Physique du lycée · Grades 10–12

3Réfraction de la lumière

Plongez une paille dans un verre d’eau : elle paraît cassée à la surface. Les piscines sont toujours plus profondes qu’elles n’en ont l’air, les diamants jettent un feu coloré depuis une pierre incolore, et la phrase que vous lisez a probablement traversé un océan dans un fil de verre plus fin qu’un cheveu. Une seule loi explique les quatre — une égalité entre deux sinus, trouvée par Snell en 1621 après quinze siècles de physiciens contemplant des tables d’angles sans voir le motif.

3.1 Réflexion : un rappel

Dans un milieu transparent homogène, la lumière se propage en ligne droite — les rayons du Chapitre 2. À la frontière entre deux milieux, une partie de la lumière rebondit (réflexion) et une partie passe (réfraction). Les deux obéissent à des lois géométriques exactes, énoncées avec une convention : les angles se mesurent depuis la normale, jamais depuis la surface.

Définition 3.1 (Normale et angle d’incidence)

Au point où un rayon rencontre une surface, la normale est la droite perpendiculaire à la surface en ce point. L’angle d’incidence $i_1$ est l’angle entre le rayon incident et la normale ; les angles de réflexion et de réfraction se mesurent depuis la normale de la même façon.

Proposition 3.2 (Loi de la réflexion)

Le rayon réfléchi se trouve dans le plan contenant le rayon incident et la normale, de l’autre côté de la normale, et l’angle de réflexion égale l’angle d’incidence :

i_1' = i_1 .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Exemple 3.3 (Lire correctement les angles)

Un faisceau laser frappe un miroir « à $35^\circ$ » — mesuré depuis la surface du miroir, comme on décrit souvent les faisceaux. L’angle d’incidence est $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ , donc le rayon réfléchi part aussi à $55^\circ$ de la normale, et le faisceau tourne de $180^\circ - 2 \times 55^\circ = 70^\circ$ . Oublier la convention de la normale est l’erreur la plus courante de ce chapitre ; elle coûte $90^\circ$ à chaque fois.

3.2 Réfraction et indice de réfraction

Tenez un crayon dans un verre à moitié rempli : il paraît cassé à la surface. La lumière de la partie immergée change de direction en quittant l’eau, donc l’œil — qui suppose des rayons droits — reconstruit la pointe quelque part où elle n’est pas.

Définition 3.4 (Réfraction)

La réfraction est le changement de direction de la lumière lorsqu’elle traverse la frontière entre deux milieux transparents. Le rayon dans le second milieu est le rayon réfracté, et son angle depuis la normale est l’angle de réfraction $i_2$ .

La réfraction se produit parce que la lumière a des vitesses différentes dans des milieux différents ; chaque matériau se caractérise par le ralentissement qu’il impose à la lumière.

Définition 3.5 (Indice de réfraction)

L’indice de réfraction d’un milieu transparent est le rapport

n = \frac{c}{v},

où $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ est la vitesse de la lumière dans le vide et $v$ sa vitesse dans le milieu. Comme $v \leq c$ , l’indice satisfait $n \geq 1$ ; il n’a pas d’unité. Quelques valeurs utiles :

milieu	air	eau	plexiglas	verre	diamant
$n$	$1.0003$	$1.33$	$1.49$	$1.50$	$2.42$

Exemple 3.6 (Vitesse de la lumière dans l’eau)

Dans l’eau, $v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{1.33} = 2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Dans le diamant, la lumière rampe à $3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/2.42 = 1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — moins de la moitié de sa vitesse dans le vide. Pour l’air, $n = 1.0003$ change la vitesse de $0.03\%$ : dans ce chapitre on traite l’air comme le vide et on prend $n_{\text{air}} = 1.00$ .

Théorème 3.7 (Loi de Snell–Descartes de la réfraction)

Le rayon réfracté se trouve dans le plan du rayon incident et de la normale, de l’autre côté de la normale, et les angles d’incidence et de réfraction satisfont

n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2 ,

où $n_1$ et $n_2$ sont les indices de réfraction des deux milieux. Le trajet est réversible : la lumière voyageant en sens inverse le long du rayon réfracté sort le long du rayon incident.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 3.8

Les lois de la réflexion et de la réfraction sont énoncées ici comme faits expérimentaux. Elles sont dérivées honnêtement dans le volume de 1^re année, où la lumière est traitée comme une onde : les deux lois — et la formule $n = c/v$ elle-même — suivent alors du ralentissement de l’onde dans le milieu plus dense.

Rayons incident (bleu), réfléchi (gris) et réfracté (rouge). Tous les angles se mesurent depuis la normale (en tirets) ; en entrant dans le milieu plus dense (n_2 > n_1), le rayon se courbe vers la normale. — Rayons incident (bleu), réfléchi (gris) et réfracté (rouge). Tous les angles se mesurent depuis la normale (en tirets) ; en entrant dans le milieu plus dense ( $n_2 > n_1$ ), le rayon se courbe *vers* la normale.

Exemple 3.9 (De l’air à l’eau)

Un rayon frappe un étang calme à $i_1 = 30^\circ$ . Avec $n_1 = 1.00$ et $n_2 = 1.33$ :

\sin i_2 = \frac{n_1 \sin i_1}{n_2} = \frac{\sin 30^\circ}{1.33} = \frac{0.500}{1.33} = 0.376, \qquad i_2 = 22.1^\circ .

Le rayon se courbe vers la normale, comme toujours lorsqu’il entre dans un milieu plus lent ( $n_2 > n_1$ ). En quittant l’eau, le même calcul se fait à l’envers et le rayon s’écarte de la normale.

Méthode 3.10 (Résoudre un problème de réfraction)

Dessiner la surface, la normale et le rayon ; identifier $n_1$ (milieu du rayon incident) et $n_2$ .
Vérifier que les angles donnés sont mesurés depuis la normale ; convertir s’ils le sont depuis la surface.
Écrire $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$ et isoler le sinus inconnu ; obtenir l’angle avec le sinus inverse de la calculatrice, comme dans le volume de mathématiques.
Contrôle de vraisemblance : le rayon se courbe vers la normale si $n_2 > n_1$ , s’en écarte si $n_2 < n_1$ , et $\sin i_2$ doit sortir entre $0$ et $1$ .

L’expérience derrière la loi tient sur un bureau : un demi-disque de plexiglas, un rapporteur, un laser. Les paires d’angles brutes $(i_1, i_2)$ paraissent irrégulières — Ptolémée les a tabulées vers l’an 150 et a conclu à tort que $i_2$ était proportionnel à $i_1$ . Tracer le sinus contre le sinus, et les données s’alignent en une droite passant par l’origine de pente $n_1/n_2$ : cette droite est la loi de Snell–Descartes.

Mesures air–eau pour i_1 = 10 à 70 : sinus contre sinus, les données s’alignent sur une droite passant par l’origine de pente 1/1.33. — Mesures air–eau pour $i_1 = 10^\circ$ à $70^\circ$ : sinus contre sinus, les données s’alignent sur une droite passant par l’origine de pente $1/1.33$ .

Proposition 3.11 (Profondeur apparente)

Un objet à la profondeur $d$ sous l’eau, vu d’en haut sous de petits angles, paraît se trouver à la profondeur apparente

d' = \frac{d}{n} ,

où $n$ est l’indice de l’eau. Une piscine de profondeur $1.20\,\mathrm{m}$ ne paraît profonde que de $1.20/1.33 = 0.90\,\mathrm{m}$ — cause classique de plongeons imprudents.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 3.12

La formule suit de la loi de Snell–Descartes appliquée aux rayons presque verticaux qui atteignent l’œil ; la dérivation est faite dans le volume de 1^re année. Le sens de l’effet n’a besoin d’aucune formule : les rayons quittant l’eau s’écartent de la normale, donc l’œil les prolonge en arrière vers un point plus haut que l’objet.

3.3 Dispersion : une loi par couleur

Un prisme transforme la lumière solaire blanche en arc-en-ciel, comme les spectres du Chapitre 2 l’ont montré. La réfraction explique pourquoi : l’indice de réfraction d’un milieu n’est pas tout à fait le même pour chaque couleur.

Définition 3.13 (Dispersion)

Un milieu est dispersif lorsque son indice de réfraction dépend de la longueur d’onde de la lumière. Dans le verre et l’eau, $n$ est légèrement plus grand pour la lumière bleue (courte longueur d’onde) que pour la lumière rouge (longue longueur d’onde) — donc le bleu se courbe davantage.

Exemple 3.14 (Deux couleurs, une surface)

Un faisceau de lumière blanche frappe du crown glass à $i_1 = 60^\circ$ . Pour ce verre $n_{\text{red}} = 1.51$ et $n_{\text{blue}} = 1.53$ . La loi de Snell–Descartes, une fois par couleur :

\sin i_{\text{red}} = \frac{\sin 60^\circ}{1.51} = 0.574, \quad i_{\text{red}} = 35.0^\circ ; \qquad \sin i_{\text{blue}} = \frac{\sin 60^\circ}{1.53} = 0.566, \quad i_{\text{blue}} = 34.5^\circ .

Une seule surface sépare la lumière blanche d’un demi-degré — invisible sur une vitre, mais un prisme réfracte deux fois dans le même sens de rotation, élargit l’éventail, et à quelques mètres les couleurs sont séparées de centimètres.

Remarque 3.15

L’arc-en-ciel est le même calcul mené à l’intérieur d’une goutte de pluie : la lumière solaire se réfracte en entrant dans la goutte, se réfléchit sur sa paroi arrière, et se réfracte à nouveau en sortant. L’indice de l’eau va de $1.331$ (rouge) à $1.343$ (bleu), donc chaque couleur sort sous son propre angle — et aucun observateur ne voit le même arc-en-ciel.

3.4 Réflexion totale interne

La loi de Snell–Descartes contient un piège. En allant de l’eau vers l’air, le rayon réfracté s’écarte de la normale : $\sin i_2 = 1.33 \sin i_1 > \sin i_1$ . Augmentez $i_1$ , et la formule exige bientôt $\sin i_2 > 1$ , qu’aucun angle ne peut livrer. La réfraction cesse alors purement et simplement.

Définition 3.16 (Angle critique et réflexion totale interne)

Soit de la lumière voyageant dans un milieu d’indice $n_1$ vers un milieu d’indice plus petit $n_2 < n_1$ . L’angle critique $i_c$ est l’angle d’incidence pour lequel le rayon réfracté rase la surface ( $i_2 = 90^\circ$ ). Pour $i_1 > i_c$ aucun rayon réfracté n’existe : la surface réfléchit toute la lumière dans le premier milieu, suivant la loi de la réflexion. C’est la réflexion totale interne.

Proposition 3.17 (Formule de l’angle critique)

Pour $n_1 > n_2$ ,

\sin i_c = \frac{n_2}{n_1} .

Démonstration. Poser $i_2 = 90^\circ$ dans la loi de Snell–Descartes : $n_1 \sin i_c = n_2 \sin 90^\circ = n_2$ . Pour $i_1 > i_c$ , la loi de Snell–Descartes exigerait $\sin i_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin i_1 > 1$ : aucune direction réfractée n’existe. (Que la lumière soit alors entièrement réfléchie — non absorbée — est un fait expérimental, confirmé par la théorie ondulatoire du volume de 1^re année.) ∎

De l’eau vers l’air, à incidence croissante : réfraction en s’écartant de la normale, puis un rayon réfracté rasant la surface à l’angle critique, puis réflexion totale interne — la surface est devenue un miroir parfait.

Exemple 3.18 (Trois angles critiques)

Vers l’air : pour l’eau, $\sin i_c = 1/1.33 = 0.752$ , donc $i_c = 48.8^\circ$ ; pour le verre, $\sin i_c = 1/1.50$ , donc $i_c = 41.8^\circ$ ; pour le diamant, $\sin i_c = 1/2.42 = 0.413$ , donc $i_c = 24.4^\circ$ . Plus l’indice est élevé, plus le cône d’échappement est étroit : dans le diamant, tout rayon à plus de $24.4^\circ$ de la normale d’une facette est piégé — le secret de son éclat, disséqué dans le Problème 3.1.

3.5 Fibres optiques

La réflexion totale interne transforme un fil de verre en tuyau pour la lumière : un rayon entrant presque parallèle à l’axe frappe la paroi bien au-delà de l’angle critique, se réfléchit sans perte, et le fait des millions de fois par kilomètre sans fuir.

Définition 3.19 (Fibre optique)

Une fibre optique est un fil de verre mince fait d’un cœur d’indice $n_1$ enveloppé d’une gaine d’indice légèrement plus petit $n_2 < n_1$ . La lumière injectée à une extrémité voyage le long du cœur par réflexion totale interne répétée sur la frontière cœur–gaine.

Lumière guidée le long du cœur d’une fibre par réflexion totale interne (angles de rebond fortement exagérés : les vrais rayons rasent la paroi à plus de 80 de la normale). — Lumière guidée le long du cœur d’une fibre par réflexion totale interne (angles de rebond fortement exagérés : les vrais rayons rasent la paroi à plus de $80^\circ$ de la normale).

Exemple 3.20 (Une fibre en chiffres)

Avec $n_1 = 1.48$ et $n_2 = 1.46$ ,

\sin i_c = \frac{1.46}{1.48} = 0.986, \qquad i_c = 80.6^\circ :

seuls les rayons à environ $9^\circ$ de l’axe sont guidés — ce qui convient parfaitement, puisque c’est exactement ainsi que la lumière laser est injectée. Dans le cœur la lumière voyage à $v = c/1.48 = 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : une impulsion traverse une fibre de $100\,\mathrm{km}$ en environ une demi-milliseconde.

Remarque 3.21 (Ordre de grandeur des liaisons de données)

Les câbles sous-marins — faisceaux de quelques dizaines de fibres sur le fond de l’océan — portent presque tout le trafic intercontinental. Une seule fibre moderne transporte de l’ordre de $10^{13}$ bits par seconde en envoyant de nombreuses longueurs d’onde à la fois ; un câble entier atteint $10^{14}$ bits par seconde, avec un amplificateur tous les $80\,\mathrm{km}$ environ. Les satellites, pour comparaison, gèrent une petite fraction d’un pourcent du trafic.

3.6 Exercices

Exercice 3.1 ★

Un faisceau laser frappe un miroir plan à $25^\circ$ depuis la surface du miroir. Donner l’angle d’incidence, l’angle de réflexion, et l’angle entre les faisceaux incident et réfléchi.

Solution

Solution de Exercice 3.1.

Les angles se mesurent depuis la normale : l’angle d’incidence est $90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$ , donc l’angle de réflexion est aussi $65^\circ$ . Les faisceaux incident et réfléchi font un angle de $2 \times 65^\circ = 130^\circ$ l’un avec l’autre.

Exercice 3.2 ★

Calculer la vitesse de la lumière dans l’eau ( $n = 1.33$ ) et dans le diamant ( $n = 2.42$ ).
Dans un certain solide, la lumière voyage à $1.97 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calculer son indice de réfraction et identifier le matériau.

Solution

Solution de Exercice 3.2.

1. $v = c/n$ : dans l’eau $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.33 = 2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; dans le diamant $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/2.42 = 1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. $n = \dfrac{c}{v} = \dfrac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} {1.97 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} = 1.52$ : verre.

Exercice 3.3 ★

Un rayon dans l’air frappe un bloc de verre ( $n = 1.50$ ) à $i_1 = 40^\circ$ . Calculer l’angle de réfraction. Sous quel angle un rayon voyageant à l’intérieur du verre devrait-il frapper la surface pour sortir dans l’air à $40^\circ$ ?

Solution

Solution de Exercice 3.3.

$\sin i_2 = \dfrac{\sin 40^\circ}{1.50} = \dfrac{0.643}{1.50} = 0.429$ , donc $i_2 = 25.4^\circ$ . Par réversibilité des trajets lumineux, un rayon à l’intérieur du verre frappant la surface à $25.4^\circ$ sort dans l’air exactement à $40^\circ$ .

Exercice 3.4 ★

La lumière du Soleil atteint la surface d’un lac à $55^\circ$ de la verticale. Calculer l’angle du rayon réfracté, et indiquer si le rayon se courbe vers ou en s’écartant de la normale — avec la raison en un mot.

Solution

Solution de Exercice 3.4.

$\sin i_2 = \dfrac{\sin 55^\circ}{1.33} = \dfrac{0.819}{1.33} = 0.616$ , donc $i_2 = 38.0^\circ$ . Le rayon se courbe vers la normale, parce que l’eau est le milieu plus lent ( $n_2 > n_1$ ).

Exercice 3.5 ★

Pour identifier un liquide transparent, un rayon est envoyé sur sa surface à $i_1 = 45^\circ$ ; le rayon réfracté est mesuré à $i_2 = 32^\circ$ . Calculer l’indice de réfraction et identifier le liquide d’après le tableau de la Définition 3.5.

Solution

Solution de Exercice 3.5.

$n = \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 32^\circ} = \dfrac{0.707}{0.530} = 1.33$ : le liquide est de l’eau.

Exercice 3.6 ★★

Un demi-disque d’un plastique transparent donne les mesures suivantes :

$i_1$	$20^\circ$	$30^\circ$	$40^\circ$	$50^\circ$	$60^\circ$
$i_2$	$13.5^\circ$	$19.5^\circ$	$25.5^\circ$	$31.0^\circ$	$35.5^\circ$

Calculer $\dfrac{\sin i_1}{\sin i_2}$ pour chaque paire. Que constatez-vous ?
En déduire l’indice de réfraction du plastique et l’identifier.
Pourquoi tracer $\sin i_2$ en fonction de $\sin i_1$ est-il un meilleur test de la loi de Snell–Descartes que tracer $i_2$ en fonction de $i_1$ ?

Solution

Solution de Exercice 3.6.

1. Les cinq rapports sont

\frac{0.342}{0.233} = 1.47,\quad \frac{0.500}{0.334} = 1.50,\quad \frac{0.643}{0.431} = 1.49,\quad \frac{0.766}{0.515} = 1.49,\quad \frac{0.866}{0.581} = 1.49 :

constants à l’erreur de mesure près — loi de Snell–Descartes.

2. $n \approx 1.49$ : plexiglas.

3. La loi de Snell–Descartes prédit $\sin i_2 = \sin i_1 / n$ : sinus contre sinus, les données doivent s’aligner sur une droite passant par l’origine, qu’une règle vérifie d’un coup d’œil. Tracés angle contre angle, les données se trouvent sur une courbe ; aux petits angles la courbe est trompeusement proche d’une droite, ce qui a précisément trompé Ptolémée.

Exercice 3.7 ★★

Calculer l’angle critique vers l’air pour l’eau, le verre ( $n = 1.50$ ) et le diamant. Puis expliquer, avec la loi de Snell–Descartes, pourquoi il n’y a pas d’angle critique pour la lumière allant de l’air vers l’eau.

Solution

Solution de Exercice 3.7.

$\sin i_c = n_2/n_1$ avec $n_2 = 1.00$ : eau $\sin i_c = 1/1.33 = 0.752$ , $i_c = 48.8^\circ$ ; verre $\sin i_c = 1/1.50 = 0.667$ , $i_c = 41.8^\circ$ ; diamant $\sin i_c = 1/2.42 = 0.413$ , $i_c = 24.4^\circ$ .

De l’air vers l’eau, $\sin i_2 = \sin i_1/1.33 \leq 1/1.33 < 1$ pour toute incidence : un angle réfracté existe toujours, donc rien de spécial n’arrive jamais — la réflexion totale interne exige $n_1 > n_2$ .

Exercice 3.8 ★★

Une piscine a $2.0\,\mathrm{m}$ de profondeur. Quelle profondeur un nageur debout au bord perçoit-il ?
Un héron vise un poisson nageant à $40\,\mathrm{cm}$ sous la surface. À quelle profondeur le poisson apparaît-il, et le héron doit-il frapper au-dessus, sur, ou en dessous de l’image qu’il voit ?

Solution

Solution de Exercice 3.8.

1. $d' = \dfrac{d}{n} = \dfrac{2.0\,\mathrm{m}}{1.33} = 1.5\,\mathrm{m}$ .

2. Le poisson apparaît à $40\,\mathrm{cm}/1.33 = 30\,\mathrm{cm}$ : l’image est au-dessus du poisson, donc le héron doit frapper en dessous de l’image qu’il voit. Les hérons, non encombrés de la loi de Snell–Descartes, apprennent cela par essais et erreurs.

Exercice 3.9 ★★

Un rayon frappe une vitre ( $n = 1.50$ , faces parallèles) à $50^\circ$ .

Calculer l’angle de réfraction à la première face.
Le rayon réfracté frappe la seconde face de l’intérieur, au même angle. Calculer l’angle de sortie et le comparer à $50^\circ$ .
Que fait alors une vitre épaisse à la direction et à la position d’un rayon qui la traverse ?

Solution

Solution de Exercice 3.9.

1. $\sin r = \dfrac{\sin 50^\circ}{1.50} = \dfrac{0.766}{1.50} = 0.511$ , donc $r = 30.7^\circ$ .

2. Verre vers air à $30.7^\circ$ : $\sin i_2 = 1.50 \times 0.511 = 0.766$ , donc $i_2 = 50^\circ$ — l’angle de sortie égale l’angle d’entrée.

3. Les deux réfractions s’annulent : le rayon sort parallèle à sa direction d’origine, seulement décalé latéralement. C’est pourquoi une vitre ne distord pas la scène, elle ne fait que (imperceptiblement) la translater.

Exercice 3.10 ★★

De la lumière blanche frappe un bloc de flint glass à $55^\circ$ . Pour ce verre, $n_{\text{red}} = 1.61$ et $n_{\text{blue}} = 1.66$ . Calculer les angles de réfraction des rayons rouge et bleu et l’angle entre eux. Quelle couleur finit plus près de la normale ?

Solution

Solution de Exercice 3.10.

$\sin 55^\circ = 0.819$ . Rouge : $\sin i_2 = 0.819/1.61 = 0.509$ , $i_2 = 30.6^\circ$ . Bleu : $\sin i_2 = 0.819/1.66 = 0.493$ , $i_2 = 29.6^\circ$ . Les deux couleurs sont séparées de $1.0^\circ$ ; le bleu, avec le plus grand indice, se courbe davantage et finit plus près de la normale.

Exercice 3.11 ★★

Une fibre optique a un cœur d’indice $1.48$ et une gaine d’indice $1.46$ .

Calculer l’angle critique sur la frontière cœur–gaine.
Un rayon guidé rebondit exactement à l’angle critique. Montrer que sur $1.0\,\mathrm{km}$ de fibre droite il parcourt environ $14\,\mathrm{m}$ de plus qu’un rayon allant droit le long de l’axe.

Solution

Solution de Exercice 3.11.

1. $\sin i_c = \dfrac{1.46}{1.48} = 0.986$ , donc $i_c = 80.6^\circ$ .

2. Un rayon à $i_c$ de la normale fait $90^\circ - i_c$ avec l’axe, donc son trajet le long d’une longueur d’axe $L$ est $\dfrac{L}{\sin i_c}$ :

1000\,\mathrm{m} \times \frac{1.48}{1.46} = 1013.7\,\mathrm{m},

environ $14\,\mathrm{m}$ de plus que le rayon axial.

Exercice 3.12 ★★★

L’œil d’un plongeur est à $2.0\,\mathrm{m}$ sous une surface parfaitement calme. À cause de la réfraction, le plongeur voit le ciel entier comprimé en un disque brillant juste au-dessus — la fenêtre de Snell.

Expliquer pourquoi la lumière de l’horizon atteint l’œil du plongeur à l’angle critique de l’eau, $48.8^\circ$ de la verticale.
Calculer le rayon du disque brillant sur la surface, en utilisant la tangente dans le triangle rectangle œil–verticale–bord du disque.
Que voit le plongeur sur la surface à l’extérieur du disque ?

Solution

Solution de Exercice 3.12.

1. La lumière rasant depuis l’horizon arrive à $i_1$ proche de $90^\circ$ ; elle se réfracte à $\sin i_2 = \sin 90^\circ / 1.33 = 0.752$ , c’est-à-dire $i_2 = 48.8^\circ$ — l’angle critique, comme la réversibilité l’exige. Les rayons de tout le ciel atteignent donc l’œil dans un cône de demi-angle $48.8^\circ$ .

2. Le bord du disque est là où ce cône rencontre la surface :

r = d \tan i_c = 2.0\,\mathrm{m} \times \tan 48.8^\circ = 2.0\,\mathrm{m} \times 1.14 = 2.3\,\mathrm{m}.

3. À l’extérieur du disque, la lumière d’en dessous frappe la surface au-delà de l’angle critique et est totalement réfléchie : le plongeur voit un miroir argenté montrant le fond de la piscine.

Exercice 3.13 ★★★

Un prisme a des angles $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ . Un faisceau mince de lumière blanche entre perpendiculairement à l’un des côtés adjacents à l’angle droit, traverse sans déviation, et frappe la grande face de l’intérieur à $i_1 = 30^\circ$ . Pour ce verre, $n_{\text{red}} = 1.51$ et $n_{\text{blue}} = 1.53$ .

Calculer les angles de sortie des rayons rouge et bleu et la largeur angulaire de l’éventail entre eux.
Le prisme est remplacé par un prisme $45^\circ$ – $45^\circ$ – $90^\circ$ , de sorte que l’angle d’incidence interne devient $45^\circ$ . Montrer qu’aucune lumière ne sort par la grande face.

Solution

Solution de Exercice 3.13.

1. Rouge : $\sin i_2 = 1.51 \times \sin 30^\circ = 0.755$ , donc $i_2 = 49.0^\circ$ . Bleu : $\sin i_2 = 1.53 \times 0.500 = 0.765$ , donc $i_2 = 49.9^\circ$ . Le faisceau blanc s’éventaille sur $49.9^\circ - 49.0^\circ = 0.9^\circ$ — un spectre de prisme issu d’une seule réfraction.

2. À $45^\circ$ : $\sin i_2 = 1.51 \times 0.707 = 1.07 > 1$ (et $1.53 \times 0.707 = 1.08$ pour le bleu). Aucun angle réfracté n’existe pour aucune des deux couleurs : l’angle critique est $\arcsin(1/1.51) = 41.5^\circ < 45^\circ$ , donc la grande face réfléchit totalement le faisceau entier.

Exercice 3.14 ★★★

Les périscopes plient la lumière avec des prismes de verre $45^\circ$ – $45^\circ$ – $90^\circ$ ( $n = 1.50$ ) : le faisceau entre par une petite face perpendiculairement et frappe la grande face de l’intérieur à $45^\circ$ .

Montrer que la grande face agit comme un miroir parfait. Pourquoi est-ce mieux qu’un miroir métallique, qui absorbe quelques pourcents à chaque réflexion ?
Le périscope se remplit d’eau et la grande face est maintenant en contact avec l’eau. Calculer le nouvel angle critique de la frontière verre–eau et montrer que le miroir échoue.
Sous quel angle la lumière de la question 2 quitte-t-elle le prisme vers l’eau ?

Solution

Solution de Exercice 3.14.

1. Angle critique verre–air : $\sin i_c = 1/1.50$ , donc $i_c = 41.8^\circ < 45^\circ$ : le faisceau est totalement réfléchi — $100\%$ de la lumière, sans revêtement à ternir. Un miroir métallique perd quelques pourcents à chaque rebond, et un périscope en a besoin de deux.

2. Verre–eau : $\sin i_c = \dfrac{1.33}{1.50} = 0.887$ , donc $i_c = 62.5^\circ$ . Maintenant $45^\circ < i_c$ : l’incidence est sous le critique, la plupart de la lumière se réfracte dans l’eau, et le miroir — donc l’image — échoue.

3. $\sin i_2 = \dfrac{1.50}{1.33} \times \sin 45^\circ = 1.128 \times 0.707 = 0.798$ , donc $i_2 = 52.9^\circ$ dans l’eau.

Exercice 3.15 ★★★

Un câble transatlantique court sur $6200\,\mathrm{km}$ de fibre (cœur d’indice $1.47$ ) entre Londres et New York.

Calculer la vitesse de la lumière dans le cœur et le temps de parcours aller d’une impulsion.
Une onde radio voyage à $c$ . Combien de temps lui faudrait-il sur la même distance, et combien de temps aller-retour le verre de la fibre coûte-t-il par rapport à la radio ?
Certaines firmes financières paient des fortunes pour gratter des millisecondes sur ce lien. Proposer deux façons physiques distinctes de faire arriver la lumière plus tôt.

Solution

Solution de Exercice 3.15.

1. $v = \dfrac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{1.47} = 2.04 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , donc

t = \frac{6.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}}{2.04 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} = 30.4\,\mathrm{ms} \approx 30\,\mathrm{ms}.

2. Radio : $t = 6.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 20.7\,\mathrm{ms}$ . Le verre coûte $30.4 - 20.7 = 9.7\,\mathrm{ms}$ dans chaque sens, environ $19\,\mathrm{ms}$ par aller-retour.

3. Abaisser l’indice — les fibres à cœur creux guident la lumière à travers l’air ( $n \approx 1.00$ ), et les liaisons micro-ondes à travers l’atmosphère font de même — ou raccourcir le trajet : un câble posé plus près de la route orthodromique entre les deux villes. Les deux se vendent effectivement, au prix de la milliseconde.

3.7 Problème : Le diamant, la piscine et la fibre

Problème 3.1

Problème du week-end — trois vies de la loi de Snell–Descartes : une piscine qui ment sur sa profondeur, une pierre taillée pour que la lumière ne puisse en sortir, et l’océan de soixante millisecondes sous l’internet

Une égalité de deux sinus, trois carrières. Dans une piscine elle trompe vos yeux sur la profondeur et comprime tout le ciel en un cercle. Dans un diamant, poussée à sa limite, elle refuse de laisser sortir la lumière — et les joailliers taillent les pierres autour de ce refus depuis des siècles. Sous l’Atlantique elle guide des impulsions laser dans un brin de verre, et fixe la limite de vitesse de l’internet mondial. Ce problème parcourt les trois vies dans l’ordre, avec la même loi à chaque fois.

Partie I — Mise en train.

Calculer la vitesse de la lumière dans l’eau ( $n = 1.33$ ) et dans le diamant ( $n = 2.42$ ). D’un facteur combien le diamant ralentit-il la lumière ?
Un rayon dans l’air frappe un étang à $i_1 = 40^\circ$ . Calculer l’angle de réfraction.
Un rayon dans l’eau frappe la surface d’en dessous à $28.9^\circ$ . Sous quel angle sort-il dans l’air ? Énoncer le principe que cela illustre.
Calculer l’angle critique de la frontière eau–air, et décrire ce qui arrive à un rayon sous l’eau frappant la surface à $60^\circ$ .
L’indice de l’air est $1.0003$ . Calculer la vitesse de la lumière dans l’air et justifier l’approximation $n_{\text{air}} = 1.00$ utilisée partout.

Partie II — La piscine.

Une piscine a $3.0\,\mathrm{m}$ de profondeur. En utilisant la formule de profondeur apparente (Proposition 3.11), calculer la profondeur qu’une personne debout au-dessus perçoit.
Expliquer avec un croquis à deux rayons (décrit en mots) pourquoi une pièce au fond semble monter : que font les rayons quittant l’eau, et où l’œil place-t-il leur intersection ?
L’œil d’un plongeur est à $3.0\,\mathrm{m}$ . Calculer le rayon de la fenêtre de Snell — le disque brillant à travers lequel le plongeur voit tout le ciel (Exercice 3.12).
Une lampe au fond envoie des rayons vers le haut à $30^\circ$ , $45^\circ$ et $50^\circ$ de la verticale. Pour chaque rayon, dire s’il s’échappe et sous quel angle, ou ce qui se passe à la place.
Un pêcheur à la lance sur la berge vise un poisson. Le coup doit-il être porté au-dessus, sur, ou en dessous de l’image du poisson — et le poisson, regardant en arrière, voit-il aussi le pêcheur déplacé ?

Partie III — Le diamant.

Calculer l’angle critique du diamant ( $n = 2.42$ ) vers l’air, et le comparer à celui du verre ( $n = 1.52$ ), qui est $41.1^\circ$ .
Un rayon à l’intérieur de la pierre frappe une facette à $30^\circ$ de sa normale. Que se passe-t-il dans le diamant ? Dans l’imitation en verre ? Expliquer en une phrase pourquoi la taille d’un diamant, combinée à son minuscule angle critique, produit l’éclat.
Le diamant est aussi fortement dispersif : $n_{\text{red}} = 2.41$ , $n_{\text{blue}} = 2.45$ . De la lumière blanche entre dans une facette à $45^\circ$ ; calculer l’angle de réfraction pour chaque couleur et l’écart angulaire.
Plus tard, des rayons rouge et bleu atteignent tous deux une facette de sortie de l’intérieur à $17.0^\circ$ . Calculer les deux angles de sortie et l’écart de l’éventail émergent. Comparer à l’écart à l’entrée : que devient la dispersion près de l’angle critique ?
Une goutte d’eau ( $n = 1.33$ ) enduit une facette. Calculer le nouvel angle critique de la frontière diamant–eau, décider du sort du rayon à $30^\circ$ de la question 12, et expliquer pourquoi les joailliers gardent les diamants scrupuleusement propres.

Partie IV — La fibre.

Une fibre a un cœur d’indice $1.48$ et une gaine d’indice $1.46$ . Calculer l’angle critique sur la frontière cœur–gaine.
Un fil de verre nu dans l’air aurait un angle critique de $42.5^\circ$ — apparemment bien meilleur. Donner deux raisons pour lesquelles la gaine est utilisée quand même. (Penser à la poussière, aux rayures, et à ce que le toucher de la surface ferait à la réflexion totale interne.)
Calculer la vitesse de la lumière dans le cœur, puis le temps de parcours aller d’une impulsion le long de $6000\,\mathrm{km}$ de fibre.
Un rayon rebondissant exactement à l’angle critique parcourt $1/\sin i_c$ fois la longueur de l’axe. Calculer la distance supplémentaire sur les $6000\,\mathrm{km}$ et le temps supplémentaire qu’elle coûte.
La chute. Une paire de fibres moderne porte environ $10^{13}$ bits par seconde, et ce livre fait environ $2.4 \times 10^8$ bits. Calculer le temps aller-retour (« ping ») à travers l’océan et le nombre de copies de ce livre que la fibre déplace par seconde — puis énoncer, en une phrase, ce que la loi de Snell–Descartes fait pour l’internet.

Solution

Solution de Problème 3.1.

1. $v_{\text{water}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.33 = 2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_{\text{diamond}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/2.42 = 1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — le diamant ralentit la lumière d’un facteur $n = 2.42$ .

2. $\sin i_2 = \sin 40^\circ / 1.33 = 0.643/1.33 = 0.483$ , donc $i_2 = 28.9^\circ$ .

3. $\sin i_2 = 1.33 \times \sin 28.9^\circ = 1.33 \times 0.483 = 0.643$ , donc $i_2 = 40^\circ$ : la lumière reprend son trajet — réversibilité des rayons lumineux.

4. $\sin i_c = 1/1.33 = 0.752$ , donc $i_c = 48.8^\circ$ . À $60^\circ > i_c$ , la loi de Snell–Descartes exigerait $\sin i_2 = 1.33 \sin 60^\circ = 1.15 > 1$ : aucun rayon réfracté ; la surface réfléchit totalement la lumière vers le bas.

