Physique du lycée · Grades 10–12

26Chute libre et mouvement de projectile

Chaque jet d’un tuyau d’arrosage dessine la même courbe dans l’air. Ainsi fait un ballon de basket en arc vers le panier, un sauteur en longueur, un boulet de canon : tout corps abandonné à son poids. Ce chapitre gagne cette courbe — une parabole — à partir de la deuxième loi de Newton en deux lignes de calcul, lit sommet, temps de vol et portée sur son équation, puis laisse l’air revenir pour voir ce qu’il gâche.

26.1 Chute libre

Définition 26.1 (Chute libre)

Un corps est en chute libre lorsque la seule force qui agit sur lui est son poids $\vect P = m\vect g$ : pas de support, pas de fil, résistance de l’air négligeable. Une pierre lâchée ou une balle qui a quitté la main est, à bonne approximation, en chute libre — « chute » inclut la montée.

Théorème 26.2 (Loi de Galilée de la chute libre)

En chute libre, tous les corps partagent la même accélération, quelle que soit leur masse :

\vect a = \vect g, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2},

dirigée tout droit vers le bas : l’intensité de champ $9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ du Chapitre 4 dans son autre tenue, $\mathrm{N}/\mathrm{kg} = \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Démonstration. Deuxième loi de Newton (Chapitre 25) avec le poids comme seule force : $m\vect a = m\vect g$ , et la masse s’annule. Marteau et plume ne diffèrent que par l’air. ∎

Proposition 26.3 (Chute verticale depuis le repos)

Lâché du repos, avec la profondeur tombée $h$ comptée vers le bas depuis le point de lâcher, un corps en chute libre obéit à

a = g, \qquad v = g t, \qquad h = \tfrac12\, g t^2 .

Démonstration. $v(t)$ est la primitive de la constante $a = g$ s’annulant en $t = 0$ (Chapitre 24) ; $h(t)$ celle de $v = gt$ s’annulant en $t = 0$ . ∎

Exemple 26.4 (Ordres de grandeur)

Après $1$ , $2$ , $3$ secondes de chute libre : $v = 9.8$ , $19.6$ , $29.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $35$ , $71$ , $106\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) et $h = 4.9$ , $19.6$ , $44.1\,\mathrm{m}$ . Depuis un toit de $30\,\mathrm{m}$ : $t = \sqrt{2h/g} \approx 2.5\,\mathrm{s}$ , arrivée à $24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ $\approx 87\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Les temps croissent comme $\sqrt h$ — et au-delà de quelques secondes l’air refuse de rester négligeable (dernière section).

Exemple 26.5 (Lancer vertical)

Lancé tout droit vers le haut à $v_0$ , axe $Oy$ vers le haut depuis la main : les deux mêmes primitives donnent $v = v_0 - gt$ et $y = v_0 t - \tfrac12 gt^2$ . Le sommet, où $v = 0$ , vient en $t = v_0/g$ , hauteur $h = v_0^2/2g$ — la réponse d’énergie $v_0 = \sqrt{2gh}$ du Chapitre 18 lue à l’envers ; lancé vers le bas, $v_0$ change de signe. Pour $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : sommet $11.5\,\mathrm{m}$ en $1.53\,\mathrm{s}$ , retour en $3.06\,\mathrm{s}$ , à $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

26.2 Le projectile : une loi, deux primitives

Définition 26.6 (Projectile)

Un projectile est un corps lancé avec une vitesse $\vect v_0$ puis laissé en chute libre. Axes au point de lancement : $Ox$ horizontal dans le plan vertical de $\vect v_0$ , $Oy$ vertical vers le haut ; l’angle de lancement $\alpha$ de $\vect v_0$ au-dessus de l’horizontale fixe ses coordonnées $(v_0\cos\alpha,\; v_0\sin\alpha)$ .

Théorème 26.7 (Équations du mouvement)

Un projectile lancé depuis l’origine avec la vitesse $v_0$ et l’angle $\alpha$ a $\vect a = (0,\,-g)$ à chaque instant, d’où

\vect v(t) = \bigl(v_0\cos\alpha,\; v_0\sin\alpha - g t\bigr), \qquad \vect{OM}(t) = \bigl(v_0\cos\alpha\, t,\; v_0\sin\alpha\, t - \tfrac12 g t^2\bigr).

Démonstration. Deux primitives de $\vect a = (0,-g)$ : $\vect v = (C_x,\, C_y - gt)$ , et $t = 0$ force $C_x = v_0\cos\alpha$ , $C_y = v_0\sin\alpha$ ; puis $\vect{OM}$ est la primitive de $\vect v$ s’annulant en $t = 0$ (Chapitre 24). ∎

Proposition 26.8 (Indépendance des deux mouvements)

Le mouvement horizontal est rectiligne uniforme à $v_0\cos\alpha$ ; le mouvement vertical est le même que pour un corps lâché verticalement à $v_0\sin\alpha$ . En particulier, une balle lâchée et une balle tirée horizontalement depuis la même hauteur touchent le sol au même instant.

Démonstration. Dans le Théorème 26.7, $x(t)$ n’implique que $v_0\cos\alpha$ , $y(t)$ seulement $v_0\sin\alpha$ et $g$ ; les deux balles ont $v_y(0) = 0$ , donc toutes deux obéissent à $h = \tfrac12 gt^2$ . ∎

Une balle lâchée, une tirée horizontalement au même instant : à chaque temps t_1, t_2, t_3 la même hauteur — la vitesse ne retarde rien. — Une balle lâchée, une tirée horizontalement au même instant : à chaque temps $t_1$ , $t_2$ , $t_3$ la même hauteur — la vitesse ne retarde rien.

Remarque 26.9 (Le singe qui tombe)

Un gardien de zoo vise un dard droit sur un singe, qui lâche sa branche au tir. Mauvaise idée : dard et singe tombent chacun de $\tfrac12 gt^2$ sous leurs positions sans gravité — la ligne de visée, la branche — donc ils se rencontrent exactement, quelle que soit la vitesse du dard (Exercice 26.15).

26.3 La parabole, lue en entier

Théorème 26.10 (Trajectoire)

En éliminant $t$ entre $x(t)$ et $y(t)$ : la trajectoire d’un projectile ( $0 \leq \alpha < 90{}^{\circ}$ ) est la parabole ouverte vers le bas

y = x\tan\alpha \;-\; \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha}\, x^2 .

Démonstration. $t = x/(v_0\cos\alpha)$ , substitué dans $y(t)$ du Théorème 26.7. ∎

La vitesse le long du vol : v_x ne change jamais ; v_y diminue, s’annule au sommet, s’inverse — la flèche incline, la parabole suit. — La vitesse le long du vol : $\vect v_x$ ne change jamais ; $\vect v_y$ diminue, s’annule au sommet, s’inverse — la flèche incline, la parabole suit.

Définition 26.11 (Portée)

Pour un projectile sur sol plat, la portée $R$ est la distance horizontale parcourue lorsqu’il revient à sa hauteur de lancement ; le temps de vol $t_f$ est la durée de ce trajet.

Proposition 26.12 (Sommet, temps de vol, portée)

Sur sol plat, avec $0 < \alpha < 90{}^{\circ}$ :

t_f = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}, \qquad h_{\text{apex}} = \frac{(v_0\sin\alpha)^2}{2g} \ \ \text{atteint en } t_f/2, \qquad R = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}.

La portée est maximale à $\alpha = 45{}^{\circ}$ , où $R = v_0^2/g$ ; les angles complémentaires $\alpha$ et $90{}^{\circ} - \alpha$ donnent la même portée.

Démonstration. $y = 0$ donne $t\,(v_0\sin\alpha - \tfrac12 gt) = 0$ : lancement, et $t_f$ . Le sommet, $v_y = 0$ , siège en $t = v_0\sin\alpha/g = t_f/2$ ; substituer dans $y(t)$ . Puis $R = x(t_f) = 2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha/g = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ . Le sinus culmine à $2\alpha = 90{}^{\circ}$ , et $\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ} - 2\alpha) = \sin(2\alpha)$ . ∎

Même vitesse de lancement v_0 = 10\, m/ s, cinq angles : 45 jette le plus loin ; les paires (15,75) et (30,60) atterrissent ensemble — l’une plate et rapide, l’autre haute et lente. — Même vitesse de lancement $v_0 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , cinq angles : $45{}^{\circ}$ jette le plus loin ; les paires ( $15{}^{\circ}$ , $75{}^{\circ}$ ) et ( $30{}^{\circ}$ , $60{}^{\circ}$ ) atterrissent ensemble — l’une plate et rapide, l’autre haute et lente.

Exemple 26.13 (Dégagement au but)

Un gardien frappe à $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\alpha = 45{}^{\circ}$ : $R = 25^2/9.81 \approx 64\,\mathrm{m}$ ; les vrais dégagements atterrissent plus près de $55\,\mathrm{m}$ — la coupe de l’air.

Méthode 26.14 (Comptabilité du projectile)

Axes au point de lancement, $Ox$ horizontal, $Oy$ vers le haut ; coordonnées de $\vect v_0$ .
Vérifier la chute libre (poids seul) : alors $\vect a = (0,-g)$ ; primitives deux fois, conditions initiales à chaque fois.
Question sur un lieu : éliminer $t$ (trajectoire). Sur un instant : garder $t$ .
Dictionnaire : sommet $\Leftrightarrow v_y = 0$ ; hauteur de lancement $\Leftrightarrow y = 0$ ; mur en $d \Leftrightarrow x = d$ ; sol $\ell$ en dessous $\Leftrightarrow y = -\ell$ .
Santé : vol symétrique par rapport au sommet ; $R \leq v_0^2/g$ ; l’air ne fait jamais qu’écourter.

26.4 Ce que l’air change

Définition 26.15 (Vitesse limite)

La résistance de l’air s’oppose à la vitesse et croît avec elle. Un corps qui tombe n’accélère donc que jusqu’à ce que la traînée équilibre le poids ; dès lors $\vect a = \vect 0$ : il tombe à une vitesse limite constante.

Exemple 26.16 (Ordres de grandeur de la vitesse limite)

Un parachutiste en chute libre : environ $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). Une goutte de pluie : environ $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — dans le vide, $2000\,\mathrm{m}$ de chute la livreraient à $\sqrt{2gh} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Une plume : environ $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , atteinte en quelques centimètres — le secret de sa lenteur : elle passe toute sa chute à la vitesse limite ; le marteau n’approche jamais la sienne.

Remarque 26.17 (Balistique réelle)

La traînée pousse contre la vitesse tout le long du vol : la portée raccourcit, le sommet s’abaisse, et la symétrie se casse — la descente plus raide que la montée, les longs tirs visiblement courts de la parabole. Le traitement honnête et quantitatif est une équation différentielle résolue dans le volume de Licence 1 ; cette année, la parabole est le bon modèle pour des projectiles denses et modérément rapides — un ballon de basket à $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , non une balle de golf à $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Le même lancement, avec et sans air : la traînée réduit la portée et le sommet et fait atterrir le projectile plus raide qu’au départ — la symétrie de la parabole est la première victime.

26.5 Exercices

Exercice 26.1 ★

Une pierre lâchée du repos tombe pendant $2.0\,\mathrm{s}$ . Calculer la profondeur tombée et la vitesse d’arrivée, en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Solution

Solution de Exercice 26.1.

$h = \tfrac12 \times 9.81 \times 2.0^2 = 19.6\,\mathrm{m}$ ; $v = gt = 19.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Exercice 26.2 ★

Sur la Lune, un marteau et une plume lâchés ensemble touchent le sol ensemble. Pourquoi ? Sur Terre, la plume traîne très loin derrière : expliquer avec la vitesse limite.

Solution

Solution de Exercice 26.2.

Pas d’air sur la Lune : tous deux en chute libre, $m\vect a = m\vect g$ donne $\vect a = \vect g$ pour toute masse. Sur Terre, la traînée sur la plume est comparable à son minuscule poids : elle voyage à une vitesse limite d’environ $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tandis que le marteau remarque à peine l’air.

Exercice 26.3 ★

Calculer le temps de chute et la vitesse d’arrivée depuis $1.0\,\mathrm{m}$ , $10\,\mathrm{m}$ et $100\,\mathrm{m}$ . Comment croissent les temps avec la hauteur ?

