Physique du lycée · Grades 10–12

2Spectres de la lumière et le message de la lumière

Un faisceau de lumière stellaire est le seul échantillon d’une étoile que nous tiendrons jamais, et il s’avère généreux. Étaler le faisceau en son spectre — un prisme de verre le fait, un rideau de gouttes de pluie le fait — et la lumière devient un message : un fond d’arc-en-ciel continu annonce la température de l’étoile, et un code-barres de fines raies énonce, élément par élément, de quoi l’étoile est faite. Ce chapitre apprend à lire les deux parties du message — d’abord sur des lampes de laboratoire, puis sur le Soleil.

2.1 Lumière blanche et son spectre

Définition 2.1 (Décomposition de la lumière blanche)

Lorsqu’un faisceau étroit de lumière solaire traverse un prisme de verre, il en ressort étalé en une bande continue de couleurs, du rouge au violet. Cette bande est le spectre de la lumière. Une lumière qui contient toutes les couleurs visibles, comme la lumière du Soleil ou celle d’une ampoule ordinaire, s’appelle lumière blanche. Une lumière d’une seule couleur pure, qu’aucun prisme ne peut décomposer davantage, est monochromatique (un faisceau laser, par exemple) ; un mélange de plusieurs couleurs est polychromatique. Un instrument qui effectue la décomposition et lit la composition d’une lumière est un spectroscope.

Un prisme éventaille un faisceau de lumière blanche en son spectre ; sur un écran, l’éventail peint une bande d’arc-en-ciel continue.

Remarque 2.2 (Prismes et gouttes de pluie)

Le prisme fonctionne parce que le verre courbe la lumière violette un peu plus que la lumière rouge — pourquoi il le fait appartient à l’étude de la réfraction, au Chapitre 3 ; ici l’on n’utilise que l’effet. L’eau fait le même travail : chaque goutte d’une averse qui passe agit comme un petit prisme, recevant la lumière solaire blanche et la renvoyant triée par couleur. Un arc-en-ciel est le spectre du Soleil, dessiné dans le ciel.

Définition 2.3 (Longueur d’onde, carte d’identité d’un rayonnement)

Chaque rayonnement monochromatique est caractérisé par un nombre, sa longueur d’onde $\lambda$ , mesurée en nanomètres ( $1\,\mathrm{nm} = 10^{-9}\,\mathrm{m}$ ). La longueur d’onde est la carte d’identité du rayonnement : donner $\lambda$ , c’est tout dire de la couleur pure. L’œil répond aux longueurs d’onde entre environ $400\,\mathrm{nm}$ (violet) et $800\,\mathrm{nm}$ (rouge) — le spectre visible. Au-delà des deux extrémités le rayonnement continue, invisible pour nous : ultraviolet en dessous de $400\,\mathrm{nm}$ , infrarouge au-dessus de $800\,\mathrm{nm}$ . Ce que la longueur d’onde mesure réellement — la longueur d’une ondulation d’une onde lumineuse — est expliqué au Chapitre 8 ; dans ce chapitre, c’est le nombre lui-même qui compte.

Exemple 2.4 (Lire les longueurs d’onde)

Un pointeur laser vert émet à $532\,\mathrm{nm}$ : dans le visible, dans le vert. Une lampe germicide au mercure émet à $254\,\mathrm{nm}$ : ultraviolet, invisible (et dangereuse pour l’œil précisément parce qu’invisible). La diode d’une télécommande de télévision émet à $940\,\mathrm{nm}$ : infrarouge — pointez-la vers l’appareil photo d’un téléphone, dont le capteur voit un peu au-delà de $800\,\mathrm{nm}$ , et les flashs invisibles apparaissent à l’écran.

2.2 Spectres continus et température

Définition 2.5 (Spectre continu)

La matière dense et chaude — le filament d’une ampoule, l’acier en fusion, la surface d’une étoile — brille, et sa lumière contient toutes les longueurs d’onde sur un large intervalle : une bande de couleur ininterrompue, sans rien qui manque. Un tel spectre est un spectre continu. Il ne porte aucune trace de la nature chimique du corps : une barre de fer blanche et une barre de cuivre blanche brillent de la même façon. Ce qu’il encode — entièrement — c’est la température.

Définition 2.6 (Température absolue)

Pour les lois du rayonnement, la température absolue se compte non pas à partir du point de congélation de l’eau mais à partir de l’état le plus froid possible, $-273{}^{\circ}\mathrm{C}$ . L’unité est le kelvin (symbole $\mathrm{K}$ ), avec le même écart de degré :

T \text{ (en } \mathrm{K}) = \theta \text{ (en } {}^{\circ}\mathrm{C}) + 273 .

Ainsi une pièce à $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ est à $293\,\mathrm{K}$ , et la surface du Soleil, près de $5500{}^{\circ}\mathrm{C}$ , est près de $5800\,\mathrm{K}$ .

Proposition 2.7 (Plus chaud signifie plus brillant et plus bleu (loi de Wien))

Lorsque la température d’un corps dense lumineux s’élève,

il rayonne davantage à toute longueur d’onde : le spectre entier s’éclaircit ;
la longueur d’onde $\lambda_{\max}$ à laquelle il rayonne le plus fort glisse vers le côté des courtes longueurs d’onde (bleu), selon

$\lambda_{\max} \times T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K},$

où $T$ est la température absolue en kelvins.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 2.8 (D’où vient cette loi)

La loi de Wien résume des mesures soigneuses sur des fours et des filaments à la fin du dix-neuvième siècle. La dériver exige la théorie quantique du rayonnement — ce spectre est, en fait, précisément ce que la physique classique ne pouvait pas expliquer, et l’énigme qui força Planck à inventer le quantum. La dérivation honnête est menée dans le volume de 3^e année.

La bande visible d’un spectre continu à trois températures : plus la source est froide, plus la bande est sombre — et l’extrémité bleue s’éteint d’abord.

Exemple 2.9 (Prendre la température du Soleil)

Le spectre continu du Soleil est le plus intense près de $\lambda_{\max} = 500\,\mathrm{nm}$ . La loi de Wien donne sa température de surface :

T = \frac{2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}}{5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}} = 5800\,\mathrm{K},

environ $5500{}^{\circ}\mathrm{C}$ — mesurée à $150$ millions de kilomètres, avec un prisme et une division.

Intensité en fonction de la longueur d’onde pour deux étoiles : la plus chaude rayonne davantage à toute longueur d’onde, et son pic _ (en tirets) se situe à une longueur d’onde plus courte. — Intensité en fonction de la longueur d’onde pour deux étoiles : la plus chaude rayonne davantage à toute longueur d’onde, et son pic $\lambda_{\max}$ (en tirets) se situe à une longueur d’onde plus courte.

2.3 Spectres de raies des gaz excités

Définition 2.10 (Spectre d’émission de raies)

Un gaz à basse pression, excité par une décharge électrique (comme dans un tube au néon ou une lampe de rue au sodium), brille aussi — mais à travers un spectroscope sa lumière n’a rien d’un arc-en-ciel. Seules quelques longueurs d’onde isolées sont présentes : de fines raies brillantes sur fond noir, appelées raies spectrales. Un tel spectre est un spectre d’émission de raies.

Exemple 2.11 (Hydrogène et sodium)

L’hydrogène excité émet exactement quatre raies dans le visible : une raie rouge à $656\,\mathrm{nm}$ , une raie bleu-vert à $486\,\mathrm{nm}$ , et deux raies violettes à $434\,\mathrm{nm}$ et $410\,\mathrm{nm}$ . Le sodium excité émet essentiellement une forte raie jaune-orange à $589\,\mathrm{nm}$ — c’est pourquoi les anciennes lampes de rue baignent des quartiers entiers dans cette seule couleur : leur lumière ne contient presque rien d’autre.

Proposition 2.12 (L’empreinte digitale des éléments)

Chaque élément chimique émet son propre catalogue fixe de raies spectrales, le même dans tout laboratoire et à toute époque, et aucun élément ne partage le même catalogue. Un spectre de raies identifie donc l’élément émetteur, comme une empreinte digitale identifie une personne.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 2.13 (Pourquoi des raies ?)

Pourquoi un atome n’émet que certaines longueurs d’onde — et pourquoi ces longueurs d’onde trahissent l’élément — s’explique par la théorie quantique de l’atome, dans la dernière année de ce volume : chaque élément possède une échelle de niveaux d’énergie, et chaque raie marque un saut entre barreaux. Pour l’instant on utilise l’empreinte comme le font les détectives : sans demander aux doigts comment ils ont poussé.

2.4 Spectres d’absorption

Définition 2.14 (Spectre d’absorption)

Envoyer de la lumière blanche à travers un gaz froid à basse pression et disperser ce qui en sort : l’arc-en-ciel continu réapparaît, mais strié de fines raies sombres. Le gaz a retiré certaines longueurs d’onde de la lumière qui le traverse. Un tel spectre — un fond continu moins un ensemble de raies — est un spectre d’absorption.

Proposition 2.15 (Les raies d’émission et d’absorption coïncident)

Un gaz absorbe exactement les longueurs d’onde qu’il est capable d’émettre : les raies sombres du spectre d’absorption d’un élément siègent aux mêmes longueurs d’onde que les raies brillantes de son spectre d’émission. L’empreinte du Proposition 2.12 se lit donc dans le sombre aussi bien que dans le brillant.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 2.16 (Un mécanisme, deux signes)

La coïncidence n’est pas un accident : absorber à $\lambda$ gravit le même barreau d’énergie que descendre en émettant à $\lambda$ — les chapitres quantiques à la fin de ce volume le rendent précis. Établie par Kirchhoff et Bunsen en 1859, c’est la clé qui ouvre toute la section suivante.

Les deux spectres de l’hydrogène : raies d’émission brillantes (en haut) et raies d’absorption sombres (en bas) aux mêmes longueurs d’onde exactement, 410, 434, 486 et 656\, nm. — Les deux spectres de l’hydrogène : raies d’émission brillantes (en haut) et raies d’absorption sombres (en bas) aux mêmes longueurs d’onde exactement, $410$ , $434$ , $486$ et $656\,\mathrm{nm}$ .

Exemple 2.17 (Une fiole de vapeur de sodium)

De la lumière blanche traverse une fiole contenant de la vapeur de sodium froide. Le spectre transmis est un arc-en-ciel complet avec une raie sombre à $589\,\mathrm{nm}$ — précisément là où une lampe au sodium brille le plus fort. En regardant la fiole de côté dans une pièce sombre, on voit la lumière volée réémise : un faible éclat jaune-orange à cette même longueur d’onde.

2.5 Analyse spectrale : lire une étoile

Définition 2.18 (Analyse spectrale)

L’analyse spectrale est l’identification des éléments chimiques contenus dans une source (une flamme, une lampe, une étoile) en confrontant les raies de son spectre aux catalogues de laboratoire des éléments.

Méthode 2.19 (Lire un spectre stellaire)

Une étoile est une boule de matière dense et chaude (la surface) enveloppée d’une atmosphère plus mince et plus froide. Sa lumière arrive donc comme un spectre continu strié de raies d’absorption — et chaque partie se lit séparément :

Localiser le pic $\lambda_{\max}$ du fond continu ; la loi de Wien (Proposition 2.7) donne la température de surface $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / \lambda_{\max}$ .
Lister les longueurs d’onde des raies sombres.
Les confronter aux catalogues : un élément ne peut être déclaré présent que si toutes ses raies fortes apparaissent.
Conclure : l’absorption a lieu dans l’atmosphère de l’étoile, donc les éléments identifiés sont ceux de l’atmosphère.

Exemple 2.20 (La recette du Soleil)

Le spectre solaire porte des milliers de raies sombres, cartographiées par Fraunhofer en 1814. Parmi les plus fortes : $410$ , $434$ , $486$ et $656\,\mathrm{nm}$ — l’empreinte complète de l’hydrogène — ainsi que la raie du sodium à $589\,\mathrm{nm}$ et une paire de calcium à $393$ et $397\,\mathrm{nm}$ . L’atmosphère du Soleil contient surtout de l’hydrogène, plus des traces d’éléments familiers des roches terrestres. Les mesures modernes affinent le titre : le Soleil est environ aux trois quarts de l’hydrogène en masse.

Remarque 2.21 (L’élément trouvé d’abord dans le ciel)

Pendant l’éclipse de 1868, une raie brillante à $587.6\,\mathrm{nm}$ apparut dans le spectre de l’atmosphère du Soleil — ne correspondant à aucun élément connu. Par le Proposition 2.12, une empreinte inconnue signifie un élément inconnu, aussi en annonça-t-on un, nommé d’après le soleil grec, helios : l’hélium. Il fut enfin isolé sur Terre en 1895 — le seul élément chimique découvert dans l’espace avant d’être trouvé chez soi.

2.6 Exercices

Exercice 2.1 ★

Pour chaque rayonnement, dire s’il est ultraviolet, visible ou infrarouge, et donner sa couleur s’il est visible : $254\,\mathrm{nm}$ (lampe au mercure), $480\,\mathrm{nm}$ , $589\,\mathrm{nm}$ , $656\,\mathrm{nm}$ , $1064\,\mathrm{nm}$ (laser de découpe).

Solution

Solution de Exercice 2.1.

$254\,\mathrm{nm} < 400\,\mathrm{nm}$ : ultraviolet. $480\,\mathrm{nm}$ : visible, bleu. $589\,\mathrm{nm}$ : visible, jaune-orange. $656\,\mathrm{nm}$ : visible, rouge. $1064\,\mathrm{nm} > 800\,\mathrm{nm}$ : infrarouge — ce qui rend un laser de découpe doublement dangereux : puissant et invisible.

Exercice 2.2 ★

Un faisceau étroit de lumière solaire tombe sur un prisme de verre.

Décrire ce qui apparaît sur un écran placé derrière le prisme.
Quelle extrémité de la bande a été le plus déviée ?
La lumière solaire est remplacée par le faisceau d’un pointeur laser vert. Qu’apparaît-il maintenant sur l’écran, et que cela montre-t-il de la lumière laser ?

Solution

Solution de Exercice 2.2.

1. Une bande continue de couleurs, du rouge au violet : le spectre de la lumière solaire.

2. L’extrémité violette — le prisme dévie le plus les courtes longueurs d’onde.

3. Une seule tache verte : déviée, mais non étalée en bande. La lumière laser est monochromatique — une seule longueur d’onde, donc rien à trier.

Exercice 2.3 ★

Associer chaque source au type de spectre qu’elle produit (continu, émission de raies, ou absorption) : (a) le filament d’une ampoule à incandescence ; (b) un tube publicitaire au néon ; (c) du fer en fusion dans une fonderie ; (d) une lampe de rue au sodium ; (e) la lumière solaire reçue sur Terre.

Solution

Solution de Exercice 2.3.

(a) Continu (filament dense et chaud). (b) Émission de raies (gaz excité à basse pression). (c) Continu (métal dense en fusion). (d) Émission de raies (essentiellement la seule raie à $589\,\mathrm{nm}$ ). (e) Absorption : le spectre continu de la surface chaude, strié des raies sombres de l’atmosphère plus froide du Soleil.

Exercice 2.4 ★

À propos des arcs-en-ciel :

Qu’est-ce qui joue le rôle du prisme ?
Un arc-en-ciel n’est visible qu’avec le Soleil derrière l’observateur et la pluie devant. Que fournit chaque ingrédient ?
Expliquer pourquoi un arc-en-ciel prouve que la lumière solaire est de la lumière blanche.

Solution

Solution de Exercice 2.4.

1. Les gouttes de pluie : chacune reçoit la lumière solaire blanche, la décompose et la renvoie triée par couleur.

2. Le Soleil fournit la lumière blanche ; la pluie fournit des millions de petits prismes ; la géométrie ne fonctionne que pour la lumière renvoyée par les gouttes vers l’observateur, c’est pourquoi le Soleil doit être dans le dos de l’observateur et la pluie devant.

3. Les gouttes n’ajoutent aucune lumière de leur propre — elles ne font que trier ce qu’elles reçoivent. Si la lumière solaire triée affiche toutes les couleurs, alors toutes les couleurs étaient déjà contenues dans la lumière solaire : la lumière solaire est de la lumière blanche.

Exercice 2.5 ★

Un forgeron chauffe un clou de fer : il brille d’un rouge sombre, puis d’un orange vif, puis presque blanc.

Classer les trois stades par température.
Quels deux effets du Proposition 2.7 la séquence illustre-t-elle ?
Justifier l’expression « blanc de chaleur est plus chaud que rouge de chaleur ».

Solution

Solution de Exercice 2.5.

1. Rouge sombre $<$ orange vif $<$ presque blanc.

2. Les deux : la lueur devient plus brillante (effet 1), et sa couleur glisse du rouge vers le côté bleu (effet 2, le pic $\lambda_{\max}$ se rétrécissant), de sorte qu’une part de plus en plus grande de la bande visible est fortement éclairée — une bande complète se lit comme blanc.

3. Un corps qui brille blanc émet fortement sur toute la bande visible ; un corps qui brille rouge n’atteint que l’extrémité des longues longueurs d’onde. Par la loi de Wien le premier est le plus chaud.

Exercice 2.6 ★★

Le spectre continu du Soleil culmine à $\lambda_{\max} = 500\,\mathrm{nm}$ .

Calculer la température de surface du Soleil en kelvins.
La convertir en degrés Celsius.
Vérifier que le pic se trouve dans le visible, et indiquer sa couleur.

Solution

Solution de Exercice 2.6.

T = \frac{2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}}{5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}} = 5800\,\mathrm{K}.

2. $\theta = 5800 - 273 = 5527{}^{\circ}\mathrm{C} \approx 5500{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

3. $400\,\mathrm{nm} < 500\,\mathrm{nm} < 800\,\mathrm{nm}$ : le pic est visible, dans le vert.

Exercice 2.7 ★★

Une flamme de bougie brille à environ $1800\,\mathrm{K}$ ; une plaque électrique réglée sur « tiède » se trouve à environ $500\,\mathrm{K}$ .

Calculer $\lambda_{\max}$ pour chaque source, et indiquer son domaine.
La plaque est clairement chaude — une main tenue au-dessus sent le rayonnement — pourtant elle paraît noire. Expliquer.
Le pic de la bougie est aussi hors du visible. Pourquoi voyons-nous quand même la flamme ?

Solution

Solution de Exercice 2.7.

1. Bougie : $\lambda_{\max} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 1800\,\mathrm{K} = 1.61 \times 10^{-6}\,\mathrm{m} = 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ , dans l’infrarouge. Plaque : $\lambda_{\max} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 500\,\mathrm{K} = 5.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m} = 5.8\,\text{µ}\mathrm{m}$ , loin dans l’infrarouge.

2. À $500\,\mathrm{K}$ pratiquement tout le rayonnement est infrarouge : la peau l’absorbe et sent la chaleur, mais l’œil ne reçoit rien — chaud, pourtant noir.

3. Un spectre continu est large : même culminant à $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ , le spectre de la bougie garde une queue visible du côté rouge-jaune — faible, mais suffisante pour l’œil adapté à l’obscurité.

Exercice 2.8 ★★

Les catalogues de laboratoire donnent, dans le visible : hydrogène $\{410, 434, 486, 656\}\,\mathrm{nm}$ ; sodium $\{589\}\,\mathrm{nm}$ ; hélium $\{447, 502, 588, 668\}\,\mathrm{nm}$ . Deux lampes à décharge sont analysées. La lampe A montre des raies à $434$ , $486$ et $656\,\mathrm{nm}$ , plus une faible raie violette près du bord de la visibilité ; la lampe B montre une seule raie forte à $589\,\mathrm{nm}$ . Identifier le gaz dans chaque lampe, en justifiant soigneusement pourquoi la lampe B ne contient pas d’hélium.

Solution

Solution de Exercice 2.8.

Lampe A : les raies $434$ , $486$ , $656\,\mathrm{nm}$ correspondent à l’hydrogène, et la faible raie violette complète le catalogue à $410\,\mathrm{nm}$ : hydrogène.

Lampe B : la raie siège à $589\,\mathrm{nm}$ , seule raie visible forte du sodium. L’hélium est exclu non par la raie elle-même (l’hélium possède bien une raie voisine à $588\,\mathrm{nm}$ ) mais par celles qui manquent : l’hélium montrerait aussi $447$ , $502$ et $668\,\mathrm{nm}$ , et aucune n’apparaît. Un élément s’identifie par son catalogue complet : la lampe B contient du sodium.

Exercice 2.9 ★★

De la lumière blanche est envoyée à travers une fiole de vapeur de sodium froide.

Décrire le spectre de la lumière transmise.
À quelle longueur d’onde se trouve sa raie sombre, et pourquoi exactement là ?
La lampe est éteinte, la pièce assombrie, et la vapeur est maintenant excitée par une décharge. Décrire le nouveau spectre.

Solution

Solution de Exercice 2.9.

1. Un arc-en-ciel continu strié d’une fine raie sombre : le spectre d’absorption du sodium.

2. À $589\,\mathrm{nm}$ : un gaz absorbe exactement les longueurs d’onde qu’il est capable d’émettre (Proposition 2.15), et la raie visible forte du sodium est à $589\,\mathrm{nm}$ .

3. Le spectre d’émission du sodium : une seule raie brillante jaune-orange à $589\,\mathrm{nm}$ sur fond noir — la même longueur d’onde, les deux spectres échangeant brillant et sombre.

Exercice 2.10 ★★

Un spectre à haute résolution du Soleil montre des raies sombres à $410$ , $434$ , $486$ , $517$ , $518$ et $656\,\mathrm{nm}$ . Catalogues : hydrogène $\{410, 434, 486, 656\}\,\mathrm{nm}$ ; magnésium $\{517, 518\}\,\mathrm{nm}$ .

Quels éléments ces raies révèlent-elles ?
Dans quelle partie du Soleil les raies sont-elles produites, et pourquoi sont-elles sombres plutôt que brillantes ?

Solution

Solution de Exercice 2.10.

1. $410$ , $434$ , $486$ , $656\,\mathrm{nm}$ : le catalogue complet de l’hydrogène. $517$ et $518\,\mathrm{nm}$ : la paire du magnésium. Les deux éléments sont présents.

2. Dans l’atmosphère du Soleil, le gaz plus froid et plus mince au-dessus de la surface lumineuse. La surface envoie un spectre continu ; l’atmosphère retire ses propres longueurs d’onde de la lumière qui la traverse, donc les raies apparaissent comme de la lumière manquante — sombres contre le fond brillant.

Exercice 2.11 ★★

Votre corps a une température de surface d’environ $37{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Convertir en kelvins et calculer le $\lambda_{\max}$ de votre propre rayonnement thermique.
Dans quel domaine tombe-t-il ?
En déduire pourquoi personne ne brille visiblement dans une pièce sombre, et comment une caméra thermique trouve quand même les gens.

Solution

Solution de Exercice 2.11.

1. $T = 37 + 273 = 310\,\mathrm{K}$ , donc

\lambda_{\max} = \frac{2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}}{310\,\mathrm{K}} = 9.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{m} = 9.4\,\text{µ}\mathrm{m}.

2. Loin dans l’infrarouge — plus de dix fois la longueur d’onde de la lumière rouge.

3. À $310\,\mathrm{K}$ la part visible du rayonnement est totalement négligeable : aucune lueur visible, si sombre que soit la pièce. Une caméra thermique porte un capteur accordé sur le rayonnement réellement émis, autour de $9\,\text{µ}\mathrm{m}$ , et voit les corps chauds briller contre un environnement plus froid.

Exercice 2.12 ★★★

Le filament de tungstène d’une ampoule à incandescence tourne à $2700\,\mathrm{K}$ .

Calculer $\lambda_{\max}$ et indiquer son domaine.
Expliquer pourquoi de telles ampoules font de mauvaises lampes mais d’excellents petits radiateurs.
Quelle température de filament placerait $\lambda_{\max}$ à $550\,\mathrm{nm}$ , au milieu du visible ? Le tungstène fond à $3700\,\mathrm{K}$ ; conclure pourquoi aucune ampoule à filament ne peut imiter le jour, et pourquoi l’éclairage a basculé vers d’autres technologies.

Solution

Solution de Exercice 2.12.

1. $\lambda_{\max} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 2700\,\mathrm{K} = 1.07 \times 10^{-6}\,\mathrm{m} \approx 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ : proche infrarouge.

2. Le spectre culmine au-delà du visible : la plus grande partie de la puissance électrique revient en infrarouge invisible — c’est-à-dire en chaleur — et seule une faible queue visible éclaire la pièce. Comme lampe l’ampoule gaspille la plupart de sa puissance ; comme radiateur elle est presque parfaite.

3. $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 5.50 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 5300\,\mathrm{K}$ — bien au-dessus du point de fusion du tungstène de $3700\,\mathrm{K}$ . Aucun filament solide ne peut être poussé aux températures de la lumière du jour, donc les lampes de type « jour » ont dû abandonner complètement l’incandescence (tubes fluorescents, LED), produisant de la lumière visible sans chauffer un corps à $5300\,\mathrm{K}$ .

Exercice 2.13 ★★★

Le spectre d’une étoile montre un fond continu culminant à $420\,\mathrm{nm}$ , strié de raies sombres à $393$ , $397$ , $410$ , $434$ , $486$ et $656\,\mathrm{nm}$ . Catalogues : hydrogène $\{410, 434, 486, 656\}\,\mathrm{nm}$ ; calcium $\{393, 397\}\,\mathrm{nm}$ ; sodium $\{589\}\,\mathrm{nm}$ .

Calculer la température de surface de l’étoile. Est-elle plus chaude ou plus froide que le Soleil ?
Quels éléments son atmosphère contient-elle certainement ?
Le sodium est-il abondant dans cette atmosphère ? Justifier.

Solution

Solution de Exercice 2.13.

1. $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 4.20 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 6900\,\mathrm{K}$ : plus chaude que le Soleil à $5800\,\mathrm{K}$ .

2. Hydrogène (l’ensemble complet $410$ , $434$ , $486$ , $656\,\mathrm{nm}$ est présent) et calcium (les deux raies, $393$ et $397\,\mathrm{nm}$ ).

3. Non. La raie du sodium à $589\,\mathrm{nm}$ est absente, alors qu’un sodium abondant dans l’atmosphère l’imprimerait nécessairement sur le fond continu. Si le sodium est présent, ce n’est qu’en traces trop faibles pour être détectées.

Exercice 2.14 ★★★

Une lampe à décharge contient un mélange de deux gaz. Son spectre montre des raies à $410$ , $434$ , $447$ , $486$ , $502$ , $588$ , $656$ et $668\,\mathrm{nm}$ . En utilisant les catalogues de l’Exercice 2.8 :

Identifier les deux gaz.
Un camarade affirme que la raie à $588\,\mathrm{nm}$ prouve que la lampe contient aussi du sodium (raie à $589\,\mathrm{nm}$ ), puisqu’un spectroscope bon marché ne peut séparer des longueurs d’onde distantes de $1\,\mathrm{nm}$ . Sans meilleur instrument, pourquoi l’hélium suffit-il à expliquer cette raie — et quelle mesure trancherait définitivement la question du sodium ?

Solution

Solution de Exercice 2.14.

1. L’hydrogène explique $410$ , $434$ , $486$ et $656\,\mathrm{nm}$ ; l’hélium explique $447$ , $502$ , $588$ et $668\,\mathrm{nm}$ . Chaque raie observée est comptabilisée : le mélange est hydrogène et hélium.

2. L’hélium est une explication suffisante parce que ses trois autres raies ( $447$ , $502$ , $668\,\mathrm{nm}$ ) sont toutes présentes — la raie à $588\,\mathrm{nm}$ est alors attendue de l’hélium seul, et rien dans le spectre n’exige le sodium. Pour trancher il faut de la résolution, non de l’argument : un spectroscope plus fin sépare la raie unique de l’hélium à $587.6\,\mathrm{nm}$ de celle du sodium, qui est en fait une paire rapprochée à $589.0$ et $589.6\,\mathrm{nm}$ . Voir une seule raie là-bas absout le sodium ; en voir trois le confond.

Exercice 2.15 ★★★

Dans la constellation d’Orion, Bételgeuse brille visiblement rouge et Rigel bleu-blanc. Leurs spectres continus culminant à environ $850\,\mathrm{nm}$ et $240\,\mathrm{nm}$ respectivement.

Calculer les deux températures de surface.
Retrouver le rapport des deux températures directement à partir des deux longueurs d’onde, sans recalculer aucune température.
Expliquer les deux couleurs, sachant qu’aucun des pics ne se trouve dans le visible.
Les deux étoiles sont brillantes à l’œil nu. Pourquoi un pic hors du visible ne rend-il pas une étoile invisible ?

Solution

Solution de Exercice 2.15.

1. Bételgeuse : $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 8.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 3400\,\mathrm{K}$ . Rigel : $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 2.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 12\,000\,\mathrm{K}$ .

2. Comme $\lambda_{\max} \times T$ est la même constante pour les deux, $\dfrac{T_{\text{Rigel}}}{T_{\text{Betelgeuse}}} = \dfrac{850\,\mathrm{nm}}{240\,\mathrm{nm}} \approx 3.5$ .

3. Bételgeuse culmine dans l’infrarouge : dans la bande visible son spectre est le plus fort à l’extrémité rouge, donc l’étoile paraît rouge. Rigel culmine dans l’ultraviolet : sa bande visible est la plus forte à l’extrémité bleue, d’où le bleu-blanc.

4. Un spectre continu couvre un énorme intervalle de longueurs d’onde. Même avec son pic hors de la bande visible, une étoile verse abondamment de lumière dans cette bande — le pic décide de la teinte, non de la visibilité.

