Natuurkunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

37Meten in de wetenschap: eenheden en instrumenten

Een timmerman, een dokter en een sterrenkundige beginnen aan hun werkdag: de een meet een plank, de ander koorts, de derde de dwaaltochten van Mars. Alle drie vertrouwen ze op dezelfde stille machinerie — afgesproken eenheden, eerlijke instrumenten, zorgvuldig aflezen. Dit jaar wordt de natuurkunde echt kwantitatief, dus beginnen we met het poetsen van het gereedschap waarop elk volgend hoofdstuk zal leunen.

37.1 Van schijn naar getal

Vijf jaar proeven hebben ons een ritme geleerd: ogen en handen gokken, instrumenten beslissen. De liniaal tegen schijnbaar-langer; de balans tegen schijnbaar-zwaarder; de thermometer tegen het gevoel van kou. Elke keer is het oordeel van het instrument een getal met een eenheid — en dat paar reist, vergelijkt en kan door iedereen worden nagekeken, wat geen enkel gevoel ooit kon.

Definitie 37.1 (Een grootheid meten)

Een grootheid meten — een lengte, een massa, een tijdsduur, een temperatuur — is tellen hoe vaak haar afgesproken eenheid erin past, met een instrument dat voor die klus gebouwd is. Het resultaat wordt altijd geschreven als een getal met zijn eenheid: $28.5\,\mathrm{cm}$ , $450\,\mathrm{g}$ , $37.2\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ . Een getal alleen is een gerucht; getal-plus-eenheid is een meting.

Voorbeeld 37.2 (De prijs van een ontbrekende eenheid)

“Voeg 3 bloem toe.” Gram? Lepels? Koppen? Het lot van de taart hangt aan het ontbrekende woord. Er zijn echte rampen gevolgd uit ontbrekende of verwisselde eenheden — piloten zijn midden in de vlucht zonder brandstof komen te zitten doordat kilogrammen met ponden werden verward. Vakmensen schrijven de eenheid elke keer op, zonder uitzondering; vanaf dit hoofdstuk doen wij dat ook.

37.2 De eenheden van de wereld

Definitie 37.3 (De startset van de wetenschapper)

De wereld is het eens geworden over gemeenschappelijke eenheden, één familie per grootheid:

lengte: de meter ( $\mathrm{m}$ ), met zijn nakomelingen de kilometer ( $1\,\mathrm{km} = 1000\,\mathrm{m}$ ), de centimeter ( $100\,\mathrm{cm} = 1\,\mathrm{m}$ ) en de millimeter ( $1000\,\mathrm{mm} = 1\,\mathrm{m}$ );
massa: de kilogram ( $\mathrm{kg}$ ), met de gram ( $1\,\mathrm{kg} = 1000\,\mathrm{g}$ ) en de milligram ( $1000\,\mathrm{mg} = 1\,\mathrm{g}$ );
tijd: de seconde ( $\mathrm{s}$ ), met de minuut ( $1\,\mathrm{min} = 60\,\mathrm{s}$ ) en het uur ( $1\,\mathrm{h} = 60\,\mathrm{min} = 3600\,\mathrm{s}$ );
temperatuur: de graad Celsius ( ${}^{\circ}\mathrm{C}$ );
volume van vloeistoffen: de liter ( $\mathrm{L}$ ), die we in het volgende hoofdstuk afmeten.

Voorbeeld 37.4 (Omrekenen als een wetenschapper)

Omrekenen is een ritje op de decimale trap. $2.35\,\mathrm{m}$ in centimeter: vermenigvuldig met $100$ — de komma schuift twee plaatsen naar rechts: $235\,\mathrm{cm}$ . $4500\,\mathrm{g}$ in kilogram: deel door $1000$ : $4.5\,\mathrm{kg}$ . De tijd is de rebel van de familie — haar treden zijn $60$ en geen $10$ : $2.5\,\mathrm{min}$ is geen $250$ seconden maar $2 \times 60 + 30 = 150\,\mathrm{s}$ . Heb respect voor de rebel.

Opmerking 37.5 (Wie bewaakt de meter?)

Twee eeuwen lang was de meter van de wereld een staaf edelmetaal in een bewaakte kluis vlak bij een grote Europese hoofdstad, en de kilogram een glanzende cilinder ernaast: de linialen en gewichten van elk land waren kopieën van kopieën daarvan. Vandaag zijn de bewakers met pensioen: de meter en zijn vrienden worden nu vastgelegd met onveranderlijke feiten van de natuur zelf — licht en de innerlijke klokken van atomen — zodat elk goed uitgerust laboratorium op Aarde (of daarbuiten!) ze precies kan nabouwen. Eenheden zijn de langstlopende vreedzame afspraak van de mensheid.

De gereedschapskist van de meter: lengte, volume, massa, temperatuur en tijd, elk met zijn eigen instrument en zijn eigen eenheid.

37.3 Instrumenten goed gebruiken

Methode 37.6 (Elke schaalverdeling aflezen)

Linialen, thermometers, maatbekers, wijzerplaten: één vaardigheid leest ze allemaal.

zoek de waarde van één streepje: kies twee naburige genummerde streepjes, trek af, en deel door het aantal kleine stapjes ertussen — op een liniaal die elke centimeter genummerd is met tien stapjes is elk stapje $1 \div 10 = 0.1\,\mathrm{cm}$ , oftewel één millimeter;
houd je oog recht voor het streepje (een schuine blik verschuift de aflezing);
tel door vanaf het laatste genummerde streepje: $7$ en $3$ kleine stapjes is $7.3$ ;
schrijf het getal met zijn eenheid.

Een schaalverdeling aflezen: leer eerst wat één klein stapje waard is, en tel dan door vanaf het laatste genummerde streepje.

Methode 37.7 (Schatten, meten, beoordelen)

Vakmensen meten nooit koud:

schat eerst — “deze tafel is ongeveer twee meter”;
kies het instrument waarvan het bereik en de stapjes bij de klus passen (een liniaal voor een postzegel, een rolmaat voor een gang, de keukenweegschaal voor bloem, de personenweegschaal voor mensen);
meet, volgens de afleesregels;
beoordeel: klopt het resultaat ruwweg met de schatting? Een tafel die op $21.3\,\mathrm{m}$ uitkomt is niet gegroeid — je hebt je met een factor tien vergist, en de schatting heeft dat net op tijd gezien.

De schatting is je vangnet: ze vangt verschoven komma’s op voordat die jou te pakken krijgen.

Voorbeeld 37.8 (Verstandig kiezen)

Om een brief voor de post te wegen is de personenweegschaal nutteloos — de $18\,\mathrm{g}$ van de brief verdwijnen tussen haar stapjes; de keukenweegschaal, die per gram stapt, antwoordt perfect. Om een sprint van $100$ meter te klokken zijn de minuutstapjes van de keukenklok hopeloos; een stopwatch telt in honderdsten van een seconde. Geen van beide instrumenten is “beter”: elk heeft zijn gebied, bepaald door zijn bereik en zijn kleinste stapje.

37.4 Eerlijke getallen

Opmerking 37.9 (Tussen de streepjes)

Echte naalden landen graag tussen de streepjes. Eerlijkheid heeft dan twee niveaus: op zijn minst noem je de twee buren — “tussen $7.3$ en $7.4$ , dichter bij $7.3$ ”; beter is één cijfer voorbij de streepjes te schatten — “ongeveer $7.32\,\mathrm{cm}$ ”. Wat eerlijkheid verbiedt is precisie verzinnen: $7.3214\,\mathrm{cm}$ aflezen van millimeterstreepjes is fictie in een witte jas. De streepjes van een instrument bepalen de grens van wat het kan beloven.

Voorbeeld 37.10 (Twee keer meten, meer vertrouwen)

Drie vrienden klokken dezelfde rit van een speelgoedauto met dezelfde stopwatch: $4.6\,\mathrm{s}$ , $4.8\,\mathrm{s}$ , $4.7\,\mathrm{s}$ . Niemand heeft een blunder gemaakt — vingers starten en stoppen nu eenmaal een haar uiteen. Kleine spreiding is de gewone ademhaling van echt meten. De verstandige gewoonten: herhaal de meting, kijk hoe de aflezingen zich samendringen, en wantrouw elk enkel eenzaam getal — vooral je eigen.

37.5 Oefeningen

Oefening 37.1 ★

Maak elke meting af met een verstandige eenheid: een deur is $2$ … hoog; een muntje heeft massa $8$ …; een schoolles duurt $55$ …; koorts is $39$ …

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.1.

$2$ $\mathrm{m}$ ; $8$ $\mathrm{g}$ ; $55$ $\mathrm{min}$ ; $39$ ${}^{\circ}\mathrm{C}$ .

Oefening 37.2 ★

Reken om: $3.2\,\mathrm{m}$ naar $\mathrm{cm}$ ; $750\,\mathrm{g}$ naar $\mathrm{kg}$ ; $4\,\mathrm{min}$ naar seconden; $5600\,\mathrm{m}$ naar $\mathrm{km}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.2.

$320\,\mathrm{cm}$ ; $0.75\,\mathrm{kg}$ ; $240\,\mathrm{s}$ ; $5.6\,\mathrm{km}$ .

Oefening 37.3 ★

Waarom is de tijd de rebel van de eenhedenfamilie? Reken $3.5\,\mathrm{min}$ om naar seconden — en zeg welk verkeerde antwoord de decimale trap zou hebben gegeven.

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.3.

Haar treden gaan met $60$ en niet met $10$ , dus liegt de decimale trap: $3.5\,\mathrm{min} = 3 \times 60 + 30 = 210\,\mathrm{s}$ , terwijl de trap ten onrechte $350\,\mathrm{s}$ zou hebben gegeven.

Oefening 37.4 ★

Een maatbeker is elke $100\,\mathrm{mL}$ genummerd met vijf kleine stapjes tussen de getallen. Hoeveel is één stapje waard? Het sap staat twee stapjes boven het streepje $300$ — hoeveel sap is dat?

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.4.

Elk stapje: $200 \div 5 = 40\,\mathrm{mL}$ . Twee stapjes boven $300$ : $300 + 80 = 380\,\mathrm{mL}$ .

Oefening 37.5 ★

Welk instrument voor welke klus, en waarom: een snufje gist wegen; een hartslagtelling klokken; de breedte van deze bladzijde; de lengte van het schoolplein?

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.5.

Gist: de keukenweegschaal (stapjes van een gram — de personenweegschaal zou een snufje niet opmerken). Hartslagen: een stopwatch (stapjes van een seconde en fijner). Breedte van de bladzijde: een liniaal (millimeterstapjes). Schoolplein: een lange rolmaat of een meetwiel (bereik op meterschaal).

Oefening 37.6 ★

Nadia meet haar potlood: $17.4\,\mathrm{m}$ . Welk vangnet uit Methode 37.7 had dit moeten opvangen, en wat is de waarschijnlijke echte waarde?

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.6.

De beoordelingsstap: een potlood schat je op minder dan $20\,\mathrm{cm}$ , dus zakt $17.4\,\mathrm{m}$ meteen voor de gezondverstandtoets. Ze las centimeters af en schreef meters: de echte waarde is $17.4\,\mathrm{cm}$ .

Oefening 37.7 ★

De kolom van een thermometer stopt tussen de streepjes $18$ en $19$ , dichter bij $19$ . Geef één eerlijke manier om dat te melden — en één oneerlijke melding om te vermijden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.7.

Eerlijk: “tussen $18$ en $19\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , dichter bij $19$ ” (of “ongeveer $18.8\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ”). Oneerlijk: “ $18.7643\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ ” — precisie die de streepjes niet kunnen beloven.

Oefening 37.8 ★

Drie stopwatchaflezingen van één rit: $6.1\,\mathrm{s}$ , $6.3\,\mathrm{s}$ , $6.2\,\mathrm{s}$ . Heeft iemand schuld? Wat is de verstandige melding?

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.8.

Niemand heeft schuld: vingers starten en stoppen een haar uiteen, en kleine spreiding is de gewone ademhaling van het meten. Verstandige melding: de aflezingen dringen zich samen rond $6.2\,\mathrm{s}$ — “ongeveer $6.2\,\mathrm{s}$ ”.

Oefening 37.9 ★★

Een recept uit het buitenland vraagt om “een kwart pond boter”. Je keukenweegschaal spreekt gram, en een heel pond is ongeveer $450\,\mathrm{g}$ . Hoeveel gram weeg je af? Wat leert dit boodschapje over gedeelde eenheden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.9.

Een kwart van $450\,\mathrm{g}$ : ongeveer $112\,\mathrm{g}$ ( $113\,\mathrm{g}$ mag ook). Het boodschapje laat zien waarom gedeelde eenheden ertoe doen: recepten die in de eenheden van het ene land geschreven zijn, moeten vertaald worden voordat de instrumenten van een ander land ze kunnen gehoorzamen.

Oefening 37.10 ★★

De eerste centimeter van een liniaal is afgesleten, zodat de rand bij het streepje $1$ begint. Een postzegel die vanaf de rand wordt gelegd leest aan zijn verre uiteinde $3.4$ af. Hoe breed is de postzegel werkelijk? Welke gewoonte verslaat versleten linialen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.10.

De postzegel loopt van het streepje $1$ tot het streepje $3.4$ : $3.4 - 1 = 2.4\,\mathrm{cm}$ . De gewoonte: vertrouw nooit de rand van een instrument — begin bij een gekozen streepje en trek af, en versleten linialen verliezen hun macht.

Oefening 37.11 ★★

De klas meet de gang twee keer met een rolmaat van $20\,\mathrm{m}$ : $18.25\,\mathrm{m}$ en $18.35\,\mathrm{m}$ . De juf schrijft “ $18.3\,\mathrm{m}$ ”. Verklaar haar keuze met Opmerking 37.9 en Voorbeeld 37.10.

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.11.

De twee aflezingen verschillen $0.10\,\mathrm{m}$ , dus is het laatste cijfer van geen van beide te vertrouwen; ze dringen zich samen rond $18.3$ . “ $18.3\,\mathrm{m}$ ” schrijven houdt elk cijfer dat de rolmaat eerlijk kan beloven, en niet meer.

Oefening 37.12 ★★★

Een oud verhaal: een koning verklaarde zijn eigen voet tot eenheid van lengte van het koninkrijk. Noem twee praktische rampen die daaruit volgen (denk aan timmerlieden in verre steden, en aan de groeiende zoon van de koning als erfgenaam), en leg uit hoe de met pensioen gestuurde metalen staaf uit Opmerking 37.5 beide oploste — en welk probleem zelfs de staaf onopgelost liet dat de constanten van de natuur ten slotte hebben verholpen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 37.12.

Rampen: de “voeten” van twee steden komen nooit overeen, dus passen balken die in de ene stad zijn gezaagd nooit in huizen in de andere; en zodra de zoon erft, verandert de eenheid zelf van lengte — elke meting in het koninkrijk vervalt met de koning. De metalen staaf loste beide op: één onveranderlijke lengte, gekopieerd voor alle steden, die alle koningen overleeft. Haar eigen gebrek: één enkel voorwerp kan bekrast, gestolen of langzaam veranderd worden, en de wereld moest naar haar kluis reizen om kopieën te controleren — tot de eenheden werden herbouwd op de constanten van de natuur, die niet kunnen slijten en overal tegelijk dienst doen.

37.6 Probleem: de instrumenteninspecteur

Probleem 37.1

Weekendprobleem — een dag met de instrumenteninspecteur van de stad; weegschalen, maatbekers en klokken voor het gerecht; het schrift van de leerling

Elk jaar controleert de inspecteur van de stad de instrumenten van winkels en scholen. Vandaag ben jij de leerling, met je schrift in de hand.

Deel I — De weegschaal van de bakker. De inspecteur draagt gecertificeerde blokjes bij zich: $500\,\mathrm{g}$ , $200\,\mathrm{g}$ , $200\,\mathrm{g}$ , $100\,\mathrm{g}$ , $50\,\mathrm{g}$ .

Ze controleert of de naald van de lege weegschaal precies op nul staat. Waarom moet dit de allereerste test zijn?
Ze legt het blokje van $500\,\mathrm{g}$ en één van $200\,\mathrm{g}$ erop. Wat moet een eerlijke weegschaal aanwijzen?
De naald wijst in plaats daarvan $680\,\mathrm{g}$ aan. Vleit deze weegschaal de bakker of de klanten? Leg uit wie er bij elke verkoop geld verliest.
Met welke combinaties van haar blokjes kan ze de aflezing $750\,\mathrm{g}$ toetsen? Geef er één.
De weegschaal van de bakkerij stapt per $5\,\mathrm{g}$ . Zou de inspecteur haar kunnen gebruiken om een postzegel van $2\,\mathrm{g}$ te controleren? Waarom niet?

Deel II — De maatbekers van de school.

Een maatbeker is elke $200\,\mathrm{mL}$ genummerd, met vier stapjes tussen de getallen. Hoeveel is elk stapje waard?
Het water staat één stapje boven het streepje $600\,\mathrm{mL}$ . Het logboek van de leraar zegt “ongeveer $700\,\mathrm{mL}$ ”. Beoordeel die melding: eerlijk, te vaag, of fictie?
Een leerling leest de maatbeker af vanaf een lage stoel, met zijn oog ver onder de waterlijn, en krijgt een ander getal dan de inspecteur. Welke afleesregel is geschonden?
De inspecteur giet de door de school opgegeven $650\,\mathrm{mL}$ over in een gecertificeerde maatbeker, die $640\,\mathrm{mL}$ aanwijst. Hoeveel zit de schoolbeker ernaast, en is dat erger of minder erg dan één van haar eigen stapjes?

Deel III — Klokken, en het oordeel van de leerling.

De stationsklok wordt vergeleken met het tijdsignaal van de radio: bij het middaguur van het signaal wijst ze $12$ u $2$ min aan. Loopt ze voor of achter, en hoeveel?
Als niemand haar bijstelt, hoeveel loopt ze dan na een week voor? (Ze wint elke dag evenveel.)
Bij het middaguur van het signaal wijzen de klokken van drie winkels $12$ u $2$ min, $11$ u $58$ min en precies $12$ u aan. De inspecteur zegt: “Middelen zou hier dwaas zijn — repareer elke klok.” Welke reparatie heeft elke klok nodig?
Avond. Schrijf in je schrift de drie gulden regels van de inspecteur op — één over nul, één over aflezen en één over eenheden — elk in één zin van jezelf.

Oplossing

Oplossing van Probleem 37.1.

1. Elke weging telt de lading op bij wat de naald al aanwees; een start die niet op nul staat vergiftigt alle aflezingen van die dag — de eerlijke-startcontrole moet als eerste komen. 2. $500 + 200 = 700\,\mathrm{g}$ . 3. Ze wijst $20\,\mathrm{g}$ te weinig aan. Wie bloem schept tot de naald $700\,\mathrm{g}$ zegt, heeft in werkelijkheid $720\,\mathrm{g}$ geschept: de weegschaal laat de bakker meer waar afgeven dan de klant betaalt — ze vleit de klanten, en de bakker verliest bij elke verkoop. 4. $500 + 200 + 50 = 750\,\mathrm{g}$ . 5. Nee: een postzegel van $2\,\mathrm{g}$ verdwijnt onder de stapjes van $5\,\mathrm{g}$ van de weegschaal — buiten haar gebied. 6. $200 \div 4 = 50\,\mathrm{mL}$ per stapje. 7. Het water staat op $600 + 50 = 650\,\mathrm{mL}$ ; “ongeveer $700\,\mathrm{mL}$ ” rondt een heel stapje weg — te vaag voor zo’n goed instrument. 8. Oog op gelijke hoogte met het streepje: van onderaf aflezen verschuift de schijnbare waterlijn — de regel “recht ervoor kijken” is geschonden. 9. $10\,\mathrm{mL}$ ernaast — minder erg (kleiner) dan haar eigen stapje van $50\,\mathrm{mL}$ : aanvaardbaar voor een schoolbeker. 10. Ze loopt $2$ minuten voor. 11. $2 \times 7 = 14$ minuten voor na een week. 12. Eerste klok: $2$ min terugzetten; tweede: $2$ min vooruit; derde: niets — die klopt. (De drie middelen zou niets repareren en de ene eerlijke klok vervalsen.) 13. Bijvoorbeeld: Nul: controleer of het lege instrument nul aanwijst voordat je iets gelooft wat het zegt. Aflezen: leer wat een stapje waard is en lees recht van voren af, en wees tussen de streepjes eerlijk bescheiden. Eenheden: een getal zonder zijn eenheid is geen meting — schrijf de eenheid op, altijd.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst