Physique du lycée · Grades 10–12

21Son et acoustique

Pincez la corde grave d’une guitare : la pièce se remplit d’un la grave, pourtant rien n’a voyagé jusqu’à votre oreille que de l’air comprimé et dilaté. Ce chapitre suit ce motif — sa célérité, comment la fréquence devient hauteur et la puissance intensité sonore, et pourquoi une même note diffère d’un instrument à l’autre.

21.1 Le son est une onde de pression

Définition 21.1 (Onde sonore)

Une onde sonore est une onde mécanique de pression (Chapitre 20) : une surface vibrante crée des compressions qui voyagent (légère surpression) et des dilatations (sous-pression). Les parcelles d’air oscillent le long de la direction de parcours (le son est longitudinal), et un milieu est nécessaire : une cloche sous une cloche à vide tombe dans le silence (Chapitre 8).

Un haut-parleur engendre une onde longitudinale : les parcelles se regroupent en compressions distantes d’une longueur d’onde = v/f. — Un haut-parleur engendre une onde longitudinale : les parcelles se regroupent en compressions distantes d’une longueur d’onde $\lambda = v/f$ .

Proposition 21.2 (Célérité du son)

Le son se propage à environ $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’air à $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ , $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’eau et $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’acier : plus le milieu est rigide, plus c’est rapide.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 21.3 (L’air chaud est plus rapide)

Ce sont des valeurs mesurées ; les prédire se fait dans le volume de Licence 1. Le son accélère dans l’air plus chaud ( $331\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ) — pourquoi les instruments dérivent du diapason à mesure que la salle se réchauffe.

Exemple 21.4 (Les tailles des sons)

La relation $\lambda = v/f$ dimensionne tout son : dans l’air un grondement à $20\,\mathrm{Hz}$ s’étend sur $340/20 = 17\,\mathrm{m}$ — un bâtiment — et un sifflement à $20\,\mathrm{kHz}$ tient dans $1.7\,\mathrm{cm}$ ; ceux de taille métrique contournent facilement portes et angles.

21.2 Hauteur, intensité sonore et l’oreille

Définition 21.5 (Hauteur et intensité sonore)

La hauteur est la perception de la fréquence : plus $f$ est élevée, plus la note est aiguë ; le la du concert est à $440\,\mathrm{Hz}$ , et doubler $f$ élève la note d’une octave. L’intensité sonore est la perception de l’amplitude : plus l’oscillation de pression est forte, plus c’est fort ; l’amplification change l’intensité sonore, non la hauteur.

Remarque 21.6 (La fenêtre de l’oreille)

L’audition s’étend d’environ $20\,\mathrm{Hz}$ à $20\,\mathrm{kHz}$ (Chapitre 8) ; en dessous se trouve l’infrason, au-dessus l’ultrason — chauves-souris à $50\,\mathrm{kHz}$ , sondes médicales en mégahertz. Un piano n’échantillonne que le milieu : $27.5\text{ to }4186\,\mathrm{Hz}$ .

21.3 Intensité acoustique et échelle des décibels

Définition 21.7 (Intensité acoustique)

L’intensité acoustique $I$ est la puissance acoustique traversant un mètre carré face à l’onde : $I = P/S$ , en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Le son audible le plus faible est d’environ $I_0 = 1.0 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; la douleur commence près de $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

Proposition 21.8 (Atténuation en inverse du carré)

Une petite source rayonnant une puissance $P$ également dans toutes les directions donne, à la distance $r$ , $I = P/(4\pi r^2) \propto 1/r^2$ : doubler la distance divise l’intensité par quatre.

Démonstration. Toute la puissance $P$ traverse la sphère d’aire $4\pi r^2$ ; diviser. ∎

Définition 21.9 (Niveau sonore)

L’oreille couvre douze puissances de dix, aussi les intensités sont-elles rapportées logarithmiquement. Le niveau sonore de $I$ est

L = 10 \log_{10}(I/I_0), \qquad I_0 = 1.0 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2},

en décibels ( $\mathrm{dB}$ ) : seuil d’audition $0\,\mathrm{dB}$ , douleur près de $120\,\mathrm{dB}$ .

Proposition 21.10 (Arithmétique des décibels)

Multiplier $I$ par $k$ ajoute $10\log_{10}k$ décibels. En particulier $\times 10$ ajoute $10\,\mathrm{dB}$ ; $\times 2$ ajoute $10\log_{10}2 \approx 3.0\,\mathrm{dB}$ ; $N$ sources incohérentes identiques additionnent les intensités, jamais les niveaux, donnant $L_1 + 10\log_{10}N$ ; doubler la distance à une petite source ( $I$ divisée par quatre) retire environ $6.0\,\mathrm{dB}$ .

Démonstration. $10\log_{10}(kI/I_0) = 10\log_{10}(I/I_0) + 10\log_{10}k$ ; distance : Proposition 21.8, $k = 1/4$ . ∎

Méthode 21.11 (Travailler en décibels)

$L = 10\log_{10}(I/I_0)$ ; retour : $I = I_0 \times 10^{L/10}$ .
Ne jamais additionner les niveaux : convertir en intensités, additionner, reconvertir — ou $+3\,\mathrm{dB}$ par doublement, $+10\,\mathrm{dB}$ par décuple.
Chaque doublement de distance à une petite source coûte $6\,\mathrm{dB}$ .

Une échelle de niveaux quotidiens : chaque pas de 20\, dB est un saut d’intensité d’un facteur cent ; au-delà de 85\, dB (zone rouge) l’exposition abîme l’audition. — Une échelle de niveaux quotidiens : chaque pas de $20\,\mathrm{dB}$ est un saut d’intensité d’un facteur cent ; au-delà de $85\,\mathrm{dB}$ (zone rouge) l’exposition abîme l’audition.

Remarque 21.12 (Dommages auditifs)

La perte auditive est une dose : $85\,\mathrm{dB}$ est sûr pendant huit heures, et chaque $3\,\mathrm{dB}$ de plus — un doublement d’intensité — divise le temps sûr par deux ; les cellules ciliées perdues ne repoussent pas.

21.4 Timbre et harmoniques

Définition 21.13 (Harmoniques)

Un son périodique de fréquence $f_1$ — le fondamental — est en général une somme de sinus aux fréquences $f_n = n f_1$ , $n = 1, 2, 3, \dots$ , ses harmoniques. Un son réduit à son fondamental est un son pur, comme celui d’un diapason.

Définition 21.14 (Spectre et timbre)

Le spectre d’un son est le diagramme en barres de ses harmoniques : une barre par $f_n$ , dont la longueur mesure l’intensité de cet harmonique. L’oreille entend $f_1$ comme la hauteur et le mélange des intensités comme le timbre — la couleur du son : des instruments jouant la même note partagent $f_1$ , ne différant que par leurs spectres.

Le même la (220\, Hz) : formes d’onde (haut), spectres (bas) — même fondamental et même hauteur ; l’échelle d’harmoniques du violon est son timbre. — Le même la ( $220\,\mathrm{Hz}$ ) : formes d’onde (haut), spectres (bas) — même fondamental et même hauteur ; l’échelle d’harmoniques du violon est son timbre.

Exemple 21.15 (Pourquoi vous reconnaissez l’appelant)

Le la d’une flûte est presque un son pur ; un violon frottant le même $220\,\mathrm{Hz}$ ajoute de forts harmoniques à $440\,\mathrm{Hz}\text{, }660\,\mathrm{Hz}\text{ and }880\,\mathrm{Hz}$ . Même hauteur et même intensité sonore, pourtant personne ne les confond : une voix, elle aussi, est un spectre que l’on connaît par cœur.