Solution

Solution de Exercice 26.3.

$t = \sqrt{2h/g} = 0.45$ , $1.4$ , $4.5\,\mathrm{s}$ ; $v = gt = 4.4$ , $14$ , $44\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Les temps croissent comme $\sqrt h$ : $\times 100$ en hauteur n’est que $\times 10$ en temps.

Exercice 26.4 ★

Une balle est lancée verticalement vers le haut à $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Calculer la hauteur du sommet et le temps pour y parvenir ; quand et à quelle vitesse revient-elle ?

Solution

Solution de Exercice 26.4.

$h = v_0^2/2g = 11.5\,\mathrm{m}$ en $t = v_0/g = 1.53\,\mathrm{s}$ ; retour en $3.06\,\mathrm{s}$ , à $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ encore (symétrie).

Exercice 26.5 ★

Une balle roule d’une table de $0.80\,\mathrm{m}$ de haut à $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ horizontalement. Calculer le temps de vol et la distance d’atterrissage. Le temps de chute dépend-il de la vitesse horizontale ?

Solution

Solution de Exercice 26.5.

$t = \sqrt{2 \times 0.80/9.81} = 0.40\,\mathrm{s}$ ; $x = 2.5 \times 0.40 = 1.0\,\mathrm{m}$ . Non : le temps de chute appartient au mouvement vertical seul (indépendance).

Exercice 26.6 ★★

Pour un même $v_0$ , quelles paires d’angles donnent la même portée ? Quel angle maximise $R$ ? Lequel d’une paire complémentaire vole plus longtemps, et pourquoi ?

Solution

Solution de Exercice 26.6.

$(15{}^{\circ},75{}^{\circ})$ et $(30{}^{\circ},60{}^{\circ})$ partagent leur portée ; $45{}^{\circ}$ gagne. Le plus raide d’une paire complémentaire vole plus longtemps : $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$ croît avec $\alpha$ .

Exercice 26.7 ★★

Une pierre est jetée vers le bas à $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ depuis un balcon de $20\,\mathrm{m}$ . Écrire $y(t)$ (vers le bas positif), résoudre pour le temps d’arrivée, et trouver la vitesse d’impact. Vérifier avec l’énergie.

Solution

Solution de Exercice 26.7.

$4.905\,t^2 + 5.0\,t - 20 = 0$ donne $t = (-5 + \sqrt{25 + 392.4})/9.81 = 1.57\,\mathrm{s}$ ; $v = 5.0 + 9.81 \times 1.57 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Énergie : $v = \sqrt{5.0^2 + 2 \times 9.81 \times 20} = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — même chose.

Exercice 26.8 ★★

Un arroseur lance de l’eau à $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sous $30{}^{\circ}$ . Calculer $t_f$ , la hauteur du sommet et la portée sur sol plat.

Solution

Solution de Exercice 26.8.

$t_f = 2 \times 40 \times \sin30{}^{\circ}/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}$ ; $h = (40\sin30{}^{\circ})^2/(2 \times 9.81) = 20.4\,\mathrm{m}$ ; $R = 40^2 \sin60{}^{\circ}/9.81 = 1.4 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ .

Exercice 26.9 ★★

Un sauteur en longueur quitte le sol à $10.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sous $20{}^{\circ}$ : prédire sa portée. Les records mondiaux approchent $9\,\mathrm{m}$ : qu’a oublié le modèle du point matériel ?

Solution

Solution de Exercice 26.9.

$R = 10.5^2\sin40{}^{\circ}/9.81 \approx 7.2\,\mathrm{m}$ . Oublié : le centre de masse part haut (corps étendu) et atterrit bas et loin en avant (jambes projetées), et le sauteur n’est pas un point — les $1.7\,\mathrm{m}$ manquants vivent dans cette géométrie, non dans la parabole.

Exercice 26.10 ★★

Un fusil tire horizontalement à $300\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ depuis $1.2\,\mathrm{m}$ au-dessus du sol ; en même temps une balle tombe de la même hauteur. Montrer qu’elles atterrissent ensemble, et où atterrit celle du fusil. Que teste cette expérience ?

Solution

Solution de Exercice 26.10.

Ensemble : tous deux ont $v_y(0) = 0$ , donc le même $t = \sqrt{2 \times 1.2/9.81} = 0.49\,\mathrm{s}$ ; celui qui est tiré atterrit à $300 \times 0.49 \approx 1.5 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ . Cela teste l’indépendance des mouvements horizontal et vertical.

Exercice 26.11 ★★

Montrer que $\alpha$ et $90{}^{\circ}-\alpha$ donnent la même portée. Pour $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $R = 50\,\mathrm{m}$ , trouver les deux angles possibles.

Solution

Solution de Exercice 26.11.

$\sin\bigl(2(90{}^{\circ}-\alpha)\bigr) = \sin(180{}^{\circ}-2\alpha) = \sin(2\alpha)$ : même $R$ . Ici $\sin(2\alpha) = gR/v_0^2 = 9.81 \times 50/625 = 0.785$ : $\alpha = 25.9{}^{\circ}$ ou $64.1{}^{\circ}$ .

Exercice 26.12 ★★★

Un arroseur de jardin a $v_0 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Quelle est la portée maximale, et la hauteur maximale d’un jet vertical ? Pour atteindre un point à $5.0\,\mathrm{m}$ horizontalement à hauteur nulle, quels angles fonctionnent ?

Solution

Solution de Exercice 26.12.

$R_{\max} = v_0^2/g = 6.5\,\mathrm{m}$ (à $45{}^{\circ}$ ) ; $h_{\max} = v_0^2/2g = 3.3\,\mathrm{m}$ (tout droit vers le haut). $\sin(2\alpha) = 9.81 \times 5.0/64 = 0.766$ : $\alpha = 25.0{}^{\circ}$ ou $65.0{}^{\circ}$ .

Exercice 26.13 ★★★

Une balle est lancée à $18\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sous $35{}^{\circ}$ depuis le sol. Une haie de $4.0\,\mathrm{m}$ se dresse à $15\,\mathrm{m}$ . La balle la franchit-elle, et de combien ?

Solution

Solution de Exercice 26.13.

$y(15) = 15\tan35{}^{\circ} - \dfrac{9.81 \times 15^2} {2 \times 18^2 \cos^235{}^{\circ}} = 10.5 - 5.1 = 5.4\,\mathrm{m}$ : elle franchit la haie de $4.0\,\mathrm{m}$ d’environ $1.4\,\mathrm{m}$ .

Exercice 26.14 ★★★

Un parachutiste de $80\,\mathrm{kg}$ atteint $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de vitesse limite. (a) Quelle force de traînée l’équilibre alors ? (b) Esquisser $v(t)$ depuis le saut jusqu’à la vitesse limite. (c) Comparer $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à la vitesse d’une goutte de pluie tombant $2000\,\mathrm{m}$ dans le vide.

Solution

Solution de Exercice 26.14.

(a) La traînée équilibre le poids : $80 \times 9.81 \approx 7.8 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ . (b) $v(t)$ monte avec une pente toujours plus faible et se stabilise à $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) Vide : $\sqrt{2 \times 9.81 \times 2000} \approx 2.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , vingt fois le vrai $9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — les gouttes de pluie passent presque toute la chute à la vitesse limite.

Exercice 26.15 ★★★

Un dard est tiré à $v_0$ , angle $\alpha$ , droit sur un singe à la distance horizontale $D$ et à la hauteur $H = D\tan\alpha$ ; le singe lâche au tir. Montrer qu’ils se rencontrent pour tout $v_0$ (tant que le dard arrive avant le sol).

Solution

Solution de Exercice 26.15.

En $t^* = D/(v_0\cos\alpha)$ le dard est à la hauteur $v_0\sin\alpha\, t^* - \tfrac12 g t^{*2} = D\tan\alpha - \tfrac12 g t^{*2} = H - \tfrac12 g t^{*2}$ , exactement celle du singe lâché $y = H - \tfrac12 g t^{*2}$ . Tous deux pendent de $\tfrac12 gt^2$ sous leurs positions sans gravité — ils se rencontrent pour tout $v_0$ .

26.6 Problème : Le buzzer-beater de basket

Problème 26.1

Problème du week-end — le buzzer-beater de basket : un tir libre calibré sur le bord, le sommet lu sur la parabole, un lancer de toute la salle contre le buzzer, et le verdict de la résistance de l’air

Un match de basket : le buzzer sonne dans $2.0\,\mathrm{s}$ , le score est égal, et un joueur a la balle à $d = 4.20\,\mathrm{m}$ du panier (ligne des lancers francs), le bord à $3.05\,\mathrm{m}$ au-dessus du sol. Il lâche depuis $2.00\,\mathrm{m}$ au-dessus du sol sous $\alpha = 50{}^{\circ}$ . Prendre $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; négliger l’air jusqu’à la partie IV.

Partie I — Les équations du vol.

Quelle force agit pendant le vol (air négligé) ? En déduire $\vect a$ par la deuxième loi de Newton.
Avec $Ox$ horizontal vers le panier et $Oy$ vers le haut depuis le lâcher, écrire $\vect v(t)$ .
Écrire $x(t)$ et $y(t)$ .
Éliminer $t$ pour obtenir l’équation de la trajectoire $y(x)$ .
Le bord est en $x = d$ , $y = 1.05\,\mathrm{m}$ (par rapport au lâcher). En déduire $v_0$ .

Partie II — Lire le tir.

Calculer le temps de vol jusqu’au bord.
Calculer l’instant et la hauteur du sommet ; le tir est-il encore en montée ou déjà en descente au bord ?
De combien la balle passe-t-elle au-dessus des bouts des doigts d’un défenseur de $2.60\,\mathrm{m}$ de hauteur d’atteinte (mains levées), placé sous le bord ?
Calculer la vitesse d’entrée (norme et direction sous l’horizontale) au bord.
Pourquoi une entrée plus raide est-elle plus indulgente pour le tireur ?

Partie III — Contre le buzzer, de toute la salle. Le joueur est maintenant à $D = 26.0\,\mathrm{m}$ du panier, et le buzzer sonne dans $2.0\,\mathrm{s}$ . Le bord est encore à $1.05\,\mathrm{m}$ au-dessus du lâcher ; pour un premier calcul, traiter le sol comme plat au niveau du lâcher (l’erreur est petite).

Montrer que l’erreur de hauteur relative $1.05/D$ est petite. Sur sol plat, écrire $t_f$ en fonction de $v_0$ et $\alpha$ .
Montrer $R = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ ; à quel angle la portée est-elle maximale ?
Quelle $v_0$ minimale atteint $26.0\,\mathrm{m}$ (à $\alpha = 45{}^{\circ}$ ) ?
Un bras d’élite fournit environ $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . La portée maximale dépasse-t-elle $26.0\,\mathrm{m}$ ?
Pour $v_0 = 17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $R = 26.0\,\mathrm{m}$ , trouver les deux angles possibles et leurs temps de vol. Lequel bat le buzzer ?

Partie IV — Dunk aérien et l’air.

Un joueur dunk depuis $6.0\,\mathrm{m}$ du panier sous $75{}^{\circ}$ , lâcher à $2.00\,\mathrm{m}$ , bord à $3.05\,\mathrm{m}$ . Calculer $v_0$ .
La balle passe-t-elle au-dessus du bord supérieur du panneau ( $3.95\,\mathrm{m}$ au-dessus du sol) en $x = 5.55\,\mathrm{m}$ ?
Calculer le sommet et le temps de vol : commenter le « temps d’arrêt » du dunk.
Qualitativement, que fait la traînée de l’air à chaque tir ci-dessus, et lequel souffre le plus ?
Le verdict, une phrase avec ses nombres : le tir de $26.0\,\mathrm{m}$ est-il possible, avec quelle marge de portée, et l’air l’efface-t-il ?

Solution

Solution de Problème 26.1.

1. Poids seul (air négligé) ; deuxième loi de Newton : $m\vect a = m\vect g$ , donc $\vect a = (0,\,-g)$ .

2. $v_x = v_0\cos\alpha$ , $v_y = v_0\sin\alpha - gt$ .

3. $x = v_0\cos\alpha\, t$ , $y = v_0\sin\alpha\, t - \tfrac12 gt^2$ .

4. $t = x/(v_0\cos\alpha)$ : $y = x\tan\alpha - g x^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$ .

5. $v_0^2 = \dfrac{g d^2}{2\cos^2\alpha\,(d\tan\alpha - 1.05)} = \dfrac{173.0}{0.826 \times 3.96} = 52.9$ : $v_0 = 7.28\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 26\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

6. $t = d/(v_0\cos\alpha) = 4.20/4.68 = 0.90\,\mathrm{s}$ .

7. Sommet en $t = v_0\sin\alpha/g = 0.57\,\mathrm{s}$ , hauteur $2.00 + (v_0\sin\alpha)^2/2g = 2.00 + 1.58 = 3.58\,\mathrm{m}$ ; $0.57 < 0.90$ : en descente au bord.

8. $y(0.90) = 0.90\tan50{}^{\circ} - 0.182 = 0.89\,\mathrm{m}$ au-dessus du lâcher, c.-à-d. $2.89\,\mathrm{m}$ au-dessus du sol : $0.29\,\mathrm{m}$ au-dessus des bouts des doigts.

9. $v_x = 4.68\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_y = 5.57 - 9.81 \times 0.90 = -3.24\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v = 5.69\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , à $\arctan(3.24/4.68) = 34.7{}^{\circ}$ sous l’horizontale.

10. Le bord est un anneau horizontal : la balle doit croiser son plan par le dessus. Plus l’entrée est raide, plus l’ouverture de l’anneau paraît grande le long de la vitesse — plus de marge d’erreur.

11. $1.05/26.0 = 4\%$ : négligeable. $y(t_f) = 0$ donne $t_f\,(v_0\sin\alpha - \tfrac12 g t_f) = 0$ , donc $t_f = 2v_0\sin\alpha/g$ .

12. $R = v_0\cos\alpha\, t_f = v_0^2\sin(2\alpha)/g$ ; maximale à $\alpha = 45{}^{\circ}$ .

13. $v_0 = \sqrt{gR} = \sqrt{9.81 \times 26.0} = 16.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

14. $R_{\max} = 17.5^2/9.81 = 31.2\,\mathrm{m} > 26.0\,\mathrm{m}$ : faisable, avec $5\,\mathrm{m}$ de portée de marge.

15. $\sin(2\alpha) = 255.1/306.3 = 0.833$ : $\alpha = 28.2{}^{\circ}$ ou $61.8{}^{\circ}$ ; temps de vol $2v_0\sin\alpha/g = 1.69\,\mathrm{s}$ et $3.14\,\mathrm{s}$ . Seul le tir plat bat le buzzer de $2.0\,\mathrm{s}$ .

16. $v_0^2 = \dfrac{9.81 \times 36}{2\cos^275{}^{\circ}\, (6.0\tan75{}^{\circ} - 1.05)} = \dfrac{353.2}{2.86} = 123.5$ : $v_0 = 11.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

17. $y(5.55) = 5.55\tan75{}^{\circ} - 18.26 = 2.45\,\mathrm{m}$ au-dessus du lâcher, c.-à-d. $4.45\,\mathrm{m}$ au-dessus du sol : $0.50\,\mathrm{m}$ au-dessus du bord supérieur du panneau.

18. Sommet $2.00 + (11.1\sin75{}^{\circ})^2/2g \approx 7.9\,\mathrm{m}$ ; vol $6.0/(11.1\cos75{}^{\circ}) = 2.1\,\mathrm{s}$ — deux secondes pleines avec la balle suspendue à $8\,\mathrm{m}$ .

19. La traînée raccourcit chaque tir et raidiit la descente ; l’effet croît avec la vitesse, donc le lancer de $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de toute la salle souffre le plus — sa vraie portée tombe de quelques mètres sous $31\,\mathrm{m}$ , grignotant la marge.

20. Le verdict du buzzer-beater : le tir de $26.0\,\mathrm{m}$ demande $16.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et un bras fournit environ $17.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , une marge de portée de $5\,\mathrm{m}$ ( $\approx 20\%$ ) que la résistance de l’air rogne mais n’efface pas. Possible — c’est exactement pourquoi, quelques fois par saison, ça rentre.