - 30) \approx -1.6 \times 10^{2}\,\mathrm{J}$ , quel que soit l’itinéraire — le même sur la montée droite. Aller-retour : $0\,\mathrm{J}$ (force conservative).

Exercice 29.3 ★

Conservative, non conservative, ou sans travail ? Justifier à partir des chemins : (a) le poids ; (b) la force de ressort ; (c) le frottement de glissement ; (d) la force normale sur une caisse qui glisse ; (e) la traînée de l’air.

Solution

Solution de Exercice 29.3.

(a), (b) conservatives : travail fixé par les extrémités (dénivelé ; allongement). (c), (e) non conservatives : $-fL$ et la traînée facturent par mètre parcouru. (d) sans travail : toujours perpendiculaire au mouvement.

Exercice 29.4 ★

Un pendule de longueur $2.0\,\mathrm{m}$ est lâché au repos à $60{}^{\circ}$ de la verticale. Trouver sa vitesse au point le plus bas. Pourquoi la tension du fil n’entre-t-elle jamais dans le bilan ?

Solution

Solution de Exercice 29.4.

$h = L(1 - \cos60{}^{\circ}) = 1.0\,\mathrm{m}$ ; $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 1.0} \approx 4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . La tension est perpendiculaire au mouvement à chaque instant : puissance nulle, travail nul.

Exercice 29.5 ★

Une cycliste roule à $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sur le plat, livrant $250\,\mathrm{W}$ : quelle force résistante totale combat-elle ? En montée à $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ avec la même puissance : quelle force surmonte-t-elle ?

Solution

Solution de Exercice 29.5.

$F = P/v = 250/9.0 \approx 28\,\mathrm{N}$ . À $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $F = 250/5.0 = 50\,\mathrm{N}$ (surtout la composante de gravité de la pente).

Exercice 29.6 ★★

Le ressort d’un lanceur de jouet ( $k = 450\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ) est comprimé de $8.0\,\mathrm{cm}$ derrière une fléchette de $20\,\mathrm{g}$ . Trouver l’énergie stockée, la vitesse de lancement, et la hauteur atteinte si tirée à la verticale (sans air).

Solution

Solution de Exercice 29.6.

$E_p = \tfrac12 \times 450 \times 0.080^2 = 1.44\,\mathrm{J}$ ; $v = \sqrt{2 \times 1.44/0.020} = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $h = E_p/mg = 1.44/(0.020 \times 9.81) \approx 7.3\,\mathrm{m}$ .

Exercice 29.7 ★★

En étirant un élastique, un élève mesure $F = 0$ , $3.0$ , $7.0$ , $12.0$ , $18.0\,\mathrm{N}$ à $x = 0$ , $2.0$ , $4.0$ , $6.0$ , $8.0\,\mathrm{cm}$ . Estimer l’énergie stockée par aires trapézoïdales ; comparer avec $\tfrac12 kx^2$ , en prenant $k = F/x$ à la fin. Pourquoi diffèrent-elles ?

Solution

Solution de Exercice 29.7.

Trapèzes (pas de $2.0\,\mathrm{cm}$ ) : $(0.03 + 0.10 + 0.19 + 0.30) = 0.62\,\mathrm{J}$ . Modèle linéaire : $k = 18.0/0.080 = 225\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , $\tfrac12 kx^2 = 0.72\,\mathrm{J}$ . La courbe mesurée s’affaisse sous la droite aux petits $x$ , donc la vraie aire est plus petite.

Exercice 29.8 ★★

Un lugeur de $55\,\mathrm{kg}$ part du repos, descend de $8.0\,\mathrm{m}$ le long d’une piste courbe de $25\,\mathrm{m}$ , arrive à $9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Énergie mécanique perdue ? Force de frottement moyenne ? Pourquoi la forme exacte de la piste est-elle hors de propos ?

Solution

Solution de Exercice 29.8.

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 55 \times 9.0^2 - 55 \times 9.81 \times 8.0 = 2228 - 4316 \approx -2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ ; $f = 2089/25 \approx 84\,\mathrm{N}$ . Poids conservatif, force normale sans travail : seuls le dénivelé et la longueur du chemin entrent, pas la forme.

