Natuurkunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

52Bewegingsgrafieken en gemiddelde snelheid

Twee jaar geleden betekende snelheid “kilometers afgelegd in één uur”, op je vingers geteld. Nu, gewapend met letters en grafieken, krijgt het idee tanden: een formule die in drie richtingen rekent, een plaatje dat een hele reis in één oogopslag toont — en een beroemde val over gemiddelden waar volwassenen dagelijks in trappen.

52.1 De formule

Definitie 52.1 (Snelheid, per formule)

Voor een reis (of een stuk ervan) die in een gelijkmatig tempo wordt afgelegd, is de snelheid $v$ de afstand $d$ gedeeld door de reistijd $t$ :

v = \frac{d}{t}.

Met $d$ in kilometers en $t$ in uren spreekt $v$ kilometer per uur ( $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ); met meters en seconden, meter per seconde ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) — de lieveling van de natuurkundige. Net als die van de dichtheid rekent deze formule in alle drie de richtingen: $v = d/t$ , $d = v \times t$ , $t = d/v$ .

Voorbeeld 52.2 (De recepten aan het werk)

Een trein legt $240\,\mathrm{km}$ af in $2$ uur: $v = 240 \div 2 = 120\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Hoe ver in dat tempo in $5$ uur? $d = 120 \times 5 = 600\,\mathrm{km}$ . Hoe lang over $300\,\mathrm{km}$ ? $t = 300 \div 120 = 2.5$ uur — twee uur en dertig minuten (let op de weerspannige: $0.5$ uur is $30$ minuten, nooit “ $50$ ”).

Voorbeeld 52.3 (Twee eenheden, één snelheid)

Een sprinter loopt $100\,\mathrm{m}$ in $10\,\mathrm{s}$ : $v = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Hoe snel is dat in wegeenheden? In één uur — $3600$ seconden — zou de sprinter $10 \times 3600 = 36\,000\,\mathrm{m} = 36\,\mathrm{km}$ afleggen: dus $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . De algemene wisselkoers: elke $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ is $3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ waard — omdat een uur $3600$ seconden bevat en een kilometer slechts $1000$ meter. De $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ van geluid, in wegeenheden: ruim $1200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

52.2 De reis als plaatje

Propositie 52.4 (De grafiekwetten)

Zet de afgelegde afstand uit tegen de tijd, en de beweging schrijft haar autobiografie:

eenparige beweging tekent een rechte lijn — gelijke afstanden in gelijke tijden, stap na stap;
hoe steiler de lijn, hoe sneller de beweging: steilheid is zichtbaar gemaakte snelheid;
een vlak stuk is een stop: de tijd verstrijkt, de afstand staat stil.

Bochten vertellen van verandering: omhoog krommend, versnellen; afvlakkend, vertragen.

De ochtend van een koerier verteld door één lijn: stevig doorrijden, een stop van een kwartier, dan een rustiger tempo. De grafiek is de autobiografie van de reis.

Methode 52.5 (Een afstand–tijdgrafiek lezen)

controleer eerst de assen en hun eenheden — minuten of uren, meters of kilometers;
knip de lijn bij haar knikken in stukken; benoem elk stuk: recht-en-steil, recht-en-rustig, vlak;
lees voor elk recht stuk de stijging en de horizontale afstand af — gewonnen afstand, verstreken tijd — en deel: de snelheid van dat stuk;
lees voor het hele verhaal de totale afstand af bij het laatste tijdstip — en onthoud dat de vlakke stukken deel uitmaken van de totale tijd.

Voorbeeld 52.6 (De koerier, ontcijferd)

Pas de methode toe op de figuur. Eerste stuk: $10\,\mathrm{km}$ in $20$ minuten — een derde van een uur — dus $v = 10 \div \tfrac{1}{3} = 30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Tweede: vlak van minuut $20$ tot $35$ — een bezorgstop. Derde: $10\,\mathrm{km}$ in $25$ minuten, een tikje onder $24\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Totaal: $20\,\mathrm{km}$ in één uur — wat ons het volgende idee van dit hoofdstuk op een presenteerblaadje aanreikt.

52.3 Gemiddelde snelheid — en haar beroemde val

Definitie 52.7 (Gemiddelde snelheid)

De gemiddelde snelheid van een hele reis is de totale afstand gedeeld door de totale tijd — stops inbegrepen:

v_{\text{gemiddeld}} = \frac{d_{\text{totaal}}}{t_{\text{totaal}}}.

Het is het ene gelijkmatige tempo waarmee dezelfde weg in dezelfde totale tijd zou zijn afgelegd — de $20\,\mathrm{km}$ van de koerier in één uur: gemiddeld $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , ook al draaiden de wielen geen enkel moment op die snelheid.

Propositie 52.8 (De val)

De gemiddelde snelheid van een reis is in het algemeen niet het midden van haar snelheden. Trage stukken vreten meer tijd dan snelle, dus wegen ze zwaarder in het gemiddelde. Alleen het volledige recept — totale afstand gedeeld door totale tijd — is betrouwbaar; het middelen van de snelheidsgetallen zelf is de meest verleidelijke misstap van dit hoofdstuk.

Voorbeeld 52.9 (De val, dichtgeklapt)

Een fietser rijdt $60\,\mathrm{km}$ heen met $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , en dezelfde $60\,\mathrm{km}$ terug met $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . “Gemiddeld: $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ”? Controleer het eerlijk. Heen: $t = 60 \div 30 = 2$ uur. Terug: $t = 60 \div 20 = 3$ uur. Hele reis: $120\,\mathrm{km}$ in $5$ uur — $v_{\text{gemiddeld}} = 24\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . De trage helft eiste drie van de vijf uur op en trok het gemiddelde onder het midden. Hoe sneller je op de ene helft gaat, hoe korter die helft überhaupt bestaat.

Opmerking 52.10 (Wat de snelheidsmeter weet)

Gemiddelde snelheid beschrijft een hele reis; de naald van de snelheidsmeter beantwoordt een andere vraag — hoe snel op dit moment. Op de grafiek woont “op dit moment” in de steilheid van de lijn in één punt — makkelijk te zien op een recht stuk, subtiel waar de lijn kromt. “Steilheid in een punt” precies maken is een van de grootste uitvindingen van de wiskunde, en die wacht aan het eind van de middelbare school op je. Tot dan: rechte stukken krijgen getallen, krommen krijgen verhalen.

52.4 Oefeningen

Oefening 52.1 ★

Schrijf de snelheidsformule op en haar twee alledaagse eenheden. Welk recept vindt een afstand? En een tijd?

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.1.

$v = d/t$ ; eenheden $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Afstand: $d = v \times t$ ; tijd: $t = d/v$ .

Oefening 52.2 ★

Een veerboot legt $45\,\mathrm{km}$ af in $3$ uur; een haas loopt $100\,\mathrm{m}$ in $8\,\mathrm{s}$ . Bereken beide snelheden, elk in haar natuurlijke eenheid.

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.2.

Veerboot: $45 \div 3 = 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Haas: $100 \div 8 = 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Oefening 52.3 ★

Reken om, met de wisselkoers: $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ naar $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; $72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ naar $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.3.

$5 \times 3.6 = 18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; $72 \div 3.6 = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Oefening 52.4 ★

Noem de drie grafiekwetten. Wat vertelt een bocht die geleidelijk afvlakt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.4.

Rechte lijn: eenparige beweging; steiler: sneller; vlak: stilstaand. Een geleidelijk afvlakkende bocht vertelt van vertragen.

Oefening 52.5 ★

Tussen welke minuten is het tempo op de grafiek van de koerier het rustigst (maar niet nul)? Hoe zie je dat zonder te rekenen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.5.

Van minuut $35$ tot $60$ — het derde stuk: het is het minst steile van de stijgende stukken, rechtstreeks af te lezen aan zijn flauwere helling.

Oefening 52.6 ★

De grafiek van een wandelaar toont een rechte lijn door de punten ( $30$ min, $2\,\mathrm{km}$ ) en ( $60$ min, $4\,\mathrm{km}$ ). Eenparig of veranderlijk? Snelheid in $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.6.

Eenparig — één rechte lijn. Er komt elk half uur $2\,\mathrm{km}$ bij: $v = 4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Oefening 52.7 ★

Definieer gemiddelde snelheid. Een tocht: $12\,\mathrm{km}$ in $4$ uur, inclusief een picknick van een uur. Gemiddelde snelheid — en gemiddelde snelheid tijdens het lopen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.7.

Totale afstand gedeeld door totale tijd, stops inbegrepen. Hele tocht: $12 \div 4 = 3\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Alleen lopend: $12 \div 3 = 4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Oefening 52.8 ★★

Waarom weegt een traag stuk “zwaarder” in een gemiddelde dan een snel stuk van dezelfde lengte? Antwoord met tijd, niet met formules.

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.8.

Over gelijke afstanden duurt het trage stuk eenvoudigweg langer — een groter deel van de klok van de reis wordt in het trage tempo geleefd, dus spreekt dat trage tempo met een groter deel van de stem van de reis.

Oefening 52.9 ★★

Speel de val opnieuw af: $30\,\mathrm{km}$ heen met $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , $30\,\mathrm{km}$ terug met $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Voorspeld midden, eerlijk gemiddelde — en welke helft van de reis bezat het grootste deel van de klok?

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.9.

Gok op het midden: $22.5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Eerlijk: heen $30 \div 15 = 2$ uur, terug $30 \div 30 = 1$ uur; totaal $60\,\mathrm{km}$ in $3$ uur: $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . De trage helft bezat twee van de drie uren.

Oefening 52.10 ★★

Schets (of beschrijf nauwkeurig) de grafiek van deze rit: eenparig $40\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ gedurende een half uur; stilstaand gedurende een kwartier; eenparig $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ gedurende een kwartier. Bereken daarna de gemiddelde snelheid van de rit.

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.10.

Grafiek: recht tot ( $30\,\mathrm{min}$ , $20\,\mathrm{km}$ ); vlak tot $45$ min; recht en steiler tot ( $60\,\mathrm{min}$ , $35\,\mathrm{km}$ ). Gemiddelde: $35\,\mathrm{km}$ in één uur — $35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

Oefening 52.11 ★★

Onweer tellen, opgewaardeerd: de donder komt $6\,\mathrm{s}$ na de flits aan. Gebruik met geluid op $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de formule $d = v \times t$ voor de afstand tot het onweer — en toets de oude regel “deel door drie voor kilometers” aan je formule.

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.11.

$d = 340 \times 6 = 2040\,\mathrm{m}$ — ongeveer $2\,\mathrm{km}$ . De oude regel: $6 \div 3 = 2$ kilometer — in overeenstemming, omdat $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ vrijwel een kilometer per drie seconden betekent.

Oefening 52.12 ★★★

Een oude klassieker, elke minuut waard: een bestuurder legt de eerste helft van de afstand van een rit af met $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en wil een totaalgemiddelde van $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Toon — met het recept totale afstand gedeeld door totale tijd op een rit van $60\,\mathrm{km}$ — aan dat de tweede helft in nul tijd zou moeten worden afgelegd: de wens is onmogelijk, niet slechts moeilijk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 52.12.

Eerste helft: $30\,\mathrm{km}$ met $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ kost precies $1$ uur. Een totaalgemiddelde van $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ over $60\,\mathrm{km}$ staat in totaal precies $1$ uur toe — al tot op de laatste seconde uitgegeven. De resterende $30\,\mathrm{km}$ zou $0$ uur mogen kosten: geen enkele snelheid, hoe heldhaftig ook, haalt het gemiddelde nog; het budget is op.

52.5 Probleem: de vrijdag van de koerier

Probleem 52.1

Weekendprobleem — één fietskoerier, één vrijdag in de stad; de grafiek van de coördinator, de val in het bonusblad

De coördinator legt de vrijdag van koerier Lena vast op een afstand–tijdgrafiek en berekent daaruit haar loon. Jij controleert het blad.

Deel I — De ochtend, uit de grafiek. De grafiek toont: een rechte klim van ( $0$ min, $0\,\mathrm{km}$ ) naar ( $30$ min, $9\,\mathrm{km}$ ); vlak tot $45$ min; recht vandaar naar ( $75$ min, $15\,\mathrm{km}$ ); vlak tot $90$ min.

Vertel het verhaal van de ochtend in woorden: stukken, stops, en wat de stops vermoedelijk waren.
Snelheid op het eerste stuk, in $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
Snelheid op het tweede rijstuk?
Lena’s gemiddelde snelheid over de hele ochtend van $90$ minuten, stops inbegrepen?

Deel II — De middag, uit de formule.

Eerste rit van de middag: $12\,\mathrm{km}$ met een gelijkmatige $24\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Hoe lang duurde die, in minuten?
Tweede rit: een bezorging in het noorden van de stad, $20\,\mathrm{minutes}$ met $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Hoeveel kilometer?
Derde rit: de lange tocht naar het depot, $10\,\mathrm{km}$ , gedaan in $25$ minuten. Snelheid bij gelijkmatig tempo in $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
Totale middag: tel de afstanden en de tijden op (alleen de ritten, geen pauzes): welke gemiddelde snelheid hielden de wielen aan terwijl ze rolden?

Deel III — De val van het bonusblad. De bonusregel: “een gemiddelde snelheid over een volledige ronde boven $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ levert de snelrijdersbonus op.”

Lena’s volledige vrijdag: $37\,\mathrm{km}$ in $3$ uur (alle stops inbegrepen). Verdient ze de bonus?
Haar collega Max claimt hem: “Ik reed de helft van mijn ronde met $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en de helft met $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — dat is gemiddeld $22.5$ !” De coördinator controleert: beide helften waren $12\,\mathrm{km}$ . Bereken het echte gemiddelde van Max en beslis over zijn bonus.
Leg Max in tijdtaal uit waar zijn $22.5$ misging.
Lena stelt een eerlijker bonusregel voor koeriers voor — een die bezorgstops niet bestraft. Doe een voorstel (de grafiek weet hoe), en zeg welke snelheid die meet.

Deel IV — De les van de coördinator.

Vrijdagevaluatie: schrijf de drie zinnen van de coördinator — wat een recht stuk, een vlak stuk en een steiler stuk elk op de grafiek betekenen — en de ene waarschuwing over het middelen van snelheden.

Oplossing

Oplossing van Probleem 52.1.

1. Een stevige rit ( $30$ min), een stop van $15$ minuten (bezorging), een rustiger rit ( $30$ min), en een tweede stop van $15$ minuten — twee ritten, twee adressen. 2. $9\,\mathrm{km}$ in een half uur: $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 3. $15 - 9 = 6\,\mathrm{km}$ in een half uur: $12\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 4. $15\,\mathrm{km}$ in $1.5$ uur: $10\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 5. $t = 12 \div 24 = 0.5$ uur: $30$ minuten. 6. $20$ minuten is een derde van een uur: $d = 18 \times \tfrac{1}{3} = 6\,\mathrm{km}$ . 7. $25$ minuten is $\tfrac{25}{60}$ uur; $v = 10 \div \tfrac{25}{60} = 24\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 8. Afstanden: $12 + 6 + 10 = 28\,\mathrm{km}$ ; tijden: $30 + 20 + 25 = 75$ minuten $= 1.25$ uur; rolgemiddelde: $28 \div 1.25 = 22.4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . 9. $37 \div 3 \approx 12.3\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — ver onder $20$ : geen bonus (haar stops zijn eerlijk werk, maar de regel telt ze mee). 10. Max: snelle helft $12 \div 30 = 0.4$ h; trage helft $12 \div 15 = 0.8$ h; totaal $24\,\mathrm{km}$ in $1.2$ h: precies $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — niet boven $20$ : geen bonus. 11. Zijn $22.5$ middelde de twee getallen, alsof elk tempo de helft van de klok bezat. In werkelijkheid bezat de trage helft $0.8$ van zijn $1.2$ uur — twee derde van de stem van de reis — en trok het echte gemiddelde omlaag tot $20$ . 12. Bijvoorbeeld: keer de bonus uit op de rollende gemiddelde snelheid — totale afstand gedeeld door alleen de rijtijd, met de vlakke stukken van de grafiek eruit. Die meet het tempo dat de wielen werkelijk aanhouden, en beloont snel rijden in plaats van overgeslagen bezorgingen. 13. “Een recht stuk is een gelijkmatig tempo; een vlak stuk is een stop terwijl de klok doorloopt; een steiler stuk is een sneller tempo — steilheid is snelheid. En middel nooit snelheidsgetallen: middel de reis — totale afstand gedeeld door totale tijd — anders maken de trage uren het blad belachelijk.”

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst