Natuurkunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

63Gravitatie

Een appel laat zijn tak los en valt. De Maan, boven dezelfde boomgaard, valt niet. Duizenden jaren lang leken dit twee losstaande feiten — tot één geniaal inzicht ze verbond: de Maan is aan het vallen, eindeloos, om de Aarde heen, vastgehouden door precies de trek die de appel opeist. Eén wet voor boomgaard en hemel — de stoutmoedigste vergelijking die tot die dag was geschreven, en jouw laatste jaar in dit boek opent ermee.

63.1 De universele aantrekking

Definitie 63.1 (Gravitatie)

Gravitatie is de wederzijdse aantrekking tussen alle massa’s: elk stukje materie in het heelal trekt aan elk ander. Het is de kracht zonder aanraking die je jaren geleden als “de trek van de Aarde” ontmoette — nu onthuld als universeel: de Aarde trekt aan de appel, de appel trekt aan de Aarde, de Maan trekt aan de zeeën, de Zon trekt aan de planeten, en twee boeken op een plank trekken aan elkaar, zwakjes, voor altijd.

Propositie 63.2 (De wet van de universele gravitatie)

Twee lichamen met massa’s $m_A$ en $m_B$ (in $\mathrm{kg}$ ), waarvan de middelpunten een afstand $d$ uit elkaar liggen (in $\mathrm{m}$ ), trekken elkaar aan met even grote, tegengesteld gerichte krachten langs de verbindingslijn, met grootte

F = G \times \frac{m_A \times m_B}{d^2},

met $F$ in newton ( $\mathrm{N}$ ) — de eenheid van kracht waarvan het volledige verhaal in het volgende hoofdstuk begint — en $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ , de gravitatieconstante, overal in het heelal hetzelfde getal. De kracht groeit met elke massa en sterft met het kwadraat van de afstand: twee keer zo ver, vier keer zo zwak; tien keer zo ver, honderd keer zo zwak.

Universele gravitatie: twee massa’s, twee even grote, tegengestelde trekken langs de verbindingslijn — de appel trekt precies zo hard aan de Aarde als de Aarde aan de appel.

Voorbeeld 63.3 (De wet lezen)

Elk kenmerk van de formule spreekt. De massa’s vermenigvuldigen: verdubbel een van beide partners en de kracht verdubbelt. De afstand staat gekwadrateerd in de noemer: de zwaartekracht is een snel wegstervende fluistering — de omgekeerd-kwadratische verdunning die je opnieuw zult tegenkomen bij licht en geluid, want het is de meetkunde van alles wat zich in de ruimte uitspreidt. En de minuscule grootte van $G$ — elf nullen achter de komma — verkondigt dat gravitatie het zwakke broertje van de krachten in de natuur is: ze regeert de kosmos alleen omdat de massa’s daarboven monsterlijk zijn en niets haar opheft.

Voorbeeld 63.4 (Waarom boekenplanken niet dichtklappen)

Twee boeken van $1\,\mathrm{kg}$ , met de middelpunten $0.1\,\mathrm{m}$ uit elkaar:

F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{1 \times 1}{0.1^2} = 6.67 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}

— een paar miljardsten van een newton, het gewicht van het stofje van een stofje. Nu de Aarde en de appel: vervang één boek door $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ planeet en de afstand door haar straal van $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , en dezelfde wet levert de vertrouwde ruk van een middag in de boomgaard. Universeel betekent universeel — alleen de massa’s bepalen wie het merkt.

63.2 De vallende Maan

Voorbeeld 63.5 (Het kanon op de berg)

Het gedachte-experiment van het inzicht zelf. Vuur een kanonskogel horizontaal af vanaf een hoge top: hij beschrijft een boog en landt. Vuur hem sneller af: hij landt verder — terwijl de trek van de Aarde zijn baan de hele tijd krombuigt. Stel je nu voor dat je hem zo snel afvuurt dat het oppervlak van de ronde Aarde, terwijl hij valt, er met dezelfde snelheid onderuit krult: de kogel valt eindeloos en landt nooit — hij cirkelt om de planeet. Dat eeuwige vallen heeft een vertrouwde naam: een omloopbaan. Niets houdt een rondgaand lichaam “omhoog”; het valt met stijl.

Het bergkanon: elk sneller schot valt verder om de krommende Aarde heen — tot vallen en krommen bij elkaar passen en de kanonskogel een baan beschrijft.

Propositie 63.6 (Wat gravitatie aandrijft)

Eén wet, de hele hemel: de Maan is de eeuwige kanonskogel van de Aarde, die één keer per maand om ons heen valt; de planeten vallen net zo om de Zon heen — de dichterbij staande sneller, zoals het omgekeerde kwadraat eist; kometen duiken uit het donker naar binnen in lange vallende lussen; en elke kunstmatige satelliet — weerogen, navigatiebakens, het bemande station dat elke negentig minuten rondgaat — rijdt op de wiskunde van het bergkanon. Niets aan de hemel is opgehangen. Alles valt, en mist.

Voorbeeld 63.7 (Getijden: de Maan trekt terug)

De wederkerigheid heeft een handtekening die in water is geschreven. De trek van de Maan aan de Aarde is het sterkst op de oceaan die naar haar toe gekeerd is en het zwakst aan de verre kant — dus stapelt de zee zich zachtjes tegelijk naar de Maan toe en ervandaan op, en terwijl de Aarde onder die bulten door draait, zien kusten het water rijzen en dalen: de getijden, op de meeste dagen twee keer. De Zon steekt haar hand toe — op één lijn bij nieuwe en volle maan voor het grote springtij. Vissers lezen de Maan al millennia; de wet leest haar terug.

Opmerking 63.8 (Wat de wet niet zegt)

De grote vergelijking berekent de kracht tot in verfijnde nauwkeurigheid en verklaart geen greintje van hoe twee lichamen elkaar over lege leegte beetpakken — de auteur ervan noemde die vraag zelf open en liet haar, schitterend, onbeantwoord. Diepere antwoorden bestaan — de universitaire jaren van deze cursus bereiken het moderne, waarin massa de meetkunde kromt waarin ze zelf woont — maar elke eerlijke natuurkundige sindsdien heeft de les herhaald die je van deze bladzijde mag meenemen: een wet kan volmaakt bruikbaar zijn, volmaakt getoetst, en toch haar laatste geheim bewaren.

Vrije val, dagelijks beleefd: het ruimtestation en alles erin vallen samen om de Aarde heen, zodat niets ergens op drukt — camera’s, pennen, appels en water zweven.

63.3 Oefeningen

Oefening 63.1 ★

Formuleer de wet van de universele gravitatie — formule, eenheden, en de twee kenmerken (massa’s, afstand) in woorden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.1.

$F = G \, m_A m_B / d^2$ , met de massa’s in kilogram, $d$ in meter tussen de middelpunten, $F$ in newton en $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ . In woorden: de trek groeit met elke massa en sterft met het kwadraat van de afstand — en ze werkt even sterk op beide partners, in tegengestelde richtingen.

Oefening 63.2 ★

De Aarde trekt met $1\,\mathrm{N}$ aan de appel. Met welke kracht trekt de appel aan de Aarde? Waarom versnelt er maar één van de twee zichtbaar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.2.

Met precies $1\,\mathrm{N}$ — de trekken van de wet komen altijd in even grote, tegengestelde paren. De appel versnelt zichtbaar omdat zijn massa piepklein is; dezelfde $1\,\mathrm{N}$ op $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ planeet beweegt die onmeetbaar weinig.

Oefening 63.3 ★

Twee satellieten draaien hun baan op afstanden $d$ en $2d$ vanaf het middelpunt van de Aarde. Vergelijk de gravitatiekrachten op hen (gelijke massa’s). En op $10 d$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.3.

Op $2d$ : een kwart van de kracht op $d$ — het kwadraat van twee. Op $10d$ : een honderdste.

Oefening 63.4 ★

Bereken de aantrekking tussen twee danspartners van $80\,\mathrm{kg}$ op $0.5\,\mathrm{m}$ afstand — en geef commentaar op romantiek tegenover gravitatie.

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.4.

$F = 6.67 \times 10^{-11} \times 80 \times 80 \div 0.25 = 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$ — minder dan twee miljoensten van een newton: wat danspartners ook naar elkaar toe trekt, gravitatie is het niet.

Oefening 63.5 ★

Welke twee snelheden komen in het verhaal van het bergkanon precies overeen voor het rondgaande schot? Wat is een baan, in drie woorden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.5.

De snelheid waarmee de kogel valt, en de snelheid waarmee het oppervlak van de ronde Aarde eronder wegkrult. Een baan: vallen en missen.

Oefening 63.6 ★

“De astronauten zweven omdat er daarboven geen zwaartekracht is.” Sloop deze bewering met de kanonskogel: wat doen het station en de bemanning allebei?

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.6.

Op de hoogte van het station behoudt de zwaartekracht bijna haar volle sterkte aan het oppervlak — zij is juist wat het station op zijn cirkel houdt. Station en bemanning zijn allebei aan het vallen, samen, om de Aarde heen: metgezellen die samen vallen drukken nergens op, en zweven is het gevoel van gedeelde vrije val.

Oefening 63.7 ★

Waarom regeert gravitatie, het zwakke broertje van de natuur, toch de kosmos? Twee redenen uit het hoofdstuk.

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.7.

Omdat de hemel in monsterlijke massa’s handelt — planeten en sterren vermenigvuldigen de zwakke $G$ tot machtige krachten — en omdat gravitatie nooit wordt opgeheven: ze trekt alleen maar aan, dus verdiept elke toegevoegde massa de trek.

Oefening 63.8 ★

Waar komen de getijden vandaan, en waarom op de meeste dagen twee keer? Wanneer slaan de grootste toe?

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.8.

De trek van de Maan stapelt de zeeën zowel naar haar toe (het dichtstbijzijnde water, het hardst getrokken) als van haar af (het verste water, het minst getrokken); de draaiende Aarde voert elke kust dagelijks onder beide bulten door — twee getijden. Het grootst bij nieuwe en volle maan, wanneer de hand van de Zon op één lijn met die van de Maan staat: springtij.

Oefening 63.9 ★★

De Maan ( $7.3 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ ) draait haar baan op $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ van de Aarde ( $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ). Bereken hun aantrekking, van begin tot eind in wetenschappelijke notatie — en bewonder hoeveel cijfers de macht van tien in het antwoord draagt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.9.

$F = 6.67 \times 10^{-11} \times (7.3 \times 10^{22} \times 5.97 \times 10^{24}) \div (3.8 \times 10^{8})^2 \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ — een $2$ gevolgd door twintig nullen aan newton die de Maan aan haar pacht houden.

Oefening 63.10 ★★

Op het oppervlak van de Maan kromp je gewicht tot een zesde (denk aan de stuiterende astronauten). Leg met de twee knoppen van de wet — de kleinere massa van de Maan, haar kleinere straal — uit hoe een zesde kan ontstaan bij een lichaam dat tachtig keer lichter is dan de Aarde.

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.10.

Twee knoppen draaien tegen elkaar in: de massa van de Maan, ongeveer tachtig keer kleiner, deelt de trek door tachtig; maar haar straal, bijna vier keer kleiner, versterkt de trek aan het oppervlak met vier in het kwadraat — ongeveer veertien keer. Tachtig omlaag, veertien omhoog: er blijft ongeveer een zesde over.

Oefening 63.11 ★★

Mercurius rondt de Zon in $88$ dagen, Neptunus in $165$ jaar. Lees dit patroon af uit het omgekeerde kwadraat: wat doet het wegsterven van de zwaartekracht met de afstand met de greep van de Zon, en dus met het tempo van de buitenste familie?

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.11.

Het omgekeerde kwadraat verdunt de greep van de Zon met de afstand, en een zwakkere greep kan alleen een tragere val-eromheen vasthouden: de buitenste planeten lopen los aan de lijn en kuieren, de binnenste worden stevig vastgehouden en racen — de sprint van Mercurius en de wandeling van 164 jaar van Neptunus zijn dezelfde wet, op twee afstanden gelezen.

Oefening 63.12 ★★★

Een geostationaire satelliet hangt schijnbaar bewegingloos boven één punt van de evenaar — de schotelantennes bewegen nooit. Breng die schijn in overeenstemming met Propositie 63.6: hoe groot moet zijn omlooptijd zijn, welke kant op moet hij cirkelen, en waarom betekent “hangen” hier “in volmaakte pas met de draaiende Aarde vallen”?

Oplossing

Oplossing van Oefening 63.12.

Zijn omlooptijd moet precies één dag zijn, en hij moet naar het oosten cirkelen — de draairichting van de Aarde zelf. Dan draaien satelliet en antenne in volmaakte pas: de “hangende” schotel kijkt naar een kanonskogel die precies zo snel om de planeet heen valt als de planeet eronder ronddraait — bewegingloos alleen in de ogen van de meedraaiende waarnemer.

63.4 Probleem: de erfenis van de kanonskogel

Probleem 63.1

Weekendprobleem — van de boomgaard naar de baan; de appel, het kanon en de Maan doorgelicht met één wet; het lanceringsbord

Een avond aan de voorlichtingsbalie van het ruimteagentschap: één wet, $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ , massa van de Aarde $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , straal van de Aarde $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ .

Deel I — De doorlichting van de appel.

Bereken de trek van de Aarde aan een appel van $0.1\,\mathrm{kg}$ aan het oppervlak (middelpunten gescheiden door één aardstraal).
Met welke kracht trekt de appel terug aan de Aarde? Noem het woord van de wet voor deze tweezijdige boekhouding.
Til de appel op tot twee aardstralen van het middelpunt. Wat wordt er van de trek?
Een bezoeker vraagt waarom de formule de afstand tot het middelpunt van de Aarde gebruikt en niet die tot de grond. Geef het eerlijke korte antwoord (de hele planeet trekt, en haar verspreide trekken tellen op alsof ze uit het middelpunt komen — een stelling waar de grote auteur zelf jaren over deed om haar te bewijzen).

Deel II — Het lanceringsbord.

De satelliet van vandaag weegt $2000\,\mathrm{kg}$ . Zijn gewicht aan het oppervlak, volgens de wet? (Of volgens de snelweg die het volgende hoofdstuk benoemt: ongeveer $9.8\,\mathrm{N}$ per kilogram.)
In zijn werkbaan op $1.28 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ van het middelpunt — twee aardstralen — welk deel van zijn oppervlaktegewicht oefent de zwaartekracht dan nog op hem uit?
“Dus daarboven is er nog echte zwaartekracht?” Bevestig het met het getal — en leg uit wat de satelliet met die trek doet in plaats van neer te storten.
Het lanceringscommentaar zegt: “de baansnelheid moet bij de val passen”. Vertel het verhaal van het bergkanon in twee zinnen na voor de brochure van de bezoekers.

Deel III — Het grootboek van de Maan.

Met de Maan op $3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ : op hoeveel aardstralen rijdt ze? (Eén decimaal.)
Volgens het omgekeerde kwadraat is de zwaartekracht daar vervaagd tot ruwweg welk deel van haar sterkte aan het oppervlak? (Kwadrateer je vorige antwoord.)
Het grote inzicht, opnieuw verteld: de appel in de boomgaard valt in zijn eerste seconde ongeveer vijf meter; de Maan “valt” elke seconde nauwelijks een millimeter naar de Aarde toe — en komt toch nooit aan. Verbind de twee feiten via je antwoorden 9 en 10: waarom is de val van de Maan duizenden keren zachter, en waarom eindeloos?
Sluit de voorlichtingsavond af: één wet, drie uitvoerenden — appel, satelliet, Maan. Schrijf de slotzin van het bord die hen verenigt.

Oplossing

Oplossing van Probleem 63.1.

1. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times (0.1 \times 5.97 \times 10^{24}) \div (6.4 \times 10^{6})^2 \approx 0.97\,\mathrm{N}$ — noem het één newton: de ruk uit de boomgaard, berekend uit de constante van het heelal. 2. Eveneens $0.97\,\mathrm{N}$ — wederkerigheid: de trekken van de wet komen alleen in even grote, tegengestelde paren. 3. Het verdubbelen van de afstand tussen de middelpunten deelt de trek door vier: ongeveer $0.24\,\mathrm{N}$ . 4. Elke kruimel van de planeet trekt aan de appel — bergen dichtbij, de kern diep, de tegenvoeters ver — en de som van al die trekken pakt precies zo uit alsof de hele massa in het middelpunt zat: een stelling, geen aanname, en de auteur ervan stelde de publicatie jaren uit tot hij haar kon bewijzen. 5. Ongeveer $2000 \times 9.8 \approx 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}$ — twintigduizend newton (de wet met $d$ gelijk aan één aardstraal geeft hetzelfde). 6. Op twee stralen laat het omgekeerde kwadraat een kwart over: ongeveer $4900\,\mathrm{N}$ tegenover zijn $19\,600\,\mathrm{N}$ aan gewicht aan het oppervlak. 7. Ja — een kwart van de volle zwaartekracht is geen gewichtloze leegte. De satelliet geeft die trek uit aan het krommen van zijn baan: hij valt om de Aarde heen en mist eeuwig, precies zoals het bergkanon het leerde. 8. “Snel genoeg afgevuurd past de val van een kanonskogel bij de kromming van de Aarde, en cirkelt hij voor altijd — vallend zonder te landen. Elke satelliet is die kanonskogel, zijwaarts snel genoeg gelanceerd om de grond te blijven missen.” 9. $3.8 \times 10^{8} \div 6.4 \times 10^{6} \approx 59.4$ aardstralen. 10. Ongeveer $1 \div 59.4^2 \approx 1/3500$ van de sterkte aan het oppervlak. 11. Zacht omdat de zwaartekracht op zestig stralen drieënhalfduizendvoudig verdund is — de val van vijf meter in de eerste seconde krimpt tot ongeveer een millimeter. Eindeloos omdat die millimeter val precies past bij de millimeter waarmee het oppervlak van de Aarde onder de zijwaartse glijvlucht van de Maan wegkrult: de val loopt nooit in. 12. Bijvoorbeeld: “Appel, satelliet en Maan gehoorzamen één zin: elke massa valt naar elke andere toe, volgens $G m_A m_B / d^2$ — de appel landt, de satelliet en de Maan blijven missen, en het verschil is alleen zijwaartse snelheid.”

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Gravitatie

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst