Natuurkunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

65Beweging: eenparig en veranderlijk

Twee jaar geleden stelde je de diagnose van beweging op het oog: gelijkmatig verdeelde stippen, eenparig; uit elkaar wijkende stippen, versnellend. Dit jaar krijgen de stippen millimeterverdelingen en de diagnose getallen — interval voor interval, snelheid voor snelheid. En aan het eind van het hoofdstuk staat een stille zin over kracht en beweging die op een dag de halve natuurkunde op zijn rug zal dragen.

65.1 De registratie van beweging

Definitie 65.1 (Plaats-tijdregistratie)

Een plaats-tijdregistratie van een beweging markeert de plaatsen van het bewegende voorwerp bij gelijke tikken van de tijd — videobeelden die je beeldje voor beeldje doorloopt, een foto met een knipperende stroboscoop, of de tikkerteller van het lab die vijftig stippen per seconde op een papieren strook stempelt die door het voorwerp wordt meegetrokken. Tussen elke twee naburige markeringen ligt één tik aan afgelegde weg: de registratie verandert beweging in meetbare stukjes.

Methode 65.2 (Een registratie met getallen lezen)

Voor een registratie met tiklengte $\tau$ (zeg $0.02\,\mathrm{s}$ bij vijftig per seconde, of een comfortabele $0.1\,\mathrm{s}$ uit video):

meet elk gat tussen naburige markeringen met de millimeterliniaal;
deel elk gat door de tik: $v = d/\tau$ geeft de (gemiddelde) snelheid over dat kleine interval — in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ als de gaten in meter staan;
leg de snelheden naast elkaar en lees het verhaal: gelijkblijvende getallen, eenparige beweging; stijgende, versneld; dalende, vertraagd;
noem de snelheid van een interval gerust de snelheid “op” dat moment: over zo’n korte tik geven gemiddeld en momentaan elkaar een hand.

Drie stroken uit de tikkerteller, één stip per tik. Dit jaar worden de gaten gemeten, en wordt elk gat een snelheid.

Voorbeeld 65.3 (Een strook, uitgewerkt)

De strook van een wagentje, tikken van $0.1\,\mathrm{s}$ , gaten in centimeter: $2.0$ , $3.0$ , $4.0$ , $5.0$ , $6.0$ . Snelheden, gat voor gat: $0.02 \div 0.1 = 0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dan $0.3$ , $0.4$ , $0.5$ , $0.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Oordeel: versneld — en prachtig regelmatig zo: de snelheid groeit elke tik met precies $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Bewegingen waarvan de snelheid in gelijke tijden met gelijke stappen klimt, hebben een eigen naam en een grote toekomst — eenparig versneld, de handtekening van gestage oorzaken.

Voorbeeld 65.4 (De beroemdste versnelde beweging)

Laat een steen vallen en film hem: de gaten rekken tik na tik op — vrije val is versneld. Gemeten groeit haar snelheid met ongeveer $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in elke seconde van het vallen: na één seconde $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; na twee bijna $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Dat het groeitempo gelijk is aan de $g$ van de plaats is geen toeval — het is het diepste rijm in de natuurkunde van dit jaar, en het deel voor de middelbare school bouwt zijn mechanica erop. Noteer het, streep het aan, en laat het wachten.

65.2 Momentane snelheid, eerlijk

Definitie 65.5 (Momentane snelheid)

De momentane snelheid van een beweging op een bepaald moment is de gemiddelde snelheid over een heel kort interval rond dat moment — zo kort dat de beweging er geen ruimte in heeft om haar tempo te veranderen. Het is het getal van de snelheidsmeter en dat van de radar: allebei meten ze in feite precies zoals Methode 65.2 het doet, over tikken van een oogwenk. (Wat “heel kort” met volle strengheid betekent, is de grote vraag die het laatste jaar wiskunde van de middelbare school beantwoordt — en dat antwoord schiep de moderne wetenschap.)

Voorbeeld 65.6 (Gemiddeld en momentaan, naast elkaar)

Een metrorit tussen twee stations: gemiddelde snelheid — totale afstand gedeeld door totale tijd — $35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Momentane snelheid: $0$ op beide perrons, $70\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ halverwege de tunnel. Bij eenparige beweging, en alleen daar, smelten de twee begrippen samen tot één gelijkmatig getal: eenparige beweging is precies de beweging die van snelheid één enkele, eerlijke, intervalvrije grootheid maakt.

65.3 De stille zin

Propositie 65.7 (Krachten in evenwicht laten beweging ongemoeid)

Wanneer de krachten op een lichaam elkaar opheffen — of wanneer er helemaal geen werken — verandert de beweging van het lichaam niet: in rust blijft het in rust, en in beweging vervolgt het zijn weg in een rechte lijn met constante snelheid. Verandering van beweging — versnellen, vertragen, draaien — treedt alleen op zolang er een niet-opgeheven kracht werkt. Deze zin, hier uitgesproken en eerlijk uitgesteld, is de openingswet van de hele mechanica; het deel voor de middelbare school begint ermee en laat haar nooit meer los.

Voorbeeld 65.8 (De wereld lezen met de zin)

De puck op glad ijs glijdt recht en gestaag — krachten in evenwicht (gewicht omlaag, ijs omhoog), beweging onveranderd: er is geen duw nodig om door te gaan. De remmende auto vertraagt: één niet-opgeheven kracht, de greep van de weg op de banden, die naar achteren werkt. De fietser in de bocht: een niet-opgeheven kracht zijwaarts, geleverd door de hellende banden. En het kruisende verkeersvliegtuig op een gestage $900\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : stuwkracht in evenwicht met luchtweerstand, draagkracht in evenwicht met gewicht — vier krachten, volmaakt gelijkspel, eenparige beweging. Stilstand en kruisvlucht zijn voor de natuurkunde dezelfde vredige toestand.

Opmerking 65.9 (Waarom de zin verrast)

Het dagelijks leven lijkt te protesteren: stop met trappen en de fiets vertraagt — heeft beweging dan niet toch kracht nodig? Maar de vertragende fiets is niet krachtvrij: wrijving en lucht duwen naar achteren, niet opgeheven, en juist daarom sterft het tempo weg. Neem ze weg — de ijsbaan, de leegte van de ruimte — en de beweging rolt eeuwig door: de ruimtesondes die werden gelanceerd voordat je grootouders elkaar ontmoetten, rollen nu nog steeds door, met koude motoren. De mensheid had tweeduizend jaar nodig om door de vermomming van de wrijving heen te kijken; jij hebt het voordeel van ijsbanen en ruimtesondes.

65.4 Oefeningen

Oefening 65.1 ★

Wat is een plaats-tijdregistratie? Noem twee manieren om er een te maken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.1.

Markeringen van de plaatsen van het voorwerp bij gelijke tikken van de tijd. Twee manieren: videobeelden beeldje voor beeldje doorlopen; de tikkerteller die een meegetrokken papieren strook stempelt (of een stroboscoopfoto).

Oefening 65.2 ★

Een strook met tikken van $0.1\,\mathrm{s}$ toont gaten van $4.0\,\mathrm{cm}$ , $4.0$ , $4.0$ , $4.0$ . Stel de diagnose van de beweging en geef haar snelheid in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.2.

Gelijke gaten: eenparig. $v = 0.04 \div 0.1 = 0.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Oefening 65.3 ★

Een andere strook: gaten $1.0$ , $2.5$ , $4.5$ , $7.0\,\mathrm{cm}$ . Stel de diagnose — en bereken de snelheden van het eerste en het laatste interval.

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.3.

Groeiende gaten: versneld. Eerste interval: $0.01 \div 0.1 = 0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; laatste: $0.07 \div 0.1 = 0.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Oefening 65.4 ★

Onderscheid gemiddelde van momentane snelheid op een rit naar school: welke leest de radar bij het hek af, en welke berekent het gezin met “twintig minuten van deur tot deur”?

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.4.

De radar leest de momentane snelheid — het tempo op het ogenblik bij het hek. “Twintig minuten van deur tot deur” berekent het gemiddelde — totale afstand gedeeld door totale tijd, met stops en sprints door elkaar gemengd.

Oefening 65.5 ★

Bij welke bewegingen vallen gemiddelde en momentane snelheid samen? Waarom daar en alleen daar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.5.

Bij eenparige bewegingen: het tempo verandert nooit, dus geeft elk interval — lang of kort als een oogwenk — hetzelfde getal, en vallen de twee begrippen samen.

Oefening 65.6 ★

Met hoeveel groeit de snelheid van een vrij vallende steen elke seconde, en aan welk plaatselijk getal is die groei gelijk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.6.

Met ongeveer $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ per seconde — getalsmatig de plaatselijke $g$ , $9.8\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ : het diepste rijm van het jaar.

Oefening 65.7 ★

Formuleer de stille zin. Wat zegt ze over een lichaam waarop helemaal geen krachten werken — en over het viervoudige gelijkspel van het kruisende verkeersvliegtuig?

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.7.

Opgeheven (of afwezige) krachten laten beweging ongemoeid: rust blijft rust, en gestage rechtlijnige beweging gaat door. Het krachtvrije lichaam rolt eeuwig door; het viervoudige gelijkspel van het verkeersvliegtuig — stuwkracht tegen luchtweerstand, draagkracht tegen gewicht — is precies waarom zijn $900\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ gestaag blijft.

Oefening 65.8 ★

“Beweging heeft kracht nodig om door te gaan.” Veroordeel deze eeuwenoude dwaling met de doorrollende ruimtesonde en de vermomming van de wrijving.

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.8.

De sonde, krachtvrij in de leegte, rolt al decennia door met koude motoren — beweging die geen kracht nodig heeft om door te gaan. De fiets die het “tegendeel bewijst” vertraagt door wrijving en lucht, niet-opgeheven achterwaartse krachten in vermomming; op ijs, met de vermomming uitgedund, rolt hij ver door.

Oefening 65.9 ★★

Een strook (tikken van $0.1\,\mathrm{s}$ ) leest, in centimeter: $6.0$ , $5.0$ , $4.0$ , $3.0$ , $2.0$ . Stel de diagnose; bereken de snelheid van elk interval; en voorspel de toekomst van de strook als het patroon aanhoudt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.9.

Krimpende gaten: vertraagd. Snelheden: $0.6$ , $0.5$ , $0.4$ , $0.3$ , $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — elke tik $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ lager. Houdt het patroon aan, dan brengen nog twee tikken ( $1.0\,\mathrm{cm}$ , dan niets) de strook tot stilstand.

Oefening 65.10 ★★

Het uitgewerkte wagentje won $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ per tik van $0.1\,\mathrm{s}$ . Druk die groei per seconde uit — en vergelijk de winst van het wagentje met die van de vrije val.

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.10.

$0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ per $0.1\,\mathrm{s}$ is $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ winst per seconde — ongeveer een tiende van de $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ per seconde van de vrije val: een zacht duwtje naast dat van de Aarde.

Oefening 65.11 ★★

Een parachutist valt sneller en sneller — en dan, met open scherm, met een gestage $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Lees beide fasen met de stille zin: wat is er in het begin niet opgeheven, en welk gelijkspel is er aan het eind ontstaan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.11.

Eerste fase: het gewicht trekt harder dan de nog jonge luchtweerstand — niet-opgeheven kracht omlaag, de snelheid groeit. Scherm open: de opbloeiende luchtweerstand klimt tot ze precies gelijk is aan het gewicht — krachten in evenwicht, en de val zakt naar de gestage $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ die de zin belooft.

Oefening 65.12 ★★★

Ontwerp het volledige laboratoriumoordeel over een speelgoedauto die van een helling op een tapijt wordt losgelaten: de registratie die je maakt, de getallen die je berekent, de verwachte diagnose in twee bedrijven (welk bedrijf op de helling, welk op het tapijt) en de krachtenzin-lezing van elk bedrijf.

Oplossing

Oplossing van Oefening 65.12.

Registratie: film het loslaten en loop de beeldjes per $0.1\,\mathrm{s}$ door (of plak de auto aan de tikkerteller); meet gat na gat, de helling af en over het tapijt. Getallen: de intervalsnelheden, op volgorde opgesomd. Verwacht oordeel: bedrijf één, groeiende gaten — versneld op de helling (het niet-opgeheven aandeel van het gewicht langs de helling); bedrijf twee, krimpende gaten — vertraagd op het tapijt (de niet-opgeheven achterwaartse kracht van de wrijving). Eén speelgoedauto, beide gezichten van de stille zin.

65.5 Probleem: het strokenbureau

Probleem 65.1

Weekendprobleem — een middag op het bureau voor bewegingsanalyse; vier stroken, vier oordelen; het rijmpje van de inspecteur

Het bureau analyseert tijdregistraties voor scholen, sportclubs en rechtbanken. De tikken zijn overal $0.1\,\mathrm{s}$ ; de gaten komen binnen in centimeter. Jij houdt de liniaal vast.

Deel I — Routineoordelen.

Strook A (een wandelaar op de gang): $8.0$ , $8.0$ , $8.0$ , $8.0$ , $8.0$ . Oordeel en snelheid — in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
Strook B (de start van een sprinter): $2.0$ , $4.0$ , $6.0$ , $8.0$ , $10.0$ . Oordeel, eerste en laatste snelheid, en de groei van de snelheid per seconde.
Strook C (een rollende bal die zand tegenkomt): $10.0$ , $7.0$ , $4.5$ , $2.5$ , $1.0$ . Oordeel — en de verklaring van het zand volgens de krachtenzin.
Strook D (een raadsel): $5.0$ , $5.0$ , $5.0$ , $7.5$ , $10.0$ . Vertel het verhaal van D in twee bedrijven, en markeer de tik waar er iets gebeurde.

Deel II — De natuurkundebalie van het bureau.

Een klant houdt vol dat zijn bezorgscooter “gemiddeld $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ deed, agent”. De radar noteerde $55\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ bij de kruising. Leg de klant uit waarom beide getallen waar kunnen zijn en welk getal de wet leest.
De sprinter van strook B wint snelheid met gelijke stappen. Welk enkel woord stempelt het bureau op zo’n beweging, en wat suggereert de gelijkmatigheid van de groei over de duwende kracht?
De gangwandelaar van strook A loopt volgens de krachtenzin onder krachten in evenwicht. Benoem het evenwicht voor een gestage wandelaar (wat duwt, wat weerstaat).
De valstrook van een steen toont intervalsnelheden van $0.98$ , $1.96$ , $2.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Controleer de groei per seconde en noem het getal dat ze reproduceert.

Deel III — De rechtszaak. Een skateboard rolde van een helling over een schoolplein een bloemperk in; de conciërge klaagt over “roekeloze snelheid”, de skater beweert “ik was de hele tijd al aan het afremmen”. De pleincamera levert de gaten: bij het verlaten van de helling $12.0$ , dan $11.5$ , $11.0$ , $10.5$ , $10.0$ het bloemperk in.

Oordeel over de bewering van de skater — met de intervalsnelheden erbij.
De snelheid bij het verlaten van de helling en die bij het binnengaan van het bloemperk in $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : was een van beide “roekeloos” naast de $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ van een stevig doortrappende fietser?
De conciërge vraagt waarom het board niet gewoon op de vlakke grond stopte “zoals dingen van nature doen”. Het antwoord van het bureau, in één zin krachtentaal.
Sluit het dossier af met het rijmpje van de inspecteur — twee regels: wat gelijke gaten betekenen, en wat veranderende gaten eisen (een oorzaak, volgens de stille zin).

Oplossing

Oplossing van Probleem 65.1.

1. Eenparig; $v = 0.08 \div 0.1 = 0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 2.9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — een wandelpasje. 2. Versneld: van $0.02 \div 0.1 = 0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ naar $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; winst van $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ per tik — $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ per seconde. 3. Vertraagd, en fors. Het zand levert een grote niet-opgeheven achterwaartse kracht — diepe wrijving — en de snelheden tuimelen: $1.0$ , $0.7$ , $0.45$ , $0.25$ , $0.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . 4. Drie tikken eenparig glijden op $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dan versnelling — de gaten springen naar $7.5$ en $10.0\,\mathrm{cm}$ : tussen tik drie en vier begon iets te duwen (een helling, een zet). De gebeurtenis woont aan het eind van het derde gat. 5. Allebei kunnen waar zijn: het gemiddelde mengt wachten en rijden over de hele rit; de radar leest het ogenblik bij de kruising. De verkeerswet leest de radar — limieten regeren de momentane snelheid, en geen zacht gemiddelde vergoelijkt een snel ogenblik. 6. Eenparig versneld. Gelijke snelheidsstappen in gelijke tijden wijzen op een gestage, onveranderlijke netto duw — constante oorzaak, constante groei. 7. De voorwaartse duw van de grond op de schoenen van de wandelaar is precies gelijk aan de achterwaartse weerstanden van lucht en grond op het lichaam: in evenwicht, en vandaar de gestage $0.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . 8. Groei: $0.98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ per tik van $0.1\,\mathrm{s}$ — $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ per seconde: de plaatselijke $g$ , gereproduceerd door de strook van een vallende steen. 9. De bewering houdt stand: snelheden $1.2$ , $1.15$ , $1.10$ , $1.05$ , $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — de hele tijd zacht vertragend. 10. Bij het verlaten van de helling $1.2 \times 3.6 = 4.3\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; bij het binnengaan $3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — allebei ver onder de maatstaf van de fietser: roekeloosheid vrijgesproken; sturen, misschien, een andere kwestie. 11. “Op vlakke grond stopt niets een rollend board behalve niet-opgeheven achterwaartse wrijving — gladde pleinen leveren daar weinig van, dus behoudt het board het grootste deel van zijn beweging, precies zoals de wet van de opgeheven krachten het eist.” 12. Bijvoorbeeld: “Gelijke gaten: het tempo heeft vrede — geen netto kracht die het stoorde in zijn schrede. Veranderende gaten eisen een oorzaak: een niet-opgeheven duw, en dat is de hele zaak.”

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst