Physics · Livre 2 · Grades 10–12

Physique du lycée

Physique du lycée · Grades 10–12

33Énergie nucléaire : fission, fusion, E=mc2

Une pastille de combustible de la taille d’une gomme à crayon couvre l’électricité d’un foyer pour un an ; le même service au charbon prend trois tonnes. Au-dessus, le Soleil paie le jour en disparaissant — quatre millions de tonnes de lui-même par seconde. Ce chapitre ouvre le grand livre derrière les deux marchés : la masse elle-même est de l’énergie, et les noyaux (Chapitre 19) sont là où on l’encaisse.

33.1 La masse est de l’énergie

Théorème 33.1 (Équivalence masse–énergie)

Un corps de masse mm, par le seul fait d’exister, détient l’énergie

E=mc2,c=3.00×108 m/s.E = m c^2, \qquad c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Chaque fois qu’un système perd une masse Δm\Delta m, il libère l’énergie Δm c2\Delta m\, c^2 — quel que soit le mécanisme.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 33.2 (Einstein, 1905)

C’est la relation d’Einstein, admise ici ; d’où elle vient est l’affaire du chapitre de relativité restreinte qui clôt cette année (Chapitre 35). Noter le taux : c2=9.00×1016 J/kgc^2 = 9.00 \times 10^{16}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} — une erreur d’arrondi de masse est une fortune d’énergie.

Définition 33.3 (Électronvolt et unité de masse atomique)

Deux unités taillées pour le noyau. L’électronvolt, l’énergie qu’un électron gagne en traversant 1 V1\,\mathrm{V} (Chapitre 12) : 1 eV=1.60×10−19 J1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}, 1 MeV=1.60×10−13 J1\,\mathrm{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\,\mathrm{J} — les liaisons chimiques échangent quelques eV\mathrm{eV}, les réactions nucléaires des mégaélectronvolts. L’unité de masse atomique unifiée, un douzième de la masse d’un atome de carbone-12 : 1 u=1.660 54×10−27 kg1\,\mathrm{u} = 1.660\,54 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}, d’équivalent d’énergie 931.5 MeV931.5\,\mathrm{MeV} — 1 u=931.5 MeV/c21\,\mathrm{u} = 931.5\,\mathrm{MeV}/c^2.

Exemple 33.4 (La fortune endormie)

Un kilogramme de n’importe quoi, entièrement converti, vaut 9.00×1016 J9.00 \times 10^{16}\,\mathrm{J} — trois ans de production d’une grande centrale de puissance (1 GW1\,\mathrm{GW}). Personne ne l’avait remarqué avant 1905 parce que la physique ordinaire touche à peine la masse : brûler un kilogramme de charbon (3.0×107 J3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}) l’allège d’un tiers de microgramme. Les noyaux, on le verra, bougent d’une partie pour mille : encore petit, mais un million de fois la chimie.

33.2 Le défaut de masse

Définition 33.5 (Défaut de masse et énergie de liaison)

Peser un noyau ZAX{}^{A}_{Z}\mathrm{X} (masse mm), puis peser ses ZZ protons et A−ZA - Z neutrons séparément : les parties sont plus lourdes que le tout. La différence

Δm=Z mp+(A−Z) mn−m>0,mp=1.007 28 u,  mn=1.008 66 u,\Delta m = Z\,m_p + (A - Z)\,m_n - m > 0, \qquad m_p = 1.007\,28\,\mathrm{u},\; m_n = 1.008\,66\,\mathrm{u},

est le défaut de masse ; l’énergie de liaison Eb=Δm c2E_b = \Delta m\,c^2 est l’énergie nécessaire pour écarter le noyau en nucléons libres — également l’énergie libérée lorsqu’on l’assemble. Un noyau lié se place sous ses parties.

Une échelle d’énergie : le noyau lié se trouve E_b sous ses nucléons séparés — l’assembler libère E_b, le démanteler le coûte.
Une échelle d’énergie : le noyau lié se trouve EbE_b sous ses nucléons séparés — l’assembler libère EbE_b, le démanteler le coûte.

Exemple 33.6 (Hélium-4)

Le noyau 24He{}^{4}_{2}\mathrm{He} a m=4.001 51 um = 4.001\,51\,\mathrm{u} ; ses parties : 2×1.00728+2×1.00866=4.031 88 u2 \times 1.00728 + 2 \times 1.00866 = 4.031\,88\,\mathrm{u}. Donc Δm=0.030 37 u\Delta m = 0.030\,37\,\mathrm{u} et Eb=0.03037×931.5≈28.3 MeVE_b = 0.03037 \times 931.5 \approx 28.3\,\mathrm{MeV} : le noyau pèse 0.75%0.75\% de moins que ses parties — le « une partie pour mille » de l’Exemple 33.4.

Méthode 33.7 (Bilan d’énergie d’une réaction nucléaire)

  1. Équilibrer l’équation : AA et ZZ totaux conservés (Chapitre 19).
  2. Ajouter les masses avant, puis après, en u\mathrm{u} — garder les cinq décimales.
  3. Δm=mavant−mapreˋs\Delta m = m_{\text{avant}} - m_{\text{après}}, puis E=Δm (en u)×931.5 MeVE = \Delta m\,(\text{en u}) \times 931.5\,\mathrm{MeV}, emporté comme énergie cinétique des produits ; négatif signifie que la réaction doit être payée.

33.3 La courbe qui mène l’univers

Définition 33.8 (Énergie de liaison par nucléon)

La cohésion se compare équitablement par l’énergie de liaison par nucléon, Eb/AE_b/A, le coût moyen d’extraire un nucléon : 28.3/4≈7.1 MeV28.3/4 \approx 7.1\,\mathrm{MeV} pour l’hélium-4.

Proposition 33.9 (Le pic du fer, et deux routes vers le bas)

Portée en fonction de AA, l’énergie de liaison par nucléon grimpe raide à travers les noyaux légers, culmine près du fer, 2656Fe{}^{56}_{26}\mathrm{Fe}, à environ 8.8 MeV8.8\,\mathrm{MeV} par nucléon, puis glisse doucement vers environ 7.6 MeV7.6\,\mathrm{MeV} à l’uranium : le fer est le noyau le plus solidement lié de la nature. Une réaction libère de l’énergie exactement lorsque ses produits se placent plus haut sur la courbe ; deux stratégies opposées paient donc toutes deux, et toutes deux marchent vers le fer — fendre les noyaux les plus lourds, et fusionner les plus légers.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 33.10 (Pourquoi un pic)

Le bras de fer du Chapitre 13 : la colle forte ne lie que les voisins qui se touchent, la répulsion de Coulomb spanne tout le noyau — les petits noyaux sont surtout surface, les grands surtout répulsion, le fer le compromis. La comptabilité honnête vit dans les volumes universitaires.

Énergie de liaison par nucléon : montée raide, pic du fer, long glissement — la fusion grimpe depuis la gauche, la fission depuis la droite, toutes deux libérant de l’énergie.
Énergie de liaison par nucléon : montée raide, pic du fer, long glissement — la fusion grimpe depuis la gauche, la fission depuis la droite, toutes deux libérant de l’énergie.

33.4 Fission et réaction en chaîne

Définition 33.11 (Fission)

La fission est la scission d’un noyau lourd en deux fragments de taille moyenne. L’uranium-235 est fissile : un neutron lent, absorbé, laisse le noyau si agité qu’il se déchire en deux, crachant deux ou trois neutrons frais — 01n+92235U→deux fragments+2–3  01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to \text{deux fragments} + 2\text{--}3\;{}^{1}_{0}\mathrm{n}, la paire variant d’une fission à l’autre.

Exemple 33.12 (Une fission, pesée)

Une route fréquente, par la Méthode 33.7 :

01n+92235U⟶3894Sr+54140Xe+2 01n.{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \longrightarrow {}^{94}_{38}\mathrm{Sr} + {}^{140}_{54}\mathrm{Xe} + 2\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}.

Avant : 1.00866+234.99350=236.002 16 u1.00866 + 234.99350 = 236.002\,16\,\mathrm{u}. Après : 93.89450+139.89200+2×1.00866=235.803 82 u93.89450 + 139.89200 + 2 \times 1.00866 = 235.803\,82\,\mathrm{u}. D’où Δm=0.198 34 u\Delta m = 0.198\,34\,\mathrm{u} et E≈185 MeVE \approx 185\,\mathrm{MeV} ; en comptant les désintégrations ultérieures des fragments radioactifs (Chapitre 32), chaque fission vaut environ 200 MeV200\,\mathrm{MeV} — quelques eV\mathrm{eV} achètent un atome de charbon.

Définition 33.13 (Réaction en chaîne et masse critique)

Chaque fission est allumée par un neutron et en libère deux ou trois : dans un bloc assez grand ils frappent d’autres noyaux et la réaction se nourrit elle-même — une réaction en chaîne. Dans un petit bloc la plupart des neutrons s’échappent d’abord par la surface ; la quantité minimale soutenant la chaîne est la masse critique — en dessous la chaîne s’éteint, au-dessus chaque génération multiplie : le principe de la bombe.

Une réaction en chaîne : un neutron fend un noyau, les trois neutrons libérés en fendent trois de plus — un réacteur n’en laisse continuer qu’exactement un.
Une réaction en chaîne : un neutron fend un noyau, les trois neutrons libérés en fendent trois de plus — un réacteur n’en laisse continuer qu’exactement un.

Définition 33.14 (Le réacteur, dompté)

Un réacteur de puissance tient la chaîne à exactement un neutron par fission. Le combustible : des pastilles d’uranium modestement enrichies en uranium-235. Le modérateur (eau ordinaire, d’ordinaire) ralentit les neutrons rapides de fission par collisions — les neutrons lents sont bien meilleurs pour déclencher la fission suivante ; les barres de contrôle (bore, cadmium) dévorent les neutrons — enfoncées, la chaîne meurt ; tirées, elle s’accélère. L’agitation des fragments devient chaleur, puis vapeur, puis électricité (Chapitre 9).

Exemple 33.15 (Un grain de poivre contre un camion)

Un gramme d’uranium-235 tient N=1.0×10−3/(235×1.660 54×10−27)≈2.56×1021N = 1.0 \times 10^{-3} / (235 \times 1.660\,54 \times 10^{-27}) \approx 2.56 \times 10^{21} noyaux ; à 200 MeV=3.2×10−11 J200\,\mathrm{MeV} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J} chacun, les fissionner tous donne environ 8.2×1010 J8.2 \times 10^{10}\,\mathrm{J} — l’énergie chimique de 8.2×1010/3.0×107≈2.7×103 kg8.2 \times 10^{10} / 3.0 \times 10^{7} \approx 2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg} de charbon : un grain de poivre contre trois tonnes.

33.5 Fusion : le feu propre du Soleil

Définition 33.16 (Fusion)

La fusion est la fusion de deux noyaux légers en un plus lourd, plus solidement lié. La réaction la plus accessible marie le deutérium et le tritium, les isotopes lourds de l’hydrogène (Chapitre 19) :

12H+13H⟶24He+01n.{}^{2}_{1}\mathrm{H} + {}^{3}_{1}\mathrm{H} \longrightarrow {}^{4}_{2}\mathrm{He} + {}^{1}_{0}\mathrm{n}.

Exemple 33.17 (D–T, pesé)

Avant : 2.01355+3.01550=5.029 05 u2.01355 + 3.01550 = 5.029\,05\,\mathrm{u} ; après : 4.00151+1.00866=5.010 17 u4.00151 + 1.00866 = 5.010\,17\,\mathrm{u} ; donc Δm=0.018 88 u\Delta m = 0.018\,88\,\mathrm{u} et E≈17.6 MeVE \approx 17.6\,\mathrm{MeV}, quatre cinquièmes sur le neutron — moins qu’une fission, mais de cinq nucléons au lieu de 236236 : environ 3.4×1014 J3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J} par kilogramme de combustible, quatre fois la fission. L’hélium-4 (Exemple 33.6) est une fois de plus la cendre.

Définition 33.18 (La barrière de Coulomb)

Deux noyaux sont tous deux positifs : pour se toucher, ils doivent d’abord grimper la colline de leur répulsion électrique (Chapitre 14) — la barrière de Coulomb. Seulement près de 1×108 K1 \times 10^{8}\,\mathrm{K} les collisions portent l’énergie pour la franchir ; le combustible est alors un plasma de noyaux nus et d’électrons. La fission ne paie pas un tel péage : son déclencheur, le neutron, est neutre, et travaille à froid.

Exemple 33.19 (Le Soleil en vit)

Le cœur du Soleil, à 1.5×107 K1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K}, fusionne l’hydrogène ordinaire pas à pas — la chaîne proton–proton, d’effet net 4 11H→24He+2 +10e+rayonnement4\,{}^{1}_{1}\mathrm{H} \to {}^{4}_{2}\mathrm{He} + 2\,{}^{0}_{+1}\mathrm{e} + \text{rayonnement}, environ 26 MeV26\,\mathrm{MeV} par hélium : 0.7%0.7\% de la masse de l’hydrogène part en énergie. La lumière solaire dont le spectre se lit au Chapitre 2 est cette masse, arrivant avec huit minutes de retard ; toute étoile brille en marchant la courbe vers le fer.

Remarque 33.20 (ITER : embouteiller une étoile)

Aucun solide ne peut tenir un plasma à 1.5×108 K1.5 \times 10^{8}\,\mathrm{K} ; un tokamak l’enferme dans un champ magnétique (Chapitre 15), un beignet de lignes de champ le long desquelles les particules chargées spiralent sans toucher la paroi ; ITER, construit pour libérer dix fois sa puissance de chauffage, est l’étape actuelle. Briser le confinement et le plasma refroidit et s’arrête en secondes : pas de réaction en chaîne, pas de masse critique — le difficile n’est pas d’éteindre le feu mais de le garder allumé.

Exemple 33.21 (L’échelle d’énergie, par kilogramme)

Énergie par kilogramme de combustible : charbon, 3.0×107 J3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J} ; uranium-235 par fission, 8.2×1013 J8.2 \times 10^{13}\,\mathrm{J} ; deutérium–tritium par fusion, 3.4×1014 J3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J} ; conversion totale (E=mc2E = mc^2), 9.0×1016 J9.0 \times 10^{16}\,\mathrm{J}. Six ordres de grandeur séparent la chimie du noyau — la raison pour laquelle un réacteur se recharge au camion et une centrale à charbon au train.

33.6 Exercices

Exercice 33.1 ★

Convertir : (a) 1 eV1\,\mathrm{eV} et 1 MeV1\,\mathrm{MeV} en joules ; (b) les 200 MeV200\,\mathrm{MeV} d’une fission en joules ; (c) vérifier à partir de 1 u=1.660 54×10−27 kg1\,\mathrm{u} = 1.660\,54 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg} que son équivalent d’énergie est proche de 931.5 MeV931.5\,\mathrm{MeV}.

Solution

Solution de Exercice 33.1.

(a) 1 eV=1.60×10−19 J1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} ; 1 MeV=1.60×10−13 J1\,\mathrm{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}. (b) 200×1.60×10−13=3.2×10−11 J200 \times 1.60 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}. (c) E=1.660 54×10−27×9.00×1016=1.49×10−10 J=1.49×10−10/1.60×10−13≈9.3×102 MeVE = 1.660\,54 \times 10^{-27} \times 9.00 \times 10^{16} = 1.49 \times 10^{-10}\,\mathrm{J} = 1.49 \times 10^{-10}/1.60 \times 10^{-13} \approx 9.3 \times 10^{2}\,\mathrm{MeV} — les 931.5 MeV931.5\,\mathrm{MeV} du cours, près de notre cc arrondi.

Exercice 33.2 ★

Un morceau de sucre a une masse de 6.0 g6.0\,\mathrm{g} : calculer sa valeur pleine E=mc2E = mc^2. Un foyer tire 10 kW h=3.6×107 J10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{J} par jour — pendant combien d’années le morceau, entièrement converti, pourrait-il l’alimenter ?

Solution

Solution de Exercice 33.2.

E=6.0×10−3×9.00×1016=5.4×1014 JE = 6.0 \times 10^{-3} \times 9.00 \times 10^{16} = 5.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J} ; 5.4×1014/3.6×107=1.5×1075.4 \times 10^{14}/3.6 \times 10^{7} = 1.5 \times 10^{7} jours ≈4.1×104\approx 4.1 \times 10^{4} ans — quarante millénaires sur un morceau de sucre.

Exercice 33.3 ★

Le noyau de carbone-12 a pour masse 11.996 71 u11.996\,71\,\mathrm{u} : calculer son défaut de masse, son énergie de liaison en MeV\mathrm{MeV}, et son énergie de liaison par nucléon (mp=1.007 28 um_p = 1.007\,28\,\mathrm{u}, mn=1.008 66 um_n = 1.008\,66\,\mathrm{u}).

Solution

Solution de Exercice 33.3.

Δm=6×1.00728+6×1.00866−11.99671=0.098 93 u\Delta m = 6 \times 1.00728 + 6 \times 1.00866 - 11.99671 = 0.098\,93\,\mathrm{u} ; Eb=0.09893×931.5≈92.2 MeVE_b = 0.09893 \times 931.5 \approx 92.2\,\mathrm{MeV} ; Eb/A≈7.68 MeVE_b/A \approx 7.68\,\mathrm{MeV} par nucléon.

Exercice 33.4 ★

Compléter chaque fission, en donnant AA, ZZ et l’élément (Z=36Z = 36 : krypton, Z=52Z = 52 : tellure) : (a) 01n+92235U→56144Ba+ZAX+3 01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to {}^{144}_{56}\mathrm{Ba} + {}^{A}_{Z}\mathrm{X} + 3\,{}^{1}_{0}\mathrm{n} ; (b) 01n+92235U→4097Zr+ZAY+2 01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to {}^{97}_{40}\mathrm{Zr} + {}^{A}_{Z}\mathrm{Y} + 2\,{}^{1}_{0}\mathrm{n}.

Solution

Solution de Exercice 33.4.

(a) A=236−144−3=89A = 236 - 144 - 3 = 89, Z=92−56=36Z = 92 - 56 = 36 : 3689Kr{}^{89}_{36}\mathrm{Kr}, krypton. (b) A=236−97−2=137A = 236 - 97 - 2 = 137, Z=92−40=52Z = 92 - 40 = 52 : 52137Te{}^{137}_{52}\mathrm{Te}, tellure.

Exercice 33.5 ★

Lire la courbe de la Proposition 33.9 : estimer Eb/AE_b/A pour l’hélium-4, le carbone-12, le fer-56 et l’uranium-235. Lequel est le plus solidement lié ? Lequel pourrait libérer de l’énergie par fission, et lequel par fusion ?

Solution

Solution de Exercice 33.5.

Environ 7.17.1, 7.77.7, 8.88.8 et 7.6 MeV7.6\,\mathrm{MeV} par nucléon ; le fer-56 est le plus lié. L’uranium peut libérer de l’énergie par fission, l’hélium-4 et le carbone-12 par fusion — les deux mouvements grimpent vers le fer ; le fer lui-même n’a nulle part où aller.

Exercice 33.6 ★★

Le deutéron 12H{}^{2}_{1}\mathrm{H} a pour masse 2.013 55 u2.013\,55\,\mathrm{u} : calculer son énergie de liaison en MeV\mathrm{MeV}. Une liaison chimique tient quelques eV\mathrm{eV} — par quel facteur la « liaison » nucléaire la bat-elle ?

Solution

Solution de Exercice 33.6.

Δm=1.00728+1.00866−2.01355=0.002 39 u\Delta m = 1.00728 + 1.00866 - 2.01355 = 0.002\,39\,\mathrm{u}, donc Eb≈2.23 MeVE_b \approx 2.23\,\mathrm{MeV} — environ un million de fois les quelques eV\mathrm{eV} d’une liaison chimique.

Exercice 33.7 ★★

Peser la fission 01n+92235U→56144Ba+3689Kr+3 01n{}^{1}_{0}\mathrm{n} + {}^{235}_{92}\mathrm{U} \to {}^{144}_{56}\mathrm{Ba} + {}^{89}_{36}\mathrm{Kr} + 3\,{}^{1}_{0}\mathrm{n} : masses 234.993 50 u234.993\,50\,\mathrm{u} (U), 143.892 20 u143.892\,20\,\mathrm{u} (Ba), 88.897 90 u88.897\,90\,\mathrm{u} (Kr), 1.008 66 u1.008\,66\,\mathrm{u} (n). Énergie libérée, en MeV\mathrm{MeV} et en joules ?

Solution

Solution de Exercice 33.7.

Avant : 236.002 16 u236.002\,16\,\mathrm{u} ; après : 143.89220+88.89790+3×1.00866=235.816 08 u143.89220 + 88.89790 + 3 \times 1.00866 = 235.816\,08\,\mathrm{u} ; Δm=0.186 08 u\Delta m = 0.186\,08\,\mathrm{u}, donc E≈173 MeV=173×1.60×10−13≈2.8×10−11 JE \approx 173\,\mathrm{MeV} = 173 \times 1.60 \times 10^{-13} \approx 2.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}.

Exercice 33.8 ★★

Une autre fusion : 12H+12H→23He+01n{}^{2}_{1}\mathrm{H} + {}^{2}_{1}\mathrm{H} \to {}^{3}_{2}\mathrm{He} + {}^{1}_{0}\mathrm{n}, avec m(23He)=3.014 93 um({}^{3}_{2}\mathrm{He}) = 3.014\,93\,\mathrm{u}. Calculer l’énergie libérée. Pourquoi tant moins que D–T ? (Considérer où chaque produit se place sur la courbe.)

Solution

Solution de Exercice 33.8.

Δm=2×2.01355−3.01493−1.00866=0.003 51 u\Delta m = 2 \times 2.01355 - 3.01493 - 1.00866 = 0.003\,51\,\mathrm{u} : E≈3.27 MeVE \approx 3.27\,\mathrm{MeV}. D–T fait de l’hélium-4, anormalement lié (7.1 MeV7.1\,\mathrm{MeV} par nucléon) ; l’hélium-3 se place bien plus bas sur la courbe, donc le pas libère beaucoup moins.

Exercice 33.9 ★★

Expliquer, quelques lignes chacune : (a) pourquoi la fission n’a besoin d’aucun chauffage tandis que la fusion exige environ 1×108 K1 \times 10^{8}\,\mathrm{K} ; (b) comment le Soleil s’en tire à « seulement » 1.5×107 K1.5 \times 10^{7}\,\mathrm{K} (la taille de la foule, ses membres les plus rapides) ; (c) pourquoi une centrale de fusion ne peut pas s’emballer comme une réaction en chaîne.

Solution

Solution de Exercice 33.9.

(a) Le neutron est neutre : pas de barrière de Coulomb, la fission part à froid. Les noyaux qui fusionnent sont tous deux positifs et doivent grimper la barrière, donc seule une agitation ∼1×108 K\sim 1 \times 10^{8}\,\mathrm{K} donne des collisions assez violentes. (b) Le cœur tient un nombre astronomique de protons ; les plus rapides rares de la foule font la fusion, et le Soleil a des milliards d’années de marge — une combustion lente est exactement ce qu’une étoile veut. (c) Il n’y a pas d’avalanche de neutrons : chaque fusion s’achète par sa propre collision, et toute perte de confinement refroidit le plasma et éteint le feu.

Exercice 33.10 ★★

La réaction nette du Soleil transforme quatre protons (mp=1.007 28 um_p = 1.007\,28\,\mathrm{u}) en un noyau d’hélium-4 (4.001 51 u4.001\,51\,\mathrm{u}) : calculer l’énergie par hélium produit, en MeV\mathrm{MeV}, et la fraction de la masse initiale convertie.

Solution

Solution de Exercice 33.10.

Δm=4×1.00728−4.00151=0.027 61 u\Delta m = 4 \times 1.00728 - 4.00151 = 0.027\,61\,\mathrm{u}, donc E≈25.7 MeVE \approx 25.7\,\mathrm{MeV} ; fraction 0.02761/4.02912≈0.7%0.02761/4.02912 \approx 0.7\% de la masse.

Exercice 33.11 ★★

Dans un réacteur à eau : (a) que fait le modérateur, et pourquoi la chaîne en a-t-elle besoin ? (b) les barres de contrôle ? (c) l’eau de refroidissement est le modérateur : pourquoi sa perte tend-elle à étouffer la chaîne plutôt qu’à l’accélérer ?

Solution

Solution de Exercice 33.11.

(a) Il ralentit les neutrons de fission par collisions ; les neutrons lents sont bien plus susceptibles de fissionner l’uranium-235, donc la chaîne en a besoin. (b) Elles absorbent les neutrons, tenant la chaîne à un neutron par fission — enfoncées, elle meurt. (c) Pas d’eau, pas de modération : les neutrons restent rapides, manquent, et la chaîne s’étouffe — la conception défaille du côté de l’arrêt.

Exercice 33.12 ★★★

Une chaîne non contrôlée double à chaque génération. À partir d’une fission, environ combien de générations jusqu’à ce que les 2.56×10212.56 \times 10^{21} noyaux d’un gramme d’uranium-235 se soient fendus (210≈1032^{10} \approx 10^{3}) ? À environ 10 ns10\,\mathrm{ns} par génération, combien de temps cela fait-il — et pourquoi, alors, la criticité est-elle gardée si soigneusement ?

Solution

Solution de Exercice 33.12.

Les fissions doublent à chaque génération, donc après nn générations environ 2n2^n se sont fendues ; 2n=2.56×1021≈2×(103)7≈2712^{n} = 2.56 \times 10^{21} \approx 2 \times (10^{3})^{7} \approx 2^{71} donne n≈71n \approx 71. Temps : 71×10 ns≈0.7 µs71 \times 10\,\mathrm{ns} \approx 0.7\,\text{µ}\mathrm{s} — un gramme de combustible, trois tonnes de charbon, en moins d’une microseconde : la criticité est une falaise, pas une pente.

Exercice 33.13 ★★★

Pourrait-on extraire de l’énergie en fissionnant le fer ? Peser 2656Fe→2 1428Si{}^{56}_{26}\mathrm{Fe} \to 2\,{}^{28}_{14}\mathrm{Si}, avec m(Fe)=55.920 66 um(\mathrm{Fe}) = 55.920\,66\,\mathrm{u}, m(Si)=27.969 24 um(\mathrm{Si}) = 27.969\,24\,\mathrm{u}. Calculer Δm\Delta m et conclure, en termes de la courbe, pourquoi le fer est de la cendre nucléaire : combustible pour rien.

Solution

Solution de Exercice 33.13.

Δm=55.92066−2×27.96924=−0.017 82 u\Delta m = 55.92066 - 2 \times 27.96924 = -0.017\,82\,\mathrm{u} : E≈−16.6 MeVE \approx -16.6\,\mathrm{MeV} — la scission absorbe de l’énergie. Le fer se place au sommet : le fissionner ou le fusionner vont tous deux en descente de liaison, tous deux coûtent de l’énergie. C’est la cendre de tout feu nucléaire.

Exercice 33.14 ★★★

À partir de m(2656Fe)=55.920 66 um({}^{56}_{26}\mathrm{Fe}) = 55.920\,66\,\mathrm{u} et m(92235U)=234.993 50 um({}^{235}_{92}\mathrm{U}) = 234.993\,50\,\mathrm{u}, calculer Eb/AE_b/A pour les deux (mp=1.007 28 um_p = 1.007\,28\,\mathrm{u}, mn=1.008 66 um_n = 1.008\,66\,\mathrm{u}). Les fragments de fission se placent près de 8.5 MeV8.5\,\mathrm{MeV} par nucléon : estimer à partir des deux niveaux l’énergie d’une fission, et comparer avec l’Exemple 33.12.

Solution

Solution de Exercice 33.14.

Fe : Δm=26×1.00728+30×1.00866−55.92066=0.528 42 u\Delta m = 26 \times 1.00728 + 30 \times 1.00866 - 55.92066 = 0.528\,42\,\mathrm{u}, Eb≈492 MeVE_b \approx 492\,\mathrm{MeV}, Eb/A≈8.79 MeVE_b/A \approx 8.79\,\mathrm{MeV}. U : Δm=92×1.00728+143×1.00866−234.99350=1.914 64 u\Delta m = 92 \times 1.00728 + 143 \times 1.00866 - 234.99350 = 1.914\,64\,\mathrm{u}, Eb≈1784 MeVE_b \approx 1784\,\mathrm{MeV}, Eb/A≈7.59 MeVE_b/A \approx 7.59\,\mathrm{MeV}. Rempaqueter 235235 nucléons à 8.5 MeV8.5\,\mathrm{MeV} au lieu de 7.59 MeV7.59\,\mathrm{MeV} gagne 235×0.9≈2×102 MeV235 \times 0.9 \approx 2 \times 10^{2}\,\mathrm{MeV} — les 185185–200200 de l’exemple travaillé.

Exercice 33.15 ★★★

ITER vise 500 MW500\,\mathrm{MW} de puissance de fusion. À 17.6 MeV17.6\,\mathrm{MeV} par réaction D–T (5.029 u5.029\,\mathrm{u} de combustible consommé), trouver les réactions par seconde, puis le combustible brûlé par jour. Un four à charbon de 500 MW500\,\mathrm{MW} brûle environ 1.4×106 kg1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{kg} par jour : comparer.

Solution

Solution de Exercice 33.15.

5.0×108/2.82×10−12≈1.8×10205.0 \times 10^{8}/2.82 \times 10^{-12} \approx 1.8 \times 10^{20} réactions par seconde ; débit massique 1.8×1020×5.029×1.660 54×10−27≈1.5×10−6 kg/s1.8 \times 10^{20} \times 5.029 \times 1.660\,54 \times 10^{-27} \approx 1.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}, soit environ 0.13 kg0.13\,\mathrm{kg} par jour — contre 1.4×1061.4 \times 10^{6} kilogrammes de charbon : dix millions pour un.

33.7 Problème : Alimenter une ville

Problème 33.1

Problème du week-end — alimenter une ville : un gigawatt stable pour un demi-million de personnes, acheté de quatre manières — pastilles d’uranium, trains de charbon, une piscine d’eau de mer, la substance même du Soleil — avec le même kilogramme de masse disparue caché sous les quatre

Une ville de 500 000500\,000 habitants tire une puissance électrique stable P=1.0 GWP = 1.0\,\mathrm{GW} ; ses centrales, quel que soit le combustible, transforment la chaleur en électricité avec un rendement de 33%33\% (Chapitre 9). Données : une fission d’uranium-235, 200 MeV200\,\mathrm{MeV} en tout ; charbon, 3.0×107 J/kg3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} ; une fusion D–T, 17.6 MeV17.6\,\mathrm{MeV} issus de 5.029 u5.029\,\mathrm{u} de combustible ; 1 u=1.660 54×10−27 kg1\,\mathrm{u} = 1.660\,54 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg} ; 1 eV=1.60×10−19 J1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} ; un an =3.16×107 s= 3.16 \times 10^{7}\,\mathrm{s} ; le Soleil : 3.9×1026 W3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W}, 2.0×1030 kg2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg} ; un mètre cube d’eau de mer tient environ 33 g33\,\mathrm{g} de deutérium.

Partie I — La centrale à fission.

  1. Quelle puissance thermique le réacteur doit-il livrer ?
  2. Exprimer l’énergie d’une fission en joules.
  3. Combien de fissions par seconde font tourner la ville ?
  4. La masse d’un noyau d’uranium-235 (A=235A = 235), puis l’uranium-235 consommé par seconde ?
  5. En déduire l’uranium-235 consommé en un an, en kilogrammes.
  6. Le combustible est enrichi à 4.0%4.0\% d’uranium-235 : quelle masse prend un an, et tient-elle dans un camion ?

Partie II — Le grand livre du charbon.

  1. Calculer l’énergie thermique que la ville consomme en un an.
  2. Quelle masse de charbon la livre ?
  3. Calculer le rapport (masse de charbon)/(masse d’uranium-235) pour un an, et le vérifier contre l’échelle de l’Exemple 33.21.
  4. Un train de marchandises transporte 3.0×106 kg3.0 \times 10^{6}\,\mathrm{kg} : combien de trains par an, et par jour ? Une phrase : se représenter les deux lignes d’approvisionnement.

Partie III — Le rêve de fusion.

  1. Exprimer l’énergie d’une fusion D–T en joules.
  2. Calculer l’énergie libérée par kilogramme de combustible D–T ; comparer avec l’échelle.
  3. Quelle masse de combustible D–T couvre l’année de la ville ? Quelle masse de cela est du deutérium (2.0142.014 des 5.029 u5.029\,\mathrm{u}) ?
  4. Quel volume d’eau de mer contient ce deutérium ? Comparer à une piscine olympique, environ 2.5×103 m32.5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{3}. (Le tritium est engendré à partir du lithium.)
  5. Pourquoi cette centrale ne porte-t-elle ni masse critique ni réaction en chaîne à craindre ? Quelle est alors la partie difficile ?

Partie IV — L’étoile qui paie en masse.

  1. À partir de E=mc2E = mc^2, quelle masse le Soleil convertit-il chaque seconde ?
  2. Quelle masse par seconde, et par an, toute source thermique de 3.0 GW3.0\,\mathrm{GW} doit-elle convertir ? Vérifier que les trois combustibles rendent cette même masse.
  3. Quelle masse totale le Soleil a-t-il rayonnée en 4.5×1094.5 \times 10^{9} ans, et quelle fraction du Soleil est-ce ?
  4. La fusion peut puiser environ 0.07%0.07\% de la masse du Soleil (la part brûlable de son cœur) : estimer sa durée de vie totale comme étoile, et ce qui reste.
  5. Clore l’audit en trois phrases : une année de la ville en tonnes de charbon, kilogrammes d’uranium-235 et kilogrammes de combustible D–T — et le kilogramme de masse qui, dans chaque scénario, est devenu la lumière de la ville.
Solution

Solution de Problème 33.1.

1. Pth=1.0×109/0.33≈3.0 GWP_{\text{th}} = 1.0 \times 10^{9}/0.33 \approx 3.0\,\mathrm{GW}.

2. 200×1.60×10−13=3.2×10−11 J200 \times 1.60 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}.

3. 3.0×109/3.2×10−11≈9.4×10193.0 \times 10^{9}/3.2 \times 10^{-11} \approx 9.4 \times 10^{19} fissions par seconde.

4. mU=235×1.660 54×10−27=3.90×10−25 kgm_{\mathrm U} = 235 \times 1.660\,54 \times 10^{-27} = 3.90 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg} ; 9.4×1019×3.90×10−25≈3.7×10−5 kg/s9.4 \times 10^{19} \times 3.90 \times 10^{-25} \approx 3.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s} — quelque quarante microgrammes par seconde.

5. 3.7×10−5×3.16×107≈1.2×103 kg3.7 \times 10^{-5} \times 3.16 \times 10^{7} \approx 1.2 \times 10^{3}\,\mathrm{kg} : environ 1.21.2 tonne d’uranium-235 par an.

6. 1.2×103/0.040≈2.9×104 kg1.2 \times 10^{3}/0.040 \approx 2.9 \times 10^{4}\,\mathrm{kg} — quelque 2929 tonnes de combustible : un camion lourd, une fois par an.

7. 3.0×109×3.16×107≈9.5×1016 J3.0 \times 10^{9} \times 3.16 \times 10^{7} \approx 9.5 \times 10^{16}\,\mathrm{J}.

8. 9.5×1016/3.0×107≈3.2×109 kg9.5 \times 10^{16}/3.0 \times 10^{7} \approx 3.2 \times 10^{9}\,\mathrm{kg} : 3.23.2 millions de tonnes de charbon.

9. 3.2×109/1.2×103≈2.7×1063.2 \times 10^{9}/1.2 \times 10^{3} \approx 2.7 \times 10^{6} — le 8.2×1013/3.0×1078.2 \times 10^{13}/3.0 \times 10^{7} de l’échelle, comme il se doit.

10. 3.2×109/3.0×106≈10603.2 \times 10^{9}/3.0 \times 10^{6} \approx 1060 trains par an, environ trois par jour : un train de charbon à l’aube, à midi et au crépuscule pour toujours, contre un camion chaque printemps.

11. 17.6×1.60×10−13=2.82×10−12 J17.6 \times 1.60 \times 10^{-13} = 2.82 \times 10^{-12}\,\mathrm{J}.

12. Une paire pèse 5.029×1.660 54×10−27=8.35×10−27 kg5.029 \times 1.660\,54 \times 10^{-27} = 8.35 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg} : 2.82×10−12/8.35×10−27≈3.4×1014 J/kg2.82 \times 10^{-12}/8.35 \times 10^{-27} \approx 3.4 \times 10^{14}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} — le barreau de fusion de l’échelle.

13. 9.5×1016/3.4×1014≈2.8×102 kg9.5 \times 10^{16}/3.4 \times 10^{14} \approx 2.8 \times 10^{2}\,\mathrm{kg} de D–T ; part de deutérium 280×2.014/5.029≈1.1×102 kg280 \times 2.014/5.029 \approx 1.1 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}.

14. 1.1×102/3.3×10−2≈3.4×103 m31.1 \times 10^{2}/3.3 \times 10^{-2} \approx 3.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{3} d’eau de mer — environ une piscine et demie pour toute l’année de la ville.

15. Rien ne multiplie : aucun neutron n’allume la fusion suivante, et perdre le confinement refroidit le plasma et l’arrête en secondes. La partie difficile est l’inverse — tenir 1.5×108 K1.5 \times 10^{8}\,\mathrm{K} ensemble assez longtemps pour brûler.

16. 3.9×1026/9.00×1016≈4.3×109 kg/s3.9 \times 10^{26}/9.00 \times 10^{16} \approx 4.3 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s} : quatre millions de tonnes par seconde.

17. 3.0×109/9.00×1016≈3.3×10−8 kg/s3.0 \times 10^{9}/9.00 \times 10^{16} \approx 3.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}, soit 3.3×10−8×3.16×107≈1.0 kg3.3 \times 10^{-8} \times 3.16 \times 10^{7} \approx 1.0\,\mathrm{kg} par an — et oui : 1.2×103 kg×0.00085≈11.2 \times 10^{3}\,\mathrm{kg} \times 0.00085 \approx 1, 3.2×109×3.3×10−10≈13.2 \times 10^{9} \times 3.3 \times 10^{-10} \approx 1, 280×0.00375≈1280 \times 0.00375 \approx 1. Chaque combustible rend le même kilogramme ; ils ne diffèrent que par la taille du camion qui le porte.

18. 4.3×109×3.16×107×4.5×109≈6.1×1026 kg4.3 \times 10^{9} \times 3.16 \times 10^{7} \times 4.5 \times 10^{9} \approx 6.1 \times 10^{26}\,\mathrm{kg} — seulement 6.1×1026/2.0×1030≈3×10−46.1 \times 10^{26}/2.0 \times 10^{30} \approx 3 \times 10^{-4}, trois parties pour dix mille.

19. Masse convertible 0.0007×2.0×1030=1.4×1027 kg0.0007 \times 2.0 \times 10^{30} = 1.4 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}, valant 1.4×1027×9.00×1016≈1.3×1044 J1.4 \times 10^{27} \times 9.00 \times 10^{16} \approx 1.3 \times 10^{44}\,\mathrm{J} ; à 3.9×1026 W3.9 \times 10^{26}\,\mathrm{W} cela dure 1.3×1044/3.9×1026≈3.2×1017 s≈1.0×10101.3 \times 10^{44}/ 3.9 \times 10^{26} \approx 3.2 \times 10^{17}\,\mathrm{s} \approx 1.0 \times 10^{10} ans — dix milliards, dont quelque cinq milliards restent.

20. Une année de la ville : 3.23.2 millions de tonnes de charbon, ou 1.2×1031.2 \times 10^{3} kilogrammes d’uranium-235, ou 2.8×1022.8 \times 10^{2} kilogrammes de D–T tirés d’une piscine et demie d’eau de mer. Sous chaque grand livre la même entrée : un kilogramme de masse, parti. E=mc2E = mc^2 ne se soucie pas du combustible qui le porte — seulement de la taille du camion qu’il faut.