माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

13मूलभूत अंतःक्रियाएँ

गुब्बारे को बालों पर रगड़िए और वह काग़ज़ के टुकड़े उठा लेगा — रबर के चंद वर्ग सेंटीमीटर से पूरे ग्रह के गुरुत्वाकर्षण को हराकर। इसी आसान जीत के कारण परमाणु जुड़े रहते हैं और भारी नाभिक अंततः टूट जाते हैं (अध्याय 19)। ब्रह्मांड ठीक चार अंतःक्रियाओं पर चलता है; यह अध्याय उनसे मिलता है, उन्हें आपस में तौलता है और हर एक को उसकी मंज़िल सौंप देता है।

13.1 क्वार्क से आकाशगंगा तक का पदार्थ

परिभाषा 13.1 (संरचना की सीढ़ी)

पदार्थ मंज़िलों में बना है, और हर मंज़िल नीचे वाली से जुड़कर बनी है: तीन क्वार्क (बिंदुवत्, $10^{-18}\,\mathrm{m}$ से भी छोटे) मिलकर एक न्यूक्लियॉन बनाते हैं — प्रोटॉन या न्यूट्रॉन, लगभग $10^{-15}\,\mathrm{m}$ चौड़ा; न्यूक्लियॉन ठुँसकर नाभिक बनाते हैं ( $10^{-15}\,\mathrm{m}$ से $10^{-14}\,\mathrm{m}$ तक); नाभिक और उसका इलेक्ट्रॉन-बादल मिलकर परमाणु हैं ( $10^{-10}\,\mathrm{m}$ ); परमाणु जुड़कर अणु और क्रिस्टल बनाते हैं ( $10^{-9}\,\mathrm{m}$ से ऊपर), जो रोज़मर्रा की वस्तुओं ( $1\,\mathrm{m}$ ), ग्रहों ( $10^{7}\,\mathrm{m}$ ), ग्रह-मंडलों ( $10^{11}\,\mathrm{m}$ ), आकाशगंगाओं ( $10^{21}\,\mathrm{m}$ ) और प्रेक्षणीय ब्रह्मांड ( $10^{26}\,\mathrm{m}$ ) में जुड़ते जाते हैं।

परिभाषा 13.2 (चार अंतःक्रियाएँ)

मूलभूत अंतःक्रिया वह बल है जिसे किन्हीं और बलों में नहीं तोड़ा जा सकता; ऐसी ठीक चार हैं: गुरुत्वाकर्षण, विद्युत्-चुंबकीय अंतःक्रिया, प्रबल अंतःक्रिया और दुर्बल अंतःक्रिया।

टिप्पणी 13.3

मंज़िलों के बीच सूनापन है: परमाणु अपने नाभिक से $10^{5}$ गुना चौड़ा है — नाभिक को बढ़ाकर $1\,\mathrm{cm}$ की कंचे जितना कर दीजिए तो इलेक्ट्रॉन-बादल एक किलोमीटर फैल जाएगा। इन बिखरी मंज़िलों को कुछ तो थामे रखता होगा, और वह गुरुत्व लगभग कभी नहीं होता।

दस की घातों वाले अक्ष पर संरचना की सीढ़ी: क्वार्क और प्रेक्षणीय ब्रह्मांड के बीच चौवालीस दहाइयाँ हैं। आकार मीटर में।

13.2 विद्युत आवेश

परिभाषा 13.4 (विद्युत आवेश)

विद्युत आवेश पदार्थ का वह गुण है जिस पर विद्युत्-चुंबकीय अंतःक्रिया लगती है, ठीक जैसे द्रव्यमान वह गुण है जिस पर गुरुत्वाकर्षण लगता है। इसे कूलॉम ( $\mathrm{C}$ ) में मापते हैं और यह दो चिह्नों में आता है, धनात्मक और ऋणात्मक, जो जुड़ने पर एक-दूसरे को काट देते हैं; समान आवेश एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं, विपरीत आवेश आकर्षित।

परिभाषा 13.5 (मूल आवेश)

आवेश दानेदार है: हर प्रेक्षित आवेश मूल आवेश $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ का पूरा गुणज होता है। प्रोटॉन $+e$ रखता है, इलेक्ट्रॉन $-e$ , न्यूट्रॉन $0$ ; और आवेश $q$ में $N = \abs{q}/e$ मूल आवेश होते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 13.6 (आवेश का संरक्षण)

किसी विलगित निकाय का कुल आवेश कभी नहीं बदलता: आवेश न बनता है न नष्ट होता है, केवल हस्तांतरित होता है — व्यवहार में इलेक्ट्रॉनों के ज़रिए, जो सबसे हल्के वाहक हैं।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 13.7

इसका कोई उल्लंघन कभी नहीं देखा गया; इसके पीछे का गहरा कारण, विद्युत्-चुंबकत्व की एक सममिति, विश्वविद्यालय के खंडों में दिया गया है।

परिभाषा 13.8 (घर्षण और संपर्क से आवेशन)

दो विद्युत्रोधियों को रगड़ने पर इलेक्ट्रॉन एक से उखड़कर दूसरे पर चले जाते हैं और दोनों पर बराबर परिमाण के विपरीत आवेश छूट जाते हैं (घर्षण द्वारा आवेशन); किसी आवेशित वस्तु को उदासीन वस्तु से छुआने पर आवेश बँट जाता है (संपर्क द्वारा आवेशन)। हिलते केवल इलेक्ट्रॉन हैं; कुल आवेश संरक्षित रहता है।

उदाहरण 13.9 (इलेक्ट्रॉन गिनना)

बालों पर रगड़े गुब्बारे को $q = -1.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}$ मिलता है: उसने $N = 1.6 \times 10^{-8} / 1.6 \times 10^{-19} = 1.0 \times 10^{11}$ इलेक्ट्रॉन पाए हैं, और बालों पर ठीक $+1.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}$ बच रहता है।

13.3 कूलॉम का नियम

प्रमेय 13.10 (कूलॉम का नियम)

$d$ दूरी पर रखे दो बिंदु-आवेश $q_1$ और $q_2$ एक-दूसरे पर उन्हें जोड़ती रेखा के अनुदिश बल लगाते हैं, जिनके परिमाण बराबर और दिशाएँ विपरीत होती हैं — समान चिह्नों पर प्रतिकर्षी, विपरीत चिह्नों पर आकर्षी — और

F = k\,\frac{\abs{q_1 q_2}}{d^{2}}, \qquad k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}.

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 13.11

कूलॉम ने यह नियम 1785 में एक पतले ऐंठन-तंतु का मरोड़ नापकर स्थापित किया था; घातांक ठीक $2$ ही क्यों है, इसका उत्तर विश्वविद्यालय के खंडों में है।

समान आवेश प्रतिकर्षित करते हैं (बाएँ), विपरीत आवेश आकर्षित (दाएँ); दोनों बलों के परिमाण हमेशा बराबर और दिशाएँ विपरीत रहती हैं।

टिप्पणी 13.12 (गुरुत्वाकर्षण का हमशक्ल जुड़वाँ)

कूलॉम का नियम, चिह्न-दर-चिह्न, सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम (अध्याय 4) ही है, बस द्रव्यमानों की जगह आवेश रख दिए गए हैं:

स्रोत	द्रव्यमान $m$	आवेश $q$
नियम	$F = G\,\dfrac{m_1 m_2}{d^2}$	$F = k\,\dfrac{\abs{q_1 q_2}}{d^2}$
[1.5ex] अचर	$G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$	$k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$
चिह्न	सदा आकर्षी	आकर्षी या प्रतिकर्षी

नीचे की हर बात इन्हीं दो अंतरों से निकलती है: बिजली कहीं अधिक प्रबल है, और केवल वही ख़ुद को काट भी सकती है।

उदाहरण 13.13 (दो प्रोटॉन, दोनों बल एक साथ)

दो प्रोटॉन ( $m_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ) $d = 1.0 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ की दूरी पर बैठे हैं — नाभिक के पड़ोसी। विद्युत प्रतिकर्षण:

F_E = 8.99 \times 10^{9} \times \frac{(1.60 \times 10^{-19})^{2}}{(1.0 \times 10^{-15})^{2}} \approx 2.3 \times 10^{2}\,\mathrm{N}

— यानी $23$ किलोग्राम के सूटकेस का भार, और वह भी $10^{-27}$ किलोग्राम के कण पर। गुरुत्वीय आकर्षण: $F_G = 6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^{2} / (1.0 \times 10^{-15})^{2} \approx 1.9 \times 10^{-34}\,\mathrm{N}$ । अनुपात $F_E / F_G = k e^{2} / (G m_p^{2}) \approx 1.2 \times 10^{36}$ दूरी से स्वतंत्र है ( $d^{2}$ कट जाता है): मूल कणों के बीच गुरुत्व $10^{36}$ गुना कमज़ोर है, इसलिए किसी भी दूरी पर वह गिनती में नहीं आता।

13.4 प्रबल और दुर्बल अंतःक्रिया

उदाहरण एक कांड छोड़ जाता है: हीलियम के नाभिक में दो प्रोटॉन हैं जो दसियों न्यूटन से प्रतिकर्षित करते हैं — फिर भी हीलियम मौजूद है।

परिभाषा 13.14 (प्रबल अंतःक्रिया)

प्रबल अंतःक्रिया क्वार्कों को बाँधकर न्यूक्लियॉन बनाती है और न्यूक्लियॉनों को बाँधकर नाभिक। $10^{-15}\,\mathrm{m}$ पर यह आकर्षी है और विद्युत प्रतिकर्षण से कहीं अधिक प्रबल (न्यूक्लियॉनों के बीच हज़ारों न्यूटन); पर चंद $10^{-15}$ मीटर से आगे वह लुप्त हो जाती है: उसका परास लगभग $10^{-15}\,\mathrm{m}$ है। वह प्रोटॉन और न्यूट्रॉन दोनों को एक-सा जकड़ती है और आवेश की परवाह नहीं करती।

नाभिक के भीतर की रस्साकशी: 10-15 m पर प्रबल आकर्षण (हज़ारों न्यूटन) विद्युत प्रतिकर्षण को हरा देता है। — नाभिक के भीतर की रस्साकशी: $10^{-15}$ m पर प्रबल आकर्षण (हज़ारों न्यूटन) विद्युत प्रतिकर्षण को हरा देता है।

टिप्पणी 13.15 (नाभिक क्यों टिकते हैं — और भारी नाभिक क्यों हार जाते हैं)

नाभिक के भीतर दोनों बल अलग-अलग ढंग से बढ़ते हैं। प्रबल गोंद कम परास वाली है: एक न्यूक्लियॉन $10^{-15}\,\mathrm{m}$ के भीतर बैठे अपने चंद पड़ोसियों से ही बँधता है। विद्युत प्रतिकर्षण लंबी परास वाला है: हर प्रोटॉन हर दूसरे प्रोटॉन को धकेलता है। नाभिक जैसे-जैसे बढ़ते हैं, प्रतिकर्षण गोंद से तेज़ जमा होता जाता है: भारी नाभिकों को अतिरिक्त न्यूट्रॉन चाहिए (आवेश के बिना गोंद), और लगभग $80$ प्रोटॉन से आगे वह भी काम नहीं आता — सबसे भारी नाभिक उधार के समय पर जीते हैं (अध्याय 19)।

परिभाषा 13.16 (दुर्बल अंतःक्रिया)

दुर्बल अंतःक्रिया, जिसका परास और भी छोटा है, न्यूट्रॉन को प्रोटॉन में बदल देने देती है (और उलटा भी): वही अध्याय 19 की $\beta$ रेडियोसक्रियता चलाती है।

13.5 कौन किस मंज़िल का राजा है

विधि 13.17 (किसी पैमाने का लेखा-जोखा)

यह जानने के लिए कि $d$ आकार की किसी संरचना पर कौन-सी अंतःक्रिया राज करती है, परास और कटाव, दोनों देखिए:

$d \leq 10^{-14}\,\mathrm{m}$ : प्रबल अंतःक्रिया राज करती है — वह विद्युत प्रतिकर्षण को हरा देती है, और गुरुत्व $10^{36}$ बाहर है।
परमाणुओं से लेकर पहाड़ों तक ( $10^{-10}\,\mathrm{m}$ से $10^{4}\,\mathrm{m}$ तक): प्रबल बल परास से बाहर है; विद्युत्-चुंबकीय अंतःक्रिया राज करती है — बंध, संसंजन, घर्षण, संस्पर्श।
ग्रह और उससे आगे ( $d \geq 10^{6}\,\mathrm{m}$ ): पदार्थ अद्भुत परिशुद्धता से उदासीन है, इसलिए बिजली ख़ुद को काट देती है; द्रव्यमान का एक ही चिह्न होता है और वह सदा जुड़ता जाता है — आसमान पर गुरुत्वाकर्षण का राज है।

दुर्बल अंतःक्रिया के पास कोई मंज़िल नहीं है: वह कुछ नहीं बाँधती, पर रूपांतरणों का फ़ैसला करती है ( $\beta$ क्षय)।

कहाँ किसका राज: नाभिकों पर प्रबल, परमाणुओं से पहाड़ों तक विद्युत्-चुंबकीय, ग्रहों और उससे आगे गुरुत्वाकर्षण। आकार मीटर में।

13.6 अभ्यास

अभ्यास 13.1 ★

हर आकार की परिमाण की कोटि और सीढ़ी पर उसकी मंज़िल बताइए: प्रोटॉन $1.7 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ ; पानी का अणु $2.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ ; रेत का कण $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$ ; पृथ्वी $1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ ; आकाशगंगा $9.5 \times 10^{20}\,\mathrm{m}$ ।

हल

हल — अभ्यास 13.1.

प्रोटॉन: $10^{-15}$ (न्यूक्लियॉन की मंज़िल); पानी का अणु: $10^{-10}$ (अणु की मंज़िल — अकेले अणु परमाणु जितने आकार के होते हैं); रेत: $10^{-4}$ (रोज़मर्रा का पदार्थ); पृथ्वी: $10^{7}$ (ग्रह); आकाशगंगा: $10^{21}$ (गैलेक्सी)। सब मीटर में।

अभ्यास 13.2 ★

बालों पर रगड़ा गुब्बारा $q = -4.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}$ रखता है। उसने इलेक्ट्रॉन पाए हैं या खोए, और कितने? इसके बाद बालों का आवेश क्या है, और कौन-सा नियम यह कहता है?

हल

हल — अभ्यास 13.2.

ऋणात्मक आवेश: उसने $N = 4.8 \times 10^{-9}/1.6 \times 10^{-19} = 3.0 \times 10^{10}$ इलेक्ट्रॉन पाए हैं। आवेश के संरक्षण से (प्रतिज्ञप्ति 13.6) बालों पर $+4.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}$ रहता है।

अभ्यास 13.3 ★

आवेश $q_1 = 2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ और $q_2 = -3.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ $30\,\mathrm{cm}$ की दूरी पर हैं। बल निकालिए; आकर्षी या प्रतिकर्षी? $q_1$ पर और $q_2$ पर लगते बलों की तुलना कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 13.3.

