Natuurkunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

57Stroom- en spanningswetten in schakelingen

Twee meters, twee grootheden — en nu, eindelijk, de grondwet. Elke schakeling die je ooit zult bouwen, van een zaklamp tot een stadsnet, gehoorzaamt vier korte wetten: twee over de boekhouding van de stroom, twee over die van de spanning. Met die wetten en een beetje algebra kun je aflezingen uitrekenen die je nog niet hebt gemeten — en elke meting betrappen die liegt.

57.1 De stroomwetten

Propositie 57.1 (Stroomwet voor een serielus)

Langs één lus is de stroomsterkte overal gelijk:

I_{\text{batterij}} = I_{\text{lamp 1}} = I_{\text{lamp 2}} = \dots

Eén weg, één mars — de tolhuisjes van het vorige hoofdstuk, nu een wet van de grondwet.

Propositie 57.2 (De knooppuntwet)

In elk knooppunt zijn de binnenstromende stroomsterktes samen gelijk aan de uitstromende stroomsterktes samen: voor een hoofdweg die zich in twee takken splitst,

I = I_1 + I_2 .

Lading wordt bij een splitsing niet geschapen, niet vernietigd en niet opgeslagen: wat aankomt, vertrekt. (Waar voor elk aantal takken — tel de aankomsten op, tel de vertrekken op, en de boeken kloppen.)

De knooppuntwet met getallen: 0.50\, A komt bij de splitsing aan, 0.30 + 0.20 vertrekken langs de takken — en 0.50\, A voegt zich in het verre knooppunt weer samen. — De knooppuntwet met getallen: $0.50\,\mathrm{A}$ komt bij de splitsing aan, $0.30 + 0.20$ vertrekken langs de takken — en $0.50\,\mathrm{A}$ voegt zich in het verre knooppunt weer samen.

57.2 De spanningswetten

Propositie 57.3 (Spanningswet voor een serielus)

Rond een serielus wordt de spanning van de batterij onder de apparaten verdeeld, en de delen tellen precies op:

U_{\text{batterij}} = U_1 + U_2 + \dots

Het watervalbeeld houdt de boeken bij: de batterij tilt de mars over haar volle hoogte, en de apparaten geven die hoogte onderling uit, druppel voor druppel — terwijl goede draden er niets van uitgeven.

Propositie 57.4 (Spanningswet voor parallelle takken)

Apparaten parallel overspannen allemaal dezelfde twee knooppunten — dus bedient één spanning ze allemaal:

U_1 = U_2 = U_{\text{tussen het knooppuntenpaar}} .

Elke tak geniet de volle duw tussen de knooppunten — daarom stralen parallelle lampen op hun volle nominale helderheid, en daarom biedt elk stopcontact in je huis dezelfde $230\,\mathrm{V}$ .

De seriespanningswet met getallen: de 4.5\, V van de batterij wordt in twee ongelijke delen uitgegeven — 2.1 + 2.4 = 4.5, tot op de decimaal. — De seriespanningswet met getallen: de $4.5\,\mathrm{V}$ van de batterij wordt in twee ongelijke delen uitgegeven — $2.1 + 2.4 = 4.5$ , tot op de decimaal.

Voorbeeld 57.5 (Waarom ongelijke delen?)

Twee verschillende lampen in serie voeren dezelfde stroom (wet één) en verdelen de spanning toch ongelijk — $2.1\,\mathrm{V}$ tegen $2.4\,\mathrm{V}$ . Het grootste deel gaat naar de lamp die zich het meest tegen de mars verzet: de zwaarste werker neemt het grootste verval. Wat “zich meer verzetten” precies betekent, en hoe je het meet, is het hele onderwerp van het volgende hoofdstuk — de wetten van dit hoofdstuk vormen er het toneel voor.

57.3 Rekenen voordat je meet

Methode 57.6 (Een schakeling oplossen met de vier wetten)

Gegeven een schakeling met enkele bekende aflezingen:

teken het schema en markeer elke bekende $I$ en $U$ ;
schrijf de toepasselijke wetten als vergelijkingen op — knooppuntsommen voor stromen, lussommen voor spanningen, gelijkheid voor $I$ in serie en $U$ parallel;
los de onbekenden op (de vergelijkingen uit je algebracursus, die hun brood verdienen);
toets op gezond verstand: geen lamp die meer ontvangt dan de batterij aanbiedt, geen takstroom die groter is dan die van de hoofdweg.

Voorbeeld 57.7 (Uitgewerkt: de gemengde schakeling)

Een $6\,\mathrm{V}$ -batterij voedt lamp A in serie met een parallel paar (B en C). Gemeten: $I_{\text{batterij}} = 0.5\,\mathrm{A}$ , $I_B = 0.3\,\mathrm{A}$ , $U_A = 2.5\,\mathrm{V}$ . Bereken de rest. Knooppuntwet: $I_C = 0.5 - 0.3 = 0.2\,\mathrm{A}$ . Stroomwet voor serie: lamp A voert de volle $0.5\,\mathrm{A}$ . Spanningswet voor de lus: het paar ontvangt $U_{\text{paar}} = 6 - 2.5 = 3.5\,\mathrm{V}$ ; spanningswet voor parallel: $U_B = U_C = 3.5\,\mathrm{V}$ . Elke meteraflezing in de schakeling is nu bekend — vier wetten, elk één regel algebra.

Voorbeeld 57.8 (De wetten als leugendetector)

Een practicumverslag beweert: batterij $4.5\,\mathrm{V}$ ; twee lampen in serie op $2.1\,\mathrm{V}$ en $2.9\,\mathrm{V}$ . De luswet telt de delen op: $5.0\,\mathrm{V}$ uitgegeven uit een beurs van $4.5\,\mathrm{V}$ — onmogelijk; iemand heeft een schaal verkeerd afgelezen. Een ander verslag: knooppunt in $0.40\,\mathrm{A}$ , takken uit $0.25\,\mathrm{A}$ en $0.20\,\mathrm{A}$ — de splitsing “schept” $0.05\,\mathrm{A}$ : afgewezen. Vóór de wetten zagen foute aflezingen er even goed uit als goede; nu controleert de grondwet elke bladzijde.

Opmerking 57.9 (Batterijen onder dezelfde wetten)

De regel van achter elkaar is de seriespanningswet in haar oudste kleren: batterijen in serie tellen hun spanningen op ( $1.5 + 1.5 + 1.5 = 4.5\,\mathrm{V}$ — het geheim van de platte batterij), en één omgekeerde cel trekt af, want haar duw gaat op aan het bevechten van de andere. De wetten regeren gevers en uitgevers gelijkelijk; alleen het teken van hun bijdrage verschilt.

57.4 Oefeningen

Oefening 57.1 ★

Formuleer de vier wetten — twee voor de stroom, twee voor de spanning — elk in één regel.

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.1.

Stroomwet voor serie: één lus, overal één stroomsterkte. Knooppuntwet: stromen erin is stromen eruit. Spanningswet voor serie: de spanning van de batterij is gelijk aan de som van de delen van de apparaten rond de lus. Spanningswet voor parallel: takken die dezelfde knooppunten overspannen, delen één en dezelfde spanning.

Oefening 57.2 ★

Een knooppunt ontvangt $0.8\,\mathrm{A}$ en stuurt $0.55\,\mathrm{A}$ de ene tak in. Wat voert de andere tak?

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.2.

$0.8 - 0.55 = 0.25\,\mathrm{A}$ .

Oefening 57.3 ★

Een $9\,\mathrm{V}$ -batterij voedt drie lampen in serie; twee daarvan nemen $2.5\,\mathrm{V}$ en $3.8\,\mathrm{V}$ . Het deel van de derde?

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.3.

$9 - 2.5 - 3.8 = 2.7\,\mathrm{V}$ .

Oefening 57.4 ★

Twee lampen parallel over een $12\,\mathrm{V}$ -batterij: de spanning over elke lamp? Welk alledaags feit over stopcontacten in huis is dezelfde wet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.4.

Elk $12\,\mathrm{V}$ — de spanningswet voor parallel. Dezelfde wet zet op elk stopcontact van de parallelle huisbedrading dezelfde $230\,\mathrm{V}$ .

Oefening 57.5 ★

Welke enkele extra meting zou in de uitgewerkte gemengde schakeling overbodig zijn geweest, en waarom? (Kies er een en verantwoord het met een wet.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.5.

Bijvoorbeeld $I_C$ : zodra $I_{\text{batterij}}$ en $I_B$ bekend zijn, legt de knooppuntwet $I_C = 0.2\,\mathrm{A}$ vast — een meetinstrument die daarheen wordt gestuurd, kan alleen nog bevestigen (net zo $U_C$ , vastgelegd door de spanningswet voor parallel zodra $U_B$ bekend is).

Oefening 57.6 ★

Twee verschillende lampen in serie voeren dezelfde stroom maar verdelen de spanning $1.8$ tegen $2.7\,\mathrm{V}$ . Welke lamp verzet zich het meest tegen de mars? Welk komend hoofdstuk meet dat verzet?

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.6.

De $2.7\,\mathrm{V}$ -lamp: bij gelijke stroom markeert het grotere spanningsdeel de sterkste tegenstander. Het volgende hoofdstuk meet dat verzet — de weerstand.

Oefening 57.7 ★

Controle: batterij $6\,\mathrm{V}$ ; lampen in serie gemeten op $2.2\,\mathrm{V}$ , $1.9\,\mathrm{V}$ , $1.4\,\mathrm{V}$ . Kloppen de boeken binnen de eerlijkheid van een meetinstrument?

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.7.

$2.2 + 1.9 + 1.4 = 5.5\,\mathrm{V}$ tegen een beurs van $6\,\mathrm{V}$ : een halve volt zoek — meer dan de eerlijke spreiding van een meetinstrument bij zulke aflezingen; één schaal is verkeerd afgelezen (of een deel is niet gemeten).

Oefening 57.8 ★

Controle: hoofdweg $0.9\,\mathrm{A}$ ; drie takken $0.4\,\mathrm{A}$ , $0.3\,\mathrm{A}$ , $0.3\,\mathrm{A}$ . Vonnis?

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.8.

$0.4 + 0.3 + 0.3 = 1.0\,\mathrm{A}$ eruit tegen $0.9\,\mathrm{A}$ erin: de splitsing “schept” $0.1\,\mathrm{A}$ — veroordeeld door de knooppuntwet.

Oefening 57.9 ★★

Een $4.5\,\mathrm{V}$ -batterij, lamp D in serie met een schakelaar — en, parallel aan lamp D, toont een voltmeter $4.5\,\mathrm{V}$ over de open schakelaar en $0\,\mathrm{V}$ over D. Toon aan dat beide aflezingen de spanningswet voor de lus gehoorzamen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.9.

De uitgaven van de lus moeten optellen tot de $4.5\,\mathrm{V}$ van de batterij: open schakelaar $4.5\,\mathrm{V}$ $+$ stilstaande lamp $0\,\mathrm{V}$ $= 4.5$ — in evenwicht. (Na de klik ruilen de delen: schakelaar bijna nul, lamp bijna $4.5\,\mathrm{V}$ — opnieuw in evenwicht.)

Oefening 57.10 ★★

Drie identieke cellen achter elkaar laten een lamp branden; een vierde, omgekeerd, sluit aan in de rij. Totale spanning voor en na, volgens de seriewet met tekens? Wat doet de lamp?

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.10.

Ervoor: $3 \times 1.5 = 4.5\,\mathrm{V}$ . Erna: $4.5 - 1.5 = 3.0\,\mathrm{V}$ — de omgekeerde cel trekt af. De lamp dooft van haar $4.5\,\mathrm{V}$ -gloed naar een $3\,\mathrm{V}$ -gloed.

Oefening 57.11 ★★

Een schakeling met twee takken: tak één draagt de lampen E en F in serie; tak twee draagt lamp G alleen. Batterij $6\,\mathrm{V}$ ; $U_E = 2.2\,\mathrm{V}$ . Bereken $U_F$ en $U_G$ , met bij elke stap de wet erbij.

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.11.

Tak één overspant de batterij: $U_E + U_F = 6\,\mathrm{V}$ (spanningswet voor serie langs de tak), dus $U_F = 6 - 2.2 = 3.8\,\mathrm{V}$ . Tak twee overspant dezelfde knooppunten: $U_G = 6\,\mathrm{V}$ (spanningswet voor parallel).

Oefening 57.12 ★★★

De volledige controle: een $6\,\mathrm{V}$ -batterij; lamp P in serie met een knooppunt; de takken Q en R komen weer samen en keren terug. Gemeten: $I_P = 0.6\,\mathrm{A}$ , $I_Q = 0.45\,\mathrm{A}$ , $U_Q = 2.3\,\mathrm{V}$ . Bereken elke resterende stroom en spanning in de schakeling ( $I_R$ , $U_P$ , $U_R$ ), met bij elke regel de wet erachter — verzin daarna één extra “meting” die een slordige leerling zou kunnen rapporteren en die jouw voltooide oplossing meteen zou veroordelen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 57.12.

$I_R = 0.6 - 0.45 = 0.15\,\mathrm{A}$ (knooppuntwet). $U_R = U_Q = 2.3\,\mathrm{V}$ (spanningswet voor parallel). $U_P = 6 - 2.3 = 3.7\,\mathrm{V}$ (spanningswet voor serie). Een veroordeelbare extra: “ $I_R = 0.2\,\mathrm{A}$ ” — de boeken van het knooppunt zouden $0.45 + 0.2 = 0.65 \neq 0.6$ tonen; of “ $U_R = 2.6\,\mathrm{V}$ ” — parallelle takken mogen het niet oneens zijn.

57.5 Probleem: de verzegelde mysteriedozen

Probleem 57.1

Weekendprobleem — de verzegelde-dozenwedstrijd van de elektronicaclub; vier wetten tegen vier mysteries; de grote controle

De club verzegelt eenvoudige schakelingen in dozen en laat alleen meetbussen over. Teams moeten het binnenwerk afleiden — grondwet in de hand. De batterij op de tafel is overal $6\,\mathrm{V}$ .

Deel I — Doos A: twee klemmen, twee lampen. Het etiket geeft toe: twee identieke lampen en verder niets, ofwel in serie ofwel parallel.

Aan de batterij gehangen trekt doos A $0.2\,\mathrm{A}$ ; van één zo’n lamp alleen op $6\,\mathrm{V}$ is bekend dat hij ongeveer $0.4\,\mathrm{A}$ trekt. Serie of parallel? Betoog met een stroomwet.
Voorspel wat de doos in de andere schakeling zou trekken.
Welke spanning ontvangt elke binnenlamp in de werkelijke schakeling, volgens welke spanningswet?
In welke schakeling zouden de verborgen lampen op hun volle nominale helderheid stralen — en waarom doen ze dat door het kijkgaatje van de doos zichtbaar niet?

Deel II — Doos B: de drielampenpuzzel. Doos B geeft toe: één lamp (X) in serie met een parallel paar (Y, Z — niet noodzakelijk identiek).

Het team meet $I_{\text{batterij}} = 0.5\,\mathrm{A}$ en, bij de eigen meetbus van Y, $I_Y = 0.35\,\mathrm{A}$ . Vind $I_Z$ en $I_X$ , met de wetten erbij.
Een voltmeter over X: $2.8\,\mathrm{V}$ . Vind de spanning van het parallelle paar — en elk van $U_Y$ , $U_Z$ .
Y en Z voeren bij dezelfde spanning verschillende stromen. Wat onthult dat over de twee lampen, in de taal van Voorbeeld 57.5?
Het team draait Y door een luikje los. Voorspel in welke richting $I_{\text{batterij}}$ verandert (stijgen, dalen of gelijk blijven), redenerend vanuit wegen en hun verzet.

Deel III — Doos C: het bedrog.

De bouwer van doos C rapporteert: “batterij $6\,\mathrm{V}$ ; twee lampen in serie erin op $2.5\,\mathrm{V}$ en $4.1\,\mathrm{V}$ ; knooppunt erin dat $0.3\,\mathrm{A}$ ontvangt en $0.2\,\mathrm{A}$ plus $0.15\,\mathrm{A}$ verstuurt.” Veroordeel het verslag twee keer, één wet per veroordeling.
Van een van de twee gerapporteerde spanningsaflezingen blijkt later dat ze eerlijk is. Als dat de $2.5\,\mathrm{V}$ is, wat moet haar partner dan werkelijk zijn?
De bouwer bekent dat de knooppuntgetallen “royaal afgerond” waren. Als de twee takaflezingen $0.2\,\mathrm{A}$ en $0.15\,\mathrm{A}$ eerlijk zijn, wat moet de hoofdweg dan werkelijk voeren?
Waarom maken de vier wetten van bedrog met verzegelde dozen een verloren spel? Eén zin.

Deel IV — De grondwet.

Schrijf het handvest van de club: de vier wetten in vier regels, elk met het alledaagse beeld dat haar draagt (wegen, tolhuisjes, watervallen, splitsingen).

Oplossing

Oplossing van Probleem 57.1.

1. Serie. In serie verzetten de twee lampen zich na elkaar tegen de mars: de stroom in de lus valt ver onder de $0.4\,\mathrm{A}$ van één lamp — de gemeten $0.2\,\mathrm{A}$ past. (Parallel zou twee volle takken optellen.) 2. Parallel: twee takken van elk ongeveer $0.4\,\mathrm{A}$ — ruwweg $0.8\,\mathrm{A}$ uit de batterij. 3. De spanningswet voor serie verdeelt de $6\,\mathrm{V}$ over twee identieke lampen: elk ongeveer $3\,\mathrm{V}$ . 4. Parallel — elke lamp zou de volle $6\,\mathrm{V}$ overspannen. Door het kijkgaatje gloeit het seriepaar dof: elke lamp is ondervoed op de helft van haar gebruikelijke duw. 5. $I_Z = 0.5 - 0.35 = 0.15\,\mathrm{A}$ (knooppuntwet); $I_X = 0.5\,\mathrm{A}$ — X zit op de onverdeelde weg (stroomwet voor serie). 6. $U_{\text{paar}} = 6 - 2.8 = 3.2\,\mathrm{V}$ (luswet); $U_Y = U_Z = 3.2\,\mathrm{V}$ (parallelwet). 7. Dezelfde duw, verschillende marsen: de lampen verzetten zich ongelijk tegen de stroom — Z, die bij dezelfde spanning minder voert, is de sterkste tegenstander (de zwaardere weg). 8. Dalen: het wegvallen van de tak van Y neemt een weg weg; de overblijvende Z-weg verzet zich meer dan het paar samen deed, dus drijft de batterij minder totale stroom aan. 9. Veroordeling één, luswet: $2.5 + 4.1 = 6.6\,\mathrm{V}$ uitgegeven uit een beurs van $6\,\mathrm{V}$ . Veroordeling twee, knooppuntwet: erin $0.3\,\mathrm{A}$ , eruit $0.2 + 0.15 = 0.35\,\mathrm{A}$ . 10. $6 - 2.5 = 3.5\,\mathrm{V}$ . 11. $0.2 + 0.15 = 0.35\,\mathrm{A}$ . 12. Omdat de vier wetten elke eerlijke schakeling overbepalen: elke aflezing moet kloppen met de sommen van de andere, dus moet één verzonnen getal aan minstens één wet liegen — en het wordt door de rekenkunde alleen al veroordeeld. 13. Bijvoorbeeld: “Eén weg, één mars — de stroomwet voor serie. Bij elke splitsing zijn de marsen in evenwicht, erin is eruit — de knooppuntwet. Rond elke lus wordt de waterval van de batterij tot de laatste druppel door de werkers uitgegeven — de spanningswet voor serie. En takken die tussen dezelfde twee knooppunten hangen, drinken van dezelfde hoogte — de spanningswet voor parallel.”