4Gravitation universelle et poids

Solution de Exercice 4.1.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{60 \times 60}{0.80^2} = \dfrac{2.40 \times 10^{-7}}{0.64} \approx 3.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$.

2. Le poids du moustique est $P = 2.5 \times 10^{-6} \times 9.81 \approx 2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ — environ $65$ fois plus grand que l’attraction mutuelle des danseurs. La gravité entre personnes est plus faible que le poids d’un moustique.

Solution de Exercice 4.2.

1. $P = mg = 55 \times 9.81 \approx 5.4 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$.

2. Sa masse est inchangée : $55\,\mathrm{kg}$ (même quantité de matière). Son poids devient $P = 55 \times 1.62 \approx 89\,\mathrm{N}$ — six fois moins.

Solution de Exercice 4.3.

1. $g_{\text{Mars}} = \dfrac{G M}{R^2} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.42 \times 10^{23}}{(3.39 \times 10^{6})^2} = \dfrac{4.28 \times 10^{13}}{1.15 \times 10^{13}} \approx 3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$.

2. Sur Mars : $P = 900 \times 3.73 \approx 3.4 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$. Sur Terre : $P = 900 \times 9.81 \approx 8.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — le rover pèse environ $2{,}6$ fois moins sur Mars, avec la même masse.

Solution de Exercice 4.4.

La Lune exerce sur la Terre une force de la même intensité, $2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$, en sens opposé : la gravitation est mutuelle.

Solution de Exercice 4.5.

1. Distance doublée : $d^2$ est multiplié par $4$, donc $F = F_0/4$.

2. Distance divisée par deux : $F = 4F_0$.

3. Les deux masses doublées : $m_1 m_2$ est multiplié par $4$, donc $F = 4F_0$.

4. Numérateur $\times 3$, dénominateur $\times 9$ : $F = F_0/3$.

Solution de Exercice 4.6.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{(5.0 \times 10^{8})^2}{100^2} = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{2.5 \times 10^{17}}{1.0 \times 10^{4}} \approx 1.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$.

2. $m = F/g = 1667/9.81 \approx 1.7 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}$ : les deux navires s’attirent avec le poids d’une grosse moto.

3. $a = F/m = 1.7 \times 10^{3}/5.0 \times 10^{8} \approx 3.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Même sans opposition, les pétroliers mettraient environ cinq jours à atteindre une allure de marche ; en pratique, la résistance de l’eau et les amarres noient complètement l’attraction.

Solution de Exercice 4.7.

1. La balance à plateaux indique $3.0\,\mathrm{kg}$ sur les deux mondes : le sac et les masses étalons voient leurs poids divisés par le même facteur, donc la comparaison est inchangée. Le dynamomètre lit le poids : $3.0 \times 9.81 \approx 29\,\mathrm{N}$ sur Terre, $3.0 \times 1.62 \approx 4.9\,\mathrm{N}$ sur la Lune.

2. La balance : elle mesure la masse, ce que le client achète. Un dynamomètre calibré en « kilogrammes » sur Terre lirait $4.9/9.81 \approx 0.50\,\mathrm{kg}$ pour le même sac sur la Lune — le commerçant donnerait six sacs pour le prix d’un.

Solution de Exercice 4.8.

1. Distance au centre : $d = R + h = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$. Alors $g = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.77 \times 10^{6})^2} = \dfrac{3.98 \times 10^{14}}{4.58 \times 10^{13}} \approx 8.69\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$.

2. $8.69/9.81 \approx 89\%$ de la valeur en surface.

3. La gravité est presque à pleine force là-haut : les astronautes flottent parce que la station et tout ce qu’elle contient tombent ensemble autour de la Terre (chute libre), non parce que la gravité a disparu.

Solution de Exercice 4.9.

De $g = GM/R^2$,

environ $0{,}8$ fois la masse de la Terre — Vénus est presque la jumelle de la Terre en taille et en masse.

Solution de Exercice 4.10.

1. Soleil : $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.99 \times 10^{30}}{(1.496 \times 10^{11})^2} \approx 5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$. Lune : $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2} \approx 3.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$.

2. Le Soleil tire environ $5.9 \times 10^{-3}/3.3 \times 10^{-5} \approx 180$ fois plus fort.

3. Le diamètre de la Terre est une fraction bien plus grande de la distance Terre–Lune ($\approx 3\%$) que de la distance Terre–Soleil ($\approx 0{,}01\%$), donc la traction de la Lune change bien plus de la face proche à la face lointaine du globe. Les marées se nourrissent de cette différence — et là la Lune l’emporte.

Solution de Exercice 4.11.

1. $g' = \dfrac{G (2M)}{(2R)^2} = \dfrac{2}{4}\,\dfrac{GM}{R^2} = \dfrac{g}{2} \approx 4.9\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ : le rayon doublé l’emporte sur la masse doublée.

2. Il faut $\dfrac{GM}{R'^2} = 2\,\dfrac{GM}{R^2}$, donc $R'^2 = R^2/2$ et $R' = R/\sqrt{2} \approx 4.5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ — environ $4500\,\mathrm{km}$.

Solution de Exercice 4.12.

1. Tractions égales par kilogramme : $\dfrac{G M_{\text{Earth}}}{x^2} = \dfrac{G M_{\text{Moon}}}{(D-x)^2}$. En croisant et en divisant par $G$ : $\left(\dfrac{x}{D-x}\right)^2 = \dfrac{M_{\text{Earth}}}{M_{\text{Moon}}}$.

2. $\dfrac{x}{D-x} = \sqrt{\dfrac{5.97 \times 10^{24}}{7.35 \times 10^{22}}} = \sqrt{81.2} \approx 9.0$, donc $x = 9.0\,(D - x)$, c’est-à-dire $x = \dfrac{9.0}{10.0}\,D \approx 0.90 \times 3.84 \times 10^{8} \approx 3.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$. Le point d’équilibre se trouve à $90\%$ du trajet vers la Lune : la traction de la Terre domine presque tout le voyage.

Solution de Exercice 4.13.

1. En développant : $R^2 + 2Rh + h^2 = R^2 + x^2$ ; comme $h$ est minuscule devant $R$, on abandonne $h^2$ : $2Rh \approx x^2$, donc $h \approx \dfrac{x^2}{2R} = \dfrac{(8.0 \times 10^{3})^2}{2 \times 6.37 \times 10^{6}} = \dfrac{6.4 \times 10^{7}}{1.27 \times 10^{7}} \approx 5.0\,\mathrm{m}$.

2. En une seconde le projectile tombe de $4.9\,\mathrm{m}$ — presque exactement les $5.0\,\mathrm{m}$ dont le sol s’abaisse sur $8.0\,\mathrm{km}$. Donc à $v \approx 8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ la chute ne rattrape jamais le sol : le projectile orbite.

3. $T = \dfrac{2\pi R}{v} = \dfrac{2\pi \times 6.37 \times 10^{6}}{8.0 \times 10^{3}} \approx 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 83\,\mathrm{min}$ — proche des environ $90\,\mathrm{min}$ des vrais satellites en orbite basse, qui volent un peu plus haut.

Solution de Exercice 4.14.

1. $g = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.8 \times 10^{30}} {(1.2 \times 10^{4})^2} = \dfrac{1.87 \times 10^{20}}{1.44 \times 10^{8}} \approx 1.3 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.$

2. $P = 70 \times 1.3 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{13}\,\mathrm{N}$, contre $6.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ sur Terre : environ $1.3 \times 10^{11}$ fois plus. Aucune structure faite d’atomes ne survit debout là-bas.

3. $P = 1.0 \times 10^{-6} \times 1.3 \times 10^{12} \approx 1.3 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$. Sur Terre c’est le poids de $m = 1.3 \times 10^{6}/9.81 \approx 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ — un grain de sable pesant autant qu’une locomotive de cent tonnes.

Solution de Exercice 4.15.

1. La distance est $60$ fois plus grande, donc la traction par kilogramme est $60^2 = 3600$ fois plus faible.

2. La chute en une seconde se met à l’échelle de la même façon : $4.9/3600 \approx 1.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ — environ $1.4\,\mathrm{mm}$.

3. $T = 27.3 \times 86\,400\,\mathrm{s} = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, donc $v = \dfrac{2\pi \times 3.84 \times 10^{8}}{2.36 \times 10^{6}} \approx 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, et $x = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ en une seconde. La chute est $h \approx \dfrac{x^2}{2d} = \dfrac{(1.02 \times 10^{3})^2}{2 \times 3.84 \times 10^{8}} \approx 1.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$.

4. Les deux nombres s’accordent : la Lune tombe vers la Terre chaque seconde exactement autant que la gravité en inverse du carré, calibrée sur une pomme qui tombe, le prédit. Newton conclut que la force qui retient la Lune est la force qui fait tomber la pomme — la gravité est universelle.