Natuurkunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

44Dichtheid: waarom dingen drijven

In je allereerste jaar zonk een piepklein muntje terwijl een enorme boomstam dreef, en we beloofden dat het “waarom” een schat van deze cursus was. Je hebt hem verdiend. De sleutel is over twee hoofdstukken gesmeed — massa voor de stof, volume voor de ruimte — en vandaag draaien de twee samen in het slot.

44.1 De massa van één kubieke centimeter

Voorbeeld 44.1 (Eindelijk een eerlijke vergelijking)

Een hele boomstam met een heel muntje vergelijken was nooit eerlijk: verschillende groottes, verschillende vormen. De eerlijke wedstrijd neemt gelijke volumes: één kubieke centimeter van elke deelnemer. Eén $\mathrm{cm}^{3}$ water heeft een massa van $1\,\mathrm{g}$ . Eén $\mathrm{cm}^{3}$ eikenhout: ongeveer $0.6\,\mathrm{g}$ . Steen: ongeveer $2.5\,\mathrm{g}$ . IJzer: $7.9\,\mathrm{g}$ . Gelijke ruimtes, wild ongelijke stof — dit is het getal waarop het drijfspel wachtte.

Definitie 44.2 (Dichtheid)

De dichtheid van een stof is de massa van één kubieke centimeter ervan, in gram. De dichtheid van water is $1\,\mathrm{g}$ per $\mathrm{cm}^{3}$ ; die van eikenhout ongeveer $0.6$ ; die van ijzer $7.9$ . Om een dichtheid te vinden is geen nieuw instrument nodig: meet de massa en het volume van een monster, en deel dan — verdeel de grammen gelijk over de kubieke centimeters, en het antwoord is het aandeel van elke centimeter.

De eerlijke wedstrijd: voor iedereen dezelfde ruimte, en elke stof laat haar kenmerkende massa zien.

Propositie 44.3 (Dichtheid is een handtekening)

De dichtheid van een zuivere stof is voor elk stuk ervan dezelfde, groot of klein: een splinter eikenhout en een hele balk dragen allebei ongeveer $0.6\,\mathrm{g}$ in elke kubieke centimeter. Dichtheid identificeert stoffen daarom, net als smeltpunten dat doen: meet de massa en het volume van een raadselachtig voorwerp, deel, en vergelijk met de tabel — de stof bekent vaak ter plekke.

Methode 44.4 (Een dichtheid meten)

Voor een kiezelsteen — of een kroon:

meet zijn massa met de balans: zeg $75\,\mathrm{g}$ ;
meet zijn volume met de stijging van het water: zeg $30\,\mathrm{cm}^{3}$ ;
deel de grammen door de kubieke centimeters: $75 \div 30 = 2.5$ — elke kubieke centimeter draagt $2.5\,\mathrm{g}$ ;
raadpleeg de tabel: dichtheid $2.5$ — onze kiezel is gewone steen.

44.2 De drijfregel

Propositie 44.5 (Waarom dingen drijven)

Een voorwerp drijft in water als zijn dichtheid kleiner is dan die van water — kleiner dan $1\,\mathrm{g}$ per kubieke centimeter — en het zinkt als zijn dichtheid groter is. Het water vergelijkt, om zo te zeggen, de indringer met zichzelf, ruimte om ruimte: lichter-dan-ik-per-ruimte vaart bovenop; zwaarder-per-ruimte gaat omlaag. Dezelfde regel geldt voor elke vloeistof, elk met haar eigen dichtheid als scheidsrechter.

IJs is maar een beetje minder dicht dan water — dus drijft een ijsberg diep en verbergt hij het grootste deel van zijn massa onder de waterlijn.

Voorbeeld 44.6 (Zes jaar raadsels, beslecht)

De boomstam ( $0.6$ ): drijft, hoe enorm ook — elke kubieke centimeter ervan biedt onder water. Het muntje (brons, bijna $9$ ): zinkt, hoe klein ook. Het plastic eendje, de kurk, het potlood: onder $1$ , allemaal drijvers. IJs, op $0.9$ — de eigen gezwollen vaste stof van water — drijft op zijn eigen vloeistof met een haar verschil, en daarom dragen vijvers deksels en varen ijsbergen. En het kleibootje? Gekneed als een schaal bevat het pakketje boot-plus-lucht veel lucht per ruimte: de dichtheid van het pakketje zakt onder $1$ , en in de haven laat dezelfde truc stalen schepen van tienduizend ton te water.

Het handschrift van de dichtheid: vloeistoffen stapelen zich met de dichtste onderop, en ijs op 0.9 vaart met maar een tiende van zichzelf boven water. — Het handschrift van de dichtheid: vloeistoffen stapelen zich met de dichtste onderop, en ijs op $0.9$ vaart met maar een tiende van zichzelf boven water.

Voorbeeld 44.7 (De vloeistoftoren)

Giet honing, dan met inkt gekleurd water, dan olie voorzichtig langs de wand van een hoog glas: drie lagen, honing ( $1.4$ ) onderaan, olie ( $0.9$ ) bovenaan, die weigeren van rang te wisselen. Laat er gasten in vallen: een druif ( $1.05$ ) zinkt door de olie, zinkt door het water en komt op de honing tot rust — dichter dan twee verdiepingen, lichter dan de derde. De toren is de drijfregel als toneelstuk.

Opmerking 44.8 (De ijsberg lezen)

De $0.9$ van ijs tegenover de $1.0$ van water laat de berg niet alleen drijven: ze bepaalt ook de waterlijn. Negen tiende van de massa van een ijsberg vaart onder het oppervlak — de beroemde verborgen massa die trotse schepen deed zinken. Waarom het deel eronder precies bij de dichtheidsverhouding past, is een prachtige wet van de oude badkuipgeleerde zelf, eerlijk bewezen in het hogeschooldeel; de dichthedentabel fluistert het antwoord al.

44.3 De kroon, eindelijk

Voorbeeld 44.9 (Archimedes sluit de zaak)

Maak nu het verhaal af dat twee hoofdstukken geleden begon. De massa van de kroon: eenvoudig, de balans geeft haar. Haar volume: onmogelijk voor een bobbelig meesterwerk — tot de les van de badkuip de stijgmethode gaf. Massa gedeeld door volume: de dichtheid van de kroon — en dichtheid is een handtekening. Zuiver goud tekent $19.3$ ; zilver tekent $10.5$ ; een geheim mengsel tekent iets ertussenin. De legende zegt dat de kroon van de goudsmid een dichtheid bekende die ver onder die van goud lag, en dat het bedrog werd ontmaskerd zonder ook maar een kras op de kroon. Het weekendprobleem geeft je zijn getallen.

44.4 Oefeningen

Oefening 44.1 ★

Wat is de dichtheid van een stof? Geef die van water, en formuleer de drijfregel.

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.1.

De massa van één kubieke centimeter van de stof, in gram; die van water is $1\,\mathrm{g}$ per $\mathrm{cm}^{3}$ . De regel: minder dicht dan water drijft, dichter zinkt.

Oefening 44.2 ★

Voorspel drijven of zinken in water: eikenhout ( $0.6$ ); steen ( $2.5$ ); kurk ( $0.2$ ); ijzer ( $7.9$ ); ijs ( $0.9$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.2.

Eikenhout drijft; steen zinkt; kurk drijft; ijzer zinkt; ijs drijft — met een haar verschil.

Oefening 44.3 ★

Een blok heeft massa $120\,\mathrm{g}$ en volume $80\,\mathrm{cm}^{3}$ . Bepaal zijn dichtheid. Drijven of zinken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.3.

$120 \div 80 = 1.5$ : dichtheid $1.5$ — dichter dan water, dus zinkt het.

Oefening 44.4 ★

Een raadselachtige klomp: massa $158\,\mathrm{g}$ , stijging in de cilinder $20\,\mathrm{cm}^{3}$ . Zijn dichtheid — en, met de getallen uit het hoofdstuk, zijn waarschijnlijke stof?

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.4.

$158 \div 20 = 7.9$ : de handtekening van ijzer.

Oefening 44.5 ★

Waarom is de dichtheid van een splinter eikenhout gelijk aan die van een hele eiken balk? Waar is die eigenschap goed voor?

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.5.

Dichtheid hoort bij de stof, niet bij het stuk: elke kubieke centimeter eikenhout draagt hetzelfde aandeel gram, splinter of balk. Dat maakt dichtheid tot een identiteitskaart voor onbekende stoffen.

Oefening 44.6 ★

Waarom zit de honing in de vloeistoftoren onderaan en de olie bovenaan? Waar komt een druif met dichtheid $1.05$ tot rust?

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.6.

Vloeistoffen stapelen zich naar dichtheid, de dichtste onderaan: honing $1.4$ onder water $1.0$ onder olie $0.9$ . De druif ( $1.05$ ) zinkt door olie en water en komt op de honingvloer tot rust — dichter dan beide bovenverdiepingen, minder dicht dan honing.

Oefening 44.7 ★

IJs drijft op water — waarom is dat vreemd voor een vaste stof, en welke oude propositie over bevriezend water verklaart de $0.9$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.7.

De meeste vaste stoffen zijn dichter dan hun eigen vloeistof en zinken erin. IJs drijft doordat water bij het bevriezen zwelt — dezelfde stof in een tiende meer ruimte geeft dichtheid $0.9 < 1$ .

Oefening 44.8 ★

De grote boomstam en het kleine muntje van je eerste jaar: geef het definitieve, volledige antwoord, met getallen uit het hoofdstuk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.8.

Hout tekent ongeveer $0.6$ : elke kubieke centimeter van de stam biedt onder de $1\,\mathrm{g}$ van water, dus drijft de stam, hoe enorm ook. Brons tekent bijna $9$ : elke kubieke centimeter van het muntje biedt boven water, dus zinkt het, hoe klein ook. De grootte deed er nooit toe; de massa per ruimte altijd.

Oefening 44.9 ★★

Eén liter van een zekere vloeistof heeft een massa van $800\,\mathrm{g}$ . Wat is haar dichtheid in gram per kubieke centimeter? Zal een ijsblokje ( $0.9$ ) erin drijven of zinken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.9.

$1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm}^{3}$ , dus $800 \div 1000 = 0.8$ gram per kubieke centimeter. IJs met $0.9$ is dichter dan deze vloeistof: het ijsblokje zinkt erin.

Oefening 44.10 ★★

Staal tekent $7.9$ , en toch drijven stalen schepen. Los de paradox op met het pakketidee uit Voorbeeld 44.6 — wat hoort er naast staal bij het scheepspakket, en wat moet zijn dichtheid als geheel zijn? Wanneer voldoet een lekgeslagen schip niet meer aan de regel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.10.

Het drijvende pakket is de hele romp: stalen schaal plus het enorme volume lucht dat hij omsluit. Uitgemiddeld over al die ruimte zakt de dichtheid van het pakket onder $1$ , en de regel zegt: drijven. Een gat laat water de lucht vervangen: de dichtheid van het pakket klimt naar die van staal zelf, passeert $1$ — en de regel zegt onbewogen: zinken.

Oefening 44.11 ★★

Zeewater is iets dichter dan zoet water — ongeveer $1.03$ . Leg uit waarom zwemmers merkbaar beter drijven in zee, en voorspel wat er met de waterlijn van een schip gebeurt als het van de zoute zee een zoete rivier op vaart.

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.11.

De scheidsrechter is veranderd: tegen de $1.03$ van zeewater staat het lichaam van een zwemmer, met bijna $1$ , comfortabel aan de drijfkant, dus draagt de zee je hoger. In zoet water ( $1.0$ ) verliest het schip die marge en zakt het dieper: zijn waterlijn klimt langs de romp omhoog.

Oefening 44.12 ★★★

Een holle metalen bol drijft precies half ondergedompeld in water. Beredeneer de dichtheid van het hele bolpakket (metalen schaal plus de lucht erin). Beredeneer daarna welke kant hij op beweegt als er langzaam water naar binnen lekt, en op welk moment hij begint te zinken — regel en pakket, samenwerkend.

Oplossing

Oplossing van Oefening 44.12.

Half ondergedompeld ligt de bol precies zo diep in het water als een pakket met de halve dichtheid van water zou moeten: schaal plus lucht middelen uit op ongeveer $0.5$ gram per kubieke centimeter — de verborgen lucht doet het meeste lichtmaakwerk. Terwijl er water naar binnen lekt vervangt dat de lucht, klimt de gemiddelde dichtheid van het pakket en zakt de bol dieper en dieper; op het moment dat het gemiddelde de $1.0$ van water passeert, wisselt de drijfregel van kant en gaat de bol omlaag.

44.5 Probleem: de kroon van de koning

Probleem 44.1

Weekendprobleem — de zaak van de kroon van de koning, heropend met jouw instrumenten; het proces tegen de goudsmid, opgelost met een deling

Heropen de beroemdste fraudezaak uit de oudheid met moderne getallen. Handtekeningen: goud $19.3$ , zilver $10.5$ (gram per kubieke centimeter).

Deel I — Het bewijsmateriaal. De koning gaf de goudsmid $1930\,\mathrm{g}$ zuiver goud. De afgewerkte kroon, op de balans: precies $1930\,\mathrm{g}$ .

De massa klopt perfect. Waarom bewijst dat op zichzelf niets over het bedrog? (Wat had de goudsmid kunnen doen en toch hierop uitkomen?)
Welk volume zou $1930\,\mathrm{g}$ zuiver goud innemen? (Verdeel de grammen: hoeveel kubieke centimeter van elk $19.3\,\mathrm{g}$ ?)
Archimedes laat de kroon in een boordevol vat zakken en vangt de overloop op: $130\,\mathrm{cm}^{3}$ . Wat is het echte volume van de kroon?
Vergelijk de twee volumes. Wat schreeuwt die vergelijking al?

Deel II — De handtekening.

Bereken de dichtheid van de kroon uit haar massa en haar gemeten volume (één decimaal is genoeg).
Zet de drie handtekeningen naast elkaar: goud, de kroon, zilver. Waar valt de kroon?
Leg de koning in één zin uit waarom de kroon geen zuiver goud kan zijn.
De goudsmid protesteert: “Misschien vergiste de balans zich!” Gun hem een royale fout van $30\,\mathrm{g}$ naar beide kanten. Redt enige massa tussen $1900\,\mathrm{g}$ en $1960\,\mathrm{g}$ een kroon van zuiver goud met volume $130\,\mathrm{cm}^{3}$ ? (Controleer het dichtheidsbereik.)

Deel III — Hoeveel is er gestolen? Stel dat de goudsmid wat goud hield en het gram voor gram door zilver verving.

Waarom houdt goud gram voor gram door zilver vervangen de massa kloppend maar laat het het volume zwellen?
Toets een gok: een kroon van $965\,\mathrm{g}$ goud $+$ $965\,\mathrm{g}$ zilver. Volume van het gouden deel? Van het zilveren deel? (Eén decimaal.)
Tel het volume van de gegokte kroon op, en beoordeel de gok tegen de gemeten $130\,\mathrm{cm}^{3}$ : te veel zilver, of te weinig?
Het gerecht heeft een vonniszin nodig: zeg wat er buiten twijfel bewezen is (zuiver goud of niet), wat de methode was, en waarom de kroon nooit beschadigd hoefde te worden — de ware triomf van Archimedes.

Oplossing

Oplossing van Probleem 44.1.

1. Niets: goud ruilen voor een gelijke massa zilver houdt de balans tevreden — massa alleen kan de omruil niet zien. 2. $1930 \div 19.3 = 100\,\mathrm{cm}^{3}$ . 3. $130\,\mathrm{cm}^{3}$ — de overloop is het volume van de kroon, door verdringing. 4. De kroon neemt $30\,\mathrm{cm}^{3}$ meer ruimte in dan zuiver goud van haar massa zou moeten: er zit iets omvangrijkers dan goud verstopt. 5. $1930 \div 130 \approx 14.8$ . 6. Goud $19.3$ — kroon $14.8$ — zilver $10.5$ : de kroon valt tussen de twee handtekeningen. 7. “Sire, elke kubieke centimeter zuiver goud draagt $19.3\,\mathrm{g}$ ; uw kroon draagt er maar ongeveer $15$ — zuiver goud is ze niet.” 8. Het bereik geeft dichtheden van $1900 \div 130 \approx 14.6$ tot $1960 \div 130 \approx 15.1$ — nergens in de buurt van $19.3$ : geen geloofwaardige balansfout redt de goudsmid. 9. Zilver is minder dicht: elke gestolen gram goud gaf een gram zilver terug dat meer ruimte nodig heeft — omruilen gram voor gram behoudt de massa en blaast het volume op. 10. Gouden deel: $965 \div 19.3 = 50.0\,\mathrm{cm}^{3}$ ; zilveren deel: $965 \div 10.5 \approx 91.9\,\mathrm{cm}^{3}$ . 11. Totaal $\approx 142\,\mathrm{cm}^{3}$ — meer dan de gemeten $130$ : de gok half-om-half gebruikte te veel zilver; de werkelijke diefstal was kleiner (het gemeten volume ligt tussen $100$ en $142$ ). 12. “Bewezen: de kroon is geen zuiver goud. Methode: haar massa verdeeld over haar met water gemeten volume geeft een dichtheid die ver onder de onveranderlijke handtekening van goud ligt. En de kroon had geen krasje nodig: het water las haar geheim van buitenaf — dat is de triomf.”

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Dichtheid

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst