Physics · Livre 2 · Grades 10–12

Physique du lycée

Physique du lycée · Grades 10–12

35Relativité restreinte : dilatation du temps

Chaque satellite GPS porte une horloge atomique bonne à une seconde en trois millions d’années — et avant le lancement, les ingénieurs la désaccordent exprès : laissée honnête, elle gagnerait 3838 millionièmes de seconde par jour, et demain soir votre téléphone vous placerait à onze kilomètres de là où vous êtes. L’horloge n’est pas en faute — le temps lui-même tic-tac différemment pour le mobile et l’immobile : ce chapitre suit Einstein d’un fait obstiné à cette conclusion.

35.1 Une vitesse refuse de s’ajouter

Les vitesses dépendent du référentiel et se composent par addition (Chapitre 5) : un passager marchant à 4 km/h4\,\mathrm{km}/\mathrm{h} vers l’avant d’un train à 300 km/h300\,\mathrm{km}/\mathrm{h} passe l’observateur au bord de la voie à 304 km/h304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}.

Définition 35.1 (Référentiel galiléen)

Un référentiel galiléen est un référentiel (Chapitre 5) dans lequel un corps sans force garde une vitesse constante : le sol, à peu près, et tout référentiel en mouvement rectiligne uniforme par rapport à lui.

Pousser la règle à l’extrême : le faisceau de phare du train devrait passer l’observateur au sol à c+300 km/hc + 300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}. En 1887 Michelson et Morley ont comparé la vitesse de la lumière le long et en travers de la course orbitale de 30 km/s30\,\mathrm{km}/\mathrm{s} de la Terre, chassant de telles différences ; à une précision exquise ils n’en ont trouvé aucune — le même cc dans chaque direction, en chaque saison. Einstein, en 1905, a cru l’expérience et reconstruit le temps et l’espace autour d’elle, sur deux postulats jugés par leurs conséquences — testés depuis un siècle sans un seul échec.

Théorème 35.2 (Les postulats de la relativité restreinte)

  1. Principe de relativité : les lois de la physique prennent la même forme dans tout référentiel galiléen ; aucun n’est « vraiment au repos ».
  2. Invariance de cc : la lumière dans le vide voyage à c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} dans tout référentiel galiléen, quel que soit le mouvement de la source ou de l’observateur.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

35.2 Adieu au « même instant »

Proposition 35.3 (Relativité de la simultanéité)

Deux événements simultanés dans un référentiel galiléen ne le sont, en général, pas dans un autre : « maintenant, partout » dépend du référentiel.

Démonstration. Le train d’Einstein. Deux éclairs frappent les deux extrémités d’un train en mouvement, scorchant la voie. L’observateur du quai MM, à mi-chemin entre les marques, reçoit les deux éclairs ensemble ; chacun a traversé la même distance à la même vitesse cc, donc les frappes étaient simultanées. Le passager M′M', à mi-chemin le long du train, roule vers l’éclair avant, qui l’atteint le premier ; mais dans son référentiel aussi les deux éclairs ont couvert des distances égales (la moitié d’un train) à la même vitesse cc — deuxième postulat ! — donc la frappe avant s’est produite la première. Chaque verdict est correct dans son propre référentiel ; le désaccord, des nanosecondes pour un train, est pourquoi personne ne l’avait remarqué. ∎

Le train d’Einstein : les éclairs de A et B atteignent M ensemble ; M' roule vers l’éclair de B, le rencontre le premier — et conclut qu’il a frappé le premier.
Le train d’Einstein : les éclairs de AA et BB atteignent MM ensemble ; M′M' roule vers l’éclair de BB, le rencontre le premier — et conclut qu’il a frappé le premier.

35.3 L’horloge à lumière et le facteur γ\gamma

Définition 35.4 (Événement, temps propre)

Un événement est une occurrence en un lieu et un instant — un tic, un éclair, une désintégration. Lorsqu’une seule horloge est présente à deux événements, l’intervalle qu’elle lit entre eux est le temps propre Δt0\Delta t_0. Un référentiel dans lequel cette horloge se déplace mesure un intervalle Δt\Delta t en général différent.

Théorème 35.5 (Dilatation du temps)

Une horloge se déplaçant à vitesse constante vv à travers un référentiel galiléen y est mesurée comme retardant : entre deux événements à l’horloge,

Δt=γ Δt0,γ=11−v2/c2≥1.\Delta t = \gamma\, \Delta t_0, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \geq 1 .

Démonstration. Construire l’horloge la plus simple imaginable : deux miroirs en regard à une distance LL, un photon rebondissant entre eux ; un aller-retour est un tic, et au repos un tic dure Δt0=2L/c\Delta t_0 = 2L/c. Maintenant boulonner l’horloge à un vaisseau traversant à la vitesse vv, miroirs perpendiculaires au mouvement, et chronométrer un tic depuis le sol : pendant que le photon grimpe, les miroirs glissent de côté, donc le photon vole un chemin oblique — deux mouvements à la fois, comme le projectile du Chapitre 24. Si le tic dure Δt\Delta t, chaque demi-tic avance de v Δt/2v\,\Delta t/2 horizontalement et de LL verticalement ; et — l’étape cruciale — le deuxième postulat fixe la vitesse au sol du photon à cc, donc le demi-chemin oblique mesure c Δt/2c\,\Delta t/2. Pythagore :

(c Δt2) ⁣2=L2+(v Δt2) ⁣2  ⟹  Δt=2L/c1−v2/c2=γ Δt0.\Bigl(\frac{c\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2} = L^2 + \Bigl(\frac{v\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2} \;\Longrightarrow\; \Delta t = \frac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\,\Delta t_0 .

Et toute horloge qui voyage à côté — montre, battement de cœur, noyau qui se désintègre — doit rester en pas, ou la comparaison trahirait le mouvement du vaisseau et violerait le premier postulat. ∎

L’horloge à lumière. Au repos le photon grimpe L ; depuis le sol il vole l’hypoténuse au même c — donc le tic doit prendre plus longtemps. L’horloge à lumière. Au repos le photon grimpe L ; depuis le sol il vole l’hypoténuse au même c — donc le tic doit prendre plus longtemps.
L’horloge à lumière. Au repos le photon grimpe LL ; depuis le sol il vole l’hypoténuse au même cc — donc le tic doit prendre plus longtemps.

Exemple 35.6 (Gamma en nombres)

v/cv/c0.010.10.50.80.90.990.999
γ\gamma1.000051.0051.1551.6672.2947.0922.4

Rien ne se passe pendant des pages, puis tout : γ\gamma colle à 11 jusqu’à un tiers de la vitesse de la lumière, passe 22 près de 0.9c0.9c, et explose lorsque v→cv \to c.

= 1/√1 - v2/c2 : indiscernable de 1 aux vitesses quotidiennes, divergent à l’asymptote v = c — la vitesse qu’aucun corps massif n’atteint.
γ=1/1−v2/c2\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2} : indiscernable de 11 aux vitesses quotidiennes, divergent à l’asymptote v=cv = c — la vitesse qu’aucun corps massif n’atteint.

Remarque 35.7 (Pourquoi la vie quotidienne n’a jamais remarqué)

Pour v≪cv \ll c, écrire x=v2/c2x = v^2/c^2 : puisque (1−x)(1+x)≈1(1-x)(1+x) \approx 1 et (1+x/2)2≈1+x(1 + x/2)^2 \approx 1 + x, on obtient γ≈1+v2/(2c2)\gamma \approx 1 + v^2/(2c^2). Une voiture à 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h} a γ−1≈7×10−15\gamma - 1 \approx 7 \times 10^{-15} (une seconde perdue pour quatre millions d’années de conduite) ; un jet gère 3.5×10−133.5 \times 10^{-13}, une seconde pour quatre-vingt-dix mille ans en l’air. Nos horloges étaient simplement trop grossières.

35.4 Le verdict de l’expérience

Exemple 35.8 (Les muons atteignent le sol)

Les rayons cosmiques frappant la haute atmosphère créent des muons — particules de courte vie de durée de vie propre Δt0=2.2 µs\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} — à environ 15 km15\,\mathrm{km} de hauteur, se déplaçant à près de cc. Sans relativité un muon parcourt c Δt0≈660 mc\,\Delta t_0 \approx 660\,\mathrm{m} par durée de vie : la descente prend quelque 2323 durées de vie, et la fraction survivante e−23≈10−10\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10} devrait rendre les muons au niveau de la mer infiniment rares. Pourtant les détecteurs en comptent environ un par centimètre carré par minute. La dilatation du temps le résout : arrivant avec γ≈30\gamma \approx 30, les muons vivent 30×2.2 µs=66 µs30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 66\,\text{µ}\mathrm{s} sur nos horloges — portée ≈20 km\approx 20\,\mathrm{km}, toute l’atmosphère.

Le voyage du muon : une durée de vie classique s’éteint à 660\, m sous l’altitude de naissance ; la durée de vie dilatée traverse l’atmosphère.
Le voyage du muon : une durée de vie classique s’éteint à 660 m660\,\mathrm{m} sous l’altitude de naissance ; la durée de vie dilatée traverse l’atmosphère.

Les confirmations s’accumulent. En 1971 Hafele et Keating ont fait voler des horloges atomiques au césium (Chapitre 28) autour du monde sur des avions de ligne ; à l’atterrissage elles différaient des horloges au sol des fractions de microseconde prédites. Les accélérateurs misent sur la dilatation du temps chaque jour, leurs particules poussées à des γ\gamma de milliers survivant des tours qu’elles ne pourraient jamais classiquement achever. Et le GPS est une expérience en cours avec une étiquette de prix.

Remarque 35.9 (La facture relativiste du GPS)

Un satellite GPS orbite à environ 3.9 km/s3.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}, donc la relativité restreinte ralentit son horloge de quelque 7 µs7\,\text{µ}\mathrm{s} par jour. La gravité, plus faible en altitude, travaille dans l’autre sens et gagne : la relativité générale (la théorie d’Einstein de la gravitation, racontée dans les volumes universitaires) l’accélère d’environ 45 µs45\,\text{µ}\mathrm{s} par jour ; net, 38 µs38\,\text{µ}\mathrm{s} par jour d’avance. Le positionnement convertit les lectures d’horloge en distances à la vitesse cc : une journée non corrigée étalerait les positions de c×38 µs≈11 kmc \times 38\,\text{µ}\mathrm{s} \approx 11\,\mathrm{km} — d’où les horloges désaccordées du paragraphe d’ouverture.

Proposition 35.10 (Contraction des longueurs)

Un corps de longueur L0L_0 dans son référentiel de repos est mesuré plus court le long de sa direction de mouvement dans un référentiel où il se déplace à la vitesse vv : L=L0/γL = L_0/\gamma.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 35.11 (L’histoire propre du muon)

La contraction des longueurs est le revers de la dilatation du temps (dérivée honnêtement dans les volumes universitaires) : l’horloge du muon tic-tac normalement dans son propre référentiel, mais l’atmosphère qui monte à sa rencontre est contractée à 15 km/30=500 m15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m}, traversée bien dans 2.2 µs2.2\,\text{µ}\mathrm{s} — les deux référentiels s’accordent sur le fait que le muon atteint le sol.

35.5 Masse, énergie, et le monde classique retrouvé

Théorème 35.12 (Équivalence masse–énergie)

Un corps de masse mm possède, par sa masse seule, l’énergie

E=mc2.E = m c^2 .

La masse est une forme concentrée d’énergie ; l’énergie, inversement, a de la masse.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 35.13 (Où vous l’avez rencontrée)

C’est le grand livre derrière l’énergie nucléaire (Chapitre 33) : le défaut de masse d’une réaction, multiplié par c2c^2, est l’énergie libérée. Un gramme de masse vaut 9.0×1013 J9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J} — une journée entière de production d’une grande centrale de puissance. La dérivation honnête appartient aux volumes universitaires ; les réacteurs et les étoiles en vivent quoi qu’il en soit.

Remarque 35.14 (Newton n’avait pas tort)

Poser v≪cv \ll c : γ→1\gamma \to 1, les temps s’accordent, les longueurs ne se contractent pas, la simultanéité redevient absolue — la mécanique des trois dernières années réapparaît, intacte, comme la limite bas vitesse. La relativité n’a pas démoli Newton ; elle a tracé la frontière de son empire. C’est ainsi que la physique grandit : en affinant les théories, chacune rendant l’ancienne comme cas limite.

35.6 Exercices

Exercice 35.1 ★

Calculer γ\gamma, à trois chiffres significatifs, pour v=0.1cv = 0.1c, 0.6c0.6c, 0.8c0.8c, 0.995c0.995c.

Solution

Solution de Exercice 35.1.

γ=1/1−(v/c)2\gamma = 1/\sqrt{1 - (v/c)^2} : 1.011.01 (0.1c0.1c) ; 1.251.25 (0.6c0.6c) ; 1.671.67 (0.8c0.8c) ; 10.010.0 (0.995c0.995c).

Exercice 35.2 ★

Un vaisseau croise à 0.6c0.6c ; son métronome bat toutes les 10.0 s10.0\,\mathrm{s} selon l’horloge du vaisseau. Quel intervalle le sol mesure-t-il ? Lequel est le temps propre, et pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 35.2.

γ=1.25\gamma = 1.25, donc le sol mesure 1.25×10.0=12.5 s1.25 \times 10.0 = 12.5\,\mathrm{s}. Les 10.0 s10.0\,\mathrm{s} du vaisseau sont le temps propre : le métronome (une horloge) est présent aux deux battements.

Exercice 35.3 ★

À quelle vitesse (en fraction de cc) a-t-on γ=2\gamma = 2 ? Et γ=10\gamma = 10 ?

Solution

Solution de Exercice 35.3.

v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2} : γ=2\gamma = 2 donne v=0.866cv = 0.866c ; γ=10\gamma = 10 donne v=0.995cv = 0.995c.

Exercice 35.4 ★

Une voiture roule à 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}. Calculer v/cv/c, puis γ−1\gamma - 1 (Remarque 35.7) ; combien de temps doit-elle rouler pour que son horloge retarde de 1 s1\,\mathrm{s} ?

Solution

Solution de Exercice 35.4.

v=36.1 m/sv = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, v/c=1.2×10−7v/c = 1.2 \times 10^{-7} ; γ−1≈(1.2×10−7)2/2≈7.2×10−15\gamma - 1 \approx (1.2 \times 10^{-7})^2/2 \approx 7.2 \times 10^{-15}. Une seconde perdue après 1/7.2×10−15≈1.4×1014 s1/7.2 \times 10^{-15} \approx 1.4 \times 10^{14}\,\mathrm{s} — environ quatre millions d’années de conduite.

Exercice 35.5 ★

Dans l’expérience du train d’Einstein, expliquer — en citant le postulat utilisé — pourquoi le passager conclut que la frappe avant est venue la première, et pourquoi aucun observateur n’a tort.

Solution

Solution de Exercice 35.5.

Le passager roule vers l’éclair avant, donc celui-ci l’atteint le premier ; par le second postulat les deux éclairs voyagent au même cc sur les demi-distances égales du train dans son référentiel, donc une arrivée plus tôt signifie une frappe plus tôt. La simultanéité dépend du référentiel : chaque verdict est correct dans le sien.

Exercice 35.6 ★★

Des pions chargés vivent Δt0=2.6×10−8 s\Delta t_0 = 2.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}. Un faisceau quitte un accélérateur à 0.99c0.99c. Calculer γ\gamma, la durée de vie dans le labo, la portée classique v Δt0v\,\Delta t_0, et la portée moyenne réelle.

Solution

Solution de Exercice 35.6.

γ=1/1−0.992=7.09\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.99^2} = 7.09 ; durée de vie labo 7.09×2.6×10−8=1.8×10−7 s7.09 \times 2.6 \times 10^{-8} = 1.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}. Portée classique 0.99×3.00×108×2.6×10−8≈7.7 m0.99 \times 3.00 \times 10^{8} \times 2.6 \times 10^{-8} \approx 7.7\,\mathrm{m} ; réelle 7.09×7.7≈55 m7.09 \times 7.7 \approx 55\,\mathrm{m}.

Exercice 35.7 ★★

Sur la courbe de γ\gamma, lire les vitesses donnant γ=1.5\gamma = 1.5 et γ=3\gamma = 3 (vérifier par le calcul). Que dit l’asymptote verticale en v=cv = c sur l’accélération d’un corps massif ?

Solution

Solution de Exercice 35.7.

γ=1.5\gamma = 1.5 à v=c1−1/2.25≈0.75cv = c\sqrt{1 - 1/2.25} \approx 0.75c ; γ=3\gamma = 3 à ≈0.94c\approx 0.94c. L’asymptote : γ\gamma (et le coût d’énergie d’une vitesse supplémentaire) diverge lorsque v→cv \to c — aucun effort fini n’amène un corps massif à la vitesse de la lumière.

Exercice 35.8 ★★

Une horloge à lumière a des miroirs distants de L=1.5 mL = 1.5\,\mathrm{m}. Calculer son tic au repos, puis son tic mesuré depuis le sol lorsqu’elle croise à 0.8c0.8c.

Solution

Solution de Exercice 35.8.

Δt0=2L/c=3.0/3.00×108=1.0×10−8 s\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s} ; à 0.8c0.8c, γ=5/3\gamma = 5/3, donc Δt=1.7×10−8 s\Delta t = 1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}.

Exercice 35.9 ★★

Qui mesure le temps propre entre : (a) deux tics d’une montre — le porteur, ou un passant ? (b) naissance et désintégration d’un muon — le muon, ou le labo ? (c) quitter la Terre et atteindre Mars — le pilote, ou le centre de mission ?

Solution

Solution de Exercice 35.9.

Le temps propre appartient à l’horloge présente aux deux événements : (a) le porteur ; (b) le muon ; (c) le pilote — seul le vaisseau est à la fois au départ et à l’arrivée.

Exercice 35.10 ★★

La station spatiale orbite à 7.7 km/s7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}. Calculer γ−1≈v2/2c2\gamma - 1 \approx v^2/2c^2, puis de combien l’horloge d’un astronaute retarde sur une horloge au sol après six mois (1.58×107 s1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s}).

Solution

Solution de Exercice 35.10.

γ−1≈77002/(2×9.0×1016)≈3.3×10−10\gamma - 1 \approx 7700^2/(2 \times 9.0 \times 10^{16}) \approx 3.3 \times 10^{-10} ; sur 1.58×107 s1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s} l’astronaute retarde de 3.3×10−10×1.58×107≈5.2×10−3 s3.3 \times 10^{-10} \times 1.58 \times 10^{7} \approx 5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} — environ cinq millisecondes plus jeune.

Exercice 35.11 ★★

Calculer le contenu d’énergie E=mc2E = mc^2 de 1.0 g1.0\,\mathrm{g} de matière. Le comparer à la production quotidienne d’une centrale de puissance de 1.0 GW1.0\,\mathrm{GW}, et à l’énergie cinétique de 8.5×105 J8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J} d’une voiture à 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}.

Solution

Solution de Exercice 35.11.

E=1.0×10−3×(3.00×108)2=9.0×1013 JE = 1.0 \times 10^{-3} \times (3.00 \times 10^{8})^2 = 9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J}. Une centrale de 1.0 GW1.0\,\mathrm{GW} livre 1.0×109×86400≈8.6×1013 J1.0 \times 10^{9} \times 86400 \approx 8.6 \times 10^{13}\,\mathrm{J} par jour — un gramme est une journée de sa production, et 9.0×1013/8.5×105≈1089.0 \times 10^{13}/8.5 \times 10^{5} \approx 10^{8} : cent millions de voitures en vitesse.

Exercice 35.12 ★★★

Montrer à partir de γ=1/1−v2/c2\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2} que v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2} ; en déduire la vitesse des muons à γ=30\gamma = 30, à cinq chiffres significatifs en unités de cc.

Solution

Solution de Exercice 35.12.

Carré et inversion : γ2(1−v2/c2)=1\gamma^2(1 - v^2/c^2) = 1, donc v2/c2=1−1/γ2v^2/c^2 = 1 - 1/\gamma^2, d’où v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}. Pour γ=30\gamma = 30 : v=c1−1/900=0.99944cv = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c.

Exercice 35.13 ★★★

Raconter le voyage du muon depuis son propre référentiel : quelle épaisseur a l’atmosphère à γ=30\gamma = 30, combien de temps la traverse-t-il à 0.99944c0.99944c, et cela tient-il dans une durée de vie propre ?

Solution

Solution de Exercice 35.13.

Épaisseur contractée L=15 km/30=500 mL = 15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m} ; temps de balayage 500/(0.99944×3.00×108)≈1.7×10−6 s<2.2 µs500/(0.99944 \times 3.00 \times 10^{8}) \approx 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{s} < 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}. Les deux référentiels s’accordent sur le fait que le muon atteint le sol — l’un blâme une durée de vie étirée, l’autre une atmosphère rétrécie.

Exercice 35.14 ★★★

Un accélérateur linéaire pousse des électrons à γ=1.0×105\gamma = 1.0 \times 10^{5} le long d’un tube de 3.2 km3.2\,\mathrm{km}. Combien dure le trajet dans le labo ? Combien dans le référentiel de l’électron, et quelle « longueur » a le tube là ?

Solution

Solution de Exercice 35.14.

Labo : 3200/3.00×108≈1.1×10−5 s3200/3.00 \times 10^{8} \approx 1.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{s} (vitesse ≈c\approx c). Référentiel de l’électron : tube contracté à 3200/1.0×105=3.2 cm3200/1.0 \times 10^{5} = 3.2\,\mathrm{cm}, traversé en 1.1×10−5/1.0×105≈1.1×10−10 s1.1 \times 10^{-5}/1.0 \times 10^{5} \approx 1.1 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}.

Exercice 35.15 ★★★

Proxima du Centaure se trouve à 4.24.2 années-lumière (une année-lumière est la distance que la lumière parcourt en un an). Une sonde y croise à 0.9c0.9c : combien dure le trajet sur le calendrier de la Terre, et sur l’horloge de la sonde ?

Solution

Solution de Exercice 35.15.

Terre : 4.2/0.9≈4.7 years4.2/0.9 \approx 4.7\,\mathrm{years}. Avec γ=1/1−0.81=2.29\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.81} = 2.29, l’horloge de la sonde enregistre 4.7/2.29≈2.0 years4.7/2.29 \approx 2.0\,\mathrm{years}.

35.7 Problème : Le muon et le jumeau

Problème 35.1

Problème du week-end — le voyage du muon et le jumeau de l’astronaute : une particule qui survit à son horloge, une horloge à lumière reconstruite, un voyageur plus jeune que son jumeau, et la comptabilité qui tient le GPS honnête

Données : durée de vie propre du muon Δt0=2.2 µs\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} ; muons nés à environ 15 km15\,\mathrm{km} de hauteur à près de cc ; flux au niveau de la mer d’environ un muon par cm2\mathrm{cm}^{2} par minute ; c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Partie I — L’arrivée impossible du muon.

  1. Sans relativité, quelle distance un muon parcourt-il en une durée de vie ?
  2. Combien de durées de vie la descente de 15 km15\,\mathrm{km} prend-elle alors ?
  3. Après nn durées de vie une fraction e−n\mathrm{e}^{-n} survit : l’estimer, confronter le flux mesuré, et passer verdict sur la physique classique en une phrase.
  4. Ces muons arrivent en fait avec γ≈30\gamma \approx 30. Calculer leur durée de vie mesurée depuis le sol et la portée qui en résulte.
  5. Calculer leur vitesse, en utilisant v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}, à cinq chiffres significatifs en unités de cc.

Partie II — L’horloge à lumière, reconstruite. Une horloge à lumière (L=1.5 mL = 1.5\,\mathrm{m}) voyage sur un vaisseau à v=0.6cv = 0.6c.

  1. Calculer le tic Δt0\Delta t_0 lu à bord.
  2. Vu du sol, un tic dure Δt\Delta t : donner l’avance horizontale par demi-tic, la montée verticale du photon, et — en nommant le postulat qui la fixe — la longueur du demi-chemin oblique.
  3. Appliquer Pythagore au triangle du demi-tic et résoudre pour Δt\Delta t, en montrant que Δt=γ Δt0\Delta t = \gamma\,\Delta t_0.
  4. Calculer γ\gamma et Δt\Delta t numériquement.
  5. Quel observateur mesure le temps propre entre deux tics ? Justifier à partir de la définition.

Partie III — Le voyageur et son jumeau. Une astronaute quitte son jumeau sur Terre pour un aller-retour à 0.8c0.8c ; les horloges terrestres chronométrent tout le voyage à 10.0 years10.0\,\mathrm{years}.

  1. Calculer γ\gamma à 0.8c0.8c (fraction exacte, puis décimal).
  2. Combien de temps s’écoule sur l’horloge de l’astronaute ?
  3. Quelle distance (référentiel Terre, en années-lumière) le demi-tour a-t-il atteint ?
  4. Quelle est la différence d’âge aux retrouvailles, et quel jumeau est le plus jeune ?
  5. « Mais le mouvement est relatif — l’astronaute pourrait prétendre que la Terre a voyagé ! » Résoudre l’objection en une phrase.

Partie IV — La facture GPS. Un satellite GPS orbite au rayon r=2.66×107 mr = 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m}, période T=12 hT = 12\,\mathrm{h}.

  1. Calculer sa vitesse orbitale v=2πr/Tv = 2\pi r/T.
  2. Calculer γ−1≈v2/2c2\gamma - 1 \approx v^2/2c^2.
  3. En déduire, en microsecondes, de combien l’horloge du satellite retarde sur les horloges au sol par jour (86 400 s86\,400\,\mathrm{s}).
  4. Si cette seule dérive n’était pas corrigée, les positions errent de c×c \times (dérive) : calculer l’erreur après un jour.
  5. La gravité, plus faible en altitude, fait tourner l’horloge vite de 45 µs45\,\text{µ}\mathrm{s} par jour (relativité générale) : calculer la dérive nette et l’erreur de position quotidienne en kilomètres — le nombre qui oblige les ingénieurs à désaccorder chaque horloge GPS.
Solution

Solution de Problème 35.1.

1. c Δt0=3.00×108×2.2×10−6≈660 mc\,\Delta t_0 = 3.00 \times 10^{8} \times 2.2 \times 10^{-6} \approx 660\,\mathrm{m}.

2. 15 000/660≈2315\,000/660 \approx 23 durées de vie.

3. e−23≈10−10\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10} : moins d’un muon sur dix milliards devrait arriver, pourtant le flux est d’un par cm2\mathrm{cm}^{2} par minute — la physique classique est platement contredite par le ciel.

4. Durée de vie au sol 30×2.2 µs=66 µs30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 66\,\text{µ}\mathrm{s} ; portée ≈3.00×108×6.6×10−5≈20 km>15 km\approx 3.00 \times 10^{8} \times 6.6 \times 10^{-5} \approx 20\,\mathrm{km} > 15\,\mathrm{km} : l’arrivée est expliquée.

5. v=c1−1/900=0.99944cv = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c.

6. Δt0=2L/c=3.0/3.00×108=1.0×10−8 s\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}.

7. Horizontal v Δt/2v\,\Delta t/2 ; vertical LL ; le demi-chemin oblique mesure c Δt/2c\,\Delta t/2 parce que le second postulat fixe la vitesse du photon à cc aussi dans le référentiel sol.

8. (c Δt/2)2=L2+(v Δt/2)2(c\,\Delta t/2)^2 = L^2 + (v\,\Delta t/2)^2 donne Δt2(c2−v2)=4L2\Delta t^2(c^2 - v^2) = 4L^2, donc Δt=(2L/c)/1−v2/c2=γ Δt0\Delta t = (2L/c)/\sqrt{1 - v^2/c^2} = \gamma\,\Delta t_0.

9. γ=1/1−0.36=1.25\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.36} = 1.25 ; Δt=1.25×10−8 s\Delta t = 1.25 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}.

10. Celle du vaisseau : son unique horloge est présente aux deux tics, donc elle lit le temps propre ; le sol a besoin de deux horloges synchronisées.

11. γ=1/1−0.64=1/0.6=5/3≈1.67\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.64} = 1/0.6 = 5/3 \approx 1.67.

12. 10.0/(5/3)=6.0 years10.0/(5/3) = 6.0\,\mathrm{years}.

13. Aller 5.0 years5.0\,\mathrm{years} à 0.8c0.8c : 4.04.0 années-lumière.

14. 10.0−6.0=4.0 years10.0 - 6.0 = 4.0\,\mathrm{years} : l’astronaute est quatre ans plus jeune que son jumeau.

15. La situation n’est pas symétrique : seule l’astronaute fait demi-tour — elle accélère et change de référentiel galiléen, tandis que le jumeau terrestre reste dans un seul — donc seule son horloge enregistre le temps le plus court.

16. v=2π×2.66×107/43 200≈3.9×103 m/sv = 2\pi \times 2.66 \times 10^{7}/43\,200 \approx 3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

17. γ−1≈(3.87×103)2/(2×9.0×1016)≈8.3×10−11\gamma - 1 \approx (3.87 \times 10^{3})^2/(2 \times 9.0 \times 10^{16}) \approx 8.3 \times 10^{-11}.

18. 8.3×10−11×86 400≈7.2×10−6 s=7.2 µs8.3 \times 10^{-11} \times 86\,400 \approx 7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{s} = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} par jour de retard.

19. c×7.2×10−6≈2.2 kmc \times 7.2 \times 10^{-6} \approx 2.2\,\mathrm{km} d’erreur de position par jour.

20. Dérive nette 45−7.2≈38 µs45 - 7.2 \approx 38\,\text{µ}\mathrm{s} par jour d’avance ; erreur c×38×10−6≈11 kmc \times 38 \times 10^{-6} \approx 11\,\mathrm{km} par jour — la facture relativiste que chaque horloge GPS paie d’avance, désaccordée au sol pour tic-tac juste en orbite.

Ici s’achève la physique de l’école — pas la physique. Dans les volumes universitaires, la mécanique revient armée du calcul différentiel ; l’électricité et le magnétisme se révèlent comme une seule structure dans laquelle la lumière, et la relativité elle-même, se cachait depuis le début ; le monde quantique, entrevu au chapitre précédent, devient une théorie opérationnelle de la matière. Chaque théorie sera tenue, comme la relativité, de rendre ce que vous savez maintenant comme cas limite. Emportez-le : c’est la part qui ne changera pas.