5. $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.0003 = 2.999 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : la lumière dans l’air est plus lente que dans le vide de $0.03\%$ , bien en dessous de la précision de nos mesures d’angles, donc $n_{\text{air}} = 1.00$ est sans conséquence.

6. $d' = 3.0\,\mathrm{m}/1.33 = 2.3\,\mathrm{m}$ : la piscine cache $70\,\mathrm{cm}$ d’elle-même.

7. Deux rayons quittant la pièce se réfractent à la surface, s’écartant de la normale, donc ils divergent plus fortement au-dessus de l’eau qu’en dessous. L’œil prolonge les deux rayons sortants en arrière en lignes droites ; ils se croisent au-dessus de la pièce, et ce croisement est où l’œil place l’image.

8. $r = d \tan i_c = 3.0\,\mathrm{m} \times \tan 48.8^\circ = 3.0\,\mathrm{m} \times 1.14 = 3.4\,\mathrm{m}$ : un disque d’environ $6.9\,\mathrm{m}$ de diamètre contient le ciel entier.

9. À $30^\circ$ : $\sin i_2 = 1.33 \times 0.500 = 0.665$ , le rayon sort à $41.7^\circ$ . À $45^\circ$ : $\sin i_2 = 1.33 \times 0.707 = 0.940$ , il sort à $70.1^\circ$ , presque rasant. À $50^\circ$ : $1.33 \times 0.766 = 1.02 > 1$ — réflexion totale interne, le rayon plonge à nouveau dans la piscine.

10. L’image est au-dessus du vrai poisson (Proposition 3.11), donc viser en dessous. Et oui : le poisson voit aussi le pêcheur déplacé, comprimé vers la verticale dans la fenêtre de Snell — chacun voit l’autre là où l’autre n’est pas.

11. Diamant : $\sin i_c = 1/2.42 = 0.413$ , donc $i_c = 24.4^\circ$ , contre $41.1^\circ$ pour le verre : le cône d’échappement du diamant n’est même pas la moitié aussi large.

12. Dans le diamant, $30^\circ > 24.4^\circ$ : réflexion totale interne, le rayon reste dans la pierre. Dans le verre, $30^\circ < 41.1^\circ$ : le rayon fuit par l’arrière. Les facettes d’une taille brillant sont inclinées pour que la lumière entrante frappe presque toujours au-delà de $24.4^\circ$ et rebondisse jusqu’à sortir vers le haut vers l’œil — une imitation en verre, avec son large cône d’échappement, laisse simplement la lumière tomber à travers.

13. $\sin 45^\circ = 0.707$ . Rouge : $0.707/2.41 = 0.293$ , donc $i_2 = 17.1^\circ$ . Bleu : $0.707/2.45 = 0.289$ , donc $i_2 = 16.8^\circ$ . Écart à l’entrée : environ $0.3^\circ$ .

14. $\sin 17.0^\circ = 0.292$ . Rouge : $\sin i_2 = 2.41 \times 0.292 = 0.705$ , donc $i_2 = 44.8^\circ$ . Bleu : $\sin i_2 = 2.45 \times 0.292 = 0.716$ , donc $i_2 = 45.8^\circ$ . L’éventail a maintenant $1.0^\circ$ de large : la réfraction de sortie, travaillant près de l’angle critique, a étiré l’écart d’entrée de $0.3^\circ$ d’un facteur trois. Ce jet de couleurs étiré est le feu du diamant.

15. Diamant–eau : $\sin i_c = 1.33/2.42 = 0.550$ , donc $i_c = 33.3^\circ$ . Le rayon à $30^\circ$ , piégé lorsque la facette faisait face à l’air, s’échappe maintenant ( $30^\circ < 33.3^\circ$ ) dans le film d’eau : chaque goutte, empreinte ou film de graisse élève l’indice extérieur, élargit le cône d’échappement et vide l’éclat — d’où le chiffon du joaillier.

16. $\sin i_c = \dfrac{1.46}{1.48} = 0.986$ , donc $i_c = 80.6^\circ$ .

17. La réflexion totale interne a lieu à la surface, donc la surface doit rester parfaite : sur un fil nu, chaque grain de poussière, rayure, goutte d’eau ou doigt qui touche élève l’indice extérieur en ce point et saigne la lumière. La gaine enterre le miroir dans du verre propre où rien ne peut l’atteindre — et, en prime, protège mécaniquement le cœur fin comme un cheveu.

18. $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.48 = 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , donc

t = \frac{6.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}}{2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} = 29.6\,\mathrm{ms} \approx 30\,\mathrm{ms}.

19. Facteur de trajet $1/\sin i_c = 1.48/1.46 = 1.0137$ : au pire $6000\,\mathrm{km} \times 0.0137 \approx 82\,\mathrm{km}$ de verre supplémentaire, coûtant $8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{m} / 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 0.4\,\mathrm{ms}$ — le zigzag est presque gratuit.

20. Ping : $2 \times (29.6 + 0.4) \approx 60\,\mathrm{ms}$ . Débit : $\dfrac{10^{13}}{2.4 \times 10^8} \approx 40\,000$ copies de ce livre par seconde. En une phrase : en piégeant la lumière dans le verre par réflexion totale interne, la loi de Snell–Descartes transporte une bibliothèque à travers l’océan chaque seconde, soixante millisecondes aller-retour.