Physique du lycée · Grades 10–12

7Pression : du sport à la plongée

Un skieur glisse sur une neige dans laquelle un marcheur s’enfonce ; une poussée de $5\,\mathrm{N}$ enfonce une aiguille dans du cuir qu’un poing ne peut entamer. Mêmes forces, effets sauvagement différents : la grandeur manquante est la pression, la force divisée par l’aire qui la reçoit. Ce chapitre la définit, la suit au fond d’une piscine, le long d’un baromètre, dans une seringue comprimée — et s’achève à quarante mètres sous la mer, où elle devient vitale.

7.1 Pression : une force répartie sur une surface

Définition 7.1 (Pression)

Lorsqu’une force d’intensité $F$ (en $\mathrm{N}$ ) appuie perpendiculairement sur une surface d’aire $S$ (en $\mathrm{m}^{2}$ ), la pression exercée sur cette surface est

P = \frac{F}{S}.

Son unité, le $\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$ , est le pascal ( $\mathrm{Pa}$ ) — une unité minuscule, le poids d’une pomme réparti sur un mètre carré, donc les $\mathrm{kPa}$ et $\mathrm{MPa}$ sont les unités de travail.

Exemple 7.2 (Talon contre raquette à neige)

Une personne de $60\,\mathrm{kg}$ pèse $F = 60 \times 9.81 \approx 590\,\mathrm{N}$ . Sur un talon aiguille de $1.0\,\mathrm{cm}^{2}$ = $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $P = 590/1.0 \times 10^{-4} \approx 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa} = 5.9\,\mathrm{MPa}$ . Sur deux raquettes de $0.20\,\mathrm{m}^{2}$ chacune : $P = 590/0.40 \approx 1.5\,\mathrm{kPa}$ . Le même poids appuie $4000$ fois plus fort sous le talon : les talons marquent les planchers de bois, les raquettes flottent sur la poudreuse.

La même force sur deux surfaces : la pression, non la force, décide si la surface cède.

Remarque 7.3 (Concentrer ou étaler)

Une aiguille à coudre poussée avec $5\,\mathrm{N}$ sur une pointe de $0.01\,\mathrm{mm}^{2}$ = $1 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}$ exerce $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa} = 500\,\mathrm{MPa}$ — assez pour séparer les fibres du cuir. Les outils de percement concentrent la force ; les conceptions porteuses (skis, chenilles, fondations) l’étalent. Le sport est de la gestion de pression appliquée : les patins mordent dans la glace, les skis glissent sur la neige.

7.2 Pression dans un liquide au repos

Pourquoi l’eau presse-t-elle plus fort plus bas ? Isoler une colonne verticale imaginaire d’eau de section $S$ , de la surface à la profondeur $h$ : volume $Sh$ , masse $\rho S h$ ( $\rho$ la masse volumique du liquide, en $\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), poids $\rho S h g$ . Le bas de la colonne supporte ce poids plus la poussée atmosphérique $P_0 S$ sur le sommet. En divisant la force totale par $S$ : la pression à la profondeur $h$ devrait être $P_0 + \rho g h$ — et elle l’est, partout dans le liquide.

Théorème 7.4 (Pression en profondeur)

Dans un liquide de masse volumique $\rho$ au repos, ouvert à l’air, la pression à la profondeur $h$ sous la surface est

P = P_0 + \rho g h,

où $P_0$ est la pression atmosphérique à la surface. La pression ne dépend que de la profondeur, non de la forme du récipient, et en un point donné le liquide presse également fort dans toutes les directions.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 7.5

L’argument de la colonne ne rend la loi que plausible ; la dérivation honnête (toute forme, toutes directions) est dans le volume de 1^re année. Le terme propre de l’eau $\rho g h$ est la pression relative — ce qu’affiche un manomètre de plongeur.

Exemple 7.6 (Dix mètres d’eau)

Dans l’eau douce ( $\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), à $h = 10\,\mathrm{m}$ : $\rho g h = 1000 \times 9.81 \times 10 \approx 98\,\mathrm{kPa}$ , donc $P = 101 + 98 \approx 199\,\mathrm{kPa}$ . Dix mètres d’eau ajoutent presque exactement une atmosphère : la règle empirique du plongeur, une atmosphère supplémentaire tous les dix mètres.

Eau douce au repos : la pression croît linéairement avec la profondeur, une atmosphère supplémentaire tous les dix mètres.

7.3 L’océan d’air

Définition 7.7 (Pression atmosphérique)

Nous vivons au fond d’un océan d’air, dont le poids crée la pression atmosphérique, au niveau de la mer

P_0 \approx 101\,\mathrm{kPa} = 1.01 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}.

Sur chaque centimètre carré cela fait $F = 1.01 \times 10^{5} \times 1 \times 10^{-4} \approx 10\,\mathrm{N}$ : le poids d’une masse d’un kilogramme sur chaque $\mathrm{cm}^{2}$ de votre peau, de votre bureau, de tout.

Exemple 7.8 (La charge invisible)

Une feuille A4 ( $21.0\,\mathrm{cm}$ $\times$ $29.7\,\mathrm{cm}$ , donc $S \approx 0.0624\,\mathrm{m}^{2}$ ) reçoit de l’air au-dessus $F = 1.01 \times 10^{5} \times 0.0624 \approx 6.3 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — le poids d’une petite voiture. Rien ne se déchire : l’air en dessous pousse vers le haut tout aussi fort. Nous ne remarquons l’atmosphère que lorsqu’un côté la perd — une ventouse, une paille, une cabine d’avion.

Remarque 7.9 (Le baromètre de Torricelli)

En 1643 Torricelli renversa un tube scellé de mercure sur un bain de mercure. La colonne tomba à la hauteur où $\rho g h = P_0$ : $h = 1.01 \times 10^{5}/(13600 \times 9.81) \approx 0.76\,\mathrm{m}$ , laissant au-dessus le premier vide jamais réalisé. La hauteur suit le temps et diminue avec l’altitude : un baromètre pèse l’air au-dessus de vous (l’eau aurait besoin de $10.3\,\mathrm{m}$ : Exercice 7.9).

7.4 Gaz : bombardement et loi de Boyle–Mariotte

Un gaz presse aussi sur son contenant : c’est un essaim de molécules en mouvement aléatoire incessant, chaque collision donne à la paroi une petite poussée vers l’extérieur, et des milliards de milliards d’impacts par seconde se fondent en la force stable que nous mesurons comme pression du gaz. Comprimer le gaz dans la moitié du volume : les molécules frappent deux fois plus souvent, donc la pression devrait doubler. Elle le fait.

Proposition 7.10 (Loi de Boyle–Mariotte)

Pour une quantité fixe de gaz maintenue à température constante, la pression et le volume sont inversement proportionnels :

P \, V = \text{constante}, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad P_1 V_1 = P_2 V_2 .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 7.11

Un fait expérimental à ce niveau — le volume de 1^re année le dérive de l’image des collisions. L’expérience (une seringue scellée d’air, un capteur de pression, $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) :

$V$ ( $\mathrm{mL}$ )	60	50	40	30	20
$P$ ( $\mathrm{kPa}$ )	100	120	150	200	300
$P \times V$ ( $\mathrm{kPa}\,\mathrm{mL}$ )	6000	6000	6000	6000	6000

Les données de la seringue tombent sur l’hyperbole P = 6000/V : diviser le volume par deux, doubler la pression. — Les données de la seringue tombent sur l’hyperbole $P = 6000/V$ : diviser le volume par deux, doubler la pression.

Exemple 7.12 (Une seringue comprimée)

L’air occupe $4.0\,\mathrm{L}$ à $100\,\mathrm{kPa}$ ; comprimé lentement (pour que la température reste constante) à $250\,\mathrm{kPa}$ , il occupe $V_2 = P_1 V_1 / P_2 = 400/250 = 1.6\,\mathrm{L}$ .

7.5 Plongée : la pression au travail

Méthode 7.13 (Pression absolue en profondeur)

Pour un plongeur à la profondeur $h$ en mer ( $\rho \approx 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , donc $\rho g h \approx 101\,\mathrm{kPa}$ par $10\,\mathrm{m}$ ), calculer $P = P_0 + \rho g h$ — et dans la loi de Boyle–Mariotte toujours utiliser cette pression absolue, jamais le terme de manomètre seul. Un plongeur se trouve sous $2$ atmosphères à $10\,\mathrm{m}$ , $3$ à $20\,\mathrm{m}$ , $5$ à $40\,\mathrm{m}$ .

Pression absolue en mer : une atmosphère à la surface, plus une de plus tous les dix mètres.

Remarque 7.14 (Ne jamais bloquer sa respiration)

Un détendeur livre de l’air à la pression ambiante : les poumons se remplissent normalement à toute profondeur. Mais remplir $6.0\,\mathrm{L}$ à $20\,\mathrm{m}$ ( $302\,\mathrm{kPa}$ ), bloquer cette respiration et faire surface : Boyle exige $6.0 \times 302/101 \approx 18\,\mathrm{L}$ — trois fois ce qu’une poitrine contient, et les poumons se déchirent bien avant, même sur quelques mètres de montée. D’où la première règle de la plongée bouteille : ne jamais bloquer sa respiration en remontant — continuer de respirer et l’air qui se dilate s’échappe simplement. Un apnéiste est en sécurité : son air a été pris en surface, donc en remontant il ne se redilate qu’à son volume d’origine.

Remarque 7.15 (Décompression)

Respirer de l’air à haute pression dissout aussi de l’azote supplémentaire dans le sang, comme le gaz dans une bouteille de soda bouchée ; remonter trop vite et il pétille en bulles dans le corps — l’accident de décompression. D’où la remontée lente (environ $10\,\mathrm{m}$ par minute) et les arrêts peu profonds, qui laissent le gaz s’échapper calmement par les poumons. La théorie attend le volume de 1^re année ; la règle de conduite appartient à tout plongeur.

7.6 Exercices

Exercice 7.1 ★

Une caisse pesant $600\,\mathrm{N}$ repose sur une face de $0.50\,\mathrm{m} \times 0.30\,\mathrm{m}$ , puis sur une face de $0.30\,\mathrm{m} \times 0.20\,\mathrm{m}$ . Calculer les deux pressions sur le sol. Quelle orientation est meilleure sur du sable mou ?

Solution

Solution de Exercice 7.1.

Grande face : $S = 0.15\,\mathrm{m}^{2}$ , $P = 600/0.15 = 4.0\,\mathrm{kPa}$ . Petite face : $S = 0.060\,\mathrm{m}^{2}$ , $P = 10\,\mathrm{kPa}$ . Sur le sable, la grande face : pression plus basse, moins d’enfoncement.

Exercice 7.2 ★

Exprimer $0.25\,\mathrm{MPa}$ en $\mathrm{kPa}$ et en $\mathrm{Pa}$ . Quoi presse plus fort : $3.0\,\mathrm{N}$ sur $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ , ou $60\,\mathrm{N}$ sur $500\,\mathrm{cm}^{2}$ ?

Solution

Solution de Exercice 7.2.

$0.25\,\mathrm{MPa} = 250\,\mathrm{kPa} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ . $3.0/2.0 \times 10^{-4} = 15\,\mathrm{kPa}$ bat $60/0.050 = 1.2\,\mathrm{kPa}$ : la petite force presse plus fort.

Exercice 7.3 ★

Calculer la pression relative $\rho g h$ et la pression absolue au fond d’une piscine profonde de $3.0\,\mathrm{m}$ ( $\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $P_0 = 101\,\mathrm{kPa}$ ).

Solution

Solution de Exercice 7.3.

$\rho g h = 1000 \times 9.81 \times 3.0 \approx 29\,\mathrm{kPa}$ ; absolue $P = 101 + 29 = 130\,\mathrm{kPa}$ .

Exercice 7.4 ★

L’air occupe $4.0\,\mathrm{L}$ à $100\,\mathrm{kPa}$ , température constante. Son volume à $250\,\mathrm{kPa}$ ? À $50\,\mathrm{kPa}$ ?

Solution

Solution de Exercice 7.4.

$V_2 = 100 \times 4.0 / 250 = 1.6\,\mathrm{L}$ ; à $50\,\mathrm{kPa}$ , $V_2 = 400/50 = 8.0\,\mathrm{L}$ .

Exercice 7.5 ★

Un patineur de $65\,\mathrm{kg}$ glisse sur une lame d’aire de contact $12\,\mathrm{cm}^{2}$ , puis se tient sur des semelles totalisant $360\,\mathrm{cm}^{2}$ . Calculer les deux pressions et leur rapport.

Solution

Solution de Exercice 7.5.

$F = 65 \times 9.81 \approx 638\,\mathrm{N}$ . Lame : $638/1.2 \times 10^{-3} \approx 5.3 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 530\,\mathrm{kPa}$ . Semelles : $638/0.036 \approx 18\,\mathrm{kPa}$ . Rapport $\approx 30$ : la lame mord dans la glace, les semelles non.

Exercice 7.6 ★★

Un pouce pousse une punaise avec $20\,\mathrm{N}$ . La tête a une aire $1.2\,\mathrm{cm}^{2}$ , la pointe $0.010\,\mathrm{mm}^{2}$ . Calculer les pressions sur le pouce et le mur ; pourquoi seul le mur est-il percé ?

Solution

Solution de Exercice 7.6.

Pouce : $20/1.2 \times 10^{-4} \approx 1.7 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 170\,\mathrm{kPa}$ . Mur : $20/1.0 \times 10^{-8} = 2.0 \times 10^{9}\,\mathrm{Pa}$ . Les mêmes $20\,\mathrm{N}$ agissent sur une aire $12\,000$ fois plus petite à la pointe, donc seule là la pression dépasse ce que le matériau peut supporter.

Exercice 7.7 ★★

Un panneau d’écoutille de sous-marin d’aire $0.50\,\mathrm{m}^{2}$ se trouve à $30\,\mathrm{m}$ de profondeur en eau de mer ( $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) ; à l’intérieur, l’air est à la pression atmosphérique. Calculer la force nette qui le maintient fermé, et la masse dont le poids l’égale.

Solution

Solution de Exercice 7.7.

$\Delta P = \rho g h = 1025 \times 9.81 \times 30 \approx 3.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ , donc $F = 3.0 \times 10^{5} \times 0.50 \approx 1.5 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ — le poids de $F/g \approx 1.5 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ , quinze tonnes. Aucun équipage n’ouvre cela vers l’extérieur contre la mer.

Exercice 7.8 ★★

Un capteur à $5.00\,\mathrm{m}$ de profondeur dans un liquide inconnu lit une pression relative de $66.2\,\mathrm{kPa}$ . Trouver la masse volumique. Est-ce de l’eau douce ?

Solution

Solution de Exercice 7.8.

$\rho = \dfrac{P}{g h} = \dfrac{66.2 \times 10^{3}}{9.81 \times 5.00} \approx 1350\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ . Pas de l’eau douce ( $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) : un liquide nettement plus dense, p.ex. une saumure concentrée.

Exercice 7.9 ★★

Quelle hauteur aurait le baromètre de Torricelli avec de l’eau ( $\rho = 1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) au lieu de mercure ( $\rho = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) ? Retrouver les deux hauteurs à partir de $\rho g h = P_0$ ; pourquoi le mercure a-t-il gagné ?

Solution

Solution de Exercice 7.9.

$h = P_0/(\rho g)$ : eau $1.01 \times 10^{5}/9810 \approx 10.3\,\mathrm{m}$ ; mercure $1.01 \times 10^{5}/(13600 \times 9.81) \approx 0.76\,\mathrm{m}$ . Un tube de $76\,\mathrm{cm}$ tient sur un bureau ; un baromètre d’eau de $10\,\mathrm{m}$ a besoin d’une cage d’escalier — la densité du mercure l’a emporté.

Exercice 7.10 ★★

En utilisant les données de la seringue de la Proposition 7.10 ( $PV = 6000\,\mathrm{kPa}\,\mathrm{mL}$ ), prédire le volume à $240\,\mathrm{kPa}$ et la pression à $75\,\mathrm{mL}$ . Quelle courbe est $P$ contre $V$ ? Et $P$ contre $1/V$ ?

Solution

Solution de Exercice 7.10.

$V = 6000/240 = 25\,\mathrm{mL}$ ; $P = 6000/75 = 80\,\mathrm{kPa}$ . $P$ contre $V$ est une hyperbole ; $P$ contre $1/V$ est une droite passant par l’origine, de pente $6000\,\mathrm{kPa}\,\mathrm{mL}$ .

Exercice 7.11 ★★

Un plongeur à $20\,\mathrm{m}$ libère une bulle de volume $0.50\,\mathrm{cm}^{3}$ . Quel est son volume juste sous la surface ? (Température constante ; l’eau de mer ajoute $101\,\mathrm{kPa}$ par $10\,\mathrm{m}$ .)

Solution

Solution de Exercice 7.11.

À $20\,\mathrm{m}$ : $P = 101 + 2 \times 101 = 303\,\mathrm{kPa}$ , trois atmosphères. À la surface, $V = 0.50 \times 303/101 = 1.5\,\mathrm{cm}^{3}$ : la bulle triple.

Exercice 7.12 ★★★

Une ventouse d’aire $12\,\mathrm{cm}^{2}$ est pressée à plat contre un plafond.

Vide parfait à l’intérieur : quelle force l’atmosphère exerce-t-elle sur la ventouse, et quelle masse suspendue peut-elle tenir ?
Une ventouse réelle garde $20\,\mathrm{kPa}$ d’air à l’intérieur. Quelle masse maintenant ?

Solution

Solution de Exercice 7.12.

1. $F = 1.01 \times 10^{5} \times 1.2 \times 10^{-3} \approx 121\,\mathrm{N}$ , tenant $m = 121/9.81 \approx 12\,\mathrm{kg}$ .

2. $\Delta P = 101 - 20 = 81\,\mathrm{kPa}$ : $F = 8.1 \times 10^{4} \times 1.2 \times 10^{-3} \approx 97\,\mathrm{N}$ , environ $9.9\,\mathrm{kg}$ .

Exercice 7.13 ★★★

Une bouteille de plongée contient $12\,\mathrm{L}$ d’air à $200\,\mathrm{bar}$ ( $1\,\mathrm{bar}$ = $100\,\mathrm{kPa}$ $\approx 1$ atmosphère) ; $50\,\mathrm{bar}$ doivent rester en réserve. Un plongeur respire $15\,\mathrm{L}$ par minute à la pression ambiante. Combien de litres d’air à pression de surface sont utilisables ? Combien de temps la bouteille dure-t-elle à $30\,\mathrm{m}$ (pression absolue $\approx 4\,\mathrm{bar}$ ) ? Et à $10\,\mathrm{m}$ ?

Solution

Solution de Exercice 7.13.

Boyle : $12 \times (200 - 50) = 1800\,\mathrm{L}$ d’air à pression de surface sont utilisables. À $30\,\mathrm{m}$ chaque inspiration est prise à $4\,\mathrm{bar}$ , donc $15\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ à la pression ambiante coûtent $15 \times 4 = 60\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ d’air de surface : $1800/60 = 30\,\mathrm{min}$ . À $10\,\mathrm{m}$ ( $2\,\mathrm{bar}$ ) : $30\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ , donc $60\,\mathrm{min}$ . La profondeur se paie en air.

Exercice 7.14 ★★★

Les poumons d’un apnéiste contiennent $6.0\,\mathrm{L}$ à la surface et ne peuvent se contracter en dessous du volume résiduel $1.5\,\mathrm{L}$ . À quelle profondeur en mer ( $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) cette limite est-elle atteinte ? (Un temps déclarée limite de l’apnée ; les records dépassent maintenant $100\,\mathrm{m}$ , le sang se déplaçant dans la poitrine prenant le volume manquant.)

Solution

Solution de Exercice 7.14.

$P = P_0 \dfrac{V_0}{V} = 101 \times \dfrac{6.0}{1.5} = 404\,\mathrm{kPa}$ . Avec $\rho g \approx 10.1\,\mathrm{kPa}/\mathrm{m}$ , $h = (404 - 101)/10.1 \approx 30\,\mathrm{m}$ .

Exercice 7.15 ★★★

Dans un vérin hydraulique, un liquide transmet la pression inchangée d’un petit piston ( $s = 2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ ) à un grand ( $S = 400\,\mathrm{cm}^{2}$ ) portant une voiture de $1200\,\mathrm{kg}$ .

Quelle force sur le petit piston maintient la voiture ? Quelle pression le liquide porte-t-il ?
Pour soulever la voiture de $2.0\,\mathrm{cm}$ , de combien le petit piston doit-il se déplacer ? Comparer le travail fait sur chaque piston.

Solution

Solution de Exercice 7.15.

1. Poids $F = 1200 \times 9.81 \approx 1.18 \times 10^{4}\,\mathrm{N}$ ; pression $P = F/S = 1.18 \times 10^{4}/0.040 \approx 2.9 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ; petit piston : $f = P s = 2.9 \times 10^{5} \times 2.0 \times 10^{-4} \approx 59\,\mathrm{N}$ — la force est divisée par $S/s = 200$ .

2. Le volume de liquide se conserve : $400 \times 2.0 = 800\,\mathrm{cm}^{3}$ doivent venir du petit cylindre, qui parcourt $800/2.0 = 400\,\mathrm{cm} = 4.0\,\mathrm{m}$ . Travail : $59 \times 4.0 \approx 235\,\mathrm{J}$ d’un côté, $1.18 \times 10^{4} \times 0.020 \approx 235\,\mathrm{J}$ de l’autre — le vérin échange de la distance contre de la force, jamais du travail.

7.7 Problème : Une inspiration en bas, une inspiration en haut

Problème 7.1

Problème du week-end — une inspiration en bas, une inspiration en haut : la physique d’une plongée en apnée et d’une remontée en bouteille, du squeeze de masque à la règle que les dix derniers mètres sont les plus dangereux

Léna plonge en apnée : une inspiration en surface, jusqu’à $30\,\mathrm{m}$ et retour. Marco plonge en bouteille à côté d’elle, respirant d’une bouteille. Même mer ( $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ , $P_0 = 101\,\mathrm{kPa}$ ), mêmes poumons de $6.0\,\mathrm{L}$ , dangers opposés — tous gouvernés par $P = P_0 + \rho g h$ et $PV$ = constante (température constante tout du long).

Partie I — Le poids de l’eau.

Calculer $\rho g$ pour l’eau de mer en $\mathrm{kPa}$ par mètre, et vérifier la règle empirique : une atmosphère par $10\,\mathrm{m}$ .
Calculer la pression absolue à $10\,\mathrm{m}$ , $20\,\mathrm{m}$ , $30\,\mathrm{m}$ et $40\,\mathrm{m}$ .
Exprimer chacune en multiple de la pression de surface.
Le masque de Léna couvre $150\,\mathrm{cm}^{2}$ . À $30\,\mathrm{m}$ , si l’air à l’intérieur était encore à la pression de surface, quelle force nette l’eau exercerait-elle ? (Les plongeurs expirent dans le masque par le nez pour empêcher ce squeeze de masque.)
Un tympan a une aire d’environ $0.60\,\mathrm{cm}^{2}$ . Calculer la force nette sur lui à $3.0\,\mathrm{m}$ si l’oreille moyenne reste à la pression de surface ; pourquoi les oreilles font-elles mal dans une simple piscine, et que doit accomplir « l’équilibrage » ?

Partie II — Une inspiration en bas. Léna quitte la surface avec $6.0\,\mathrm{L}$ d’air dans les poumons.

En utilisant la loi de Boyle–Mariotte avec les pressions absolues, calculer le volume de ses poumons à $10\,\mathrm{m}$ , $20\,\mathrm{m}$ et $30\,\mathrm{m}$ .
À quelle profondeur son volume pulmonaire est-il divisé par deux ?
Le volume pulmonaire est-il proportionnel à la profondeur ? Décrire la courbe de $V$ contre la pression absolue $P$ .
Son volume résiduel est $1.5\,\mathrm{L}$ : les poumons ne peuvent se contracter davantage. Montrer que cette limite est atteinte près de $30\,\mathrm{m}$ .
Les records d’apnée dépassent pourtant $100\,\mathrm{m}$ : qu’est-ce qui remplit le volume manquant ? (Quoi d’autre peut s’écouler dans la poitrine ?)

Partie III — Une inspiration en haut. À $30\,\mathrm{m}$ , le détendeur de Marco remplit ses poumons de $6.0\,\mathrm{L}$ .

À quelle pression le détendeur livre-t-il cet air ? Combien de fois plus dense est-il que l’air de surface ?
Marco panique, bloque sa respiration, et remonte à $10\,\mathrm{m}$ : quel volume son air piégé exige-t-il là ?
Quel volume à la surface — combien de fois sa capacité ?
Énoncer la première règle du plongeur bouteille, et pourquoi respirer normalement supprime le danger.
Léna bloque aussi sa respiration de $30\,\mathrm{m}$ à la surface, pourtant ses poumons sont parfaitement en sécurité. Expliquer l’asymétrie.

Partie IV — Bulles, et les dix derniers mètres.

Marco libère une bulle de $1.0\,\mathrm{cm}^{3}$ à $40\,\mathrm{m}$ . Calculer son volume à $30\,\mathrm{m}$ , $20\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}$ et juste sous la surface.
Pour chaque palier de $10\,\mathrm{m}$ de la montée, calculer le facteur par lequel la bulle croît. Où la croissance est-elle la plus rapide ?
Les plongeurs remontent au plus à $10\,\mathrm{m}$ par minute : combien de temps depuis $40\,\mathrm{m}$ , et dans quelle minute tout gaz piégé ou dissous se dilate-t-il le plus ?
En profondeur le sang de Marco dissout de l’azote supplémentaire, comme le gaz dans une bouteille de soda bouchée. Que fait une remontée trop rapide, et comment la remontée lente et un palier de sécurité à $5\,\mathrm{m}$ l’empêchent-ils ?
Chute : en une phrase chacune, donner le verdict de l’apnéiste, le verdict du plongeur bouteille, et la raison quantifiée pour laquelle les dix derniers mètres de toute remontée méritent le plus de respect.

Solution

Solution de Problème 7.1.

1. $\rho g = 1025 \times 9.81 \approx 10.1\,\mathrm{kPa}$ par mètre, donc $10\,\mathrm{m}$ d’eau de mer ajoutent $\approx 101\,\mathrm{kPa}$ : une atmosphère tous les dix mètres, presque exactement.

2. $P = 101 + 10.1\,h$ : $202\,\mathrm{kPa}$ à $10\,\mathrm{m}$ , $302\,\mathrm{kPa}$ à $20\,\mathrm{m}$ , $403\,\mathrm{kPa}$ à $30\,\mathrm{m}$ , $503\,\mathrm{kPa}$ à $40\,\mathrm{m}$ .

3. $2{,}0$ , $3{,}0$ , $4{,}0$ et $5{,}0$ fois $P_0$ .

4. $\Delta P = 403 - 101 = 302\,\mathrm{kPa}$ sur $0.015\,\mathrm{m}^{2}$ : $F = 3.02 \times 10^{5} \times 0.015 \approx 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — le poids de près d’une demi-tonne sur le visage.

5. $\Delta P = 10.1 \times 3.0 \approx 30\,\mathrm{kPa}$ ; $F = 3.0 \times 10^{4} \times 6.0 \times 10^{-5} \approx 1.8\,\mathrm{N}$ — un doigt pressé sur le tympan, déjà à profondeur de piscine. Équilibrer pousse de l’air dans l’oreille moyenne jusqu’à ce que la pression intérieure égale celle de l’eau.

6. $V = 6.0 \, P_0/P$ : $6.0 \times 101/202 = 3.0\,\mathrm{L}$ ; $606/302 = 2.0\,\mathrm{L}$ ; $606/403 = 1.5\,\mathrm{L}$ .

7. Divisé par deux lorsque $P = 2P_0$ , c’est-à-dire à $10\,\mathrm{m}$ — dans le tout premier tronçon de la plongée.

8. Non : $V = 606/P$ est une hyperbole en pression absolue (et $P$ , non $h$ , est ce que la loi de Boyle–Mariotte voit) ; chaque $10\,\mathrm{m}$ supplémentaires retirent moins de volume que les précédents.

9. $V = 1.5\,\mathrm{L}$ exige $P = 101 \times 6.0/1.5 = 404\,\mathrm{kPa}$ , c’est-à-dire $h = 303/10.1 \approx 30\,\mathrm{m}$ (Exercice 7.14).

10. Le sang : le plasma se déplace dans les vaisseaux de la poitrine, incompressible, et occupe le volume que l’air ne remplit plus.

11. À la pression ambiante, $403\,\mathrm{kPa}$ . Par Boyle le même air à $101\,\mathrm{kPa}$ remplirait $4$ fois le volume : il est $4{,}0$ fois plus dense que l’air de surface.

12. $V = 6.0 \times 403/202 \approx 12\,\mathrm{L}$ — le double, après seulement $20\,\mathrm{m}$ de montée.

13. $V = 6.0 \times 403/101 \approx 24\,\mathrm{L}$ : quatre fois sa capacité pulmonaire.

14. Ne jamais bloquer sa respiration en remontant. Avec les voies aériennes ouvertes, l’air qui se dilate s’échappe par le détendeur, et le volume pulmonaire ne dépasse jamais $6.0\,\mathrm{L}$ .

15. Les $1.5\,\mathrm{L}$ de Léna à $30\,\mathrm{m}$ sont ses $6.0\,\mathrm{L}$ de surface comprimés : en remontant ils se redilatent exactement à $6.0\,\mathrm{L}$ , jamais au-delà. Les $6.0\,\mathrm{L}$ de Marco ont été pris à $403\,\mathrm{kPa}$ : ils contiennent $24\,\mathrm{L}$ d’air de surface.

16. $V = 1.0 \times 503/P$ : $1.25\,\mathrm{cm}^{3}$ à $30\,\mathrm{m}$ , $1.67\,\mathrm{cm}^{3}$ à $20\,\mathrm{m}$ , $2.49\,\mathrm{cm}^{3}$ à $10\,\mathrm{m}$ , $4.98\,\mathrm{cm}^{3}$ juste sous la surface.

17. Facteurs par palier : $503/403 = 1.25$ , puis $1.33$ , $1.49$ , et $202/101 = 2.0$ pour les dix derniers mètres — la croissance accélère à l’approche de la surface.

18. $40/10 = 4.0\,\mathrm{min}$ . La dernière minute : de $10\,\mathrm{m}$ à la surface la pression absolue se divise par deux, la plus grande chute relative de toute la remontée.

19. Une remontée trop rapide laisse l’azote dissous pétiller en bulles dans le sang et les articulations (accident de décompression) ; remonter lentement et s’arrêter près de $5\,\mathrm{m}$ garde le gaz dissous assez longtemps pour qu’il s’échappe calmement par les poumons.

20. Apnéiste : son air ne revient qu’à son volume d’origine — Boyle la protège. Plongeur bouteille : l’air pris en profondeur se multiplie en remontant — respirer, ne jamais bloquer. Et les dix derniers mètres doublent tout volume piégé ( $\times 2.0$ , contre $\times 1.25$ en bas à $40\,\mathrm{m}$ ) : plus on est près de la surface, plus on devrait s’en approcher lentement.