Natuurkunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

17Hefbomen en balansweegschalen

Vorig jaar ontdekten we op de wip dat gewicht en afstand allebei meetellen — en we beloofden een nauwkeurige regel met echte getallen erin. Tijd om die belofte in te lossen. Onderweg tillen we stenen op die veel te zwaar zijn voor onze armen, en ontmoeten we het instrument dat duizenden jaren lang de handelswaar van de wereld gewogen heeft.

17.1 De hefboom

Definitie 17.1 (Hefboom en draaipunt)

Een hefboom is een stevige staaf die op een steunpunt rust waaromheen hij kan kantelen. Dat steunpunt heet het draaipunt. Een wip is een hefboom; een koevoet onder een rots ook, en de klauw van een hamer die een spijker uittrekt.

Voorbeeld 17.2 (De krachtvermenigvuldiger)

Een tuinman schuift een lange ijzeren staaf onder een zwerfkei, legt hem op een blok vlak bij de kei en drukt het verre uiteinde omlaag — en de kei, die tien handen niet konden optillen, kantelt zachtjes om. Het geheim van de hefboom is afstand: druk ver van het draaipunt, en jouw kleine duw doet het werk van een reus vlakbij. Een oud verhaal zegt dat een groot geleerde uit de oudheid opschepte: “Geef mij een plek om te staan, en een hefboom die lang genoeg is, en ik verplaats de Aarde.”

De koevoet: een kleine duw ver van het draaipunt tilt een zware rots vlakbij op.

De koevoet aan het werk: een kleine duw ver van het draaipunt tilt een zwerfkei op die geen hand kan verplaatsen.

17.2 De hefboomregel

Methode 17.3 (De muntjeswip)

Bouw een wip in het klein om de regel op te sporen:

leg een liniaal in evenwicht over een potlood, op zijn middelste streepje;
gebruik gelijke muntjes als passagiers, op hele streepjes: “een muntje op $4$ ” betekent vier streepjes van het potlood;
beleg beide kanten en noteer wanneer de liniaal in evenwicht blijft.

Probeer het: één muntje op $6$ houdt één muntje op $6$ in evenwicht. Twee muntjes op elkaar op $3$ houden één muntje op $6$ in evenwicht. Drie muntjes op $2$ — opnieuw evenwicht met één op $6$ !

Propositie 17.4 (De hefboomregel)

Vermenigvuldig voor elke kant van de hefboom het aantal muntjes met hun afstand tot het draaipunt. De hefboom is precies dan in evenwicht als de twee kanten hetzelfde product hebben:

2 \text{ muntjes} \times 3 \text{ streepjes} = 6 \qquad\text{is in evenwicht met}\qquad 1 \text{ muntje} \times 6 \text{ streepjes} = 6 .

Is het product van de ene kant groter, dan gaat die kant omlaag.

De hefboomregel op een liniaal: gelijke producten, waterpasse staaf.

Voorbeeld 17.5 (De regel gebruiken)

Vier muntjes liggen op streepje $2$ : hun product is $4 \times 2 = 8$ . Om ze in evenwicht te houden met muntjes op streepje $4$ , hebben we daar ook een product van $8$ nodig: $8 = 2 \times 4$ , dus twee muntjes op $4$ volstaan. En zou één enkel muntje de vier in evenwicht kunnen houden? Dan zou het op streepje $8$ moeten liggen: $1 \times 8 = 8$ . Hoe lichter de passagier, hoe verder naar buiten hij moet zitten — precies wat de wip van papa ons leerde, nu met getallen.

17.3 De balansweegschaal

Definitie 17.6 (Balansweegschaal)

Een balansweegschaal is een hefboom die op eerlijkheid gebouwd is: twee schalen die op precies gelijke afstanden van het draaipunt hangen. Bij gelijke afstanden kloppen de producten precies dan als de gewichten kloppen — dus kantelt de weegschaal naar de zwaarste schaal, en hangt ze waterpas als de twee schalen even zware ladingen dragen.

Een balansweegschaal: een hefboom met twee schalen op gelijke afstanden. Waterpasse schalen betekenen even zware ladingen.

Voorbeeld 17.7 (Wegen door te vergelijken)

Duizenden jaren lang verkochten kooplui meel, goud en peper met balansweegschalen: de waar in de ene schaal, kleine metalen referentieblokjes in de andere, en blokjes erbij tot de schalen waterpas hingen. De weegschaal kent geen getallen — ze antwoordt alleen “zwaarder”, “lichter” of “gelijk”. Maar vergelijken met goed gekozen blokjes is alles wat een eerlijke markt nodig heeft — en, zoals het laatste hoofdstuk van dit deel zal laten zien, het is de weg naar het meten van massa zelf.

Opmerking 17.8 (Controleer de lege weegschaal)

Een eerlijke weegschaal moet leeg waterpas hangen. Is de ene arm langer of de ene schaal zwaarder, dan verschillen de producten al voordat de waar er ligt, en bedriegt elke weging daarna. Eerlijke kooplui lieten hun lege weegschaal waterpas hangen voor de ogen van de klant — een oude, woordeloze manier om “eerlijk spel” te zeggen.

17.4 Oefeningen

Oefening 17.1 ★

Wijs de hefboom en het draaipunt aan bij: een wip; een koevoet op een blok; een schaar. (In een schaar zitten twee hefbomen verstopt — waar draaien ze?)

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.1.

Wip: de plank is de hefboom, de steun in het midden het draaipunt. Koevoet: de staaf is de hefboom, het blok het draaipunt. Schaar: elk blad met zijn handvat is een hefboom, en ze draaien allebei om de schroef in het midden.

Oefening 17.2 ★

Moet je om een zware rots met een koevoet op te tillen dicht bij het draaipunt drukken of er ver vandaan? Waarom, in één zin?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.2.

Ver van het draaipunt: hoe verder naar buiten de duw, hoe groter zijn product — een kleine duw ver weg verslaat een zware rots vlakbij.

Oefening 17.3 ★

Bereken op de muntjeswip het product voor: $3$ muntjes op streepje $4$ ; $2$ muntjes op streepje $5$ ; $1$ muntje op streepje $6$ . Welke paren hiervan houden elkaar in evenwicht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.3.

$3 \times 4 = 12$ ; $2 \times 5 = 10$ ; $1 \times 6 = 6$ . Geen van deze producten is gelijk, dus geen twee ervan houden elkaar in evenwicht.

Oefening 17.4 ★

Links ligt één muntje op streepje $8$ . Waar moet je rechts $2$ muntjes leggen om evenwicht te krijgen? En $4$ muntjes?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.4.

Het linkerproduct is $1 \times 8 = 8$ . Twee muntjes hebben $8 = 2 \times 4$ nodig: streepje $4$ . Vier muntjes hebben $8 = 4 \times 2$ nodig: streepje $2$ .

Oefening 17.5 ★

Linkerkant: $3$ muntjes op streepje $3$ . Rechterkant: $2$ muntjes op streepje $4$ . Bereken beide producten. Welke kant gaat omlaag?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.5.

Links: $3 \times 3 = 9$ . Rechts: $2 \times 4 = 8$ . Het product links is groter, dus gaat de linkerkant omlaag.

Oefening 17.6 ★

Waarom hangen de twee schalen van een balansweegschaal op precies gelijke afstanden van het draaipunt? Wat zou een langere linkerarm met elke weging doen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.6.

Bij gelijke armen betekenen waterpasse schalen gelijke gewichten — de vergelijking is eerlijk. Een langere linkerarm zou de linkerlading met een grotere afstand vermenigvuldigen, dus zou de weegschaal bij elke weging in het voordeel van die kant liegen.

Oefening 17.7 ★

Een balansweegschaal hangt waterpas met een zakje knikkers in de ene schaal en $6$ gelijke blokjes in de andere. Wat leren we over het zakje? Wat antwoordt de weegschaal als we één blokje weghalen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.7.

Het zakje weegt precies evenveel als de $6$ blokjes. Met één blokje minder is de schaal met het zakje zwaarder, en kantelt de weegschaal naar het zakje toe.

Oefening 17.8 ★

Een wip: Tom weegt evenveel als $2$ zakken en zit op streepje $3$ ; zijn kleine zusje weegt evenveel als $1$ zak. Op welk streepje moet zij zitten om hem in evenwicht te houden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.8.

Het product van Tom: $2 \times 3 = 6$ . Zijn zusje heeft $1 \times 6 = 6$ nodig: ze moet op streepje $6$ gaan zitten.

Oefening 17.9 ★

De klauw van de hamer trekt een spijker uit: jouw hand duwt tegen het uiteinde van de steel, ver van de plek waar de hamerkop op het hout rust. Wat is het draaipunt, en waarom komt de spijker — die je vingers nooit zouden kunnen uittrekken — eruit?

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.9.

Het draaipunt is de plek waar de hamerkop op het hout rust. Jouw hand duwt aan het verre uiteinde van de steel — een grote afstand, dus een groot product — terwijl de spijker vlak bij het draaipunt tegenstribbelt: de hefboom maakt van jouw comfortabele duw de trek van een reus.

Oefening 17.10 ★★

Opa (zo zwaar als $4$ zakken) wil wippen met kleine Zoe (zo zwaar als $1$ zak). De wip heeft aan elke kant streepjes $1$ tot en met $8$ . Zoek twee verschillende manieren om ze zo neer te zetten dat de wip in evenwicht is.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.10.

Voor evenwicht moet gelden: $4 \times (\text{streepje van opa}) = 1 \times (\text{streepje van Zoe})$ . Twee manieren: opa op $1$ met Zoe op $4$ ( $4 = 4$ ), of opa op $2$ met Zoe op $8$ ( $8 = 8$ ).

Oefening 17.11 ★★

Een bedrieglijke koopman maakt in het geheim één arm van zijn weegschaal een beetje langer, en legt de waar altijd op de kant met de lange arm. Krijgen klanten meer waar dan ze betalen, of minder? Leg het uit met de hefboomregel — en met Opmerking 17.8.

Oplossing

Oplossing van Oefening 17.11.

Minder. Op de lange arm maakt zelfs een lichte lading een groot product, dus hangen de schalen waterpas terwijl de waar minder weegt dan de eerlijke blokjes op de korte arm. De controle met de lege weegschaal betrapt hem: met niets in de schalen kantelt zijn weegschaal al naar de lange arm.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst