Natuurkunde basisschool en onderbouw · Grades 1–9

61De lichtsnelheid; afstanden in het heelal

Zeven jaar lang heeft dit boek gefluisterd dat licht “zo goed als ogenblikkelijk” is — de flits voor de donder, de geziene klap die de stopwatch start. Dit hoofdstuk lost de oudste belofte van de familie in: de snelheid van het licht is niet oneindig, mensen hebben haar tegen de verdrukking in gemeten, en het getal is zo reusachtig dat het in één adem de meetlat van de sterrenkunde wordt en haar tijdmachine.

61.1 De onmogelijke meting

Voorbeeld 61.1 (Lantaarns op twee heuvels)

Vier eeuwen geleden zette de grote pionier van het experiment twee waarnemers ’s nachts op verre heuvels, elk met een lantaarn met luik: ontbloot de jouwe zodra je de mijne ziet, en de vertraging heen en terug zou de snelheid van het licht moeten verraden. De vertraging die ze vonden, waren alleen menselijke reflexen; tussen de heuvels kostte de echte oversteek van het licht een paar miljoensten van een seconde. Het experiment mislukte schitterend — het bewees tenminste dat licht sneller is dan alles wat een heuveltop kan klokken, en het daagde de sterrenkunde uit langere renbanen te vinden.

Voorbeeld 61.2 (De maan die te laat kwam)

De renbaan werd geleverd door Jupiter. Zijn binnenste grote maan verdwijnt volgens een prachtig regelmatig rooster in de schaduw van Jupiter — een klok aan de hemel. En toch merkte een geduldige sterrenkundige dat de klok vele minuten te laat liep in de maanden waarin de omloopbaan van de Aarde ons naar de andere kant van de Zon dan Jupiter had gedragen, en weer te vroeg wanneer we dichtbij zwaaiden. Zijn sprong: de maan is stipt — haar licht is vertraagd, want het heeft extra tijd nodig om de extra breedte van de omloopbaan van de Aarde te doorkruisen. Uit de vertraging en de grootte van de omloopbaan kwam de eerste schatting van de snelheid van het licht — adembenemend dicht bij de waarheid, voor de zeventiende eeuw.

De maan die te laat kwam: het verduisteringsnieuws van Jupiter bereikt de Aarde aan de verre kant vele minuten achter op schema — de vertraging is het licht, betrapt op forenzen.

Propositie 61.3 (De lichtsnelheid)

In vacuüm — en in lucht, in uitstekende benadering — reist licht met

c = 300\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{s} = 3 \times 10^{8}\ \mathrm{m}/\mathrm{s},

driehonderdduizend kilometer per seconde: zeven en een halve ronde om de Aarde tussen twee hartslagen. Elke kleur van het mengsel reist in vacuüm met dezelfde $c$ ; niets wat materie of nieuws draagt, is ooit sneller geklokt. Later bevestigde vindingrijkheid op aarde de sterrenkundigen — een bundel in stukjes gehakt door een draaiend tandwiel, die acht kilometer naar een spiegel raasde en door de volgende tandopening terugkwam — en moderne instrumenten hebben $c$ tot een zo volledige zekerheid gepolijst dat de meter zelf er nu uit wordt gedefinieerd.

Voorbeeld 61.4 (Reistijden in de buurt)

Met $t = d/c$ krijgt het zonnestelsel een dienstregeling. De Maan, $384\,000\,\mathrm{km}$ : $384000 \div 300000 \approx 1.3\,\mathrm{s}$ — radiogesprekken tussen Aarde en Maan dragen die ongemakkelijke pauze. De Zon, $150$ miljoen km: $150000000 \div 300000 = 500\,\mathrm{s}$ — acht minuten twintig: zonneschijn is altijd nieuws van acht minuten oud. Mars, op een typische $2 \times 10^{8}$ km: ongeveer elf minuten — de bestuurders van een rover sturen het plan van de dag en wachten; geen enkele joystick stuurt over een reis van twintig minuten heen en terug.

Een spiraalstelsel: licht van zijn sterren doorkruist miljoenen jaren lege ruimte voor het enige telescoop bereikt.

61.2 Het lichtjaar

Definitie 61.5 (Lichtjaar)

Een lichtjaar is een afstand: het stuk dat licht in één jaar aflegt — ongeveer $9.5 \times 10^{12}$ km, bijna tien miljoen miljoen kilometer. De naam misleidt de haastige (het is even weinig een tijd als een “voetstap” een voet is); sterrenkundigen gebruiken hem omdat kilometers bezwijken onder de echte schaal van de hemel.

Voorbeeld 61.6 (De buurt in lichtjaren)

De dichtstbijzijnde ster voorbij de Zon: ongeveer $4$ lichtjaar — de fotonen van vanavond vertrokken daar toen jij in je eerste natuurkundehoofdstukken zat. De heldere sterren van de winterhemel: tientallen tot honderden lichtjaren. De Melkweg, onze stad van sterren: ongeveer $100000$ lichtjaar in doorsnede. Het dichtstbijzijnde grote buurstelsel: zo’n $2.5$ miljoen lichtjaar — zijn vage veegje, zichtbaar voor een aan het donker gewend blote oog, is het oudste licht dat een mens ongewapend kan zien.

Propositie 61.7 (Telescopen zijn tijdmachines)

Omdat het nieuws van het licht met $c$ reist en het heelal reusachtig is, geldt: ver kijken is terugkijken. De ster op $4$ lichtjaar toont zich zoals ze $4$ jaar geleden was; het buurstelsel zoals het was toen onze voorouders hun eerste stenen werktuigen bikten. Het vermoeden van de sterrenkijker uit groep zeven is nu een stelling van de rekenkunde: elke telescoop die naar buiten is gericht, is naar het verleden gericht, en de sterrenkunde is geschiedenis gelezen bij sterrenlicht.

Methode 61.8 (Afstand en terugblik omrekenen)

afstand in lichtjaar $\to$ terugblik in jaren: hetzelfde getal — dat is de hele genialiteit van de eenheid;
afstand in kilometer $\to$ lichttijd: deel door $300\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ en tem de seconden daarna tot minuten, uren of jaren;
lichtjaar $\to$ kilometer (zelden de moeite waard): vermenigvuldig met $9.5 \times 10^{12}$ — en onthoud waarom sterrenkundigen dat zelden doen.

Opmerking 61.9 (Wat “nu” daarginds betekent)

Schijnt de ster op vier lichtjaar op dit moment nog? Vrijwel zeker — sterren leven lang — maar geen antwoord kan ons ooit sneller bereiken dan het licht zelf: het verste nieuws is altijd vier jaar oud. Voor de diepe hemel verzacht de vraag tot vreemdheid: sommige van de zwakste veegjes in grote telescopen zijn sterrenstelsels waarvan het licht vertrok voordat de Aarde bestond. De natuurkunde zal in de universitaire jaren scherpstellen wat “nu op afstand” überhaupt kan betekenen; draag dit jaar de eerlijke versie mee: de hemel is geen tafereel — het is een archief.

61.3 Oefeningen

Oefening 61.1 ★

Geef $c$ in $\mathrm{km}/\mathrm{s}$ en in $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (in machten van tien). Wat mislukte er op de twee heuvels, en waarom?

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.1.

$c = 300\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{s} = 3 \times 10^{8}\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$ . De lantaarns op de heuveltoppen maten alleen menselijke reflexen: het licht doorkruiste de heuvels in miljoensten van een seconde, ver onder de tijdmeting van welke hand dan ook.

Oefening 61.2 ★

Vertel het argument van de te late maan in drie zinnen na: wat was stipt, wat was te laat, en wat mat die vertraging?

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.2.

De maan van Jupiter verduisterde volgens een stipt rooster — een klok aan de hemel. Het nieuws van elke verduistering kwam te laat aan wanneer de Aarde ver van Jupiter stond, en te vroeg wanneer ze dichtbij stond. De vertraging mat de reistijd van het licht over de breedte van de omloopbaan van de Aarde — en dus de snelheid van het licht.

Oefening 61.3 ★

Bereken de reistijd van het licht: Maan ( $384\,000\,\mathrm{km}$ ); Zon ( $150$ miljoen km). Waarom is zonneschijn “oud nieuws”?

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.3.

Maan: $384000 \div 300000 \approx 1.3\,\mathrm{s}$ . Zon: $150000000 \div 300000 = 500\,\mathrm{s}$ — acht minuten twintig. Zonneschijn toont de Zon altijd zoals ze acht minuten geleden was: oud nieuws van huis uit.

Oefening 61.4 ★

Een lichtjaar — tijd of afstand? Definieer het, en geef zijn grootte in kilometer (in machten van tien).

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.4.

Een afstand: het stuk dat licht in één jaar aflegt — ongeveer $9.5 \times 10^{12}$ km.

Oefening 61.5 ★

De dichtstbijzijnde ster staat op ongeveer $4$ lichtjaar. Hoe groot is de terugblik van vanavond — en wat deed jij toen haar licht vertrok?

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.5.

Vier jaar. De antwoorden verschillen — vier jaar geleden zat je enkele leerjaren terug in ditzelfde boek.

Oefening 61.6 ★

Waarom kan niemand een marsrover vanaf de Aarde met een joystick besturen? Gebruik de getallen uit het dienstregelingvoorbeeld.

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.6.

Bij ruwweg elf minuten één richting antwoordt een stuurcorrectie op een plaatje dat minstens tweeëntwintig minuten oud is — de rover zou in de kloof liggen voor het schokje van de joystick aankwam. Vandaar plannen, geen joysticks.

Oefening 61.7 ★

Zet op volgorde van terugblik: de Maan; de Zon; de dichtstbijzijnde ster; het buurstelsel — met bij elk het ruwe getal.

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.7.

Maan: ongeveer $1.3\,\mathrm{s}$ . Zon: acht minuten. Dichtstbijzijnde ster: vier jaar. Buurstelsel: tweeënhalf miljoen jaar.

Oefening 61.8 ★

“De meter wordt nu uit $c$ gedefinieerd.” Wat zegt dit over welke van de twee — meetlat of licht — natuurkundigen dieper vertrouwen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.8.

Het licht. De snelheid $c$ bleek standvastiger dan welke metalen staaf of nationale meetlat ook — dus wordt de meetlat nu uit het licht afgeleid, en niet het licht met de meetlat gemeten.

Oefening 61.9 ★★

Afstandsbepaling met radar: een radiopuls (die met $c$ reist) die tegen de Maan wordt gekaatst, komt na ongeveer $2.6\,\mathrm{s}$ terug. Haal de afstand tot de Maan uit deze reis heen en terug — en noem de oude sonarregel die meeverhuist.

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.9.

Heen en terug: $300000 \times 2.6 = 780000$ km; de Maan staat op de helft — $390\,000\,\mathrm{km}$ . De sonarregel verhuist volledig mee: elke echo betaalt de reis heen en terug, halveer voor je hem gelooft.

Oefening 61.10 ★★

Sorteer op diepte in het archief: licht van een lamp in je kamer ( $3\,\mathrm{m}$ ); de Zon; een ster op $100$ lichtjaar; het buurstelsel. Schat voor de lamp de terugblik in miljardsten van een seconde ( $3 \div (3 \times 10^{8})$ — tem het in woorden).

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.10.

Lamp: $3 \div (3 \times 10^{8}) = 10^{-8}$ s — een honderdste van een miljoenste seconde: zelfs de kamer is een archief, alleen te ondiep om op te merken. Daarna de Zon (acht minuten), de ster (een eeuw), het sterrenstelsel (tweeënhalf miljoen jaar) — hoe dieper je kijkt, hoe ouder de bladzijde.

Oefening 61.11 ★★

Een nieuwsbericht zegt: “sterrenkundigen zagen afgelopen dinsdag een ster ontploffen, op $8000$ lichtjaar afstand.” Herschrijf de zin met eerlijke tijden: wanneer vond de ontploffing plaats, en wat gebeurde er afgelopen dinsdag?

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.11.

“Afgelopen dinsdag bereikte het licht van de ontploffing van een ster ons — de ontploffing zelf gebeurde zo’n $8000$ jaar geleden, en haar nieuws is sindsdien onderweg.”

Oefening 61.12 ★★★

De vertraging van de te late maan piekt bij ongeveer $1000$ seconden — de tijd die het licht nodig heeft om de volle breedte van de omloopbaan van de Aarde te doorkruisen, ongeveer $3 \times 10^{8}$ km. Voer de zeventiende-eeuwse deling zelf uit en vergelijk met de moderne $c$ : hoe eerlijk was het eerste antwoord van de hemel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 61.12.

$3 \times 10^{8}\ \text{km} \div 1000\ \text{s} = 3 \times 10^{5}$ $\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — de moderne waarde precies (de historische schatting, met ruwere baangetallen, kwam binnen ongeveer een kwart ervan uit: voor de zeventiende eeuw een verbluffend eerste antwoord).

61.4 Probleem: de vluchtleiding

Probleem 61.1

Weekendprobleem — een dienst bij de vluchtleiding voor de diepe ruimte; gesprekken met lichtvertraging van de Maan tot de sterren; het bedieningshandboek

Vanavond leid jij de communicatiebalie: elk bericht reist met $c = 300\,000\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , en de lichtvertraging regeert elke beslissing.

Deel I — Bediening dichtbij.

De maanbasis ( $384\,000\,\mathrm{km}$ ) vraagt bevestiging van een voorraaddropping. Hoe lang na jouw “bevestigd” hoort de basis het, en wanneer kun je hun ontvangstbevestiging op zijn vroegst horen?
Een satelliet in een hoge baan op $36\,000\,\mathrm{km}$ geeft een televisiesignaal door. Bereken de vertraging voor één richting — en zeg waarom intercontinentale telefoongesprekken via zulke satellieten een net merkbare aarzeling dragen (heen en terug, omhoog en omlaag).
De zonnesterrenwacht meldt een grote uitbarsting “terwijl ze gebeurt”. Verbeter de formulering van de operator: wanneer barstte de uitbarsting werkelijk los?
Het protocol vraagt alle klokken rekening te houden met de vertraging. Welke verbinding dicht bij de Aarde — Maan of hoge satelliet — heeft de grootste marge nodig, en met ruwweg welke factor?

Deel II — Het marsvenster. Mars staat vanavond op $1.8 \times 10^{8}$ km.

Bereken de vertraging voor één richting in seconden, daarna in minuten.
De rover treft een onverwachte kloof en zijn camera’s laten zien dat hij er in wandeltempo op afgaat. Leg met het getal voor heen en terug uit waarom een redding met een joystick kansloos is — en wat de rover dus aan boord moet hebben.
Het uploaden van het plan voor de avond kost $3\,\mathrm{min}$ zendtijd plus de vertraging. Wanneer moet de upload beginnen om om 21:00 vluchtleidingstijd volledig door de rover te zijn ontvangen?
Over een halfjaar zal Mars op $3.8 \times 10^{8}$ km staan. Wat gebeurt er met de vertraging, en wat leert dit over “de” afstand tot een planeet?

Deel III — De verre balie.

Een interstellaire sonde heeft één volledige lichtdag van de Aarde bereikt. Druk die afstand uit in kilometer (machten van tien; een dag telt $86400$ seconden), en geef de gesprekstijd heen en terug met de sonde.
Dromers achteraan stellen een “boodschap aan de dichtstbijzijnde ster” op. Stel in plaats daarvan het tijdschema op: als hij vanavond wordt verstuurd, wanneer komt een antwoord dan op zijn vroegst aan?
De archiefwand toont de diepe opname van vanavond van het buurstelsel, op $2.5$ miljoen lichtjaar. Voeg de eerlijke tijd aan het onderschrift toe — welk tijdperk uit het verleden van de Aarde zendt deze momentopname terug, als daar iemand zou kijken?
Logboek aan het eind van de dienst: schrijf de drie regels van de balie — een over ogenblikkelijkheid (dat niets dat is), een over joysticks en vertraging, een over telescopen en het archief.

Oplossing

Oplossing van Probleem 61.1.

1. Ongeveer $1.3\,\mathrm{s}$ nadat je spreekt; de ontvangstbevestiging komt op zijn vroegst na de reis heen en terug terug, ongeveer $2.6\,\mathrm{s}$ . 2. $36000 \div 300000 = 0.12\,\mathrm{s}$ één richting; een vraag met antwoord rijdt twee keer omhoog en omlaag — bijna een halve seconde aarzeling, precies op de drempel van het oor. 3. “De uitbarsting barstte acht minuten twintig los voordat onze schermen oplichtten — we bekijken haar zoals ze was.” 4. De verbinding met de Maan: $1.3\,\mathrm{s}$ tegen $0.12\,\mathrm{s}$ — ruwweg tien keer zo veel marge. 5. $1.8 \times 10^{8} \div (3 \times 10^{5}) = 600$ s: tien minuten één richting. 6. Heen en terug is twintig minuten: het reddingsbeeld is tien minuten oud en het reddingscommando komt tien minuten te laat — de kloof wint met negentien minuten. De rover moet zijn eigen reflexen aan boord hebben: gevaarherkenning die zelf stopt. 7. Het laatste stukje moet om 21:00 aankomen; het verlaat de Aarde om $21{:}00 - 10$ min $= 20{:}50$ ; de uitzending begon drie minuten eerder: start om 20:47. 8. De vertraging verdubbelt tot ongeveer eenentwintig minuten één richting: planeten hebben geen “de” afstand — beide werelden draaien hun baan, en elk gesprek wordt tegen een bewegend doel ingepland. 9. $300000 \times 86400 \approx 2.6 \times 10^{10}$ km — zesentwintigduizend miljoen kilometer; een vraag met antwoord kost twee volle dagen. 10. Het licht bereikt de ster in ongeveer vier jaar; het vroegst mogelijke antwoord landt ongeveer acht jaar na de uitzending van vanavond. 11. “Dit licht verliet zijn sterrenstelsel tweeënhalf miljoen jaar geleden: de momentopname zendt de Aarde van de vroegste stenen werktuigen uit — onze diepste bladzijde van het archief voor het blote oog.” 12. Bijvoorbeeld: “Niets is ogenblikkelijk — elk signaal, het onze incluis, reist hoogstens met $c$ . Joysticks verliezen het van de vertraging voorbij de Maan: verre machines moeten zelf nadenken. En elke telescoop is een archieflezer — hoe verder het voorwerp, hoe ouder het nieuws, en er valt geen versere editie te drukken.”

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Lichtjaar

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst