Natuurkunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

40Beweging beschrijven: baan en snelheid

Een vallend blad, een hogesnelheidstrein, een draaimolenpaard, een strafschop: de wereld zit nooit stil. Om beweging te bestuderen stelt de natuurkunde elk bewegend ding twee nette vragen: langs welk pad? en hoe snel erlangs? Pad en tempo — baan en snelheid — zijn de bril van dit hoofdstuk.

40.1 Baan: het afgelegde pad

Definitie 40.1 (Baan)

De baan van een bewegend voorwerp is de lijn die zijn reis trekt — het pad dat het door de ruimte tekent. Drie vormen dekken het grootste deel van het dagelijks leven: rechtlijnig (de lift, de vallende appel), cirkelvormig (het draaimolenpaard, de punt van een klokwijzer), en op vrijere manieren krom (de boog van een geworpen bal, de duikvlucht van een zwaluw).

Drie alledaagse banen: de rechte klim, de eindeloze cirkel, de geworpen boog.

Voorbeeld 40.2 (Wiens baan?)

Let goed op welk punt je volgt. De neus van het draaimolenpaard tekent een cirkel; het midden van de hele draaimolen tekent helemaal niets — dat blijft staan. De naaf van een rollend wiel glijdt in een rechte lijn terwijl een punt op de velg sierlijke sprongetjes tekent. Eén machine, vele banen: de natuurkunde volgt één punt tegelijk.

Opmerking 40.3 (Bewegen ten opzichte waarvan?)

Een passagier die in de trein indommelt tekent voor de passagier tegenover hem helemaal geen baan — en voor een koe die vanuit het weiland toekijkt een lijn van honderd kilometer over de kaart. Beide beschrijvingen zijn eerlijk: beweging is altijd beweging ten opzichte van iets, en wie beschrijft moet zeggen waarvan. Voorlopig vergelijken we stilletjes alles met de grond; de volle kracht van het kiezen van andere gezichtspunten is een beroemd verhaal dat we voor het hogeschooldeel bewaren.

Een camera die ’s nachts open blijft staan tekent banen: elke koplamp trekt precies het pad dat zijn auto volgde.

40.2 Eenparig of veranderlijk?

Definitie 40.4 (Eenparige en veranderlijke beweging)

Een beweging is eenparig wanneer ze in gelijke tijden gelijke afstanden aflegt — de gelijkmatige pas van iemand die naar een metronoom luistert, de kruisvaart van een trein tussen twee stations. Ze is veranderlijk wanneer het tempo verandert: sneller worden (de sprinter uit de startblokken), langzamer worden (de remmende bus), of allebei om beurten (het eindeloze optrekken en stoppen van stadsverkeer).

Propositie 40.5 (De stippenfilm lezen)

Fotografeer een bewegend voorwerp op gelijke tikken van de klok — vele snelle momentopnamen op één beeld — en de beweging zet in stippen haar eigen naam:

gelijkmatig verdeelde stippen: eenparige beweging;
stippen die onderweg uit elkaar gaan: sneller worden;
stippen die dichter op elkaar kruipen: langzamer worden.

Tussen elk paar stippen zit dezelfde tijd, dus vergelijken de gaten tussen de stippen de afstanden — de hele diagnose in één oogopslag.

Drie stippenfilms, één opname per tik: gelijkmatige verdeling, uit elkaar gaand, samendringend — eenparig, versnellend, remmend.

Methode 40.6 (Een stippenfilm maken)

Elke telefooncamera kan deze portretten maken:

film het bewegende voorwerp — een vriend die voorbijfietst, een bal die van een helling rolt — en houd de camera stil;
stap door de video heen en pauzeer op gelijke stappen (elke halve seconde afspeeltijd, bijvoorbeeld);
markeer bij elke pauze de plaats van het voorwerp op een overtrekvel over het scherm, of noteer die ten opzichte van hekpalen op de achtergrond;
leg je markeringen op een rij en lees ze met Propositie 40.5.

Eén waarschuwing van de vakmensen: houd de camera stil — een afdwalende camera voegt zijn eigen beweging aan de film toe en maakt onduidelijk wiens baan van wie is (precies de waarschuwing van Opmerking 40.3).

40.3 Getallen op het tempo zetten

Voorbeeld 40.7 (Snelheid via evenredigheid)

Een tram in eenparige beweging legt $9\,\mathrm{km}$ af in $20$ minuten. Welke snelheid is dat, in de vertrouwde kilometers per uur? Evenredigheid antwoordt zonder enige nieuwe machinerie: een uur telt drie porties van $20$ minuten, dus legt de tram in één uur $3 \times 9 = 27\,\mathrm{km}$ af — zijn snelheid is $27$ kilometer per uur. In een tabel:

minuten	$20$	$60$
kilometers	$9$	$27$

Eenparige beweging is evenredigheid tussen afstand en tijd — je wiskundecursus en je natuurkundecursus hebben elkaar zojuist de hand geschud.

Voorbeeld 40.8 (Het tempobord)

Alledaagse tempo’s, om elk antwoord aan te toetsen: slenteren, ongeveer $4$ kilometer per uur; stevig wandelen, $6$ ; rustig fietsen, $15$ ; een stadsbus met haltes, $20$ ; een auto op de open weg, $90$ ; een hogesnelheidstrein tot $300$ . Als een berekening je een wandelaar van $40$ kilometer per uur aanreikt, stuurt het tempobord haar terug.

Opmerking 40.9 (Snelheid op een tijdstip)

Een veranderlijke beweging heeft geen enkele snelheid — de remmende bus is snel, dan traag, dan stil. De naald van een snelheidsmeter beantwoordt een subtielere vraag: hoe snel nú? Die nu-snelheid nauwkeurig vastleggen is echt diepzinnig — het heeft wiskunde nodig die je in het laatste jaar van de middelbare school leert kennen, en het opende een van de grootste hoofdstukken van de hele wetenschap. Voor dit jaar: eenparige bewegingen krijgen één eerlijk getal; veranderlijke bewegingen krijgen een verhaal.

40.4 Oefeningen

Oefening 40.1 ★

Geef de vorm van de baan: een regendruppel langs een stille ruit; de punt van de minutenwijzer; het schot van een basketbal naar de ring; de slalom van een skiër.

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.1.

Rechtlijnig (langs de ruit omlaag); cirkelvormig; krom (een boog); krom (een slingerende S-lijn).

Oefening 40.2 ★

Welke baan tekent de naaf van het wiel op een rijdende fiets? En het ventiel op de velg? (Van elk één woord en één schets.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.2.

De naaf: een rechte lijn, evenwijdig aan de weg glijdend. Het ventiel: een kromme van sierlijke sprongetjes — opstijgend, bogend, bij elke wielomwenteling weer neerkomend.

Oefening 40.3 ★

Eenparig of veranderlijk: een trein die tussen twee stations doorrijdt; dezelfde trein die van het perron wegtrekt; een parachutist die met een gelijkmatig tempo omlaag zweeft; een puck die over ruw ijs glijdt en langzamer wordt?

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.3.

Eenparig; veranderlijk (sneller wordend); eenparig; veranderlijk (langzamer wordend).

Oefening 40.4 ★

Een stippenfilm laat tussen de opnamen gaten van $2\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ zien. Diagnosticeer de beweging. Een andere laat $1\,\mathrm{cm}$ , $2\,\mathrm{cm}$ , $4\,\mathrm{cm}$ , $7\,\mathrm{cm}$ zien: diagnosticeer die.

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.4.

Gelijke gaten: eenparige beweging. Groeiende gaten ( $1, 2, 4, 7$ ): sneller wordend — meer afstand in elke gelijke tik.

Oefening 40.5 ★

Waarom moet de camera bij het maken van een stippenfilm stilstaan? Welke opmerking uit het hoofdstuk staat op het spel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.5.

Een afdwalende camera voegt zijn eigen beweging aan de opname toe — de stippen mengen dan de reis van het voorwerp met die van de camera. Beweging is altijd beweging ten opzichte van iets, en de film moet dat “iets” vastleggen: de opmerking over gezichtspunten.

Oefening 40.6 ★

Een veerboot in eenparige beweging legt $12\,\mathrm{km}$ af in $30$ minuten. Bouw de evenredigheidstabel en geef haar snelheid in kilometer per uur.

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.6.

Tabel: $30$ min $\to$ $12\,\mathrm{km}$ , dus $60$ min $\to$ $24\,\mathrm{km}$ : de snelheid van de veerboot is $24$ kilometer per uur.

Oefening 40.7 ★

Een fietser beweert gelijkmatig $14$ kilometer per uur te rijden. Hoe ver komt hij in $30$ minuten? En in $15$ minuten? (Tabellen, geen formules.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.7.

