Physique du lycée · Grades 10–12

12Circuits électriques et puissance

Actionnez un interrupteur : une lampe s’allume, parce qu’un générateur à des kilomètres pousse de la charge dans une boucle de cuivre à travers votre mur. Les années précédentes ont cartographié le circuit — intensité, tension, loi d’Ohm. Ce chapitre le rouvre avec le livre de comptes du Chapitre 9 : ce que compte le compteur, pourquoi les fils minces chauffent, pourquoi le réseau tourne à $400\,\mathrm{kV}$ .

12.1 La charge en mouvement

Définition 12.1 (Intensité et coulomb)

Un courant électrique est un écoulement ordonné de charge (des électrons, dans un métal). Son intensité $I$ , en ampères ( $\mathrm{A}$ ), est la charge qui traverse une section du fil par seconde : un courant permanent $I$ pendant un temps $t$ transporte la charge

q = I\,t ,

en coulombs ( $\mathrm{C}$ ), avec $1\,\mathrm{C} = 1\,\mathrm{A}\,\mathrm{s}$ . La charge élémentaire est $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ . L’intensité se mesure avec un ampèremètre, inséré en série.

Exemple 12.2 (Foudre contre téléphone)

Un coup de foudre transporte quelque $3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{A}$ pendant environ $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ : $q = 3.0\times10^{4} \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{C}$ . Votre téléphone, à $2.0\,\mathrm{A}$ , déplace la même charge toutes les $1.5$ secondes.

Définition 12.3 (Tension et volt)

La tension $U$ entre deux points d’un circuit, en volts ( $\mathrm{V}$ ), est l’énergie échangée par unité de charge qui voyage entre eux : $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{C}$ , donc une charge $q$ traversant un dipôle sous tension $U$ échange avec lui l’énergie $E = qU$ . Un voltmètre, branché en dérivation, la mesure.

Proposition 12.4 (Lois des circuits)

Dans un circuit en régime permanent :

loi des nœuds : les intensités qui arrivent à un nœud s’ajoutent aux intensités qui en partent ;
loi des mailles (série) : les tensions le long d’un chemin s’ajoutent : $U_{AC} = U_{AB} + U_{BC}$ ;
loi des branches parallèles : deux branches joignant les mêmes deux points portent la même tension.

Démonstration. En régime permanent la charge ne s’accumule nulle part, donc ce qui entre dans un nœud en sort. L’énergie par coulomb est additive le long d’un chemin et ne dépend que de ses extrémités — pas de la branche prise entre elles. ∎

12.2 Loi d’Ohm et réseaux de résistances

Définition 12.5 (Résistance)

La résistance d’un conducteur est le rapport $R = U/I$ de la tension à ses bornes à l’intensité qui le traverse, mesurée en ohms ( $\Omega$ ) : $1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$ .

Proposition 12.6 (Loi d’Ohm)

Pour un conducteur métallique maintenu à température fixe, $R$ est constante : tension et intensité sont proportionnelles,

U = R\,I .

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 12.7

Une loi expérimentale, non universelle : une diode, un filament de lampe chauffante ou votre propre peau ne l’obéissent pas. Pourquoi les métaux l’obéissent est dérivé dans les volumes universitaires.

Proposition 12.8 (Résistances en série et en parallèle)

Deux résistances en série sont équivalentes à une résistance $R_{\text{s}} = R_1 + R_2$ ; deux en parallèle, à une résistance $R_{\text{p}}$ donnée par

\frac{1}{R_{\text{p}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} , \qquad\text{c.-à-d.}\quad R_{\text{p}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} < \min(R_1, R_2) .

Démonstration. Série : le même $I$ traverse les deux et les tensions s’ajoutent (Proposition 12.4), donc $U = (R_1 + R_2)\,I$ . Parallèle : les deux sont sous la même $U$ et les intensités s’ajoutent, donc $I = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$ . ∎

Série (à gauche) : une intensité, les tensions s’ajoutent. Parallèle (à droite) : une tension, les intensités s’ajoutent.

Exemple 12.9 (Résistance équivalente)

$R_1 = 100\,\Omega$ et $R_2 = 150\,\Omega$ : en série, $250\,\Omega$ ; en parallèle, $\frac{100 \times 150}{250} = 60\,\Omega$ — moins que chacune : le courant a une seconde route.

12.3 Énergie et puissance dans un circuit

Proposition 12.10 (Puissance électrique)

Un dipôle sous tension $U$ traversé par une intensité $I$ reçoit de l’énergie au taux

P = U\,I , \qquad\text{c.-à-d.}\quad E = U\,I\,t \ \text{pendant un temps } t .

Démonstration. Pendant un temps $t$ la charge $q = It$ traverse le dipôle (Définition 12.1) et chaque coulomb cède $U$ joules (Définition 12.3) : $E = qU = UIt$ . ∎

Proposition 12.11 (Puissance dans une résistance)

Une résistance $R$ parcourue par une intensité $I$ dissipe

P = R\,I^2 = \frac{U^2}{R} .

Démonstration. Substituer la loi d’Ohm dans $P = UI$ : $P = (RI)I = RI^2 = U(U/R) = U^2/R$ . ∎

Exemple 12.12 (Lire une plaque signalétique)

Une bouilloire marquée « $230\,\mathrm{V}$ – $2200\,\mathrm{W}$ » tire $I = P/U = 2200/230 = 9.6\,\mathrm{A}$ et a une résistance $R = U^2/P = 230^2/2200 = 24\,\Omega$ . Pendant $150\,\mathrm{s}$ elle consomme $E = 2200 \times 150 = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J} \approx 0.09\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ — environ deux centimes.

Remarque 12.13 (Joules et kilowatt-heures)

Le compteur compte des kilowatt-heures (Définition 9.17) : $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ . Les joules sont l’unité du physicien ; les kilowatt-heures tarifent les factures.

Puissances d’appareils sur un axe logarithmique : tout ce qui chauffe (rouge) vit un facteur dix au-dessus de tout ce qui calcule ou éclaire (bleu).

12.4 L’effet Joule : du grille-pain au pylône

Définition 12.14 (Effet Joule)

La dissipation $P = RI^2$ qui transforme l’énergie électrique en chaleur dans chaque résistance est l’effet Joule. Radiateurs, bouilloires, grille-pain et ampoules à filament sont des résistances par conception ; un fusible est un fil mince calibré pour fondre — ouvrant le circuit — lorsque l’intensité dépasse son calibre.

Exemple 12.15 (Pourquoi les pylônes tournent haut)

Un village a besoin de $P = 100\,\mathrm{kW}$ à travers une ligne de résistance $R_\ell = 5.0\,\Omega$ . Livré à $U = 500\,\mathrm{V}$ : $I = P/U = 200\,\mathrm{A}$ et la ligne gaspille $R_\ell I^2 = 200\,\mathrm{kW}$ — le double de la livraison : absurde. À $U = 20\,\mathrm{kV}$ : $I = 5.0\,\mathrm{A}$ et $R_\ell I^2 = 125\,\mathrm{W}$ . Quarante fois moins d’intensité, $1600$ fois moins de pertes.

La livraison de l’ : élever U à P = UI fixé diminue I, et la perte chute avec I2. — La livraison de l’Exemple 12.15 : élever $U$ à $P = UI$ fixé diminue $I$ , et la perte chute avec $I^2$ .

Remarque 12.16 (La règle de fer du réseau)

À puissance livrée fixe $P = UI$ , la perte en ligne $R_\ell I^2 = R_\ell P^2/U^2$ chute comme le carré de la tension de transport. D’où : élever ( $400\,\mathrm{kV}$ ) pour voyager, abaisser ( $230\,\mathrm{V}$ ) pour vivre.

Remarque 12.17 (Sécurité domestique)

Une ligne à $230\,\mathrm{V}$ fusible à $16\,\mathrm{A}$ fournit au plus $230 \times 16 \approx 3.7\,\mathrm{kW}$ : deux bouilloires à la fois fondent le fusible — par conception le maillon le plus mince, le plus faible, bien moins cher qu’un incendie dans le mur.

12.5 Piles réelles : force électromotrice

Définition 12.18 (f.é.m. et résistance interne)

Une pile convertit l’énergie chimique en énergie électrique. Sa force électromotrice (f.é.m.) $\mathcal{E}$ , en volts, est l’énergie qu’elle cède à chaque coulomb qui la traverse ; sa résistance interne $r$ rend compte de l’effet Joule dans sa propre chimie. Modèle : une source idéale $\mathcal{E}$ en série avec $r$ (calligraphique $\mathcal{E}$ : $E$ est l’énergie).

Proposition 12.19 (Tension aux bornes)

Une pile délivrant une intensité $I$ présente à ses bornes

U = \mathcal{E} - r\,I .

Démonstration. La chimie fournit $\mathcal{E}I$ , la résistance interne mange $rI^2$ , le circuit reçoit $UI$ : la conservation de l’énergie (Chapitre 9) donne $UI = \mathcal{E}I - rI^2$ . ∎

Exemple 12.20 (Une pile en charge)

Une pile ( $\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$ , $r = 1.0\,\Omega$ ) alimente une ampoule de résistance $R = 8.0\,\Omega$ . La boucle obéit à $\mathcal{E} = rI + RI$ , donc $I = \mathcal{E}/(R + r) = 1.0\,\mathrm{A}$ et $U = 9.0 - 1.0 \times 1.0 = 8.0\,\mathrm{V}$ : l’ampoule reçoit $8.0\,\mathrm{W}$ tandis que la pile gaspille $1.0\,\mathrm{W}$ en se chauffant.

Caractéristique de décharge de la pile de l’ : les points mesurés s’alignent sur la droite U = E - rI, de pente -r = -1.0\, V/ A. — Caractéristique de décharge de la pile de l’Exemple 12.20 : les points mesurés s’alignent sur la droite $U = \mathcal{E} - rI$ , de pente $-r = -1.0\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$ .

Remarque 12.21 (Récepteurs)

Un moteur ou une batterie en charge fait tourner la conversion à l’envers : il absorbe sous $U = \mathcal{E}' + r'I$ , convertissant $\mathcal{E}'I$ en mouvement ou en chimie et perdant $r'I^2$ . Les sources poussent, les récepteurs résistent.

Exemple 12.22 (Rendement d’une pile)

Le rendement (Définition 9.12) de la décharge ci-dessus : utile $UI = 8.0\,\mathrm{W}$ sur $\mathcal{E}I = 9.0\,\mathrm{W}$ , donc $\eta = U/\mathcal{E} = 8/9 \approx 0.89$ — qui chute quand l’intensité monte : les piles qui travaillent fort chauffent.

12.6 Exercices

Exercice 12.1 ★

Une batterie de téléphone se charge à un régime permanent de $2.0\,\mathrm{A}$ pendant $90\,\mathrm{min}$ . Quelle charge traverse le câble, en coulombs ? Combien de charges élémentaires est-ce ( $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ ) ?

Solution

Solution de Exercice 12.1.

$q = It = 2.0 \times 90 \times 60 = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{C}$ . Nombre de charges élémentaires : $q/e = 1.08\times10^{4}/1.6\times10^{-19} \approx 6.8 \times 10^{22}$ .

Exercice 12.2 ★

Une résistance de $220\,\Omega$ sous $12\,\mathrm{V}$ : quelle intensité circule ? Un élément chauffant tire $0.50\,\mathrm{A}$ sous $230\,\mathrm{V}$ : quelle résistance ?

Solution

Solution de Exercice 12.2.

$I = U/R = 12/220 = 0.055\,\mathrm{A} = 55\,\mathrm{mA}$ ; $R = U/I = 230/0.50 = 460\,\Omega$ .

Exercice 12.3 ★

Calculer la résistance équivalente de $R_1 = 120\,\Omega$ et $R_2 = 60\,\Omega$ en série, puis en parallèle. Laquelle est plus petite que les deux, et pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 12.3.

Série : $120 + 60 = 180\,\Omega$ . Parallèle : $\frac{120 \times 60}{180} = 40\,\Omega$ — plus petite que les deux : même tension, mais le courant a une seconde voie, donc plus d’intensité totale et moins de résistance.

Exercice 12.4 ★

Un fer de voyage tire $8.7\,\mathrm{A}$ sous $230\,\mathrm{V}$ . Calculer sa puissance, puis l’énergie qu’il consomme en $4.0\,\mathrm{min}$ , en joules et en kilowatt-heures.

Solution

Solution de Exercice 12.4.

$P = UI = 230 \times 8.7 = 2.0\,\mathrm{kW}$ . En $t = 240\,\mathrm{s}$ : $E = Pt = 2000 \times 240 = 4.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 4.8\times10^{5}/3.6 \times10^{6} \approx 0.13\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .

Exercice 12.5 ★

Un chargeur d’ordinateur portable délivre $60\,\mathrm{W}$ pendant $5.0\,\mathrm{h}$ par jour : énergie quotidienne en kilowatt-heures et joules, et coût à $0{,}25$ euro par $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ?