2.7 Problème : Lire la lumière des étoiles

Problème 2.1

Problème du week-end — lire la lumière des étoiles : le philosophe qui disait « jamais », et comment un prisme prend la température d’une étoile et lit sa recette chimique

En 1835 le philosophe Auguste Comte avait besoin d’un exemple de connaissance à jamais hors de portée humaine, et le choisit avec soin : la composition chimique des étoiles. Personne ne mettrait jamais une étoile en bouteille. En 1859 Kirchhoff et Bunsen confrontèrent les raies sombres du Soleil aux raies brillantes des flammes de laboratoire, et la connaissance inatteignable arriva par retour de lumière. Ce problème retrace tout le chemin : empreintes de laboratoire, corps lumineux, raies sombres du Soleil — et enfin une étoile dont vous déterminerez température et composition depuis votre bureau.

Partie I — Empreintes au dossier.

Donner l’intervalle visible des longueurs d’onde en nanomètres et la couleur à chaque extrémité. Où se trouve $550\,\mathrm{nm}$ ?
Une lampe à décharge d’hydrogène montre des raies à $410$ , $434$ , $486$ et $656\,\mathrm{nm}$ . Donner la couleur de chaque raie.
Une lampe au sodium émet essentiellement une raie à $589\,\mathrm{nm}$ . À quoi ressemble la lampe pour l’œil, et pourquoi est-il vain de juger la couleur d’une voiture garée sous un tel lampadaire ?
Expliquer pourquoi un ensemble de raies spectrales identifie un élément — et pourquoi toutes les raies fortes d’un élément doivent être trouvées avant de le déclarer présent.
Prédire le spectre vu (a) lorsque de la lumière blanche traverse une fiole de vapeur de sodium froide, et (b) lorsque la même vapeur, seule dans une pièce sombre, est excitée par une décharge.

Partie II — Corps chauds et leurs couleurs.

Énoncer les deux effets d’une élévation de température d’un corps dense lumineux sur son spectre continu.
Un filament halogène tourne à $3400\,\mathrm{K}$ . Calculer $\lambda_{\max}$ et indiquer son domaine.
Le spectre continu du Soleil culmine à $500\,\mathrm{nm}$ . Calculer sa température de surface.
Ce pic se trouve dans le vert — pourtant le Soleil ne paraît pas vert. Expliquer.
Un tison laissé dans la forge est d’abord senti à distance sans être vu briller, puis brille d’un rouge sombre, puis orange-blanc. Expliquer toute la séquence avec la question 6.

Partie III — Les raies sombres du Soleil.

Le spectre solaire est une bande continue traversée de milliers de fines raies sombres. Quelle partie du Soleil produit le fond continu, et quelle partie produit les raies ?
De fortes raies solaires se trouvent à $393$ , $397$ , $410$ , $434$ , $486$ , $589$ et $656\,\mathrm{nm}$ . Catalogues : hydrogène $\{410, 434, 486, 656\}\,\mathrm{nm}$ ; sodium $\{589\}\,\mathrm{nm}$ ; calcium $\{393, 397\}\,\mathrm{nm}$ . Quels éléments sont présents dans l’atmosphère du Soleil ?
Les raies de l’hydrogène sont de loin les plus fortes. Que cela suggère-t-il de la composition du Soleil — et que disent les mesures modernes ?
En 1868, une raie à $587.6\,\mathrm{nm}$ observée dans l’atmosphère du Soleil ne correspondait à aucun catalogue. Reconstituer le raisonnement qui justifia d’annoncer un nouvel élément, et dire comment l’histoire se termina.
Pourquoi les raies solaires sont-elles sombres, alors que les mêmes atomes dans une décharge de laboratoire donnent des raies brillantes ? Pendant une éclipse totale, pendant quelques secondes, seule la mince atmosphère du Soleil reste visible contre un ciel sombre — et les mêmes raies flambent brillantes. Expliquer.

Partie IV — Une étoile sur le bureau. Le spectre de l’étoile brillante Véga est placé devant vous : un fond continu culminant à $290\,\mathrm{nm}$ , strié de fortes raies sombres à $410$ , $434$ , $486$ et $656\,\mathrm{nm}$ .

Calculer la température de surface de Véga.
Le pic se trouve dans l’ultraviolet. Prédire la couleur apparente de l’étoile, et concilier « pic hors du visible » avec « étoile brillante ».
Identifier l’élément qui domine l’atmosphère de Véga.
Comparer Véga au Soleil : rapport des températures, couleur, et brillance par unité de surface rayonnante.
Final — remplir la fiche d’identité que Comte déclarait impossible : température, élément dominant, couleur apparente de Véga, le tout lu dans un seul faisceau de lumière. Combien d’années le « jamais » a-t-il duré ?

Solution

Solution de Problème 2.1.

1. D’environ $400\,\mathrm{nm}$ (extrémité violette) à environ $800\,\mathrm{nm}$ (extrémité rouge) ; $550\,\mathrm{nm}$ se trouve près du milieu, dans le vert.

2. $410\,\mathrm{nm}$ : violet ; $434\,\mathrm{nm}$ : violet-bleu ; $486\,\mathrm{nm}$ : bleu-vert ; $656\,\mathrm{nm}$ : rouge.

3. Une lueur monochromatique jaune-orange. La couleur d’une voiture est le mélange des longueurs d’onde que sa peinture réfléchit ; sous une lampe n’offrant que $589\,\mathrm{nm}$ , chaque peinture ne peut que réfléchir plus ou moins de cette seule longueur d’onde — toutes les voitures apparaissent en nuances d’orange et de gris.

4. Chaque élément émet un catalogue fixe de raies, et aucun élément ne partage le même catalogue (Proposition 2.12) : un ensemble complet de raies identifie donc l’élément comme une empreinte digitale. Mais une correspondance partielle prouve peu — des éléments distincts peuvent posséder des raies isolées quasi coïncidentes (hélium à $588\,\mathrm{nm}$ , sodium à $589\,\mathrm{nm}$ ) — donc la prétention de présence exige toutes les raies fortes du catalogue.

5. (a) Un arc-en-ciel continu avec une raie sombre à $589\,\mathrm{nm}$ : le spectre d’absorption. (b) Une seule raie brillante à $589\,\mathrm{nm}$ sur fond noir : le spectre d’émission — même longueur d’onde, brillant et sombre échangés (Proposition 2.15).

6. Le spectre s’éclaircit à toute longueur d’onde, et son pic $\lambda_{\max}$ se déplace vers les courtes longueurs d’onde, suivant $\lambda_{\max} \times T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ (Proposition 2.7).

7. $\lambda_{\max} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 3400\,\mathrm{K} = 8.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 850\,\mathrm{nm}$ : proche infrarouge, juste après le bord rouge — c’est pourquoi la lumière halogène est plus chaude de ton que la lumière du jour.

8. $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 5800\,\mathrm{K}$ .

9. Le pic est doux, non un pic aigu : le Soleil émet toute la bande visible avec une force comparable. Une bande complète de couleurs mélangées se lit comme blanc — le Soleil paraît blanc (jaunâtre à travers notre atmosphère), jamais vert.

10. Tison froid : pic profond dans l’infrarouge, aucune queue visible — le rayonnement se sent, rien ne se voit. Plus chaud : le spectre qui s’éclaircit pousse une première queue visible au-delà de $800\,\mathrm{nm}$ — l’extrémité rouge s’allume seule : rouge sombre. Plus chaud encore : toute la bande visible se remplit tandis que tout s’éclaircit : orange, puis vers le blanc.

11. Le fond continu vient de la surface dense et chaude qui brille ; les raies sombres sont imprimées par l’atmosphère plus froide et plus mince au-dessus, qui absorbe ses propres longueurs d’onde dans la lumière qui la traverse.

12. Hydrogène ( $410$ , $434$ , $486$ , $656\,\mathrm{nm}$ : complet), sodium ( $589\,\mathrm{nm}$ ) et calcium ( $393$ et $397\,\mathrm{nm}$ : les deux) — les trois sont présents dans l’atmosphère du Soleil.

13. Que l’atmosphère est dominée par l’hydrogène. Les mesures modernes s’accordent et quantifient : le Soleil est environ aux trois quarts de l’hydrogène en masse, le reste étant surtout de l’hélium.

14. La raie ne correspondait à aucun élément connu ; comme le catalogue de chaque élément est fixe et unique, une raie n’appartenant à aucun catalogue doit appartenir à un élément jamais encore vu en laboratoire. Un nouvel élément fut annoncé et nommé hélium, d’après helios, le Soleil. Il fut isolé sur Terre en 1895 — la prédiction confirmée, vingt-sept ans plus tard.

15. Vue contre le fond continu éclatant, l’atmosphère retire de la lumière à ses propres longueurs d’onde : raies sombres. Pendant l’éclipse la Lune bloque le fond ; la mince atmosphère se dresse alors seule contre un ciel sombre et sa lumière réémise est tout ce qu’il y a à voir : les mêmes longueurs d’onde, maintenant brillantes. Un gaz, un catalogue — le signe dépend de ce qui se tient derrière.

16. $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 2.90 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 10\,000\,\mathrm{K}$ .

17. Bleu-blanc : dans la bande visible le spectre est le plus fort à l’extrémité bleue. Et pas d’invisibilité : le spectre continu inonde toute la bande visible sur le chemin du pic ultraviolet — le pic fixe la teinte, non la brillance.

18. Les raies sombres $410$ , $434$ , $486$ , $656\,\mathrm{nm}$ sont l’empreinte complète de l’hydrogène : l’hydrogène domine l’atmosphère de Véga.

19. $T_{\text{Vega}} / T_{\text{Sun}} = 10000 / 5800 \approx 1.7$ : Véga est plus chaude, donc plus bleue (pic à $290\,\mathrm{nm}$ contre $500\,\mathrm{nm}$ ) et, par la première partie du Proposition 2.7, plus brillante par unité de surface rayonnante à toute longueur d’onde.

20. Fiche d’identité de Véga — température de surface : environ $10\,000\,\mathrm{K}$ ; élément dominant de l’atmosphère : hydrogène ; couleur apparente : bleu-blanc. Le tout lu dans un seul faisceau de lumière, avec un prisme, un catalogue de raies de laboratoire et une division. Le « jamais » de Comte fut émis en 1835 et expira en 1859 : il dura vingt-quatre ans.