Exercice 29.9 ★★

Une piste à billes a une boucle de rayon $20\,\mathrm{cm}$ . Trouver la hauteur minimale de lâcher (depuis le repos, sans frottement). Lâchée de $60\,\mathrm{cm}$ : vitesse au sommet de la boucle, et rapport $v_{\text{top}}^2/(gR)$ ? Pourquoi une vraie piste doit-elle encore être lancée de plus haut ?

Solution

Solution de Exercice 29.9.

$H_{\min} = \tfrac52 R = 0.50\,\mathrm{m}$ . Depuis $60\,\mathrm{cm}$ : $v_{\text{top}} = \sqrt{2 \times 9.81 \times (0.60 - 0.40)} \approx 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , et $v_{\text{top}}^2/(gR) = 2.0$ — le double du minimum. Le frottement écréme l’énergie tout du long, donc les vraies pistes ont besoin de hauteur en plus.

Exercice 29.10 ★★

Une perle de $100\,\mathrm{g}$ glisse sans frottement le long d’un axe, avec $E_p(x) = 8.0\,x^2$ (joules, $x$ en mètres) et $E_m = 2.0\,\mathrm{J}$ . Points de rebroussement ? Vitesse maximale ? Quel genre de mouvement est-ce ?

Solution

Solution de Exercice 29.10.

Points de rebroussement : $8.0\,x^2 = 2.0$ , $x = \pm0.50\,\mathrm{m}$ . Vitesse maximale en $x = 0$ : $v = \sqrt{2 \times 2.0/0.100} \approx 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Une oscillation d’aller-retour dans un puits parabolique — le $E_p$ de l’oscillateur masse–ressort est exactement de cette forme.

Exercice 29.11 ★★

Une voiture de $1200\,\mathrm{kg}$ à $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ est arrêtée par un ressort de pare-chocs de raideur $k = 6.0 \times 10^{5}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Trouver la compression maximale. À $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : pourquoi pas quatre fois plus, alors que l’énergie quadruple ?

Solution

Solution de Exercice 29.11.

$\tfrac12 kx^2 = \tfrac12 mv^2$ : $x = v\sqrt{m/k} = 2.0\sqrt{1200/6.0 \times 10^{5}} \approx 8.9\,\mathrm{cm}$ . À $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $18\,\mathrm{cm}$ — le double, pas le quadruple : l’énergie quadruple, mais $E_p$ croît comme $x^2$ , donc $x$ ne fait que doubler.

Exercice 29.12 ★★★

Un chariot de $0.50\,\mathrm{kg}$ roule sur une piste dont $E_p(x)$ a un sommet de $6.0\,\mathrm{J}$ ( $x = 0$ ) et une vallée de $2.0\,\mathrm{J}$ ( $x = 1.5\,\mathrm{m}$ ). (a) Arrivant de la gauche avec $E_m = 5.0\,\mathrm{J}$ : passe-t-il ? Que fait-il à la place ? (b) Avec $E_m = 7.0\,\mathrm{J}$ : vitesses au sommet et dans la vallée ? (c) Équilibres ?

Solution

Solution de Exercice 29.12.

(a) $E_m = 5.0\,\mathrm{J} < 6.0\,\mathrm{J}$ : il ne peut pas passer ; il s’arrête sur le flanc où $E_p = 5.0\,\mathrm{J}$ et rebrousse. (b) Sommet : $E_k = 1.0\,\mathrm{J}$ , $v = \sqrt{2 \times 1.0/0.50} = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; vallée : $E_k = 5.0\,\mathrm{J}$ , $v \approx 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $x = 0$ : équilibre instable (maximum) ; $x = 1.5\,\mathrm{m}$ : équilibre stable (minimum).

Exercice 29.13 ★★★

En admettant qu’amener une masse $m$ du sol à l’infini coûte $mgR_E$ , $R_E = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (l’aire finie sous le graphe de gravité qui s’affaiblit), calculer la vitesse de libération depuis la Terre. Pourquoi la même pour une sonde et un caillou ? Et un lancement juste en dessous ?

Solution

Solution de Exercice 29.13.

$\tfrac12 mv^2 = mgR_E$ : $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 6.37 \times 10^{6}} \approx 1.12 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ . Chaque terme est proportionnel à $m$ : sonde et caillou pareils. Juste en dessous, le lancement grimpe encore énormément loin, rencontre un point de rebroussement, et retombe : lié.

Exercice 29.14 ★★★

Un mobile de $250\,\mathrm{g}$ oscille sur un ressort ( $k = 40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ) avec une amplitude de $6.0\,\mathrm{cm}$ (Chapitre 28). Énergie totale ? Vitesse maximale ? Positions où $E_k = E_p$ ?

Solution

Solution de Exercice 29.14.

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.060^2 = 7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$ ; $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{2 \times 0.072/0.250} \approx 0.76\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $E_k = E_p$ là où $\tfrac12 kx^2 = E_m/2$ : $x = \pm A/\sqrt 2 \approx \pm4.2\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 29.15 ★★★

Un sauteur à la perche sprinte à $9.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Estimer la hauteur gagnée par son centre de masse si la perche convertit toute son énergie cinétique, et la barre franchie (centre de masse partant de $1.0\,\mathrm{m}$ de haut). Le record est d’environ $6.3\,\mathrm{m}$ : que capture l’estimation, et que laisse-t-elle de côté ?

Solution

Solution de Exercice 29.15.

$h = v^2/2g = 9.5^2/19.62 \approx 4.6\,\mathrm{m}$ ; barre $\approx 4.6 + 1.0 = 5.6\,\mathrm{m}$ . Le record est plus haut : les sauteurs ajoutent du travail avec bras et jambes sur la perche qui fléchit. Mais l’estimation d’énergie fixe l’échelle — aucun saut de sprinter n’atteindra $10\,\mathrm{m}$ .

29.6 Problème : Le tremplin de saut à skis

Problème 29.1

Problème du week-end — le tremplin de saut à skis : une piste d’élan auditée par un radar, un vol en chute libre, la géométrie douce d’un atterrissage raide, et la tour qu’un concepteur doit acheter une fois les factures de frottement payées

Un sauteur olympique ( $m = 70\,\mathrm{kg}$ , skis inclus) part du repos d’une porte $H = 45\,\mathrm{m}$ au-dessus de la table de décollage, glisse sur $L = 90\,\mathrm{m}$ de piste d’élan courbe, et quitte la table horizontalement ; un radar y lit $v_0 = 26\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Le point d’atterrissage se trouve $h = 40\,\mathrm{m}$ plus bas, sur une pente de $35{}^{\circ}$ . Les parties II et III négligent la résistance de l’air.

Partie I — La piste d’élan.

Prédire la vitesse de décollage sans frottement ; pourquoi la courbe de la piste d’élan est-elle hors de propos ?
Référence à la table : calculer $E_m$ à la porte et au décollage.
Calculer $\Delta E_m$ ; quel théorème nomme les coupables, et qui sont-ils ?
En déduire la force résistante moyenne (neige plus air) sur la piste.
Quelle fraction de $E_m$ est perdue ? Pourquoi cirer les skis et se baisser ?

Partie II — Le vol.

Seul le poids agit en vol : quel mouvement du Chapitre 26 est-ce ? Composantes de la vitesse à l’atterrissage ?
Vitesse d’atterrissage, deux fois : à partir des composantes, et par conservation de $E_m$ . En $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
Calculer le temps de vol et la distance horizontale parcourue.
Les vrais sauteurs chevauchent l’air comme une aile, volant beaucoup plus loin : l’air peut-il augmenter la vitesse d’atterrissage ? Argumenter avec le théorème de l’énergie mécanique.

Partie III — L’atterrissage.

Calculer l’angle de la vitesse d’atterrissage sous l’horizontale.
La décomposer en composantes parallèle et perpendiculaire à la pente.
Les jambes n’absorbent que la partie perpendiculaire : calculer cette énergie cinétique ; la comparer au total.
Un sol plat absorberait le tout : à quelle chute verticale chaque atterrissage est-il équivalent ( $h_{\text{eq}} = v_\perp^2/2g$ , resp. $v^2/2g$ ) ?
Une phrase : pourquoi les collines d’atterrissage sont-elles raides et courbes ?

Partie IV — La tour du concepteur. Une colline plus petite n’a besoin que de $v_0' = 24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ au décollage ; sa piste d’élan droite descend à $35{}^{\circ}$ , donc la hauteur de porte $H'$ signifie une longueur de piste $H'/\sin35{}^{\circ}$ ; même traînée de $80\,\mathrm{N}$ .

Calculer la hauteur de porte qu’un concepteur sans frottement construirait.
Écrire le théorème de l’énergie mécanique, porte à table, pour $H'$ .
Résoudre pour $H'$ .
De quel pourcentage le frottement a-t-il relevé la tour ?
La masse ne s’annule plus : recalculer $H'$ pour un sauteur de $60\,\mathrm{kg}$ . Qui a besoin de la tour la plus haute, et pourquoi ?
Chute : la tour annoncée, et la part du frottement dedans.

Solution

Solution de Problème 29.1.

1. $v = \sqrt{2gH} = \sqrt{2 \times 9.81 \times 45} \approx 29.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : poids conservatif, force normale sans travail — le profil s’efface.

2. Porte : $E_m = mgH = 70 \times 9.81 \times 45 \approx 3.09 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ . Décollage : $E_m = \tfrac12 \times 70 \times 26^2 \approx 2.37 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ .

3. $\Delta E_m \approx -7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ ; le théorème de l’énergie mécanique le facture aux forces non conservatives : frottement de neige et traînée de l’air.

4. $f = 7.2 \times 10^{3}/90 \approx 80\,\mathrm{N}$ .

5. $7.2 \times 10^{3}/3.09 \times 10^{4} \approx 23\%$ . La cire abaisse $f$ , se baisser abaisse la traînée : les deux réduisent $fL$ , le seul terme négociable.

6. Chute libre à vitesse initiale horizontale — un mouvement de projectile. $v_x = 26\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_y = \sqrt{2 \times 9.81 \times 40} \approx 28.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

7. $v = \sqrt{26^2 + 28.0^2} = \sqrt{1461} \approx 38.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; énergie : $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} = \sqrt{676 + 785}$ — identique. Environ $138\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

8. $t = v_y/g = 28.0/9.81 \approx 2.9\,\mathrm{s}$ ; $d = v_0 t \approx 74\,\mathrm{m}$ .

9. Non. La portance est perpendiculaire à la vitesse (sans travail) et la traînée s’y oppose (travail négatif) : $\Delta E_m \leq 0$ , donc la vraie vitesse d’atterrissage ne peut être que plus petite — l’air allonge le vol, il ne l’alimente pas.

10. $\alpha = \arctan(28.0/26) \approx 47{}^{\circ}$ sous l’horizontale.

11. Angle à la pente : $47 - 35 = 12{}^{\circ}$ . $v_\parallel = 38.2\cos12{}^{\circ} \approx 37.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_\perp = 38.2\sin12{}^{\circ} \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

12. Absorbée : $\tfrac12 \times 70 \times 7.9^2 \approx 2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ , contre $\tfrac12 \times 70 \times 38.2^2 \approx 5.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ au total : environ $4\%$ .

13. $h_{\text{eq}} = 7.9^2/19.62 \approx 3.2\,\mathrm{m}$ — un saut hardi depuis un mur. Plat : $38.2^2/19.62 \approx 74\,\mathrm{m}$ — insurmontable.

14. Une pente parallèle à la trajectoire de vol garde $v_\perp$ petit, donc les jambes absorbent des mètres, pas toute la montagne d’énergie cinétique.

15. $H'_0 = v_0'^2/2g = 576/19.62 \approx 29.4\,\mathrm{m}$ .

16. $mgH' - f\,\dfrac{H'}{\sin35{}^{\circ}} = \tfrac12 m v_0'^2$ .

17. $H' = \dfrac{\tfrac12 \times 70 \times 576} {686.7 - 80/0.574} = \dfrac{20\,160}{547} \approx 37\,\mathrm{m}$ .

18. $36.8/29.4 \approx 1.25$ : une majoration de $25\%$ .

19. Pour $60\,\mathrm{kg}$ : $H' = 17\,280/(588.6 - 139.5) \approx 38.5\,\mathrm{m}$ . Le sauteur plus léger a besoin de la tour la plus haute : la facture de frottement $fL$ est la même, mais son budget d’énergie $mgH'$ est plus petit.

20. Annoncer une tour de $37\,\mathrm{m}$ pour $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de décollage — et confesser qu’un quart d’elle, quelque $7\,\mathrm{m}$ de béton, est la majoration du frottement sur le rêve sans frottement.