Solution

Solution de Exercice 12.5.

$E = 60 \times 5.0 = 300\,\mathrm{W}\,\mathrm{h} = 0.30\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 0.30 \times 3.6\times10^{6} = 1.1 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ . Coût : $0.30 \times 0.25 = 0.075$ euro par jour.

Exercice 12.6 ★★

Un radiateur électrique est calibré à $1200\,\mathrm{W}$ sous $230\,\mathrm{V}$ .

Calculer sa résistance et l’intensité qu’il tire.
Branché (même résistance) sur une alimentation à $115\,\mathrm{V}$ , quelle puissance délivre-t-il ? Pourquoi pas la moitié ?

Solution

Solution de Exercice 12.6.

1. $R = U^2/P = 230^2/1200 = 44\,\Omega$ ; $I = P/U = 1200/230 = 5.2\,\mathrm{A}$ .

2. $P' = U'^2/R = 115^2/44.1 = 300\,\mathrm{W}$ : un quart, pas la moitié, car diviser $U$ par deux divise aussi $I$ par deux, et $P = UI \propto U^2$ .

Exercice 12.7 ★★

$R_1 = 40\,\Omega$ et $R_2 = 20\,\Omega$ en série sous $12\,\mathrm{V}$ . Calculer l’intensité, la tension aux bornes de chaque résistance, et la puissance dissipée dans chacune ; vérifier que les puissances s’ajoutent en $UI$ .

Solution

Solution de Exercice 12.7.

$R_{\text{s}} = 60\,\Omega$ , donc $I = 12/60 = 0.20\,\mathrm{A}$ . $U_1 = R_1 I = 8.0\,\mathrm{V}$ , $U_2 = 4.0\,\mathrm{V}$ (somme $12\,\mathrm{V}$ ) ; $P_1 = U_1 I = 1.6\,\mathrm{W}$ , $P_2 = 0.8\,\mathrm{W}$ : total $2.4\,\mathrm{W}$ $= UI = 12 \times 0.20$ , comme il se doit.

Exercice 12.8 ★★

$R_1 = 60\,\Omega$ et $R_2 = 30\,\Omega$ en parallèle sous $12\,\mathrm{V}$ . Calculer l’intensité de chaque branche, l’intensité totale, et la résistance équivalente de deux manières.

Solution

Solution de Exercice 12.8.

$I_1 = 12/60 = 0.20\,\mathrm{A}$ , $I_2 = 12/30 = 0.40\,\mathrm{A}$ , total $I = 0.60\,\mathrm{A}$ . Équivalente : $R = U/I = 12/0.60 = 20\,\Omega$ , et en effet $\frac{60 \times 30}{60 + 30} = 20\,\Omega$ .

Exercice 12.9 ★★

Une pile délivre $U = 5.5\,\mathrm{V}$ à $I = 0.50\,\mathrm{A}$ , et $U = 4.0\,\mathrm{V}$ à $I = 2.0\,\mathrm{A}$ . Trouver sa f.é.m. $\mathcal{E}$ et sa résistance interne $r$ , puis l’intensité de court-circuit $\mathcal{E}/r$ .

Solution

Solution de Exercice 12.9.

$\mathcal{E} - 0.50\,r = 5.5$ et $\mathcal{E} - 2.0\,r = 4.0$ ; en soustrayant, $1.5\,r = 1.5$ , donc $r = 1.0\,\Omega$ et $\mathcal{E} = 6.0\,\mathrm{V}$ . Court-circuit : $\mathcal{E}/r = 6.0\,\mathrm{A}$ .

Exercice 12.10 ★★

Une ligne de cuisine à $230\,\mathrm{V}$ est protégée par un fusible de $16\,\mathrm{A}$ . Une bouilloire de $2.2\,\mathrm{kW}$ et un grille-pain de $1.0\,\mathrm{kW}$ tournent ensemble : le fusible tient-il ? Quelqu’un ajoute un radiateur de $1.5\,\mathrm{kW}$ : montrer qu’il fond.

Solution

Solution de Exercice 12.10.

Bouilloire $2200/230 = 9.6\,\mathrm{A}$ , grille-pain $1000/230 = 4.3\,\mathrm{A}$ : total $13.9\,\mathrm{A}$ $< 16\,\mathrm{A}$ , le fusible tient. Radiateur $1500/230 = 6.5\,\mathrm{A}$ : total $20.4\,\mathrm{A}$ $> 16\,\mathrm{A}$ , il fond (équivalemment, $4.7\,\mathrm{kW} > 230 \times 16 \approx 3.7\,\mathrm{kW}$ ).

Exercice 12.11 ★★

Un atelier a besoin de $10\,\mathrm{kW}$ à travers un câble d’alimentation de résistance $2.0\,\Omega$ . Calculer l’intensité et la perte Joule si la puissance est livrée à $200\,\mathrm{V}$ , puis à $4.0\,\mathrm{kV}$ . Comparer les deux pertes et expliquer le rapport.

Solution

Solution de Exercice 12.11.

À $200\,\mathrm{V}$ : $I = 10^4/200 = 50\,\mathrm{A}$ , perte $RI^2 = 2.0 \times 50^2 = 5.0\,\mathrm{kW}$ — la moitié de la livraison. À $4.0\,\mathrm{kV}$ : $I = 2.5\,\mathrm{A}$ , perte $2.0 \times 2.5^2 = 12.5\,\mathrm{W}$ . Rapport $400 = 20^2$ : vingt fois la tension signifie vingt fois moins d’intensité, et la perte va en $I^2$ .

Exercice 12.12 ★★★

Avec trois résistances identiques de $60\,\Omega$ , lister chaque résistance équivalente distincte (série, parallèle, mixte) ; calculer chacune.

Solution

Solution de Exercice 12.12.

Quatre montages : tous en série, $3 \times 60 = 180\,\Omega$ ; tous en parallèle, $60/3 = 20\,\Omega$ ; un en série avec deux en parallèle, $60 + 30 = 90\,\Omega$ ; un en parallèle avec deux en série, $\frac{60 \times 120}{180} = 40\,\Omega$ .

Exercice 12.13 ★★★

Une pile ( $\mathcal{E} = 4.5\,\mathrm{V}$ , $r = 1.5\,\Omega$ ) alimente une résistance $R = 6.0\,\Omega$ .

Calculer $I$ , $U$ , la puissance utile dans $R$ , la puissance perdue dans $r$ , et le rendement.
Montrer que la puissance reçue par un $R$ variable, $P = \mathcal{E}^2 R/(R+r)^2$ , est maximale lorsque $R = r$ (indication : $(R+r)^2/R = (R-r)^2/R + 4r$ ), et calculer ce maximum.

Solution

Solution de Exercice 12.13.

1. $I = \mathcal{E}/(R + r) = 4.5/7.5 = 0.60\,\mathrm{A}$ ; $U = RI = 3.6\,\mathrm{V}$ ; utile $P = UI = 2.2\,\mathrm{W}$ ; perdue $rI^2 = 1.5 \times 0.60^2 = 0.54\,\mathrm{W}$ ; $\eta = U/\mathcal{E} = 3.6/4.5 = 0.80$ .

2. Par l’indication, $P = \mathcal{E}^2 \big/ \big[(R - r)^2/R + 4r\big]$ ; le crochet est minimal ( $= 4r$ ) exactement lorsque $R = r$ , donc $P_{\max} = \mathcal{E}^2/(4r) = 4.5^2/6.0 = 3.4\,\mathrm{W}$ .

Exercice 12.14 ★★★

Une bouilloire de $2.2\,\mathrm{kW}$ de rendement $0{,}90$ amène $1.0\,\mathrm{kg}$ d’eau de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ à ébullition (chauffer l’eau demande $4180\,\mathrm{J}$ par kilogramme et par degré). Calculer la chaleur requise, l’énergie électrique tirée, le temps de chauffe, et le coût à $0{,}25$ euro par $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .

Solution

Solution de Exercice 12.14.

Chaleur : $Q = 1.0 \times 4180 \times (100 - 20) = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . Électrique : $E = Q/0.90 = 3.7 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ . Temps : $t = E/P = 3.7\times10^{5}/2200 \approx 170\,\mathrm{s}$ , moins de trois minutes. Coût : $3.7\times10^{5}/3.6\times10^{6} \approx 0.10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ , environ $2{,}6$ centimes.

Exercice 12.15 ★★★

Une batterie de voiture : $\mathcal{E} = 12.7\,\mathrm{V}$ , $r = 0.020\,\Omega$ , capacité $60\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ .

Convertir la capacité en coulombs, et estimer l’énergie stockée ( $E \approx \mathcal{E} q$ ) en joules et en kilowatt-heures.
Le démarreur tire $150\,\mathrm{A}$ : calculer la tension aux bornes, la puissance délivrée, et la puissance perdue à l’intérieur.
Expliquer pourquoi les phares baissent pendant le démarrage.

Solution

Solution de Exercice 12.15.

1. $q = 60 \times 3600 = 2.2 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$ ; $E \approx \mathcal{E}q = 12.7 \times 2.16\times10^{5} = 2.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J} \approx 0.76\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ .

2. $U = 12.7 - 0.020 \times 150 = 9.7\,\mathrm{V}$ ; délivrée $UI = 1.5\,\mathrm{kW}$ ; perdue $rI^2 = 0.020 \times 150^2 = 450\,\mathrm{W}$ .

3. Les phares sont aux bornes : pendant le démarrage, la tension aux bornes chute de $12.7$ à $9.7\,\mathrm{V}$ , donc ils reçoivent moins de puissance et baissent.

12.7 Problème : Du barrage au grille-pain

Problème 12.1

Problème du week-end — le voyage de mille kilomètres d’un kilowatt-heure, de l’eau qui tombe jusqu’au pain qui dore, avec la facture complète du trajet

Un barrage de montagne retient de l’eau à $200\,\mathrm{m}$ au-dessus de ses turbines, qui avalent $50\,\mathrm{m}^{3}$ — $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ — par seconde ; turbine et alternateur convertissent avec un rendement $0{,}90$ . À travers une ligne de résistance totale $R_\ell = 32\,\Omega$ ( $1000\,\mathrm{km}$ aller-retour) la centrale alimente une ville où votre grille-pain de $900\,\mathrm{W}$ attend sous $230\,\mathrm{V}$ . L’alternateur sort $20\,\mathrm{kV}$ ; des transformateurs (rendement $0{,}99$ chacun) convertissent les tensions à volonté. L’électricité se vend à $0{,}25$ euro par $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .

Partie I — Au barrage.

Quelle énergie potentielle l’eau qui tombe libère-t-elle chaque seconde ? En déduire la puissance disponible pour les turbines.
Quelle puissance électrique quitte l’alternateur ?
À $20\,\mathrm{kV}$ directement depuis l’alternateur, quelle intensité circule ?
Calculer la perte Joule $R_\ell I^2$ à cette intensité et la comparer à la sortie de la centrale. Conclure.
La puissance $P = UI$ de la ville est fixée par la demande. Quelle est la seule façon de diminuer $I$ , et quel appareil la réalise ?

Partie II — Sur la ligne.

Un transformateur, traité comme sans pertes pour cette question, élève les $88\,\mathrm{MW}$ à $400\,\mathrm{kV}$ : quelle intensité circule maintenant ?
Calculer la nouvelle perte en ligne, en mégawatts.
Quelle fraction de la sortie de la centrale est perdue en ligne ?
Montrer que la fraction perdue vaut $R_\ell P/U^2$ , et vérifier que cela explique le facteur entre les questions 4 et 7.
Calculer la chute de tension $R_\ell I$ le long de la ligne à $400\,\mathrm{kV}$ . Est-elle cohérente avec la question 8 ?

Partie III — Dans la cuisine.

Convertir $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ en joules ; que multiplie le compteur ?
Calculer l’intensité et la résistance du grille-pain sous $230\,\mathrm{V}$ .
Trois minutes de toast : l’énergie en joules et en kilowatt-heures, et son prix.
Le grille-pain dissipe $RI^2$ : expliquer en une phrase pourquoi la même formule est la perte sur la ligne, le produit dans la cuisine.
Le grille-pain partage un fusible de $16\,\mathrm{A}$ avec une bouilloire de $2.2\,\mathrm{kW}$ : le fusible tient-il ? Un radiateur de $2.0\,\mathrm{kW}$ s’ajoute : et maintenant ?

Partie IV — L’audit.

Le câblage propre de la maison, résistance $0.05\,\Omega$ , porte les $13.5\,\mathrm{A}$ de la question 15 : calculer la perte et sa fraction des environ $3.1\,\mathrm{kW}$ livrés.
Enchaîner les rendements (turbine–alternateur, élévation, ligne, abaissement, câblage de maison) en un rendement global du réseau.
Combien de kilogrammes (et de mètres cubes) d’eau du barrage doivent tomber pour qu’un kilowatt-heure atteigne votre grille-pain ?
Évaluer la fraction perdue $R_\ell P/U^2$ de la question 9 à $U = 20\,\mathrm{kV}$ . Que signifie une valeur supérieure à $1$ ?
La chute — le prix de la distance : en deux phrases, que coûte un kilowatt-heure toasté à la montagne, quelle fraction meurt en route, et quel unique tour le rend possible ?

Solution

Solution de Problème 12.1.

1. Chaque seconde, $E_p = mgh = 5.0\times10^{4} \times 9.81 \times 200 = 9.8 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ : puissance disponible $98\,\mathrm{MW}$ .

2. $0.90 \times 98 = 88\,\mathrm{MW}$ .

3. $I = P/U = 8.8\times10^{7}/2.0\times10^{4} = 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{A}$ .

4. $R_\ell I^2 = 32 \times (4.4\times10^{3})^2 \approx 6.2 \times 10^{8}\,\mathrm{W} = 620\,\mathrm{MW}$ — sept fois la sortie de la centrale : transmettre à $20\,\mathrm{kV}$ est impossible.

5. Avec $P = UI$ fixe, seule l’élévation de $U$ diminue $I$ : un transformateur.

6. $I = 8.8\times10^{7}/4.0\times10^{5} = 220\,\mathrm{A}$ .

7. $R_\ell I^2 = 32 \times 220^2 \approx 1.6\,\mathrm{MW}$ .

8. $1.6/88 \approx 0.018$ : environ $1{,}8\,\%$ .

9. Fraction $= R_\ell I^2/P = R_\ell (P/U)^2/P = R_\ell P/U^2 \propto 1/U^2$ : de $20\,\mathrm{kV}$ à $400\,\mathrm{kV}$ elle chute d’un facteur $20^2 = 400$ , et en effet $620\,\mathrm{MW}/400 \approx 1.6\,\mathrm{MW}$ .

10. $R_\ell I = 32 \times 220 \approx 7.1\,\mathrm{kV}$ : $1{,}8\,\%$ de $400\,\mathrm{kV}$ , la même fraction que la question 8, puisque $R_\ell I/U = R_\ell I^2/UI$ .

11. $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ : le compteur multiplie la puissance tirée par le temps pendant lequel elle est tirée, et additionne.

12. $I = 900/230 = 3.9\,\mathrm{A}$ ; $R = U^2/P = 230^2/900 \approx 59\,\Omega$ .

13. $E = 900 \times 180 = 1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 0.045\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ : environ $1{,}1$ centime.

14. La physique de $RI^2$ est identique ; seul le but diffère — sur la ligne la chaleur est indésirable, dans le grille-pain la chaleur est le produit.

15. $3.9 + 9.6 = 13.5\,\mathrm{A} < 16\,\mathrm{A}$ : tient. Radiateur $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ : total $22.2\,\mathrm{A} > 16\,\mathrm{A}$ , le fusible fond.

16. $0.05 \times 13.5^2 = 9.1\,\mathrm{W}$ : $9.1/3100 \approx 0.3\,\%$ de la puissance livrée — négligeable sur des fils courts.

17. $\eta = 0.90 \times 0.99 \times 0.982 \times 0.99 \times 0.997 \approx 0.86$ .

18. Un kilowatt-heure toasté demande $3.6\times10^{6}/0.86 \approx 4.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ en amont : $m = E/(gh) = 4.2\times10^{6}/(9.81 \times 200) \approx 2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ , environ $2.1\,\mathrm{m}^{3}$ d’eau.

19. $R_\ell P/U^2 = 32 \times 8.8\times10^{7}/(2.0\times 10^{4})^2 \approx 7$ . Une « fraction » supérieure à $1$ signifie que la ligne dissiperait plus qu’elle ne transporte : la livraison ne peut pas se faire du tout à cette tension.

20. Un kilowatt-heure toasté coûte à la montagne environ deux tonnes — $2.1\,\mathrm{m}^{3}$ — d’eau tombant de $200\,\mathrm{m}$ , et quelque $14\,\%$ de l’énergie meurt en route, surtout dans les turbines et transformateurs (moins de $2\,\%$ sur $1000\,\mathrm{km}$ de ligne). L’unique tour qui rend le voyage possible est le transformateur : élever à $400\,\mathrm{kV}$ divise l’intensité par $20$ et la perte Joule par $400$ .