Natuurkunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

46Volume, massa, dichtheid

Vorig jaar ontmaskerde je een frauduleuze goudsmid door grammen door kubieke centimeters te delen. Dit jaar heeft je wiskundecursus je een nieuwe macht gegeven: letters die voor getallen staan. Dichtheid is de perfecte plek om die te besteden — één korte formule die drie recepten, de gereedschapskist van een detective en de hele drijfregel in vijf tekens propt.

46.1 De formule

Definitie 46.1 (Dichtheid, in formulevorm)

De dichtheid $\rho$ (de Griekse letter rho) van een stof is haar massa per eenheid volume: voor een monster met massa $m$ en volume $V$ geldt

\rho = \frac{m}{V}.

Met $m$ in gram en $V$ in kubieke centimeter komt $\rho$ eruit in gram per kubieke centimeter ( $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ ) — de “massa van één kubieke centimeter” van vorig jaar, nu in uniform. De dichtheid van water: $\rho = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ . En aangezien een liter $1000$ kubieke centimeter is, dient hetzelfde getal ook als kilogram per liter: water is $1.0\,\mathrm{kg}$ per liter.

Voorbeeld 46.2 (De letters lezen)

Een formule is een zin in steno. $\rho = m/V$ leest: “om de dichtheid te vinden, deel je de massa van het monster door zijn volume.” De letters zijn plaatshouders — voor deze kiezelsteen wordt $m$ gelijk aan $75\,\mathrm{g}$ en $V$ gelijk aan $30\,\mathrm{cm}^{3}$ :

\rho = \frac{m}{V} = \frac{75}{30} = 2.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}.

Dezelfde deling als vorig jaar — maar de formule onthoudt het recept voor elke kiezel die nog komt.

Propositie 46.3 (Drie recepten in één formule)

Doordat dichtheid massa en volume evenredig aan elkaar knoopt, dient één formule drie behoeften:

een dichtheid vinden: $\rho = m/V$ — deel massa door volume;
een massa vinden: $m = \rho \times V$ — elke kubieke centimeter draagt $\rho$ gram, en er zijn er $V$ ;
een volume vinden: $V = m/\rho$ — verdeel de massa in porties van $\rho$ gram; het aantal porties is het aantal kubieke centimeters.

Voorbeeld 46.4 (De recepten aan het werk)

Massa uit volume: wat weegt $250\,\mathrm{cm}^{3}$ ijzer ( $\rho = 7.9$ )? $m = 7.9 \times 250 = 1975\,\mathrm{g}$ — bijna twee kilogram in het bestek van een koffiemok. Volume uit massa: hoeveel ruimte neemt $540\,\mathrm{g}$ eikenhout ( $\rho = 0.6$ ) in? $V = 540 \div 0.6 = 900\,\mathrm{cm}^{3}$ . Gezondverstandpartner: antwoorden voor ijzer horen zwaar-en-klein te zijn, die voor hout licht-en-groot — de dichthedentabel is de beste vriend van de beoordelingsstap.

De dichthedentabel als skyline: van de vederlichte 0.2 van kurk tot de monumentale 19.3 van goud. De 1.0 van water is de drijfgrens. — De dichthedentabel als skyline: van de vederlichte $0.2$ van kurk tot de monumentale $19.3$ van goud. De $1.0$ van water is de drijfgrens.

46.2 Dichtheden meten

Methode 46.5 (Dichtheid van een vloeistof)

Vloeistoffen gaan niet los op een weegschaal zitten — dus leen de tarreertruc:

zet een lege maatcilinder op de balans en tarreer hem op nul;
giet er een handig volume in — zeg $V = 80\,\mathrm{cm}^{3}$ van de raadselachtige vloeistof, met de meniscus netjes afgelezen;
de balans toont nu de massa van de vloeistof alleen: zeg $m = 68\,\mathrm{g}$ ;
deel: $\rho = 68 \div 80 = 0.85\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — lichter dan water: waarschijnlijk een olie.

Voorbeeld 46.6 (Dichtheid van een vaste stof, van begin tot eind)

Een medaille beweert van zilver te zijn ( $\rho = 10.5$ ). Balans: $m = 84\,\mathrm{g}$ . Cilinder: het water klimt van $60.0\,\mathrm{cm}^{3}$ naar $68.0\,\mathrm{cm}^{3}$ , dus $V = 8.0\,\mathrm{cm}^{3}$ . Dan is $\rho = 84 \div 8.0 = 10.5\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — de handtekening klopt: zilver zou het best kunnen zijn. (Een goedkoper metaal in een zilveren jasje zou zich hier hebben verraden — tenzij het sluw gekozen was, zoals het weekendprobleem zal laten zien.)

Opmerking 46.7 (Eenheden in formules)

Een formule is alleen eerlijk als haar eenheden kloppen. Met $m$ in gram en $V$ in $\mathrm{cm}^{3}$ spreekt $\rho$ in $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ ; voer haar kilogram en liter en ze antwoordt in $\mathrm{kg}/\mathrm{L}$ — gelukkig voor elke stof hetzelfde getal. Maar meng gram met liter en de formule levert, zonder klagen, onzin. Regel van de vakmensen: laat vóór het rekenen de eenheden paraderen; schrijf ze na het rekenen in het antwoord.

46.3 Denken in dichtheden

Voorbeeld 46.8 (Legeringen en tussenwaarden)

Meng twee stoffen en de dichtheid van het mengsel landt tussen hun handtekeningen — dichter bij het royaalste ingrediënt. Brons (koper $9.0$ met een beetje tin) tekent rond $8.8$ ; het goud-zilvermengsel van de kroon tekende tussen $10.5$ en $19.3$ ; zeewater, zout opgelost in water, kruipt naar ongeveer $1.03$ . Tussenin liggen is zelf een aanwijzing: een aflezing van $12$ bij een staaf “zuiver goud” is een bekentenis van gezelschap.

Voorbeeld 46.9 (Dichtheid beslist de drijvende wereld)

De drijfregel, nu in uniform: een voorwerp drijft in een vloeistof wanneer $\rho_{\text{voorwerp}} < \rho_{\text{vloeistof}}$ . Eikenhout ( $0.6$ ) op water ( $1.0$ ): drijft. IJs ( $0.9$ ) in olie ( $0.85$ ): zinkt — raadpleeg de tabel, niet je onderbuik. Een zwemmer ( $\approx 1.0$ ) in de beroemde ultrazoute meren ( $\approx 1.2$ ): drijft als een kurk, krant in de hand. Eén ongelijkheid, de hele haven.

Opmerking 46.10 (Let op de menigte, niet op het pakket)

$\rho = m/V$ beschrijft stoffen; schepen en opgeblazen zwemvesten zijn pakketten — stof plus opgesloten lucht — en het is de totale $m/V$ van het pakket die tegenover de drijfregel staat. De formule kan allebei aan, als je haar de juiste $m$ en $V$ voert: de eigen dichtheid van het staal voor de stof, de massa van de hele romp over het volume van de hele romp voor het pakket. De meeste “drijfparadoxen” zijn gewoon de twee boekhoudingen door elkaar gehaald.

46.4 Oefeningen

Oefening 46.1 ★

Schrijf de dichtheidsformule op, benoem elke letter, en geef de eenheid die bij gram en kubieke centimeter hoort.

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.1.

$\rho = m/V$ : $\rho$ de dichtheid, $m$ de massa van het monster, $V$ zijn volume. Met gram en kubieke centimeter komt $\rho$ eruit in $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ .

Oefening 46.2 ★

Bereken de dichtheid: $m = 270\,\mathrm{g}$ , $V = 100\,\mathrm{cm}^{3}$ . Welk metaal uit de skylinegrafiek is dit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.2.

$\rho = 270 \div 100 = 2.7\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : aluminium.

Oefening 46.3 ★

Gebruik het juiste recept: de massa van $40\,\mathrm{cm}^{3}$ koper ( $\rho = 9.0$ ); het volume van $1930\,\mathrm{g}$ goud ( $\rho = 19.3$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.3.

$m = 9.0 \times 40 = 360\,\mathrm{g}$ koper. $V = 1930 \div 19.3 = 100\,\mathrm{cm}^{3}$ goud — het eigen getal van de kroonzaak.

Oefening 46.4 ★

Waarom wordt de cilinder in Methode 46.5 eerst getarreerd? Welke twee aflezingen voeden daarna de formule?

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.4.

Tarreren haalt de eigen massa van de cilinder weg, zodat de balans de vloeistof alleen meldt — de eerlijke-nulregel. De formule krijgt dan de massa $m$ van de balans en de meniscusaflezing $V$ te eten.

Oefening 46.5 ★

Een vloeistof: $V = 50\,\mathrm{cm}^{3}$ , $m = 70\,\mathrm{g}$ . Haar dichtheid? Drijft of zinkt een ijsblokje ( $0.9$ ) erin?

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.5.

$\rho = 70 \div 50 = 1.4\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — honingachtig. IJs met $0.9$ is veel minder dicht: het drijft er hoog in.

Oefening 46.6 ★

Waarom is de dichtheid van water hetzelfde getal in $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ en in kilogram per liter? Welke waarschuwing hangt Opmerking 46.7 aan het mengen van gram met liter?

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.6.

Beide eenheden schalen mee: een liter is $1000$ $\mathrm{cm}^{3}$ en een kilogram is $1000$ gram, dus vallen de twee duizendtallen tegen elkaar weg — één getal dient allebei. Gram met liter mengen slaat dat wegvallen over en levert een getal dat er duizendvoudig naast zit.

Oefening 46.7 ★

Een armband met het stempel “zuiver goud” heeft $m = 58\,\mathrm{g}$ en $V = 5.0\,\mathrm{cm}^{3}$ . Bereken zijn dichtheid en geef je oordeel, met de tabel als getuige.

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.7.

$\rho = 58 \div 5.0 = 11.6\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — vlak bij de $11.3$ van lood, nergens in de buurt van de $19.3$ van goud. Oordeel: geen zuiver goud; waarschijnlijk een bedrieger met een loden hart in gouden kleren.

Oefening 46.8 ★★

Eén kubieke meter is een kubus van $100 \times 100 \times 100$ centimeter. Hoeveel $\mathrm{cm}^{3}$ is dat — en wat is de massa van een kubieke meter water, in kilogram? (Het antwoord verklaart waarom waterbedden huisbazen zorgen baren.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.8.

$100 \times 100 \times 100 = 1000000$ $\mathrm{cm}^{3}$ — een miljoen. Bij $1\,\mathrm{g}$ per stuk is dat $1\,000\,000\,\mathrm{g}$ $=$ $1000\,\mathrm{kg}$ : een volle ton per kubieke meter water — en daarom is een groot waterbed meubilair voor de begane grond.

Oefening 46.9 ★★

Een “zilveren” trofee: $m = 420\,\mathrm{g}$ , waterstijging van $200\,\mathrm{cm}^{3}$ naar $260\,\mathrm{cm}^{3}$ . Dichtheid? Tussen welke twee stoffen uit de tabel valt ze — en wat fluistert dat tussenin liggen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.9.

$V = 260 - 200 = 60\,\mathrm{cm}^{3}$ ; $\rho = 420 \div 60 = 7.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — tussen aluminium ( $2.7$ ) en ijzer ( $7.9$ ), het dichtst onder ijzer. Het tussenin liggen fluistert: een mengsel of een verguld-verzilverde bedrieger, in elk geval niet de $10.5$ van zilver.

Oefening 46.10 ★★

Een lege fles weegt $380\,\mathrm{g}$ ; tot haar streepje van $75\,\mathrm{cL}$ met een raadselachtige vloeistof gevuld weegt ze $1010\,\mathrm{g}$ . Bepaal de dichtheid van de vloeistof in $\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ en stel haar identiteit voor.

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.10.

Massa van de vloeistof: $1010 - 380 = 630\,\mathrm{g}$ ; volume: $75\,\mathrm{cL} = 750\,\mathrm{cm}^{3}$ ; dus $\rho = 630 \div 750 = 0.84\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — een olie.

Oefening 46.11 ★★

Een holle aluminium boei heeft een totaal volume van $4000\,\mathrm{cm}^{3}$ en een totale massa van $1200\,\mathrm{g}$ . Bereken de dichtheid van het pakket en voorspel drijven of zinken — en leg dan met Opmerking 46.10 uit waarom de eigen $2.7$ van aluminium het verkeerde getal was om te raadplegen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.11.

Dichtheid van het pakket: $1200 \div 4000 = 0.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — ver onder de $1.0$ van water: de boei drijft hoog. De $2.7$ van aluminium beschrijft alleen de metalen huid; het pakket bestaat vooral uit ingesloten lucht, en het is het pakket — totale massa over totaal volume — dat tegenover de drijfregel staat.

Oefening 46.12 ★★★

Ontwerp een compleet protocol om te beslissen of een ketting van zuiver koper is: noem elke meting, het toegepaste recept, het verwachte getal bij zuiverheid, en twee eerlijke redenen waarom je oordeel toch fout kan zijn (denk aan holle schakels, en aan sluwe mengsels waarvan de dichtheid vlak bij die van koper landt). Welke extra toets zou de zaak strakker maken?

Oplossing

Oplossing van Oefening 46.12.

Protocol: weeg de ketting ( $m$ ); meet haar volume met de stijgmethode, helemaal ondergedompeld, zonder bellen ( $V$ ); bereken $\rho = m/V$ ; bij zuiverheid verwacht je ongeveer $9.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ . Eerlijke twijfels: holle schakels sluiten lucht op en blazen $V$ op, wat een lage dichtheid veinst; en een sluw mengsel (of een verguld kernstuk) kan vlak bij $9.0$ landen zonder ook maar enig zuiver koper te bevatten. Strakkere toets: herhaal de volumemeting nadat je de schakels hebt volgezogen (schud de bellen eruit), en voeg een onafhankelijke handtekening toe — bijvoorbeeld de magneet (een stalen kern verraadt zich onmiddellijk) of, in een werkplaats, een gemeten smeltgedrag.

46.5 Probleem: de detective van het schroothandelterrein

Probleem 46.1

Weekendprobleem — een middag met de metaaldetective van de schroothandel; vier raadselachtige partijen, één bedrieglijke staaf; de grenzen van de dichtheidstoets

De schroothandel koopt metaal om wat het is, niet om hoe het eruitziet, en de detective van het terrein werkt met een balans, een grote maatbak en de skylinetabel. Jij bent de leerling. (Uittreksel uit de tabel: aluminium $2.7$ ; ijzer $7.9$ ; koper $9.0$ ; lood $11.3$ ; goud $19.3$ ; wolfraam $19.3$ .)

Deel I — Vier partijen.

Partij A, een grijze staaf: $m = 5400\,\mathrm{g}$ , verdringing $V = 2000\,\mathrm{cm}^{3}$ . Dichtheid en identiteit?
Partij B, een rol draad: $m = 1800\,\mathrm{g}$ , $V = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ . Dichtheid en identiteit?
Partij C, een doffe zware plaat: $m = 4520\,\mathrm{g}$ , $V = 400\,\mathrm{cm}^{3}$ . Dichtheid en identiteit — en waarom moet partij C met handschoenen en respect behandeld worden?
Partij D, een zak gemengd bleek schroot: $m = 8100\,\mathrm{g}$ , $V = 1500\,\mathrm{cm}^{3}$ . Laat zien dat de dichtheid van partij D tussen twee metalen uit de tabel valt, en zeg wat de zak hoogstwaarschijnlijk bevat.

Deel II — Prijzen en voorspellingen. Het terrein betaalt per massa maar plant transport per volume.

Een koper wil $540\,\mathrm{g}$ aluminium uit partij A gezaagd. Welk volume staaf is dat?
De koperen rol van partij B wordt omgesmolten tot kubussen van elk $25\,\mathrm{cm}^{3}$ . Wat is de massa van één kubus, en hoeveel volle kubussen levert de rol op?
Een krat mag hoogstens $20\,\mathrm{kg}$ dragen. Hoeveel van die koperen kubussen mag hij bevatten?
In de laadbak van de vrachtwagen past nog $3000\,\mathrm{cm}^{3}$ ijzerschroot. Welke extra massa, in kilogram, mag de detective laden?

Deel III — De bedrieger. Er komt een verkoper met een glanzende “gouden” staaf: $m = 3860\,\mathrm{g}$ , verdringing $V = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ .

Bereken de dichtheid van de staaf. Klopt die met de handtekening van goud?
De detective, onbewogen, raadpleegt de laatste regel van de tabel en zucht. Welk goedkoper metaal draagt precies de dichtheid van goud — en wat leert dat over de grenzen van de dichtheidstoets?
Welk van de twee instrumenten van het terrein is hier verslagen: de balans, de bak, allebei, of geen van beide? Zeg precies wat de dichtheidstoets wel eerlijk over de staaf heeft vastgesteld.
Stel een verdere natuurkundige toets uit eerdere jaren van deze cursus voor die goud van zijn dubbelganger onderscheidt zonder de staaf te beschadigen. (Hun smeltpunten verschillen enorm — goud rond $1064\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ , de dubbelganger ver boven elke oven hier — maar geen schroothandel smelt een misschien-schat: zoek zachtere aanwijzingen, misschien het oordeel van de magneet over ijzeren kernen, of de klank van een aangeslagen staaf, en verdedig je keuze eerlijk.)

Deel IV — Het vak van de detective.

Schrijf de geloofsbelijdenis van de detective in drie regels: wat dichtheid kan bewijzen, wat ze alleen kan suggereren, en wat ze in haar eentje nooit kan.

Oplossing

Oplossing van Probleem 46.1.

1. $5400 \div 2000 = 2.7\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : aluminium. 2. $1800 \div 200 = 9.0\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : koper. 3. $4520 \div 400 = 11.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ : lood — dicht, zacht en giftig bij achteloos hanteren: handschoenen. 4. $8100 \div 1500 = 5.4\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — tussen aluminium ( $2.7$ ) en ijzer ( $7.9$ ): een gemengde zak van die twee, qua volume ruwweg half om half. 5. $V = 540 \div 2.7 = 200\,\mathrm{cm}^{3}$ . 6. Eén kubus: $m = 9.0 \times 25 = 225\,\mathrm{g}$ . De $1800\,\mathrm{g}$ van de rol leveren $1800 \div 225 = 8$ volle kubussen. 7. $20\,\mathrm{kg} = 20\,000\,\mathrm{g}$ ; $20000 \div 225 = 88.9$ : $88$ kubussen. 8. $m = 7.9 \times 3000 = 23\,700\,\mathrm{g} \approx 23.7\,\mathrm{kg}$ . 9. $3860 \div 200 = 19.3\,\mathrm{g}/\mathrm{cm}^{3}$ — een perfecte match met goud. 10. Wolfraam — dichtheid $19.3$ , dezelfde handtekening tot op de decimaal. De dichtheidstoets wijst kandidaten aan; ze kan stoffen die toevallig een handtekening delen niet uit elkaar houden. 11. Geen van beide instrumenten heeft gefaald: massa en volume kloppen, en de deling ook. De toets heeft eerlijk vastgesteld dat de staaf ofwel goud is ofwel iets met precies de dichtheid van goud — ze heeft de verdachten tot twee teruggebracht. 12. Verdedigbare keuzes: de klank en het gevoel van een aangeslagen staaf (wolfraam is veel harder — een vijl- of hardheidstoets op een verborgen hoekje scheidt ze snel), of een erkende deskundige meting van hoe de staaf warmte of stroom geleidt (goud behoort tot de beste geleiders, wolfraam blijft ver achter) — zachter dan welke oven ook, en samen met dichtheid beslissend. 13. Bijvoorbeeld: “Dichtheid kan bewijzen dat een stof niet is wat ze beweert. Ze kan alleen suggereren wát ze is — handtekeningen beperken de verdachten. En in haar eentje kan ze nooit veroordelen: identiteit wil twee onafhankelijke getuigen.”

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Dichtheid, in formulevorm

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst