Natuurkunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

64Gewicht tegenover massa: krachten meten

Vijf jaar geleden splitste je, op een papieren Maan, “zwaar” in tweeën: massa voor de stof, gewicht voor de trek. Die splitsing was wijsheid; nu wordt ze rekenkunde. Krachten krijgen hun eenheid — genoemd naar de man van de vallende appel — het gewicht krijgt zijn formule, en de elastiekjesweegschaal uit je kindertijd keert terug in beroepskleding.

64.1 De newton

Definitie 64.1 (De newton)

Krachten — duwen, trekken, gewichten, de greep van de gravitatie — worden gemeten in newton ( $\mathrm{N}$ ), ter ere van de auteur van de wet van de gravitatie. Handige ankers: één newton is ongeveer het gewicht van een kleine appel (de geschiedenis glimlacht); je schooltas weegt zo’n $50\,\mathrm{N}$ ; een stevige handdruk knijpt met rond de $100\,\mathrm{N}$ ; de maanpacht van het vorige hoofdstuk liep op tot $10^{20}$ .

Definitie 64.2 (Krachtmeter)

Een krachtmeter is de meter voor krachten: een geijkte veer in een huis, die evenredig met de aangebrachte kracht uitrekt en waarvan de wijzer rechtstreeks newton aanwijst. Het is je elastiekjesweegschaal, volwassen geworden — en net als de voltmeter en de ampèremeter voor haar stuurt ze weer een lap “voelt sterk” met pensioen en vervangt hem door eerlijke getallen.

Methode 64.3 (Een kracht meten)

kies een krachtmeter met een bereik dat bij de klus past — een instrument van $2\,\mathrm{N}$ voor etuis, een van $100\,\mathrm{N}$ voor schooltassen;
stel hem op nul in de stand waarin je hem gebruikt (hangend, als de last zal hangen — het eigen gewicht van de veer verschuift het nulpunt);
breng de kracht gelijkmatig aan, langs de as van het instrument, en lees op ooghoogte af;
noteer met de eenheid — en noteer, omdat krachten richtingen hebben, ook de richting wanneer die ertoe doet.

Op tekeningen wordt een gemeten kracht een pijl op een aangekondigde schaal — “één centimeter per tien newton” — die wijst zoals de kracht wijst: de krachtpijlen uit je kindertijd, nu kwantitatief.

64.2 De gewichtsformule

Propositie 64.4 (Gewicht is evenredig met massa)

Op een gegeven plaats is het gewicht $P$ (in $\mathrm{N}$ ) van een voorwerp evenredig met zijn massa $m$ (in $\mathrm{kg}$ ):

P = m \times g ,

waarin $g$ , de zwaartekrachtsterkte van de plaats, het aantal newton trek per kilogram stof geeft. Vlak bij het aardoppervlak geldt

g \approx 9.8\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}:

aan elke kilogram wordt met net geen tien newton getrokken. De formule is de wet van het vorige hoofdstuk in plaatselijke kleding: $g$ bundelt de massa en de straal van de Aarde tot één getal voor “hier”.

Gewicht tegen massa, gemeten met een krachtmeter en een set gemerkte massa’s: een rechte lijn door de oorsprong waarvan de steilheid de g van de plaats is. — Gewicht tegen massa, gemeten met een krachtmeter en een set gemerkte massa’s: een rechte lijn door de oorsprong waarvan de steilheid de $g$ van de plaats is.

Voorbeeld 64.5 (De formule aan het werk)

Een leerling van $60\,\mathrm{kg}$ : $P = 60 \times 9.8 = 588\,\mathrm{N}$ . Een voetbal van $450\,\mathrm{g}$ : $P = 0.45 \times 9.8 \approx 4.4\,\mathrm{N}$ — let op de kilogrammen. Achterstevoren: een krat die $343\,\mathrm{N}$ weegt, heeft massa $m = P/g = 343 \div 9.8 = 35\,\mathrm{kg}$ . En ondersteboven: op een berg waar een rugzak van $10\,\mathrm{kg}$ $97.7\,\mathrm{N}$ weegt, is de plaatselijke $g$ gelijk aan $97.7 \div 10 = 9.77\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — $g$ dunt licht uit met de hoogte, precies zoals het omgekeerde kwadraat beloofde.

Voorbeeld 64.6 (Eén koffer, vele gewichten)

Elke wereld stelt haar eigen $g$ in, en het oude astronautenverhaal wordt een tabel. Jouw trouwe koffer van $10\,\mathrm{kg}$ :

plaats	$g$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ )	gewicht van de koffer
Aarde	$9.8$	$98\,\mathrm{N}$
Maan	$1.6$	$16\,\mathrm{N}$
Mars	$3.7$	$37\,\mathrm{N}$
Wolkentoppen van Jupiter	$24.8$	$248\,\mathrm{N}$

Overal tien kilogram stof — en op elke wereld een ander gewicht: de massa verandert niet, terwijl het gewicht de plaatselijke $g$ volgt.

Opmerking 64.7 (De twee weegschalen, voorgoed beoordeeld)

Nu sluiten de oordelen uit je kindertijd met formules. De balans vergelijkt $m_1 g$ met $m_2 g$ : de plaatselijke $g$ vermenigvuldigt beide schalen en valt weg — balansen meten massa, waarheidsgetrouw op elke wereld. De veerunster leest $P = m g$ rechtstreeks af: ze meet gewicht, trouw aan haar plaats. De badkamerweegschaal is een vermomde veerunster, in de fabriek in kilogram gemerkt door je gewicht door de $g$ van de Aarde te delen — eerlijk thuis, een vleier op de Maan ( $10\,\mathrm{kg}$ afgelezen voor elke $60\,\mathrm{kg}$ van jou), en een lasteraar op Jupiter.

64.3 Krachten op papier

Voorbeeld 64.8 (Het boek op de tafel, in newton)

Het oudste evenwicht uit dit boek, eindelijk met getallen: een woordenboek van $2\,\mathrm{kg}$ rust op een bureau. Zijn gewicht: $P = 2 \times 9.8 = 19.6\,\mathrm{N}$ , getekend als een pijl van $2\,\mathrm{cm}$ op een schaal van tien newton per centimeter, recht omlaag wijzend vanaf het boek. De dragende duw van het bureau: $19.6\,\mathrm{N}$ recht omhoog — een even lange pijl, de andere kant op. De gelijkspel is exact, en de stilstand is het bewijs ervan: het plaatje uit je kindertijd, nu een gemeten begroting.

Opmerking 64.9 (Wat krachten doen — de ontbrekende wet)

Dit hoofdstuk meet krachten; het zegt nog niet wat een overschot aan kracht met beweging doet. De vier klussen uit je kindertijd — starten, stoppen, draaien, vervormen — wachten op hun exacte wet, en die is een van de grootste in de hele natuurkunde: het deel voor de middelbare school opent zijn mechanica ermee. Dit jaar maakt het voorwerk af: krachten in newton, gewichten per formule, pijlen op schaal — de grammatica van de zin die komen gaat.

64.4 Oefeningen

Oefening 64.1 ★

Noem de eenheid van kracht en het bijbehorende instrument. Geef twee alledaagse ankers voor één newton en voor honderd.

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.1.

De newton ( $\mathrm{N}$ ), gemeten met de krachtmeter. Ankers: één newton — het gewicht van een kleine appel; honderd — een stevige handdruk (of het gewicht van een koffer van $10\,\mathrm{kg}$ ).

Oefening 64.2 ★

Schrijf de gewichtsformule met eenheden op, en de betekenis van $g$ in woorden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.2.

$P = m \times g$ : gewicht in newton, massa in kilogram, en $g$ — de zwaartekrachtsterkte van de plaats — het aantal newton trek dat elke kilogram daar ontvangt ( $9.8\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ op Aarde).

Oefening 64.3 ★

Bereken gewichten op Aarde: een hond van $25\,\mathrm{kg}$ ; een brood van $700\,\mathrm{g}$ ; jezelf (kies je massa).

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.3.

Hond: $25 \times 9.8 = 245\,\mathrm{N}$ . Brood: $0.7 \times 9.8 \approx 6.9\,\mathrm{N}$ . Een lezer van $55\,\mathrm{kg}$ : ongeveer $539\,\mathrm{N}$ .

Oefening 64.4 ★

Een hangende meloen rekt de krachtmeter tot $14.7\,\mathrm{N}$ . Zijn massa?

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.4.

$m = 14.7 \div 9.8 = 1.5\,\mathrm{kg}$ .

Oefening 64.5 ★

Lees de grafiek van dit hoofdstuk: wat betekent haar helling, en wat zou de lijn op de Maan doen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.5.

De helling is de plaatselijke $g$ — newton per kilogram. Op de Maan blijft de lijn recht door de oorsprong lopen maar zakt ze naar een flauwe helling van $1.6$ : dezelfde evenredigheid, een zwakkere wereld.

Oefening 64.6 ★

De koffer van $10\,\mathrm{kg}$ reist langs Aarde, Maan, Mars en Jupiter. Welke getallen in de tabel veranderen nooit, en welke wel — en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.6.

De kolom met de massa verandert nooit — $10\,\mathrm{kg}$ stof reist ongeschonden mee. De kolommen met $g$ en gewicht veranderen met de wereld: gewicht is de plaatselijke tol, $m \times g$ .

Oefening 64.7 ★

Waarom vertelt een balans op elke wereld de waarheid terwijl de badkamerweegschaal op de Maan vleit? Formules, geen gevoelens.

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.7.

De balans vergelijkt $m_1 g$ met $m_2 g$ : $g$ vermenigvuldigt beide schalen en valt weg — massa, waarheidsgetrouw, overal. De badkamerweegschaal meet $P = m g_{\text{hier}}$ maar deelt door $g_{\text{Aarde}}$ om kilogram af te drukken: op de Maan drukt ze $m \times 1.6/9.8$ af — een zesde van de waarheid.

Oefening 64.8 ★

Teken (of beschrijf) de twee krachtpijlen van het woordenboek van $2\,\mathrm{kg}$ op één centimeter per vijf newton: lengtes, richtingen en het oordeel van de begroting.

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.8.

Gewicht: $19.6\,\mathrm{N}$ omlaag — een pijl van ongeveer $3.9\,\mathrm{cm}$ bij vijf newton per centimeter, vanaf het boek naar beneden. Steun: een even lange pijl van $3.9\,\mathrm{cm}$ omhoog. Gelijke lengtes, tegengestelde richtingen: begroting in evenwicht, boek stil.

Oefening 64.9 ★★

Een luchtvaartmaatschappij staat $23\,\mathrm{kg}$ per koffer toe. Een passagier betoogt: “Op de Maan zou hij maar een paar newton wegen!” Waarom gaat de limiet van de maatschappij — brandstof en vloersterkte daargelaten — terecht over massa, en welk instrument zou dat op een maanluchthaven moeten controleren?

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.9.

Het vliegtuig moet de stof van de koffer dragen, optillen en afremmen — haar massa — en $23\,\mathrm{kg}$ stof is $23\,\mathrm{kg}$ op elke wereld. De maanbalie heeft een balans met gemerkte massa’s nodig: de enige weegschaal die een verandering van $g$ overleeft.

Oefening 64.10 ★★

Op Mars weegt de arm van een rover $111\,\mathrm{N}$ . Zijn massa? Wat zou dezelfde arm terug in de montagehal op Aarde wegen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.10.

$m = 111 \div 3.7 = 30\,\mathrm{kg}$ ; op Aarde weegt hij $30 \times 9.8 = 294\,\mathrm{N}$ .

Oefening 64.11 ★★

Een krachtmeter die plat liggend op nul is gezet en daarna hangend wordt gebruikt, liegt een beetje — welke kant op, en waarom? (Welk extra gewicht voegt zich bij dat van de last?)

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.11.

Hij leest te hoog: hangend draagt de veer ook haar eigen gewicht (en dat van haar haak), dat het platte nulpunt nooit meerekende — het instrument telt er een vast overschot bij. Zet hem hangend op nul, en het overschot wordt afgetrokken voordat de last arriveert.

Oefening 64.12 ★★★

Ontwerp het experiment dat de grafiek van dit hoofdstuk tekent en $g$ eruit haalt: uitrusting, meettabel, de grafiek, en hoe je de helling afleest. Leg daarna uit wat hetzelfde protocol, uitgevoerd in een laboratorium op de Maan, zou opleveren — welke getallen veranderen, welke methode onaangeroerd overleeft.

Oplossing

Oplossing van Oefening 64.12.

Uitrusting: krachtmeter, set gemerkte massa’s ( $1$ tot $5\,\mathrm{kg}$ ), haak. Hang elke massa op, noteer de paren ( $m$ , $P$ ), en zet $P$ uit tegen $m$ : de punten liggen op één lijn door de oorsprong, en de helling — stijging in newton gedeeld door de horizontale afstand in kilogram — is $g \approx 9.8\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ . Op de Maan: hetzelfde protocol, dezelfde rechtheid, een nieuwe helling van $1.6$ — de methode meet elke wereld waarop ze staat; alleen het getal is plaatselijk.

64.5 Probleem: de interplanetaire uitrusters

Probleem 64.1

Weekendprobleem — de paskamer van de interplanetaire uitrusters; één lichaam, vier werelden; weegschalen, krachtmeters en de bagagebalie

De uitrusters rusten reizigers uit voor de havens van het zonnestelsel ( $g$ , in $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ : Aarde $9.8$ ; Maan $1.6$ ; Mars $3.7$ ; wolkendek van Jupiter $24.8$ ). Jij bemant de paskamer.

Deel I — Het passen. Een reiziger met massa $70\,\mathrm{kg}$ stapt naar voren.

Zijn gewicht in elk van de vier havens?
In welke haven leest de klassieke badkamerweegschaal (gemerkt in kilogram, geijkt voor de Aarde) zijn massa correct af — en wat leest ze in de andere drie? (Deel elk gewicht door de $g$ van de Aarde.)
De eerlijke weegschaal van de uitrusters is een balans met gemerkte massa’s. Wat meldt ze in elke haven, en waarom?
De laarzen van de reiziger mogen nooit met meer dan $2000\,\mathrm{N}$ op de grond drukken (dunne stationsvloeren). Zijn er havens waar laarzen-plus-lichaam (samen $70\,\mathrm{kg}$ ) de regel breken?

Deel II — De bagagebalie.

De hutkoffer voor Mars heeft massa $40\,\mathrm{kg}$ . Bereken zijn gewicht bij vertrek (Aarde) en bij aankomst (Mars).
De bond van de sjouwers begrenst het met de hand gedragen gewicht in elke haven op $200\,\mathrm{N}$ . Welke maximale massa mag een sjouwer in elke haven dragen?
Een krat met het opschrift “ $150\,\mathrm{N}$ op de Maan” moet de douane op Aarde passeren op massa. Reken het om.
De krachtmeter van de balie leest een hangende plunjezak op Aarde af als $294\,\mathrm{N}$ . Massa, en zijn gewicht op de Maan voor de vrachtbrief?

Deel III — Klachten en curiositeiten.

Een bodybuilder komt woedend terug van de Maan: “Zes keer zoveel kracht, van de ene dag op de andere verdwenen!” Troost hem met de formule: wat veranderde er in elke haven werkelijk, en wat nooit?
Een kok op het dek van Jupiter klaagt dat kloppen aanvoelt als aambeelden tillen, hoewel de garde “een schamele $200\,\mathrm{g}$ aan massa” heeft. Bereken het dekgewicht van de garde en doe uitspraak.
De cadeauwinkel verkoopt “een newton chocolade, waar dan ook”. In welke haven krijgt de koper de meeste chocoladestof, en hoeveel massa in elk van Aarde, Maan en Jupiter?
Schrijf het motto van de uitrusters: één zin die scheidt wat met je meereist van wat elke wereld in rekening brengt.

Oplossing

Oplossing van Probleem 64.1.

1. Aarde $70 \times 9.8 = 686\,\mathrm{N}$ ; Maan $112\,\mathrm{N}$ ; Mars $259\,\mathrm{N}$ ; dek van Jupiter $1736\,\mathrm{N}$ . 2. Correct op Aarde: $70\,\mathrm{kg}$ . Maan: $112 \div 9.8 \approx 11.4\,\mathrm{kg}$ ; Mars: $259 \div 9.8 \approx 26.4\,\mathrm{kg}$ ; Jupiter: $1736 \div 9.8 \approx 177\,\mathrm{kg}$ — vleierij en laster volgens formule. 3. $70\,\mathrm{kg}$ in elke haven: de vergelijking van de balans heft de plaatselijke $g$ op. 4. Alleen het dek van Jupiter: $1736\,\mathrm{N}$ nadert de grens maar blijft eronder — geen enkele haven breekt de $2000\,\mathrm{N}$ voor deze reiziger (een zwaardere collega van $90\,\mathrm{kg}$ zou hem daar wel breken: $90 \times 24.8 = 2232\,\mathrm{N}$ ). 5. Vertrek: $40 \times 9.8 = 392\,\mathrm{N}$ ; aankomst: $40 \times 3.7 = 148\,\mathrm{N}$ . 6. $m = 200/g$ : Aarde $20.4\,\mathrm{kg}$ ; Maan $125\,\mathrm{kg}$ ; Mars $54\,\mathrm{kg}$ ; Jupiter $8.1\,\mathrm{kg}$ — de vaste newton van de bond kopen zeer verschillende massa’s. 7. $m = 150 \div 1.6 = 93.75\,\mathrm{kg}$ — ongeveer $94\,\mathrm{kg}$ krat voor de douane. 8. $m = 294 \div 9.8 = 30\,\mathrm{kg}$ ; gewicht op de Maan $30 \times 1.6 = 48\,\mathrm{N}$ . 9. Spieren en massa kwamen onveranderd thuis; alleen de tegenstander was anders. Op de Maan kostte elke kilogram $1.6\,\mathrm{N}$ om op te tillen; thuis wordt weer $9.8\,\mathrm{N}$ in rekening gebracht. De winst was de korting van de Maan, niet de groei van het lichaam — $P = m g$ , met $m$ trouw en $g$ wispelturig. 10. $0.2 \times 24.8 \approx 5\,\mathrm{N}$ — een aambeeld is het niet: op Aarde woog de garde $2\,\mathrm{N}$ , dus kloppen op het dek is tweeënhalf keer zo zwaar, vermoeiend voor een pols maar nauwelijks gieterijwerk. Klacht: gedeeltelijk gegrond. 11. Een newton chocolade is $m = 1/g$ : Aarde ongeveer $102\,\mathrm{g}$ ; Maan $625\,\mathrm{g}$ ; Jupiter $40\,\mathrm{g}$ . Koop je newton op de Maan. 12. Bijvoorbeeld: “Massa reist met je mee; gewicht is de tol die elke wereld erop heft — pak kilogrammen in, en laat de havens hun newton in rekening brengen.”

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst