Natuurkunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

38Massa en volume

Hoeveel limonade past er in de fles, en hoe zwaar is de krat met flessen? Twee verschillende vragen — ruimte en stof — die de alledaagse taal opgewekt tot één woord verstrengelt: “groot”. De wetenschap ontwart ze: volume voor de ruimte die iets inneemt, massa voor de stof die het bevat. In het meten van het tweede ben je een oude rot; vandaag leren we het eerste te meten — zelfs voor een kiezelsteen zonder vorm waar een liniaal van kan houden.

38.1 Volume: de ruimte die iets inneemt

Definitie 38.1 (Volume)

Het volume van iets is de hoeveelheid ruimte die het inneemt. Vaste stoffen, vloeistoffen en gassen hebben allemaal volume: de baksteen neemt zijn ruimte, de limonade neemt de binnenkant van de fles, de lucht neemt de rest. Volume wordt gemeten in kubieke centimeters ( $\mathrm{cm}^{3}$ ) — de ruimte van een kubusje van één centimeter langs elke ribbe — en in liters ( $\mathrm{L}$ ).

Propositie 38.2 (De liter in kubusjes)

De twee families volume-eenheden zijn één familie:

1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm}^{3}, \qquad 1\,\mathrm{mL} = 1\,\mathrm{cm}^{3}.

Een liter is precies de ruimte in een kubus van tien centimeter langs elke ribbe: $10 \times 10 \times 10 = 1000$ kubusjes.

Eén liter, uitgepakt: duizend centimeterkubusjes gestapeld tien bij tien bij tien.

Voorbeeld 38.3 (Volumes om uit je hoofd te kennen)

Een theelepel bevat ongeveer $5\,\mathrm{mL}$ ; een drinkglas ongeveer $25\,\mathrm{cL}$ , een kwart liter; het pak melk $1\,\mathrm{L}$ ; een ligbad rond de $150\,\mathrm{L}$ ; een suikerklontje neemt ongeveer $3\,\mathrm{cm}^{3}$ in; een dobbelsteen ongeveer $4\,\mathrm{cm}^{3}$ . Zulke ankers maken de beoordelingsstap van elke meting mogelijk.

38.2 Vloeistoffen meten

Methode 38.4 (Een maatcilinder aflezen)

De maatbeker van het laboratorium is de maatcilinder: hoog, smal, fijn verdeeld.

zet de cilinder op een vlakke tafel — lees hem nooit in je hand af;
zoek de waarde van één streepje, zoals bij elke schaal;
breng je oog op gelijke hoogte met het oppervlak van de vloeistof: dat oppervlak is niet vlak maar licht gebogen — een meniscus — die een stukje tegen de glazen wanden opklimt;
lees af bij de onderkant van de kromming, recht ervoor.

Met je oog te hoog of te laag liegt de kromming je een stapje of twee voor — de schuine-blikfout in haar lievelingsvermomming.

De meniscus: vloeistoffen klimmen een stukje tegen het glas op. De eerlijke aflezing is bij de onderkant van de kromming, op ooghoogte.

De meniscus van dichtbij: lees het vlakke midden van de kromming af, met je oog op die hoogte.

38.3 Vaste stoffen meten — zelfs bobbelige

Een baksteenvormige vaste stof geeft zich over aan de liniaal: lengte maal breedte maal hoogte geeft haar volume in $\mathrm{cm}^{3}$ , zoals je wiskundecursus liet zien. Maar wat met een kiezelsteen, een sleutel, een pruim? Geen liniaal past om een bobbel. Het antwoord is tweeduizend jaar oud, en het kwam uit een badkuip.

Propositie 38.5 (Verdringing)

Een vaste stof die helemaal onder water wordt gebracht, duwt precies zijn eigen volume aan water opzij — hij verdringt het. De stijging van het waterniveau meet de indringer: bobbelig of glad, het water vormt zich naar elke deuk en elke bult.

Methode 38.6 (Volume uit de stijging van het water)

giet water in een maatcilinder — genoeg om het voorwerp te bedekken — en lees het volume af: zeg $120\,\mathrm{mL}$ ;
bind een draadje aan het voorwerp en laat het voorzichtig zakken tot het helemaal onder water is, zonder plons en zonder de wanden te raken;
lees opnieuw af: zeg $145\,\mathrm{mL}$ ;
trek af: $145 - 120 = 25$ — het volume van het voorwerp is $25\,\mathrm{cm}^{3}$ (milliliters stijging, centimeterkubusjes steen: hetzelfde ding).

De stijgmethode: het water klimt precies met het volume van de kiezel — 145 - 120 = 25\, cm3 kiezel. — De stijgmethode: het water klimt precies met het volume van de kiezel — $145 - 120 = 25\,\mathrm{cm}^{3}$ kiezel.

Voorbeeld 38.7 (De kroon in de badkuip)

Het oude verhaal: een koning vermoedde dat zijn goudsmid het goud van de koninklijke kroon met zilver had verdund, en vroeg de geleerde Archimedes dat uit te zoeken zonder de kroon te beschadigen. Toen hij in een vol bad stapte, zag Archimedes het water over de rand klotsen — en zag hij in een flits dat de overloop het volume van zijn eigen lichaam mat, bobbels en al. De legende zegt dat hij door de straten rende en “Eureka!” riep — ik heb het gevonden! Hoe het volume van de kroon het bedrog ontmaskerde heeft nog één idee nodig, twee hoofdstukken verderop; de badkuip gaf hem het volume van alles.

38.4 Massa en volume zijn verschillende antwoorden

Voorbeeld 38.8 (Zelfde volume, andere massa)

Vul twee identieke glazen van $25\,\mathrm{cL}$ , het ene met water, het andere met honing, en weeg ze (de glazen eraf getrokken): het honingglas bevat merkbaar meer gram in precies dezelfde ruimte. Zelfde volume, andere massa. En een liter lucht weegt nauwelijks meer dan een gram, in de ruimte waar een liter water een hele kilogram weegt. Ruimte en stof zijn werkelijk verschillende boekhouders — houd die gedachte stevig vast: ze wordt een wet, met een naam, in het laatste hoofdstuk van dit jaar.

Opmerking 38.9 (Wegen wat niet alleen kan staan)

Hoe weeg je bloem zonder haar kom mee te wegen? Moderne balansen hebben er een knop voor: zet de lege kom op de schaal, druk — de display springt terug naar nul — en schep dan: de balans meldt nu de bloem alleen. Die handeling heet tarreren. Zonder knop weeg je twee keer en trek je af: kom-met-bloem min lege kom. Hoe dan ook is het opnieuw de eerlijke-startregel: begin vanaf een eerlijke nul.

38.5 Oefeningen

Oefening 38.1 ★

Welke vraag beantwoordt volume, en welke vraag beantwoordt massa? Geef van elk de twee voornaamste eenheden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.1.

Volume: hoeveel ruimte iets inneemt — $\mathrm{cm}^{3}$ en liter. Massa: hoeveel stof het bevat — gram en kilogram.

Oefening 38.2 ★

Reken om: $2\,\mathrm{L}$ naar $\mathrm{cm}^{3}$ ; $350\,\mathrm{mL}$ naar $\mathrm{cm}^{3}$ ; $1500\,\mathrm{cm}^{3}$ naar liter; een halve liter naar milliliter.

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.2.

$2000\,\mathrm{cm}^{3}$ ; $350\,\mathrm{cm}^{3}$ ; $1.5\,\mathrm{L}$ ; $500\,\mathrm{mL}$ .

Oefening 38.3 ★

Waarom moet je een maatcilinder op ooghoogte, op de tafel en bij de onderkant van de meniscus aflezen? Noem de fout die elke regel voorkomt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.3.

Op de tafel: een scheve cilinder maakt het oppervlak scheef. Op ooghoogte: een hoog of laag oog verschuift het schijnbare streepje (de schuine-blikfout). Onderkant van de meniscus: de vloeistof klimt tegen de wanden op, en alleen de onderkant van de kromming staat op het echte volume.

Oefening 38.4 ★

Een cilinder wijst $200\,\mathrm{mL}$ aan; met een pruim erin gelaten wijst hij $265\,\mathrm{mL}$ aan. Wat is het volume van de pruim, in $\mathrm{cm}^{3}$ ?

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.4.

$265 - 200 = 65$ : het volume van de pruim is $65\,\mathrm{cm}^{3}$ .

Oefening 38.5 ★

Waarom werkt de stijgmethode zelfs voor een bobbelige kiezelsteen, terwijl geen liniaal hem kon meten? Welke propositie geeft het antwoord?

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.5.

Het water vormt zich naar elke deuk en elke bult, dus is het opzijgeduwde water precies gelijk aan het volume van de kiezel — de verdringingspropositie. De liniaal heeft rechte randen nodig; het water niet.

Oefening 38.6 ★

Een baksteenvormige gum meet $5\,\mathrm{cm}$ bij $2\,\mathrm{cm}$ bij $1\,\mathrm{cm}$ . Zijn volume? Controleplan: hoe zou je het met de stijgmethode bevestigen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.6.

$5 \times 2 \times 1 = 10\,\mathrm{cm}^{3}$ . Controle: laat hem in een cilinder zakken — de aflezing moet met precies $10\,\mathrm{mL}$ stijgen.

Oefening 38.7 ★

Rijst wegen: lege kom $280\,\mathrm{g}$ ; kom met rijst $745\,\mathrm{g}$ . Hoeveel rijst? Welke knop doet hetzelfde werk in één stap?

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.7.

$745 - 280 = 465\,\mathrm{g}$ rijst. De tarreerknop: zet de balans op nul met de lege kom erop, en schep dan.

Oefening 38.8 ★

Wat heeft het grootste volume, een kilogram veren of een kilogram ijzer? Wat heeft de grootste massa? (Beantwoord beide zorgvuldig.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.8.

Gelijke massa’s — elk één kilogram. De veren nemen veel meer ruimte in: een veel groter volume voor dezelfde stof.

Oefening 38.9 ★★

De stijgmethode faalt bij een kurk: die drijft. Stel een oplossing voor die de cilinder toch gebruikt — en zeg wat er moet worden afgetrokken als je oplossing een hulpvoorwerp gebruikt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.9.

Laat de kurk met opzet zinken: duw hem met een dun spiesje onder water (lees de stijging af terwijl alleen de kurk onder is), of bind hem aan een zwaar verzwaringsstuk — meet eerst de stijging van het verzwaringsstuk alleen, dan die van het paar samen, en trek het aandeel van het verzwaringsstuk eraf.

Oefening 38.10 ★★

Op een pak sap staat $1\,\mathrm{L}$ . Uitgeschonken vult het drie keer een glas van $250\,\mathrm{mL}$ , en het vierde glas maar tot het streepje $200\,\mathrm{mL}$ . Was de bewering eerlijk? Hoeveel scheelde het?

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.10.

Uitgeschonken: $3 \times 250 + 200 = 950\,\mathrm{mL}$ . De bewering kwam $50\,\mathrm{mL}$ tekort — een twintigste liter te weinig.

Oefening 38.11 ★★

Een halsketting wordt in een cilinder gelaten die $80.0\,\mathrm{mL}$ aanwijst; hij stijgt tot $83.5\,\mathrm{mL}$ . De juwelier beweert dat de ketting $5\,\mathrm{cm}^{3}$ goud bevat. Kan die bewering waar zijn? Wat heeft het water precies gemeten?

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.11.

De stijging is $83.5 - 80.0 = 3.5\,\mathrm{mL}$ : het hele volume van de ketting is $3.5\,\mathrm{cm}^{3}$ . Het water meet het totale volume, metaal, sluiting en al — dus kan een bewering van $5\,\mathrm{cm}^{3}$ goud niet waar zijn: er is niet eens $5\,\mathrm{cm}^{3}$ ketting.

Oefening 38.12 ★★★

Ontwerp een badkuipachtige controle van Propositie 38.5 zelf, met een baksteenvormig voorwerp waarvan de liniaal het volume al kent. Beschrijf de stappen, voorspel de twee aflezingen van de cilinder voor een blokje van $4 \times 3 \times 2$ centimeter dat in $150\,\mathrm{mL}$ wordt gelaten, en zeg welk resultaat de propositie onderuit zou halen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 38.12.

De liniaal belooft $4 \times 3 \times 2 = 24\,\mathrm{cm}^{3}$ . Laat het blokje (aan een draadje, zonder plons, helemaal onder, zonder de wanden te raken) in $150\,\mathrm{mL}$ zakken: de voorspelling is een stijging van $150\,\mathrm{mL}$ naar $174\,\mathrm{mL}$ . Steeg het water met iets anders dan $24\,\mathrm{mL}$ — buiten het eerlijke stapje of twee van de cilinder — dan zou de verdringingspropositie weerlegd zijn. (Dat is nooit gebeurd.)

38.6 Probleem: bottelen op de boomgaard

Probleem 38.1

Weekendprobleem — persdag op de boomgaard; liters in flessen, kratten op de weegschaal; de kiezel in de kan

De boomgaard perst vandaag zijn appels, en elke helper krijgt een meetklus.

Deel I — Sap per liter. De pers heeft een vat van $20\,\mathrm{L}$ gevuld.

Hoeveel kubieke centimeter is $20\,\mathrm{L}$ ?
Het sap wordt gebotteld in flessen van $75\,\mathrm{cL}$ . Hoeveel volle flessen levert het vat op?
Hoeveel sap blijft er na de laatste volle fles over, in centiliter?
Het restje wordt in glazen van $25\,\mathrm{cL}$ geschonken. Hoeveel glazen vult het?

Deel II — Kratten op de weegschaal.

Een lege fles heeft massa $450\,\mathrm{g}$ . Wat is met Deel I de massa van het sap in één volle fles, als een liter sap een massa van ongeveer $1\,\mathrm{kg}$ heeft? (Reken in gram.)
Wat weegt één volle fles dus in totaal?
Een houten krat weegt leeg $2\,\mathrm{kg}$ en draagt zes volle flessen. Totale massa van een geladen krat?
Het busje mag $200\,\mathrm{kg}$ aan kratten vervoeren. Hoeveel geladen kratten mag het meenemen? (Alleen hele kratten.)

Deel III — De kiezel in de kan. Kleine Tom laat een kiezelsteen in een volle kan sap van $1\,\mathrm{L}$ vallen, en er stroomt sap over de tafel.

Het opgedweilde overgelopen sap meet $40\,\mathrm{mL}$ . Wat heeft de gemorste hoeveelheid over de kiezel gemeten, en volgens welke propositie?
Hoeveel sap blijft er in de kan nadat de kiezel eruit is gevist?
Tom protesteert: “De kiezel is klein — kijk, hij past in mijn vuist!” Zijn zus antwoordt met een maatcilinder: ze legt de kiezel in $100\,\mathrm{mL}$ water. Welke aflezing bewijst dat het gemorste sap de waarheid vertelde?
Bonusboekhouding: de kiezel weegt $104\,\mathrm{g}$ op de keukenweegschaal. Kun je zonder enig nieuw idee al zeggen of kiezelstof zwaarder of lichter is dan sapstof voor dezelfde ingenomen ruimte? Vergelijk $104\,\mathrm{g}$ kiezel in $40\,\mathrm{cm}^{3}$ met de massa sap die diezelfde $40\,\mathrm{cm}^{3}$ zou vullen — en houd je conclusie warm voor het hoofdstuk over dichtheid.

Oplossing

Oplossing van Probleem 38.1.

1. $20 \times 1000 = 20\,000\,\mathrm{cm}^{3}$ . 2. $20\,\mathrm{L} = 2000\,\mathrm{cL}$ ; $2000 \div 75 = 26$ volle flessen (met een rest). 3. $26 \times 75 = 1950\,\mathrm{cL}$ , dus blijft er $2000 - 1950 = 50\,\mathrm{cL}$ over. 4. $50 \div 25 = 2$ glazen, precies. 5. $75\,\mathrm{cL} = 0.75\,\mathrm{L}$ , en een liter weegt ongeveer $1000\,\mathrm{g}$ : het sap is ongeveer $750\,\mathrm{g}$ . 6. $750 + 450 = 1200\,\mathrm{g}$ — $1.2\,\mathrm{kg}$ . 7. $6 \times 1.2 = 7.2\,\mathrm{kg}$ aan flessen plus $2\,\mathrm{kg}$ krat: $9.2\,\mathrm{kg}$ . 8. $200 \div 9.2$ : $21$ kratten zouden $193.2\,\mathrm{kg}$ zijn, $22$ zouden $202.4\,\mathrm{kg}$ zijn — te veel. Het busje neemt $21$ kratten mee. 9. Het gemorste sap is het sap dat de kiezel heeft verdrongen: het volume van de kiezel is $40\,\mathrm{cm}^{3}$ , volgens de verdringingspropositie. 10. $1000 - 40 = 960\,\mathrm{mL}$ sap blijft over. 11. De cilinder moet van $100\,\mathrm{mL}$ naar $140\,\mathrm{mL}$ klimmen — een stijging van $40\,\mathrm{mL}$ , die klopt met het gemorste sap. Vuisten meten niets; water vertelt de waarheid. 12. Die $40\,\mathrm{cm}^{3}$ , met sap gevuld, zouden ongeveer $40\,\mathrm{g}$ sap bevatten — de kiezel propt $104\,\mathrm{g}$ in dezelfde ruimte: kiezelstof is voor gelijke ruimte zwaarder dan sapstof, meer dan twee keer zo zwaar. Het hoofdstuk over dichtheid geeft deze vergelijking haar eigen naam en getal.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Volume

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst