Physique du lycée · Grades 10–12

28Oscillateurs mécaniques et mesure du temps

Une horloge comtoise tic-tac : chaque tic est un balancier de laiton qui traverse la verticale, répété quinze millions de fois depuis le Nouvel An. Un lambeau de quartz dans votre montre fléchit $32\,768$ fois par seconde ; un atome de césium vibre neuf milliards de fois plus vite. Tout ce qui oscille peut tenir le temps : ce chapitre suit le balancement, de Huygens aux satellites.

28.1 Oscillations libres

Définition 28.1 (Oscillateur, période, fréquence, amplitude)

Un oscillateur mécanique est un système qui, écarté d’une position d’équilibre stable et lâché, oscille de part et d’autre autour d’elle : ce sont des oscillations libres. Le mouvement se répète après la période $T_0$ ( $\mathrm{s}$ ) ; la fréquence $f_0 = 1/T_0$ ( $\mathrm{Hz}$ , Chapitre 20) ; l’amplitude est l’écart maximal.

Exemple 28.2 (Un zoo d’oscillateurs)

Une balançoire de parc : $T_0 \approx 3\,\mathrm{s}$ . La corde de la d’une guitare : $f_0 = 110\,\mathrm{Hz}$ . Un cristal de quartz : $32\,768\,\mathrm{Hz}$ . L’oscillation du césium qui définit la seconde : environ $9.2 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$ . Dix ordres de grandeur, une seule tâche : compter.

28.2 Le pendule simple

Définition 28.3 (Pendule simple)

Un pendule simple : une petite masse $m$ au bout d’un fil inextensible de longueur $L$ et de masse négligeable, qui oscille dans un plan vertical. Des deux forces sur la masse (Chapitre 25), la tension est perpendiculaire au mouvement, tandis que la composante du poids le long de la trajectoire pointe vers le point le plus bas : le poids est la force de rappel, opposée au déplacement.

Forces sur la masse : la tension T est perpendiculaire au mouvement ; la partie tangentielle P_t du poids pointe toujours vers la verticale — la force de rappel. — Forces sur la masse : la tension $\vect T$ est perpendiculaire au mouvement ; la partie tangentielle $\vect{P_t}$ du poids pointe toujours vers la verticale — la force de rappel.

Proposition 28.4 (Période du pendule simple)

Pour de petites amplitudes (en dessous d’environ $15^\circ$ ), la période est

T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Elle ne dépend ni de la masse de la bille ni — tant que l’angle reste petit — de l’amplitude : les petites oscillations sont isochrones, toutes de même durée.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 28.5 (Analyse dimensionnelle, et où vit le $2\pi$ )

La formule se devine. À partir de $m$ ( $\mathrm{kg}$ ), $L$ ( $\mathrm{m}$ ) et $g$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ), la seule combinaison ayant l’unité d’un temps est $\sqrt{L/g}$ — et la masse ne peut pas entrer, aucune autre donnée ne portant un kilogramme pour l’annuler. Les dimensions ne donnent pas le nombre pur devant : le $2\pi$ vient de la résolution de l’équation du mouvement, faite dans le volume de Licence 1. La condition de petit angle n’est pas optionnelle non plus : à $30^\circ$ la vraie période est plus longue de $2\%$ , et l’isochronisme tombe.

Exemple 28.6 (Le pendule à secondes)

Quelle longueur bat la seconde, $T_0 = 2.00\,\mathrm{s}$ , un tic dans chaque sens ? En résolvant, $L = g\,T_0^2/4\pi^2 = 9.81 \times 2.00^2/4\pi^2 \approx 0.994\,\mathrm{m}$ . Presque un mètre : les horloges à pendule sont hautes parce que les secondes sont longues.

28.3 L’oscillateur masse–ressort

Définition 28.7 (Force de rappel d’un ressort)

Un mobile de masse $m$ glisse sur un rail horizontal sans frottement, attaché à un ressort de raideur $k$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ). Soit $x$ son déplacement par rapport à l’équilibre. Étiré ou comprimé, le ressort tire ou pousse le mobile en arrière avec la force $F = -kx$ : proportionnelle au déplacement et opposée à celui-ci — une force de rappel encore, fournie cette fois par l’élasticité.

Proposition 28.8 (Équation du mouvement et sa solution)

La deuxième loi de Newton le long du rail (Chapitre 25) donne $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$ , c’est-à-dire $\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}\,x$ . Quelles que soient les constantes $A$ et $\varphi$ ,

x(t) = A \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi\right), \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},

satisfait cette équation : oscillation de période $T_0$ , indépendante de l’amplitude.

Démonstration. En dérivant, $\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A \sin(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi)$ ; encore une fois, $\frac{d^2x}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 A\cos(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi) = -(\frac{2\pi}{T_0})^2\,x(t)$ , ce qui est $-(k/m)\,x$ exactement lorsque $(2\pi/T_0)^2 = k/m$ . ∎

Remarque 28.9 (Tous les mouvements qui existent)

Que tout mouvement du mobile soit l’une de ces fonctions est admis, prouvé dans le volume de Licence 1. Et pas de $g$ dans $2\pi\sqrt{m/k}$ : plus raide, plus vite ; plus lourd, plus lent ; pareil sur la Lune.

Définition 28.10 (Amplitude et phase)

Dans $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 + \varphi)$ la constante positive $A$ est l’amplitude — les extrêmes sont $x = \pm A$ — et $2\pi t/T_0 + \varphi$ est la phase, qui croît de $2\pi$ à chaque période ; la phase initiale $\varphi$ enregistre le départ : lâché au repos depuis $x = A$ , $\varphi = 0$ . Par exemple $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ sur $k = 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ donne $T_0 = 2\pi\sqrt{0.20/20} = 0.63\,\mathrm{s}$ ; tiré à $5.0\,\mathrm{cm}$ et lâché, $x(t) = 5.0\cos(2\pi t/0.63)$ en centimètres.

28.4 Énergie, amortissement, résonance

Proposition 28.11 (Énergie de l’oscillateur)

Un ressort étiré de $x$ stocke l’énergie potentielle élastique $E_p = \tfrac12 kx^2$ (justifiée au Chapitre 29). Pendant l’oscillation sans frottement, l’énergie mécanique

E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2

est constante : toute élastique aux extrêmes, toute cinétique à l’équilibre. Le pendule joue le même duo entre $E_k$ et $E_p$ gravitationnelle (Chapitre 18).

Démonstration. Avec $v = \frac{dx}{dt}$ , la dérivée de $E_m$ est $mv\frac{dv}{dt} + kx\frac{dx}{dt} = v\,(m\frac{d^2x}{dt^2} + kx) = 0$ par l’équation du mouvement ; la valeur $\tfrac12 kA^2$ se lit à un extrême. ∎

Une période, lâché depuis x = A : l’énergie bascule deux fois de l’élastique au cinétique et retour, la somme fixée à 1/2 kA2. — Une période, lâché depuis $x = A$ : l’énergie bascule deux fois de l’élastique au cinétique et retour, la somme fixée à $\tfrac12 kA^2$ .

Définition 28.12 (Oscillations amorties)

Le frottement draine l’énergie mécanique de tout oscillateur réel : ses oscillations libres sont amorties. Sous un amortissement léger le système oscille encore, avec une amplitude qui meurt mais un temps de reprise presque inchangé, la pseudo-période, proche de $T_0$ ; sous un fort amortissement (du miel) il rampe vers l’équilibre sans jamais le dépasser ; l’énergie, proportionnelle au carré de l’amplitude, se dissipe en chaleur.

Oscillations non amorties et faiblement amorties : presque la même période (2.0\, s ici), l’amplitude amortie mourant à l’intérieur d’une enveloppe exponentielle qui se rétrécit (en tireté). — Oscillations non amorties et faiblement amorties : presque la même période ( $2.0\,\mathrm{s}$ ici), l’amplitude amortie mourant à l’intérieur d’une enveloppe exponentielle qui se rétrécit (en tireté).

Définition 28.13 (Oscillations forcées et résonance)

Poussez un oscillateur périodiquement — oscillations forcées — et après un bref régime transitoire il oscille à la fréquence d’excitation $f$ , pas à la sienne. Son amplitude culmine lorsque $f$ se rapproche de la fréquence propre $f_0$ de l’oscillateur libre : c’est la résonance, chaque poussée arrivant en phase avec le mouvement, injectant de l’énergie à chaque cycle ; plus l’amortissement est léger, plus le pic est haut et pointu.

Courbe de résonance : amplitude forcée en fonction de la fréquence d’excitation. Près de f = f_0 la réponse s’élève, plus haute que l’amortissement est léger. — Courbe de résonance : amplitude forcée en fonction de la fréquence d’excitation. Près de $f = f_0$ la réponse s’élève, plus haute que l’amortissement est léger.

Exemple 28.14 (La résonance pour le bien et pour le mal)

Un parent qui pousse une balançoire pousse à sa propre fréquence — la résonance mise au travail. En $2000$ , le nouveau Millennium Bridge à Londres a dangereusement oscillé lorsque les pas de la foule se sont calés sur une fréquence propre près de $1\,\mathrm{Hz}$ ; il a fermé deux ans pour des amortisseurs. Toute montre à quartz fait chanter son cristal en l’excitant à la résonance, $32\,768\,\mathrm{Hz}$ .

28.5 Mesurer le temps

Méthode 28.15 (Chronométrer une période)

Ne chronométrez jamais une seule oscillation : démarrez le chronomètre au moment où la masse traverse la verticale (le plus vite, le plus facile à juger), comptez $N = 50$ oscillations, divisez par $N$ — une erreur de réaction de $0.2\,\mathrm{s}$ devient $4\,\mathrm{ms}$ sur $T_0$ . Répétez, et comparez les séries.

Exemple 28.16 (Trois siècles de tic-tac)

Huygens a construit la première horloge à pendule en $1657$ : l’isochronisme a fait passer les horloges d’un quart d’heure de dérive par jour à des secondes, et les pendules compensés à des fractions de seconde par jour. La montre à quartz ( $1969$ ) a échangé la tige contre un cristal fléchissant à $32\,768\,\mathrm{Hz}$ : des dixièmes de seconde par mois. Depuis $1967$ la seconde elle-même est définie par une oscillation atomique : la durée de $9\,192\,631\,770$ périodes du rayonnement micro-onde d’une transition interne du césium-133 (Chapitre 34). Les meilleures horloges à césium dérivent d’une seconde en cent millions d’années.

Remarque 28.17 (Pourquoi chasser la nanoseconde)

Un récepteur GPS trouve sa position en chronométrant des signaux radio issus de satellites ; la lumière parcourt $30\,\mathrm{cm}$ par nanoseconde, donc une erreur d’horloge d’une microseconde vous déplace de $300\,\mathrm{m}$ . Les satellites portent donc des horloges atomiques — et à cette précision le rythme d’une horloge dépend de sa vitesse et de sa hauteur, un effet que l’on rencontre au Chapitre 35.

28.6 Exercices

Exercice 28.1 ★

(a) Calculer la période et la fréquence d’un pendule simple de $1.00\,\mathrm{m}$ . (b) La longueur est quadruplée : que devient la période ?

Solution

Solution de Exercice 28.1.

(a) $T_0 = 2\pi\sqrt{1.00/9.81} = 2.01\,\mathrm{s}$ ; $f_0 = 1/T_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$ . (b) $T_0 \propto \sqrt{L}$ : la période double.

Exercice 28.2 ★

Un cœur au repos bat $72$ fois par minute ; une aile de libellule à $30\,\mathrm{Hz}$ . Donner la fréquence et la période du cœur, la période de l’aile ; quel mot du chapitre nomme la montée maximale de la poitrine par battement ?

Solution

Solution de Exercice 28.2.

Cœur : $f = 72/60 = 1.2\,\mathrm{Hz}$ , $T = 0.83\,\mathrm{s}$ . Aile : $T = 1/30 = 33\,\mathrm{ms}$ . La montée de la poitrine est l’amplitude.

Exercice 28.3 ★

Un mobile de $0.10\,\mathrm{kg}$ monte un ressort de $25\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ : calculer $T_0$ et $f_0$ . Que fait le doublement de la masse à la période ?

Solution

Solution de Exercice 28.3.

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.10/25} = 0.40\,\mathrm{s}$ , $f_0 = 2.5\,\mathrm{Hz}$ . Doubler $m$ : $T_0 \times \sqrt{2} \approx 1.4$ .

Exercice 28.4 ★

Maxima successifs d’un oscillateur amorti : $2.0$ , $1.5$ , $1.13$ , $0.85\,\mathrm{cm}$ à $t = 0$ , $2.0$ , $4.0$ , $6.0\,\mathrm{s}$ . Lire la pseudo-période ; montrer que l’amplitude chute d’un facteur fixe à chaque période ; prédire le prochain maximum.

Solution

Solution de Exercice 28.4.

Pseudo-période $2.0\,\mathrm{s}$ . Rapports $1.5/2.0 = 1.13/1.5 = 0.85/1.13 = 0.75$ chaque période ; prochain maximum $0.85 \times 0.75 \approx 0.64\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 28.5 ★

Un astronaute emporte un pendule et un oscillateur masse–ressort sur la Lune ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ). Par quel facteur chaque période change-t-elle ? Expliquer.

Solution

Solution de Exercice 28.5.

Pendule : $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$ , donc $\times\sqrt{9.81/1.62} = 2.46$ (plus lent). Masse–ressort : inchangé — pas de $g$ dans $2\pi\sqrt{m/k}$ .

Exercice 28.6 ★★

(a) Vérifier que $\sqrt{L/g}$ a la dimension d’un temps. (b) Pourquoi aucune formule pour $T_0$ construite à partir de $m$ , $L$ , $g$ ne peut-elle contenir la masse ? (c) Cet argument pourrait-il jamais produire le $2\pi$ ?

Solution

Solution de Exercice 28.6.

(a) $[L/g] = \mathrm{m}/(\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}) = \mathrm{s}^{2}$ ; sa racine carrée est un temps. (b) Le kilogramme n’apparaît que dans $m$ : rien d’autre ne pourrait l’annuler, donc $m$ ne peut pas entrer. (c) Jamais : les nombres purs comme $2\pi$ sont invisibles aux dimensions.

Exercice 28.7 ★★

Vérifier en dérivant deux fois que $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 + \varphi)$ satisfait $\frac{d^2x}{dt^2} = -(k/m)\,x$ si et seulement si $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ .

Solution

Solution de Exercice 28.7.

$\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A\sin(2\pi t/T_0 + \varphi)$ , donc $\frac{d^2x}{dt^2} = -(2\pi/T_0)^2 x(t)$ . L’égalité avec $-(k/m)x$ pour tout $t$ vaut exactement lorsque $(2\pi/T_0)^2 = k/m$ , c’est-à-dire $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ .

Exercice 28.8 ★★

Un ressort de raideur $40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ porte un mobile de $0.20\,\mathrm{kg}$ avec une amplitude de $3.0\,\mathrm{cm}$ . Calculer l’énergie mécanique et la vitesse maximale. Où la vitesse est-elle maximale ? Nulle ?

Solution

Solution de Exercice 28.8.

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.030^2 = 1.8 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$ ; $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{0.18} = 0.42\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — en $x = 0$ ; nulle aux extrêmes $x = \pm A$ .

Exercice 28.9 ★★

(a) Calculer la longueur du pendule à secondes ( $T_0 = 2.00\,\mathrm{s}$ ). (b) Sa longueur croît de $1.0\%$ : avec $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ , trouver la variation relative de $T_0$ et l’erreur quotidienne.

Solution

Solution de Exercice 28.9.

(a) $L = gT_0^2/4\pi^2 = 0.994\,\mathrm{m}$ . (b) $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 1.0\% = 0.5\%$ : $86400 \times 0.005 \approx 4.3 \times 10^{2}\,\mathrm{s}$ — sept minutes de retard par jour.

Exercice 28.10 ★★

Un oscillateur faiblement amorti perd $5.0\%$ de son énergie à chaque période. (a) La chute d’amplitude par période ? (b) Combien de périodes pour perdre la moitié de l’énergie ? (c) La pseudo-période est-elle loin de $T_0$ ?

Solution

Solution de Exercice 28.10.

(a) $A \propto \sqrt{E}$ : $\sqrt{0.95} \approx 0.975$ , une chute de $2.5\%$ . (b) $0.95^n = 0.5$ : $n = \ln 2/\ln(1/0.95) \approx 14$ périodes. (c) Non : pour un amortissement léger elle reste à une fraction de pour cent de $T_0$ .

Exercice 28.11 ★★

Expliquer avec la courbe de résonance : (a) pourquoi pousser une balançoire ne marche qu’à son propre rythme ; (b) pourquoi les soldats rompent le pas sur les passerelles ; (c) pourquoi une machine à laver frémit à une certaine vitesse en montant en régime.

Solution

Solution de Exercice 28.11.

(a) À $f_0$ chaque poussée arrive en phase et ajoute de l’énergie ; hors du pic, les poussées aident et gênent alternativement. (b) Marcher au pas est une excitation périodique ; près de la $f_0$ du pont elle monterait le pic de résonance. (c) Le tambour balaie la fréquence propre du châssis pendant la montée en régime : résonance momentanée, puis au-delà du pic.

Exercice 28.12 ★★★

Une horloge à pendule, exacte au niveau de la mer, est déplacée dans un observatoire où $g = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . (a) Avance-t-elle ou retarde-t-elle ? De combien de secondes par jour ? (b) De combien doit-on raccourcir son pendule de $0.994\,\mathrm{m}$ ?

Solution

Solution de Exercice 28.12.

(a) $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$ : retard, de $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 0.03/9.81 = 1.5 \times 10^{-3}$ , soit $\approx 132\,\mathrm{s}$ par jour. (b) $L \propto g$ à $T_0$ fixé : raccourcir de $0.994 \times 0.03/9.81 \approx 3.0\,\mathrm{mm}$ .

Exercice 28.13 ★★★

Un mobile de $0.20\,\mathrm{kg}$ obéit à $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0)$ , avec $A = 4.0\,\mathrm{cm}$ , $T_0 = 0.63\,\mathrm{s}$ . Calculer la vitesse maximale, l’accélération maximale, la raideur $k$ et l’énergie mécanique.

Solution

Solution de Exercice 28.13.

$v_{\max} = 2\pi A/T_0 = 2\pi \times 0.040/0.63 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_{\max} = (2\pi/T_0)^2 A = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $k = m(2\pi/T_0)^2 = 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; $E_m = \tfrac12 kA^2 = 1.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$ .

Exercice 28.14 ★★★

Pour mesurer $g$ : un pendule avec $L = 99.5 \pm 0.2\,\mathrm{cm}$ effectue $20$ oscillations en $40.1 \pm 0.2\,\mathrm{s}$ . Calculer $g$ et son incertitude relative (ajouter celles de $L$ et de $T_0^2$ ) ; le résultat s’accorde-t-il avec $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ?

Solution

Solution de Exercice 28.14.

$T_0 = 40.1/20 = 2.005\,\mathrm{s}$ ; $g = 4\pi^2 L/T_0^2 = 4\pi^2 \times 0.995/4.020 = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . Incertitude $\approx 0.2\% + 2 \times 0.5\% = 1.2\%$ , soit $\pm0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : l’intervalle contient $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — cohérent.

Exercice 28.15 ★★★

Comparer les garde-temps par leur dérive relative (erreur sur le temps écoulé) : une horloge à pendule perdant $10\,\mathrm{s}$ par jour, une montre à quartz $0.5\,\mathrm{s}$ par mois, une horloge à césium $1\,\mathrm{s}$ par cent millions d’années : calculer les trois rapports. Une horloge GPS fausse de $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ : erreur de position ? Quelle famille le GPS exige-t-il ?

Solution

Solution de Exercice 28.15.

Pendule $10/86400 \approx 1.2 \times 10^{-4}$ ; quartz $0.5/2.6 \times 10^{6} \approx 1.9 \times 10^{-7}$ ; césium $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$ . Une erreur de $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ est $1000 \times 30\,\mathrm{cm} = 300\,\mathrm{m}$ de position : le GPS exige la famille atomique.

28.7 Problème : L’établi de l’horloger

Problème 28.1

Problème du week-end — l’établi de l’horloger : une horloge murale remise à l’heure — cinquante oscillations chronométrées, une tige de laiton qui s’allonge en été, la poussée chuchotée de l’échappement, un concurrent à quartz — le verdict rendu en secondes par mois

Une horloge murale à pendule arrive à l’établi « qui ne marche pas ». Traiter sa tige de laiton et sa lourde masse comme un pendule simple de longueur effective $L$ , masse de la bille $m = 1.2\,\mathrm{kg}$ ; l’engrenage compte chaque oscillation complète comme exactement $2.000\,\mathrm{s}$ .

Partie I — Prendre le pouls de l’horloge.

Pourquoi chronométrer $50$ oscillations plutôt qu’une ? Estimer l’erreur restante sur $T_0$ si votre temps de réaction est $0.2\,\mathrm{s}$ .
Le chronomètre indique $99.4\,\mathrm{s}$ pour $50$ oscillations : la période ?
En déduire la longueur effective actuelle du pendule.
Quelle longueur donnerait exactement $2.000\,\mathrm{s}$ ? L’écrou de réglage doit-il monter ou descendre la masse, et de combien ?
Sans réglage, l’horloge avance-t-elle ou retarde-t-elle, de combien de secondes par jour ?
Sensibilité à $g$ : la période sur la Lune ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ) ? L’erreur quotidienne dans un observatoire où $g = 9.80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ?

Partie II — L’affaissement d’été. Le laiton se dilate : un réchauffement $\Delta\theta$ allonge la tige en $L' = L\,(1 + \lambda\, \Delta\theta)$ , $\lambda = 1.9 \times 10^{-5}$ par kelvin. L’horloge est réglée à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Calculer $\Delta L$ pour une pièce d’été à $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
En utilisant $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ , montrer que $\Delta T_0 / T_0 = \tfrac12 \lambda\, \Delta\theta$ .
Calculer $\Delta T_0/T_0$ et l’erreur quotidienne d’été : avance ou retard ?
Mêmes questions pour un couloir d’hiver à $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
Les vieilles horloges de précision utilisaient des pendules « grille-pain » mélangeant des tiges de laiton et d’acier (qui se dilatent environ deux fois moins) en directions alternées. Expliquer comment cela peut tenir le rythme.

Partie III — La poussée chuchotée. Avec l’échappement désengagé, le balancement, démarré à l’amplitude $\theta_m = 2.00^\circ$ , divise par deux son amplitude en $280\,\mathrm{s}$ ; en service, une petite poussée de l’échappement à chaque période maintient $\theta_m$ constant.

Combien de périodes dure le demi-affaiblissement ?
À l’extrême la masse a grimpé $h = L(1 - \cos\theta_m) \approx L\,\theta_m^2/2$ (radians) : en déduire $E_m = \tfrac12 m g L\,\theta_m^2$ et la calculer (Chapitre 18).
L’énergie est proportionnelle au carré de l’amplitude : quelle fraction de $E_m$ est perdue par période ?
En déduire l’énergie de chaque poussée, et la puissance moyenne nécessaire.
Le poids moteur $M = 2.5\,\mathrm{kg}$ descend de $h = 1.0\,\mathrm{m}$ par semaine : est-ce assez d’énergie, à quel rendement ?

Partie IV — Le concurrent à quartz. Un mouvement à quartz oscille à $f = 32\,768\,\mathrm{Hz}$ et dérive d’environ $0.3\,\mathrm{s}$ par mois ; le pendule restauré dérive encore de $0.5\,\mathrm{s}$ par jour.

Calculer la période du quartz. Montrer $32\,768 = 2^{15}$ : pourquoi une puissance de deux est-elle exactement ce qu’un circuit de montre veut ?
Calculer les dérives relatives du quartz et du pendule restauré, et chacune en secondes par mois. Qui gagne, par quel facteur ?
L’étalon de césium — $9\,192\,631\,770$ périodes font une seconde — dérive de $1\,\mathrm{s}$ par cent millions d’années : sa dérive relative ? Combien d’ordres de grandeur sous le quartz, et pourquoi le GPS l’exige-t-il ?
Le verdict, une phrase avec des nombres : que gagne l’horloge restaurée sur le mur, et à qui appartient désormais la seconde ?

Solution

Solution de Problème 28.1.

1. L’erreur de réaction $\approx 0.2\,\mathrm{s}$ est divisée par $50$ : environ $4\,\mathrm{ms}$ sur $T_0$ .

2. $T = 99.4/50 = 1.988\,\mathrm{s}$ .

3. $L = gT^2/4\pi^2 = 9.81 \times 1.988^2/4\pi^2 \approx 0.982\,\mathrm{m}$ .

4. $L = 0.994\,\mathrm{m}$ (le pendule à secondes) : descendre la masse, allonger d’ $\approx 1.2\,\mathrm{cm}$ .

5. Trop court, donc trop rapide : avance, de $(2.000 - 1.988)/1.988 \times 86400 \approx 5.2 \times 10^{2}\,\mathrm{s} \approx 8.7$ minutes par jour.

6. Lune : $\times\sqrt{9.81/1.62} = 2.46$ — inutilisable. Observatoire : $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 0.01/9.81 = 5.1 \times 10^{-4}$ : perd $\approx 44\,\mathrm{s}$ par jour.

7. $\Delta L = L\lambda\,\Delta\theta = 0.994 \times 1.9 \times 10^{-5} \times 5.0 \approx 9.4 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} \approx 0.1\,\mathrm{mm}$ .

8. $T' = 2\pi\sqrt{L(1 + \lambda\Delta\theta)/g} = T_0\sqrt{1 + \lambda\Delta\theta} \approx T_0\,(1 + \tfrac12 \lambda\Delta\theta)$ .

9. $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 1.9 \times 10^{-5} \times 5.0 = 4.8 \times 10^{-5}$ : $86400 \times 4.8 \times 10^{-5} \approx 4.1\,\mathrm{s}$ par jour, retard (tige plus longue, période plus longue).

10. $\Delta\theta = -10\,\mathrm{K}$ : $\Delta T_0/T_0 = -9.5 \times 10^{-5}$ , gagne $\approx 8.2\,\mathrm{s}$ par jour.

11. L’acier et le laiton se dilatent différemment ; montés en directions alternées, les tiges de laiton abaissent la masse tandis que celles d’acier la relèvent. Dimensionnées pour que les deux déplacements s’annulent, la longueur effective — et le rythme — survit aux saisons.

12. $280/2.000 = 140$ périodes.

13. $\theta_m = 2.00^\circ = 0.0349\,\mathrm{rad}$ : $E_m = \tfrac12 \times 1.2 \times 9.81 \times 0.994 \times 0.0349^2 \approx 7.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}$ .

14. Par période l’amplitude rétrécit de $2^{-1/140} \approx 0.9951$ , l’énergie de $0.9951^2 \approx 0.990$ : environ $1.0\%$ de $E_m$ par période.

15. Poussée $\approx 0.010 \times 7.1 \times 10^{-3} = 7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; puissance $7.1 \times 10^{-5}/2.0 \approx 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ — des dizaines de microwatts.

16. Une semaine fait $604800/2.0 = 3.02 \times 10^{5}$ périodes, demandant $3.02 \times 10^{5} \times 7.1 \times 10^{-5} \approx 21\,\mathrm{J}$ ; le poids fournit $Mgh = 2.5 \times 9.81 \times 1.0 = 24.5\,\mathrm{J}$ : assez, à $21/24.5 \approx 88\%$ de rendement.

17. $T = 1/32\,768 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ . $32\,768 = 2^{15}$ : quinze étages de division par deux transforment le signal du cristal en un tic exact à $1\,\mathrm{Hz}$ .

18. Quartz : $0.3/2.6 \times 10^{6} \approx 1.2 \times 10^{-7}$ . Pendule : $0.5/86400 \approx 5.8 \times 10^{-6}$ , soit $\approx 15\,\mathrm{s}$ par mois. Le quartz gagne d’un facteur $\approx 50$ .

19. $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$ : neuf ordres de grandeur sous le quartz. Le GPS chronomètre les signaux à la nanoseconde — $30\,\mathrm{cm}$ de parcours de lumière chacun — donc seules les horloges atomiques conviennent.

20. Restaurée, l’horloge murale tient $\pm15\,\mathrm{s}$ par mois contre $\pm0.3\,\mathrm{s}$ pour le quartz : la garder pour le carillon, faire confiance au quartz pour le train — et la seconde elle-même appartient désormais à l’atome de césium.