21.5 La corde vibrante

Définition 21.16 (Onde stationnaire)

Une onde confinée entre les extrémités fixes d’une corde peut se stabiliser en une onde stationnaire : une oscillation sur place, des points immobiles — les nœuds — alternant avec des points d’amplitude maximale — les ventres. Plus rien ne voyage ; la corde vibre selon un motif fixe.

Proposition 21.17 (Modes d’une corde)

Une corde de longueur $L$ , fixe aux deux extrémités, portant des ondes de célérité $v$ , ne vibre de façon stable que dans des motifs logeant un nombre entier $n$ de demi-longueurs d’onde entre les nœuds imposés aux extrémités :

\lambda_n = \frac{2L}{n}, \quad f_n = n\,\frac{v}{2L} = n f_1, \quad n = 1, 2, 3, \dots

Le mode le plus bas $f_1 = v/(2L)$ est le fondamental ; les autres sont exactement ses harmoniques.

Démonstration. Admis à ce niveau. ∎

Remarque 21.18 (Où vit la preuve honnête)

Que des ondes confinées choisissent exactement ces modes suit de la superposition de l’onde avec ses réflexions, calcul mené dans le volume de Licence 1. La géométrie convainc : les deux extrémités doivent rester immobiles, donc un nombre entier de demi-longueurs d’onde doit s’y loger.

Les trois premiers modes d’une corde fixe aux deux extrémités : n demi-longueurs d’onde tiennent dans L, donc _n = 2L/n et f_n = nf_1. — Les trois premiers modes d’une corde fixe aux deux extrémités : $n$ demi-longueurs d’onde tiennent dans $L$ , donc $\lambda_n = 2L/n$ et $f_n = nf_1$ .

Exemple 21.19 (La corde de la d’un violon)

La corde de la d’un violon a $L = 32.8\,\mathrm{cm}$ et sonne $f_1 = 440\,\mathrm{Hz}$ : les ondes y courent à $v = 2Lf_1 = 2 \times 0.328 \times 440 \approx 289\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — fixée par la tension et la masse, accordée par la cheville. Appuyer un doigt raccourcit $L$ et élève chaque $f_n$ d’un coup : le spectre glisse vers le haut.

Remarque 21.20 (Pourquoi les instruments diffèrent)

La façon d’exciter la corde — pincée, frottée, frappée — fixe la part de chaque mode, et la caisse amplifie certains harmoniques plus que d’autres ; excitation plus caisse fixent le spectre, si bien qu’un même $f_1$ laisse une guitare, un violon et un piano sonner chacun comme lui-même.

21.6 Exercices

Exercice 21.1 ★

Dans l’air ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ), trouver la longueur d’onde de (a) une note de basse à $55\,\mathrm{Hz}$ ; (b) un bip à $1.0\,\mathrm{kHz}$ ; (c) un sifflement à $15\,\mathrm{kHz}$ . Comparer la plus grande à la plus petite.

Solution

Solution de Exercice 21.1.

$\lambda = v/f$ : (a) $340/55 \approx 6.2\,\mathrm{m}$ ; (b) $0.34\,\mathrm{m}$ ; (c) $2.3\,\mathrm{cm}$ . Rapport $15000/55 \approx 270$ .

Exercice 21.2 ★

Classer comme infrason, son audible ou ultrason : $8\,\mathrm{Hz}$ ; $100\,\mathrm{Hz}$ ; $15\,\mathrm{kHz}$ ; $40\,\mathrm{kHz}$ ; $3\,\mathrm{MHz}$ . Parmi les audibles, lequel sonne plus bas en hauteur ?

Solution

Solution de Exercice 21.2.

Infrason : $8\,\mathrm{Hz}$ . Audible : $100\,\mathrm{Hz}$ et $15\,\mathrm{kHz}$ . Ultrason : $40\,\mathrm{kHz}$ et $3\,\mathrm{MHz}$ . Plus basse hauteur : $100\,\mathrm{Hz}$ (fréquence plus basse).

Exercice 21.3 ★

Un ouvrier frappe un rail à $1.0\,\mathrm{km}$ . Calculer les temps de parcours dans l’acier et dans l’air. Qu’entend un auditeur une oreille pressée contre le rail ?

Solution

Solution de Exercice 21.3.

Acier : $1000/5000 = 0.20\,\mathrm{s}$ ; air : $1000/340 \approx 2.9\,\mathrm{s}$ . Deux clics, distants de $2.7\,\mathrm{s}$ — le rail d’abord.

Exercice 21.4 ★

(a) Le niveau sonore pour $I = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ? (b) L’intensité à $60\,\mathrm{dB}$ ? (c) Nommer un son du quotidien près de chaque niveau.

Solution

Solution de Exercice 21.4.

(a) $L = 10\log_{10}10^{7} = 70\,\mathrm{dB}$ . (b) $I = 10^{-12} \times 10^{6} = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . (c) $70\,\mathrm{dB}$ : un aspirateur ; $60\,\mathrm{dB}$ : une conversation.

Exercice 21.5 ★

Une corde de sol de violon sonne $f_1 = 196\,\mathrm{Hz}$ : donner ses trois prochains harmoniques. Pourquoi un sifflement à $12\,\mathrm{kHz}$ , aussi riche soit-il à la source, parvient-il à l’oreille comme un son pur ?

Solution

Solution de Exercice 21.5.

$392\,\mathrm{Hz}\text{, }588\,\mathrm{Hz}\text{ and }784\,\mathrm{Hz}$ . Ses harmoniques supérieurs ( $n \ge 2$ ) commencent à $24\,\mathrm{kHz}$ , au-dessus du plafond audible : seul le fondamental à $12\,\mathrm{kHz}$ est entendu.

Exercice 21.6 ★★

Une sirène rayonne $P = 0.50\,\mathrm{W}$ également dans toutes les directions. Calculer l’intensité et le niveau sonore à $5.0\,\mathrm{m}$ .

Solution

Solution de Exercice 21.6.

$I = 0.50/(4\pi \times 25) \approx 1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $L = 10\log_{10}(1.6 \times 10^{9}) \approx 92\,\mathrm{dB}$ .

Exercice 21.7 ★★

Un violon donne $68\,\mathrm{dB}$ à votre place. Quel niveau en donnent deux ? Quatre ? Combien de violons faudrait-il pour atteindre $78\,\mathrm{dB}$ ?

Solution

Solution de Exercice 21.7.

Deux : $+3\,\mathrm{dB} \to 71\,\mathrm{dB}$ ; quatre : $74\,\mathrm{dB}$ . $+10\,\mathrm{dB}$ demande $\times 10$ en intensité : $10$ violons.

Exercice 21.8 ★★

Le niveau est $95\,\mathrm{dB}$ à $2.0\,\mathrm{m}$ d’un petit haut-parleur. Prédire le niveau à $8.0\,\mathrm{m}$ : sous le seuil de $85\,\mathrm{dB}$ ?

Solution

Solution de Exercice 21.8.

$r \times 4$ : $I \div 16$ , donc $-12\,\mathrm{dB}$ : $83\,\mathrm{dB}$ . Oui — juste sous le seuil de $85\,\mathrm{dB}$ .

Exercice 21.9 ★★

Une note à $440\,\mathrm{Hz}$ passe de l’air à l’eau. Calculer sa longueur d’onde dans chaque milieu. Le plongeur entend la même hauteur : quelle grandeur est fixée par la source, et laquelle s’ajuste ?

Solution

Solution de Exercice 21.9.

Air : $340/440 \approx 0.77\,\mathrm{m}$ ; eau : $1500/440 \approx 3.4\,\mathrm{m}$ . La source fixe la fréquence ; la longueur d’onde $\lambda = v/f$ s’ajuste au milieu.

Exercice 21.10 ★★

Un spectre montre des pics à $130\,\mathrm{Hz}\text{, }260\,\mathrm{Hz}\text{, }390\,\mathrm{Hz}\text{ and }520\,\mathrm{Hz}$ de intensités décroissantes : quel est le fondamental ? Un autre instrument joue la même note à la même intensité sonore : qu’y a-t-il de même dans son spectre, qu’y a-t-il de différent ?

Solution

Solution de Exercice 21.10.

$f_1 = 130\,\mathrm{Hz}$ (l’écart entre pics). Identique : les positions des barres $nf_1$ (même hauteur) et l’intensité totale ; différent : les hauteurs des barres — le mélange qui fait le timbre.

Exercice 21.11 ★★

Une corde de guitare de longueur $65.0\,\mathrm{cm}$ sonne $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ . Trouver la célérité de l’onde, puis les longueurs vibrantes donnant l’octave ( $220\,\mathrm{Hz}$ ) et la quinte ( $165\,\mathrm{Hz}$ ).

Solution

Solution de Exercice 21.11.

$v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Octave : $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$ ; quinte : $L' = 143/330 \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$ .

Exercice 21.12 ★★★

Une sonde médicale envoie des ultrasons à $5.0\,\mathrm{MHz}$ dans des tissus mous ( $v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) : la longueur d’onde ? Des échos reviennent après $26\,\text{µ}\mathrm{s}$ et $58\,\text{µ}\mathrm{s}$ des deux parois d’un organe : trouver leurs profondeurs et l’épaisseur de l’organe.

Solution

Solution de Exercice 21.12.

$\lambda = 1540/5.0 \times 10^{6} \approx 0.31\,\mathrm{mm}$ . Profondeur $= vt/2$ : $1540 \times 26 \times 10^{-6}/2 \approx 2.0\,\mathrm{cm}$ et $1540 \times 58 \times 10^{-6}/2 \approx 4.5\,\mathrm{cm}$ ; épaisseur $\approx 2.5\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 21.13 ★★★

Une scène en plein air produit $110\,\mathrm{dB}$ à $3.0\,\mathrm{m}$ . En la traitant comme une petite source, à quelle distance le niveau tombe-t-il à $85\,\mathrm{dB}$ ? Donner deux raisons pour lesquelles la distance réelle diffère.

Solution

Solution de Exercice 21.13.

$-25\,\mathrm{dB}$ signifie $I \div 10^{2.5} \approx 316$ , donc $r \times \sqrt{316} \approx 17.8$ : $r \approx 3.0 \times 17.8 \approx 53\,\mathrm{m}$ . Les salles réelles diffèrent : les réflexions du sol et des murs ajoutent de l’intensité, tandis que l’air et la foule en absorbent (et la scène n’est pas une source ponctuelle isotrope).

Exercice 21.14 ★★★

Trouver le rapport du seuil de douleur ( $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ) à $I_0$ . En prenant le tympan comme $0.5\,\mathrm{cm}^{2}$ , calculer la puissance reçue à chaque seuil ; commenter l’oreille comme détecteur.

Solution

Solution de Exercice 21.14.

$1/10^{-12} = 10^{12}$ . Tympan $S = 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}$ : puissance reçue $5 \times 10^{-17}\,\mathrm{W}$ au seuil, $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ à la douleur — l’oreille détecte des dizaines d’attowatts et fonctionne encore à un billion de fois plus : un détecteur à dynamique de douze décades.

Exercice 21.15 ★★★

Chaque haut-parleur de festival, seul, donne $80\,\mathrm{dB}$ à la table de mixage. Quel niveau en donnent $2$ ? $10$ ? $100$ ? Que coûte chaque $10\,\mathrm{dB}$ supplémentaire — que dit cela des courses à l’intensité sonore ?

Solution

Solution de Exercice 21.15.

$2$ : $83\,\mathrm{dB}$ ; $10$ : $90\,\mathrm{dB}$ ; $100$ : $100\,\mathrm{dB}$ . Chaque $10\,\mathrm{dB}$ supplémentaire coûte un facteur dix en haut-parleurs : les courses à l’intensité sonore sont exponentiellement chères (et dangereuses bien avant d’être gagnées).

21.7 Problème : L’atelier du luthier

Problème 21.1

Problème du week-end — l’atelier du luthier : une corde de guitare disposée case par case, ses harmoniques accordées en un timbre, un récital tenu sous le seuil de danger, et une chasse aux ultrasons pour un défaut dans le bois

Un luthier termine une guitare. Sa corde de la a pour longueur vibrante $L = 65.0\,\mathrm{cm}$ et doit sonner $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ . Prendre $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pour le son dans l’air, et admettre $f_1 = v/(2L)$ (Proposition 21.17), $v$ étant la célérité de l’onde sur la corde.

Partie I — Disposer la touche.

Calculer la célérité $v$ de l’onde sur la corde.
Calculer la longueur d’onde du fondamental sur la corde, puis la longueur d’onde du son à $110\,\mathrm{Hz}$ dans l’air. Pourquoi diffèrent-elles à la même fréquence ?
L’octave ( $220\,\mathrm{Hz}$ ) : quelle longueur vibrante la donne ? Où doit se placer la douzième case, en fraction de $L$ ?
La quinte ( $165\,\mathrm{Hz}$ ) : quelle longueur vibrante la donne ?
Chaque case élève la note d’un demi-ton, un facteur $2^{1/12}$ . Vérifier par logarithmes combien de demi-tons séparent $110\,\mathrm{Hz}$ de $220\,\mathrm{Hz}$ ; longueur à la première case ?

Partie II — Harmoniques et timbre.

Lister les cinq premiers harmoniques de la corde de la à vide.
Le la d’un violoniste sonne $440\,\mathrm{Hz}$ . Quel harmonique de la corde de guitare est-ce, et quel intervalle musical le sépare du fondamental ? Et $330\,\mathrm{Hz}$ ?
Le luthier pince près du chevalet, puis au-dessus de la touche : même hauteur, couleur différente. Expliquer avec les spectres.
Un léger toucher au milieu, pendant que l’on pince, impose un nœud là. Quels harmoniques survivent, et quelle hauteur entend-on ?
Combien d’harmoniques de la corde à vide se trouvent, en principe, dans le domaine audible ?

Partie III — Le récital. Au premier concert de la guitare, chaque instrument rayonne une puissance acoustique $P = 6.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}$ comme une petite source, également dans toutes les directions.

Calculer l’intensité en $r = 3.0\,\mathrm{m}$ d’un instrument.
En déduire le niveau sonore là.
Un quatuor joue : quel niveau quatre tels instruments donnent-ils au même endroit ? Pourquoi n’est-ce pas quatre fois le niveau ?
Douze instruments jouent : quel est le niveau à $3.0\,\mathrm{m}$ ?
À quelle distance un auditeur doit-il s’asseoir pour que l’ensemble tombe à $85\,\mathrm{dB}$ ?
Règle de sécurité : $85\,\mathrm{dB}$ est sûr pendant huit heures, et chaque $3\,\mathrm{dB}$ divise le temps sûr par deux. Combien de temps l’auditeur du premier rang de la question 14 peut-il rester sans danger ?

Partie IV — Le défaut dans le bois. Avant le vernissage, le luthier sonde une ébauche de manche d’épaisseur $45\,\mathrm{mm}$ avec un testeur à $2.0\,\mathrm{MHz}$ ; dans ce bois prendre $v = 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Calculer la longueur d’onde des ultrasons dans le bois. Pourquoi une onde chassant les défauts doit-elle être ultrasonore plutôt qu’audible ?
Calculer le retard de l’écho depuis la face arrière de l’ébauche.
Un écho arrive après $7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ : à quelle profondeur est le défaut ?
Rédiger la carte d’atelier : célérité de l’onde sur la corde, longueurs aux douzième et première cases, distance d’écoute sûre, profondeur du défaut.

Solution

Solution de Problème 21.1.

1. $v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

2. Sur la corde $\lambda_1 = 2L = 1.30\,\mathrm{m}$ ; dans l’air $\lambda = 340/110 \approx 3.1\,\mathrm{m}$ . Même $f$ , mais $\lambda = v/f$ et les célérités de l’onde diffèrent.

3. $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$ : la douzième case se place au milieu, à $L/2$ du chevalet.

4. $L' = 143/(2 \times 165) \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$ .

5. $\log(220/110)/\log 2^{1/12} = 12$ demi-tons — douze cases jusqu’à l’octave. Première case : $L_1 = L/2^{1/12} = 65.0/1.059 \approx 61.4\,\mathrm{cm}$ .

6. $110\,\mathrm{Hz}\text{, }220\,\mathrm{Hz}\text{, }330\,\mathrm{Hz}\text{, }440\,\mathrm{Hz}\text{ and }550\,\mathrm{Hz}$ .

7. $440\,\mathrm{Hz} = 4f_1$ : le quatrième harmonique, deux octaves au-dessus. $330\,\mathrm{Hz} = 3f_1$ : le troisième harmonique, une octave plus une quinte.

8. La position du pincement fixe le mélange des modes : près du chevalet les harmoniques aigus sont forts (spectre brillant), au-dessus de la touche le fondamental domine (doux). Même $f_1$ , donc même hauteur — spectre différent, timbre différent.

9. Seuls les harmoniques avec un nœud au milieu survivent : les pairs, $220\,\mathrm{Hz}\text{, }440\,\mathrm{Hz}\text{ and }660\,\mathrm{Hz}$ , …La hauteur saute d’une octave, à $220\,\mathrm{Hz}$ .

10. $nf_1 \le 20\,\mathrm{kHz}$ : $n \le 20000/110 = 181.8$ , donc $181$ harmoniques.

11. $I = P/(4\pi r^2) = 6.0 \times 10^{-3}/(4\pi \times 9.0) \approx 5.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

12. $L = 10\log_{10}(5.3 \times 10^{7}) \approx 77\,\mathrm{dB}$ .

13. $I \times 4$ : $+6\,\mathrm{dB} \to 83\,\mathrm{dB}$ . Les niveaux sont des logarithmes : les intensités s’additionnent, pas les niveaux.

14. $+10\log_{10}12 \approx +10.8\,\mathrm{dB} \to 88\,\mathrm{dB}$ .

15. Cible $I = I_0 \times 10^{8.5} \approx 3.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ avec $12P = 7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{W}$ : $r = \sqrt{12P/(4\pi I)} \approx \sqrt{18.1} \approx 4.3\,\mathrm{m}$ .

16. $88\,\mathrm{dB}$ est $+3\,\mathrm{dB}$ au-dessus de la limite de huit heures : le temps sûr est divisé une fois — quatre heures. Le récital tient.

17. $\lambda = 5000/2.0 \times 10^{6} = 2.5\,\mathrm{mm}$ . Une onde ne se réfléchit que sur des défauts d’au moins environ une longueur d’onde : le son audible dans le bois a $\lambda$ de dizaines de centimètres et diffracterait autour de tout petit défaut.

18. $t = 2d/v = 2 \times 0.045/5000 = 18\,\text{µ}\mathrm{s}$ .

19. $d = vt/2 = 5000 \times 7.2 \times 10^{-6}/2 = 18\,\mathrm{mm}$ .

20. La carte : $v = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sur la corde ; cases à $32.5\,\mathrm{cm}$ (douzième) et $61.4\,\mathrm{cm}$ (première) ; ensemble sûr au-delà de $\approx 4.3\,\mathrm{m}$ ; défaut à $18\,\mathrm{mm}$ de profondeur — quatre nombres, un chapitre.