$F = 8.99 \times 10^{9} \times \dfrac{2.0 \times 10^{-6} \times 3.0 \times 10^{-6}}{0.30^2} = \dfrac{5.39 \times 10^{-2}}{0.090} \approx 0.60\,\mathrm{N}$ , आकर्षी (चिह्न विपरीत हैं)। दोनों बलों का परिमाण एक, दिशाएँ विपरीत।

अभ्यास 13.4 ★

दो आवेश $F_0$ बल से आकर्षित करते हैं। यह क्या हो जाएगा यदि: दूरी दुगुनी कर दी जाए; दूरी को $3$ से भाग दिया जाए; एक आवेश दुगुना कर दिया जाए; दोनों आवेश और दूरी, तीनों दुगुने कर दिए जाएँ?

हल

हल — अभ्यास 13.4.

$F_0/4$ ; $9F_0$ ; $2F_0$ ; $F_0$ (अंश $\times 4$ , हर $\times 4$ )।

अभ्यास 13.5 ★

इनके लिए ज़िम्मेदार अंतःक्रिया का नाम लिखिए: (क) चंद्रमा का पृथ्वी की परिक्रमा; (ख) नमक के क्रिस्टल का संसंजन; (ग) हीलियम के नाभिक का संसंजन; (घ) कार्बन-14 का $\beta$ क्षय; (ङ) अभ्यास 13.2 वाले गुब्बारे का दीवार से चिपकना।

हल

हल — अभ्यास 13.5.

(क) गुरुत्वाकर्षण; (ख) विद्युत्-चुंबकीय; (ग) प्रबल; (घ) दुर्बल; (ङ) विद्युत्-चुंबकीय।

अभ्यास 13.6 ★★

हीलियम के नाभिक के दोनों प्रोटॉन $d = 2.0 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ की दूरी पर हैं ( $m_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ )। उनका विद्युत प्रतिकर्षण, उनका गुरुत्वीय आकर्षण और दोनों का अनुपात निकालिए। नाभिक को साबुत कौन रखता है?

हल

हल — अभ्यास 13.6.

$F_E = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2/(2.0 \times 10^{-15})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/4.0 \times 10^{-30} \approx 58\,\mathrm{N}$ ; $F_G = 6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^2/4.0 \times 10^{-30} \approx 4.7 \times 10^{-35}\,\mathrm{N}$ । अनुपात $F_E/F_G \approx 1.2 \times 10^{36}$ । नाभिक को प्रबल अंतःक्रिया थामे रखती है, गुरुत्व का यहाँ कोई मतलब नहीं।

अभ्यास 13.7 ★★

हाइड्रोजन के परमाणु में इलेक्ट्रॉन ( $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ ) प्रोटॉन ( $m_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ) से $d = 5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$ की दूरी पर है। उनके बीच का विद्युत बल और गुरुत्वाकर्षण बल तथा उनका अनुपात निकालिए। परमाणुओं को कौन जोड़े रखता है?

हल

हल — अभ्यास 13.7.

$F_E = 2.30 \times 10^{-28}/(5.3 \times 10^{-11})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/2.81 \times 10^{-21} \approx 8.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}$ ; $F_G = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times 9.11 \times 10^{-31} / 2.81 \times 10^{-21} \approx 3.6 \times 10^{-47}\,\mathrm{N}$ । अनुपात $\approx 2.3 \times 10^{39}$ : परमाणुओं को विद्युत्-चुंबकीय अंतःक्रिया जोड़े रखती है।

अभ्यास 13.8 ★★

गोला A पर $q_A = 8.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}$ है; उसके जैसा ही गोला B उदासीन है। दोनों को छुआकर अलग करके $10\,\mathrm{cm}$ की दूरी पर रख दिया जाता है। हर एक पर कितना आवेश है (आवेश का संरक्षण जाँचिए)? उनके बीच का बल निकालिए — आकर्षी या प्रतिकर्षी?

हल

हल — अभ्यास 13.8.

संपर्क से आवेश बँट जाता है: $q_A = q_B = 4.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}$ (कुल अब भी $8.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{C}$ )। फिर $F = 8.99 \times 10^{9} \times (4.0 \times 10^{-9})^2/0.10^2 = 1.4 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ , प्रतिकर्षी (चिह्न समान हैं)।

अभ्यास 13.9 ★★

दो एक जैसे आवेश $q = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ $0.90\,\mathrm{N}$ से प्रतिकर्षित करते हैं: वे कितनी दूर हैं? बल गिरकर $0.10\,\mathrm{N}$ कहाँ हो जाता है?

हल

हल — अभ्यास 13.9.

$d = \sqrt{k q^2/F} = \sqrt{8.99 \times 10^{9} \times 1.0 \times 10^{-12}/0.90} \approx 0.10\,\mathrm{m}$ । $9$ गुना छोटे बल के लिए $3$ गुना बड़ी दूरी चाहिए: $d = 0.30\,\mathrm{m}$ ।

अभ्यास 13.10 ★★

पड़ोसी अणुओं के दो प्रोटॉन $d = 1.0 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ की दूरी पर हैं। उनका विद्युत प्रतिकर्षण निकालिए। इस दूरी पर प्रबल अंतःक्रिया का क्या योगदान है? अणुओं को कौन-सी अंतःक्रिया बाँधती है?

हल

हल — अभ्यास 13.10.

$F = 2.30 \times 10^{-28}/(1.0 \times 10^{-10})^2 = 2.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}$ । प्रबल अंतःक्रिया का कोई योगदान नहीं: $10^{-10}$ m उसके परास का $10^{5}$ गुना है। अणुओं को विद्युत्-चुंबकीय अंतःक्रिया बाँधती है।

अभ्यास 13.11 ★★

दो सिक्कों में से हर एक में लगभग $10^{23}$ इलेक्ट्रॉन हैं। उनके बीच दस लाख में से एक इलेक्ट्रॉन सरका दीजिए और सिक्कों को $1.0\,\mathrm{m}$ दूर रख दीजिए। हर सिक्के का आवेश निकालिए, फिर बल। यह कितने द्रव्यमान के भार के बराबर है? रोज़मर्रा के पदार्थ की उदासीनता पर निष्कर्ष लिखिए।

हल

हल — अभ्यास 13.11.

हर सिक्के पर $q = 10^{23}/10^{6} \times 1.6 \times 10^{-19} = 1.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{C}$ । $F = 8.99 \times 10^{9} \times (1.6 \times 10^{-2})^2/1.0^2 \approx 2.3 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — यानी $2.3 \times 10^{6}/9.81 \approx 2.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ का भार, एक लदी हुई मालगाड़ी, और वह भी दस लाखवें हिस्से भर के इलेक्ट्रॉनों से। रोज़मर्रा का पदार्थ दस लाख में एक भाग से कहीं बेहतर उदासीन होना ही चाहिए — और है।

अभ्यास 13.12 ★★★

यूरेनियम के नाभिक का व्यास $1.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ है और उसमें $92$ प्रोटॉन हैं। आमने-सामने के दो सिरों पर बैठे दो प्रोटॉनों के बीच प्रतिकर्षण निकालिए। क्या प्रबल अंतःक्रिया इस युग्म को बाँध सकती है — क्यों नहीं? कुल कितने प्रतिकर्षी प्रोटॉन-युग्म हैं? भारी नाभिकों को अतिरिक्त न्यूट्रॉन क्यों चाहिए, और किसी आकार से आगे न्यूट्रॉन भी उन्हें क्यों नहीं बचा पाते?

हल

हल — अभ्यास 13.12.

$F = 2.30 \times 10^{-28}/(1.4 \times 10^{-14})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/1.96 \times 10^{-28} \approx 1.2\,\mathrm{N}$ — इस पैमाने पर भी बहुत बड़ा। नहीं: वे प्रबल परास से $14$ गुना दूर हैं; हर प्रोटॉन केवल अपने निकटतम पड़ोसियों से चिपका है। युग्म: $\frac{92 \times 91}{2} = 4186$ , और सभी किसी भी दूरी पर प्रतिकर्षित करते हैं, जबकि गोंद आकार के साथ नहीं बढ़ती। न्यूट्रॉन प्रतिकर्षण जोड़े बिना आकर्षण जोड़ते हैं और प्रोटॉनों को दूर-दूर कर देते हैं; पर प्रतिकर्षण प्रोटॉन-संख्या के वर्ग के साथ बढ़ता है और गोंद केवल पड़ोसियों की संख्या के साथ, इसलिए लगभग $80$ प्रोटॉन से आगे कोई भी न्यूट्रॉन-बजट हिसाब नहीं बिठा पाता — ऐसे नाभिक क्षय कर जाते हैं (अध्याय 19)।

अभ्यास 13.13 ★★★

$1.0\,\mathrm{g}$ द्रव्यमान की दो गेंदें एक ही बिंदु से बँधे $50\,\mathrm{cm}$ के धागों पर लटकी हैं। दोनों को एक ही आवेश $q$ देने पर वे $6.0\,\mathrm{cm}$ की दूरी पर ठहर जाती हैं। हर गेंद अपने भार, धागे के तनाव और विद्युत बल के नीचे साम्यावस्था में है: दिखाइए कि $F = mg\tan\theta$ ( $\theta$ : धागे का ऊर्ध्वाधर से कोण) और यहाँ $\tan\theta \approx 0.060$ । $F$ निकालिए, फिर $q$ , फिर सरकाए गए मूल आवेशों की संख्या।

हल

हल — अभ्यास 13.13.

साम्यावस्था: ऊर्ध्वाधर दिशा में $T\cos\theta = mg$ , क्षैतिज दिशा में $T\sin\theta = F$ , इसलिए $F = mg\tan\theta$ । यहाँ $\sin\theta = 3.0/50 = 0.060$ , और छोटे कोणों के लिए $\tan\theta \approx \sin\theta = 0.060$ । फिर $F = 1.0 \times 10^{-3} \times 9.81 \times 0.060 \approx 5.9 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}$ ; $q = d\sqrt{F/k} = 0.060 \times \sqrt{5.9 \times 10^{-4}/8.99 \times 10^{9}} \approx 1.54 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}$ ; $N = 1.54 \times 10^{-8}/1.6 \times 10^{-19} \approx 9.6 \times 10^{10}$ मूल आवेश।

अभ्यास 13.14 ★★★

आँकड़े: $M_E = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $M_M = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ , पृथ्वी–चंद्रमा दूरी $d = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ । पृथ्वी–चंद्रमा गुरुत्वाकर्षण बल निकालिए। मान लीजिए गुरुत्व बंद कर दिया गया: पृथ्वी पर कितना आवेश $+Q$ और चंद्रमा पर कितना $-Q$ रखने से वही आकर्षण बना रहेगा? $Q$ कितने इलेक्ट्रॉन हैं, और उनका भार कितना है ( $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ )? टिप्पणी कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 13.14.

$F = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22} / (3.84 \times 10^{8})^2 = 2.93 \times 10^{37}/1.47 \times 10^{17} \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ । $kQ^2/d^2 = F$ रखने पर: $Q = d\sqrt{F/k} = 3.84 \times 10^{8} \times \sqrt{2.0 \times 10^{20}/8.99 \times 10^{9}} \approx 5.7 \times 10^{13}\,\mathrm{C}$ । यह $N = 5.7 \times 10^{13}/1.6 \times 10^{-19} \approx 3.6 \times 10^{32}$ इलेक्ट्रॉन हैं, जिनका द्रव्यमान $3.6 \times 10^{32} \times 9.11 \times 10^{-31} \approx 3.2 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}$ है: चंद्रमा के $7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ का काम कुछ सौ किलोग्राम इलेक्ट्रॉन कर सकते हैं — एक ही संख्या में बिजली की ताक़त और गुरुत्व की कमज़ोरी।

अभ्यास 13.15 ★★★

नमक के क्रिस्टल में Na $^{+}$ और Cl $^{-}$ आयन (आवेश $\pm e$ ) $d = 2.8 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ की दूरी पर हैं; Cl $^{-}$ आयन का द्रव्यमान $5.9 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ है। पड़ोसी आयनों के बीच का बल और Cl $^{-}$ आयन का भार निकालिए; अनुपात दीजिए। फिर समझाइए कि हर बंध के गुरुत्व से पंद्रह कोटि आगे होने के बावजूद बड़े पैमानों पर गुरुत्व कैसे जीत जाता है — कोई पहाड़ $10^{4}\,\mathrm{m}$ से ऊँचा नहीं होता।

हल

हल — अभ्यास 13.15.

$F = 2.30 \times 10^{-28}/(2.8 \times 10^{-10})^2 = 2.30 \times 10^{-28}/7.84 \times 10^{-20} \approx 2.9 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}$ ; भार $P = 5.9 \times 10^{-26} \times 9.81 \approx 5.8 \times 10^{-25}\,\mathrm{N}$ ; अनुपात $F/P \approx 5 \times 10^{15}$ । हर बंध की ताक़त नियत है, पर भार ऊपर के पूरे द्रव्यमान के साथ बढ़ता जाता है: चट्टान पर चट्टान चढ़ाइए और सबसे नीचे की परत पर बोझ बेहिसाब बढ़ता है जबकि उसके बंध वही रहते हैं। लगभग $10^{4}\,\mathrm{m}$ चट्टान पर बोझ विद्युत बंधों को कुचल देता है — गुरुत्व प्रति कण की ताक़त से नहीं, बल्कि आवेश के कट जाने पर जुड़ते जाने से जीतता है।

13.7 समस्या: चार बलों का लेखा-जोखा

समस्या 13.1

सप्ताहांत समस्या — दुनिया न भरभराकर गिरती है न बिखर जाती है, ऐसा क्यों: चारों अंतःक्रियाओं का मंज़िल-दर-मंज़िल लेखा, और पदार्थ की $10^{18}$ में दो भाग तक की उदासीनता

परमाणु भीतर की ओर नहीं ढहते, नाभिक अधिकतर टिके रहते हैं, चंद्रमा न गिरता है न भाग निकलता है; यह समस्या हिसाब लगाती है कि श्रेय किसे मिलना चाहिए। आँकड़े: $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$ , $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ , $m_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $M_E = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $M_M = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ , पृथ्वी–चंद्रमा दूरी $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ।

भाग I — सीढ़ी।

क्वार्क से आकाशगंगा तक सीढ़ी की मंज़िलें गिनाइए, हर एक के आकार की एक परिमाण की कोटि के साथ।
पैमाना-प्रतिरूप: नाभिक को $1\,\mathrm{cm}$ का कंचा बना दीजिए; तब परमाणु कितना चौड़ा होगा?
परमाणु के आयतन का कितना अंश उसका नाभिक घेरता है?
एक बाल $70\,\text{µ}\mathrm{m}$ मोटा है। उसकी चौड़ाई में कितने परमाणु आएँगे?
क्वार्क की छत ( $10^{-18}\,\mathrm{m}$ ) से आकाशगंगा ( $10^{21}\,\mathrm{m}$ ) तक दस की कितनी घातें हैं?

भाग II — विद्युत मंज़िल।

हाइड्रोजन के परमाणु में इलेक्ट्रॉन प्रोटॉन से $d = 5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$ की दूरी पर है: उनके बीच का विद्युत बल निकालिए।
उनके बीच का गुरुत्वाकर्षण बल और दोनों का अनुपात निकालिए। परमाणु को इनमें से कौन जोड़े रखता है?
यदि परमाणुओं के भीतर गुरुत्व बंद कर दिया जाए तो क्या बदलेगा? और यदि बिजली बंद कर दी जाए?
रोज़मर्रा के “संस्पर्श” बल — फ़र्श का आपके पैरों को धकेलना, घर्षण — असल में भेस बदले विद्युत्-चुंबकीय बल ही क्यों हैं?
दो सिक्कों में से हर एक में लगभग $10^{23}$ इलेक्ट्रॉन हैं। उनके बीच एक अरब में से एक इलेक्ट्रॉन सरकाकर उन्हें $1.0\,\mathrm{m}$ दूर रखिए: आवेश और बल निकालिए। निष्कर्ष?
$10^{-10}\,\mathrm{m}$ से $10^{4}\,\mathrm{m}$ तक की मंज़िलों पर किसका राज है, और प्रबल अंतःक्रिया मुक़ाबले में क्यों नहीं है?

भाग III — नाभिकीय मंज़िल।

किसी नाभिक में दो प्रोटॉन $1.0 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ की दूरी पर हैं: उनका विद्युत प्रतिकर्षण निकालिए।
बिना किसी रोक के यह बल एक प्रोटॉन को कितना त्वरण देगा? $g$ से तुलना कीजिए।
प्रबल अंतःक्रिया में वे तीन गुण गिनाइए जो यह समझाने के लिए चाहिए कि नाभिक क्यों टिकते हैं, न्यूट्रॉन भी क्यों जकड़े जाते हैं और नाभिक इतने छोटे क्यों हैं।
यूरेनियम के नाभिक (व्यास $1.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{m}$ , $92$ प्रोटॉन) में आमने-सामने के दो प्रोटॉनों के बीच प्रतिकर्षण निकालिए। क्या प्रबल अंतःक्रिया उस युग्म को सीधे बाँध सकती है? समझाइए कि नाभिक बढ़ने के साथ प्रतिकर्षण क्यों जीतने लगता है, और न्यूट्रॉन किस काम आते हैं।
जैसा वादा था, एक वाक्य में: दुर्बल अंतःक्रिया करती क्या है?

भाग IV — खगोलीय मंज़िल, और फ़ैसला।

पृथ्वी और चंद्रमा के बीच का गुरुत्वाकर्षण बल निकालिए।
पृथ्वी में लगभग $1.8 \times 10^{51}$ प्रोटॉन हैं (और उतने ही इलेक्ट्रॉन), चंद्रमा में लगभग $2.2 \times 10^{49}$ । हर पिंड के प्रोटॉन-आवेश का कितना अंश $f$ बिना कटे छूट जाए तो विद्युत बल गुरुत्वीय बल के बराबर हो जाएगा?
प्रश्न 7 का कमज़ोर गुरुत्वाकर्षण खगोल पर राज क्यों करता है? दो कारण।
फ़ैसला — हर मंज़िल पर एक वाक्य (नाभिक, परमाणु से पहाड़ तक, ग्रह और उससे ऊपर): उसे कौन जोड़े रखता है? फिर शीर्षक का उत्तर दीजिए: दुनिया न भरभराकर गिरती है न बिखर जाती है, ऐसा क्यों?

हल

हल — समस्या 13.1.

1. क्वार्क $< 10^{-18}\,\mathrm{m}$ ; न्यूक्लियॉन $10^{-15}\,\mathrm{m}$ ; नाभिक $10^{-15}$ – $10^{-14}\,\mathrm{m}$ ; परमाणु $10^{-10}\,\mathrm{m}$ ; अणु $10^{-9}\,\mathrm{m}$ ; रोज़मर्रा की वस्तु $1\,\mathrm{m}$ ; ग्रह $10^{7}\,\mathrm{m}$ ; ग्रह-मंडल $10^{11}\,\mathrm{m}$ ; आकाशगंगा $10^{21}\,\mathrm{m}$ ।

2. पैमाना-गुणक $10^{5}$ : परमाणु $1\,\mathrm{cm} \times 10^{5} = 1\,\mathrm{km}$ चौड़ा होगा।

3. $(10^{-15}/10^{-10})^3 = 10^{-15}$ : पदार्थ $99.999\,999\,999\,999\,9\,\%$ ख़ाली है।

4. $7 \times 10^{-5}/10^{-10} = 7 \times 10^{5}$ परमाणु — एक बाल की चौड़ाई में लगभग दस लाख।

5. $10^{-18}$ से $10^{21}$ तक: दस की $39$ घातें।

6. $F_E = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2 / (5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 8.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}$ ।

7. $F_G = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times 9.11 \times 10^{-31}/(5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 3.6 \times 10^{-47}\,\mathrm{N}$ ; अनुपात $F_E/F_G \approx 2.3 \times 10^{39}$ । परमाणु को बिजली थामे रखती है; गुरुत्व केवल तमाशबीन है।

8. गुरुत्व के बिना: नापने लायक़ कुछ नहीं बदलता (वह $10^{39}$ नीचे है)। बिजली के बिना: न परमाणु, न अणु, पदार्थ ही नहीं।

9. “संस्पर्श” असल में $10^{-10}\,\mathrm{m}$ तक पास लाए गए परमाणुओं के इलेक्ट्रॉन-बादलों का विद्युत प्रतिकर्षण है: कुछ भी कभी नहीं छूता। फ़र्श की प्रतिक्रिया और घर्षण थोक में कूलॉम का नियम ही हैं।

10. हर एक पर $q = 10^{23} \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19} = 1.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{C}$ ; $F = 8.99 \times 10^{9} \times (1.6 \times 10^{-5})^2 \approx 2.3\,\mathrm{N}$ — एक अरब में से एक इलेक्ट्रॉन से साफ़ दिखाई देता बल। रोज़मर्रा का पदार्थ $10^{-9}$ से कहीं बेहतर उदासीन है।

11. विद्युत्-चुंबकीय अंतःक्रिया। प्रबल बल लगभग $10^{-14}\,\mathrm{m}$ से आगे परास के बाहर है — अकेले परमाणु से भी $10^{4}$ गुना छोटा।

12. $F = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2 / (1.0 \times 10^{-15})^2 \approx 2.3 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ ।

13. $a = F/m_p = 230/1.67 \times 10^{-27} \approx 1.4 \times 10^{29}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , यानी $g$ का लगभग $1.4 \times 10^{28}$ गुना: रोज़मर्रा का कोई बल इसके पास तक नहीं फटकता।

14. $10^{-15}\,\mathrm{m}$ पर $230\,\mathrm{N}$ से अधिक प्रबल (नाभिक टिके रहते हैं); प्रोटॉन और न्यूट्रॉन पर एक-सी लगती, आवेश से अंधी (न्यूट्रॉन भी जकड़े जाते हैं); परास लगभग $10^{-15}\,\mathrm{m}$ (नाभिक छोटे ही रहते हैं — गोंद इससे आगे पहुँच ही नहीं पाती)।

15. $F = 2.30 \times 10^{-28}/(1.4 \times 10^{-14})^2 \approx 1.2\,\mathrm{N}$ । नहीं: परास का $14$ गुना। प्रतिकर्षण सभी $\frac{92\times91}{2} = 4186$ प्रोटॉन-युग्मों पर लगता है; गोंद केवल निकटतम पड़ोसियों को बाँधती है, इसलिए बढ़ने का फ़ायदा प्रतिकर्षण को मिलता है। न्यूट्रॉन बिना प्रतिकर्षण जोड़े गोंद और फ़ासला दोनों देते हैं — पर लगभग $80$ प्रोटॉन से आगे कोई मिश्रण संतुलन नहीं बिठाता और नाभिक क्षय कर जाता है।

16. दुर्बल अंतःक्रिया न्यूट्रॉन को प्रोटॉन में बदल देती है (और उलटा भी), जिससे $\beta$ क्षय होता है — वह रूपांतरण करती है, बाँधती कभी नहीं।

17. $F = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}/(3.84 \times 10^{8})^2 \approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ ।

18. $Q_E = 1.8 \times 10^{51} \times 1.6 \times 10^{-19} = 2.9 \times 10^{32}\,\mathrm{C}$ , $Q_M = 3.5 \times 10^{30}\,\mathrm{C}$ । बलों को बराबर करने का अर्थ है $f^2\,k\,Q_E Q_M = G M_E M_M$ :

f = \sqrt{\frac{2.93 \times 10^{37}}{8.99 \times 10^{9} \times 2.9 \times 10^{32} \times 3.5 \times 10^{30}}} = \sqrt{3.2 \times 10^{-36}} \approx 1.8 \times 10^{-18} :

यानी $10^{18}$ में दो भाग का असंतुलन गुरुत्व को काट देता।

19. आवेश दो चिह्नों में आता है और कट जाता है (प्रश्न 18 दिखाता है कि कितनी पूर्णता से), इसलिए बड़े पैमानों पर प्रबल बल ख़ुद को बंद कर लेता है; द्रव्यमान का एक ही चिह्न है, वह सदा जुड़ता जाता है, और उसे कोई ढाल नहीं ढकती।

20. नाभिक: $10^{-15}\,\mathrm{m}$ पर प्रबल अंतःक्रिया प्रोटॉनों के प्रतिकर्षण से ज़ोर में जीत जाती है। परमाणु से पहाड़ तक: विद्युत्-चुंबकीय अंतःक्रिया इलेक्ट्रॉनों को नाभिकों से और परमाणुओं को एक-दूसरे से बाँधती है। ग्रह और उससे ऊपर: आवेश कट जाने के बाद निर्विरोध गुरुत्वाकर्षण ग्रहों, कक्षाओं और आकाशगंगाओं को थामे रखता है। दुनिया भरभराकर इसलिए नहीं गिरती कि हर मंज़िल को बोझ से सख़्त कोई बंधक टेके हुए है, और बिखरती इसलिए नहीं कि पदार्थ लगभग $10^{-18}$ तक उदासीन है — सो हर पैमाने पर ठीक एक बल की हुकूमत है, और जहाँ आकर्षी होना चाहिए वहाँ वह आकर्षी है।