$60$ min $\to$ $14\,\mathrm{km}$ ; $30$ min $\to$ $7\,\mathrm{km}$ ; $15$ min $\to$ $3.5\,\mathrm{km}$ .

Oefening 40.8 ★

Beoordeel deze beweringen met het tempobord van Voorbeeld 40.8: een slenteraar die in één uur $12\,\mathrm{km}$ aflegt; een stadsbus die in $30$ minuten $10\,\mathrm{km}$ aflegt; een hogesnelheidstrein die in $15$ minuten $75\,\mathrm{km}$ aflegt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.8.

Een slenteraar met $12$ kilometer per uur: afgewezen — drie keer het slentertempo. De bus: $10$ km in $30$ min is $20$ kilometer per uur — precies stadsbustempo, aanvaard. De trein: $75$ km in $15$ min is $300$ kilometer per uur — bovenaan het bord maar geloofwaardig voor een hogesnelheidstrein: aanvaard.

Oefening 40.9 ★★

De indommelende passagier van Opmerking 40.3: beschrijf zijn beweging — baan en tempo — eerst voor de passagier tegenover hem, dan voor de koe in het weiland. Waarom zijn beide beschrijvingen eerlijk?

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.9.

Voor de passagier tegenover hem: helemaal geen beweging — geen baan, tempo nul. Voor de koe: een lange rechtlijnige baan met het volle tempo van de trein. Allebei eerlijk: elk beschrijft de dommelaar ten opzichte van het eigen gezichtspunt, en beweging is altijd beweging ten opzichte van iets.

Oefening 40.10 ★★

Een metrolijn is van eindpunt tot eindpunt $9\,\mathrm{km}$ . De dienstregeling staat $18$ minuten toe, inclusief zes halteringen van één minuut. Ligt het gemiddelde tempo van de metro tijdens de werkelijke rijtijd boven of onder $45$ kilometer per uur? (Zoek eerst de rijtijd, en gebruik dan een tabel.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.10.

Rijtijd: $18 - 6 = 12$ minuten voor $9\,\mathrm{km}$ . Tabel: $12$ min $\to$ $9$ km, dus $60$ min $\to$ $45$ km — precies $45$ kilometer per uur: niet erboven en niet eronder, maar er precies op.

Oefening 40.11 ★★

Ontwerp een stippenfilm om een familieruzie te beslechten: rent de hond met een gelijkmatig tempo als hij apporteert, of sprint hij en laat hij daarna uitrollen? Noem je stappen, wat je gaat meten, en welk oordeel elk stippenpatroon zou geven.

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.11.

Film het apporteren met een stilstaande camera; pauzeer elke halve seconde; markeer de plaatsen van de hond ten opzichte van hekpalen; meet de gaten. Overal gelijke gaten: gelijkmatig tempo. Gaten die groeien en dan krimpen (of afwisselend breed en smal): sprinten en uitrollen. De stippen vellen het oordeel, wat de familie ook riep.

Oefening 40.12 ★★★

Een bal rolt van de rand van een tafel. Schets zijn baan van tafelrand tot vloer, zoals iemand die in de kamer staat hem ziet. Beredeneer daarna — opnieuw gezichtspunten! — welke baan een piepkleine waarnemer zou zien die op een karretje meerijdt dat precies met het voorwaartse tempo van de bal onder de vallende bal door rolt. (Een van de twee ziet een kromme; de ander iets veel eenvoudigers. Deze puzzel keert opgelost terug in het hogeschooldeel.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 40.12.

Vanuit de kamer: een kromme — de bal boogt van de tafelrand vooruit en omlaag naar de vloer. Vanaf het karretje dat met het voorwaartse tempo van de bal meerolt: de bal loopt niet voor en niet achter — hij lijkt recht omlaag te vallen. Dezelfde val, twee gezichtspunten, en het eenvoudigste beeld hoort bij de bewegende waarnemer: een zaadje van een groot idee.

40.5 Probleem: de stippenfilm van lijn 7

Probleem 40.1

Weekendprobleem — een vervoersingenieur leest de stippenfilms van een tramlijn; de rit diagnosticeren, de lijn klokken, de leugen van de dienstregeling betrappen

Een vervoersingenieur heeft tramritten gefilmd met een camera langs de weg die de plaats van de tram bij elke tik markeert (één tik $=$ $10$ seconden), en geeft je de films.

Deel I — De films lezen. Film A, tussen twee haltes, laat gaten zien (in meter): $50, 50, 50, 50, 50$ .

Diagnosticeer de beweging op film A.
Hoe ver reed de tram tijdens de $50$ seconden van film A?
Film B, bij het vertrek van een halte, laat gaten $10, 25, 40, 50, 50$ zien. Vertel het verhaal van de rit in woorden.
Tijdens welke tikintervallen is de beweging op film B (bijna) eenparig?

Deel II — Het werkelijke tempo van de lijn.

Op zijn eenparige stuk legt de tram elke $10$ seconden $50\,\mathrm{m}$ af. Bouw de tabel tot één minuut: hoe ver per minuut?
Ga door tot het uur: wat is de kruissnelheid van de tram in kilometer per uur?
De hele lijn is $12\,\mathrm{km}$ . Hoeveel minuten van eindpunt tot eindpunt bij kruissnelheid zonder haltes?
De dienstregeling staat $50$ minuten toe van eindpunt tot eindpunt. Hoeveel minuten verliest de echte lijn in totaal aan haltes, rode lichten en langzaamrijzones?

Deel III — De reclame voor het gerecht. De poster van het vervoersbedrijf schept op: “Lijn 7 — dwars door de stad met $18$ kilometer per uur, twee keer zo snel als de beste wandelaar!”

Controleer het rekenwerk van de poster aan de dienstregeling: $12\,\mathrm{km}$ in $50$ minuten — bouw de tabel naar één uur toe. Is “ $18$ kilometer per uur” eerlijk voor de hele reis?
Een muggenzifter werpt tegen: “Zo’n getal staat nooit op de snelheidsmeter — de tram rijdt óf $18$ óf staat stil op $0$ !” Leg uit wat een reissnelheid werkelijk beschrijft, en waarom ze toch het eerlijke getal is voor een reis met vele tempo’s.
De ingenieur stelt voor twee haltes over te slaan om vier minuten te winnen. Wat zou de nieuwe rijtijd van eindpunt tot eindpunt zijn, en — weer met een tabel — de nieuwe reissnelheid in kilometer per uur? (Rond verstandig af.)
Schrijf het rapport van de ingenieur in één zin: welk getal moeten reizigers vertrouwen om te plannen, de kruissnelheid of de reissnelheid, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Probleem 40.1.

1. Gelijke gaten van $50\,\mathrm{m}$ : eenparige beweging. 2. $5 \times 50 = 250\,\mathrm{m}$ . 3. De tram trekt op uit stilstand: korte gaten die groeien — sneller wordend over de eerste drie tikken — en dan tot vaste gaten van $50\,\mathrm{m}$ bedaren: kruisen. 4. De laatste twee intervallen, elk $50\,\mathrm{m}$ . 5. $10$ s $\to$ $50\,\mathrm{m}$ , dus $60$ s $\to$ $300\,\mathrm{m}$ per minuut. 6. $60$ min $\to$ $60 \times 300 = 18\,000\,\mathrm{m}$ : kruissnelheid $18$ kilometer per uur. 7. Tabel: $18\,\mathrm{km}$ per $60$ min, dus $12\,\mathrm{km}$ in $40$ minuten. 8. $50 - 40 = 10$ minuten verloren aan haltes en langzaamrijzones. 9. $50$ min $\to$ $12\,\mathrm{km}$ , dus $60$ min $\to$ $12 \times 60 \div 50 = 14.4\,\mathrm{km}$ : de hele reis loopt op ongeveer $14$ kilometer per uur — de $18$ van de poster is alleen eerlijk voor de kruisstukken, niet voor “dwars door de stad”. 10. Een reissnelheid beschrijft de rit alsof die eenparig was: het ene gelijkmatige tempo dat dezelfde $12\,\mathrm{km}$ in dezelfde $50$ minuten zou afleggen. Geen snelheidsmeter toont haar, en toch is ze het eerlijke getal om mee te plannen, omdat ze elke halte en elke langzaamrijzone al bevat. 11. $50 - 4 = 46$ minuten; $12 \times 60 \div 46 \approx 15.7\,\mathrm{km}$ per uur — zeg ongeveer $16$ . 12. Bijvoorbeeld: “Reizigers moeten plannen met de reissnelheid — vandaag ongeveer $14$ kilometer per uur — want dat is het enige getal dat het wachten meetelt; de kruissnelheid van $18$ vleit de lijn en slaat elke halte over.”

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst