Physics · किताब 2 · Grades 10–12

माध्यमिक भौतिकी

माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

10लेंस, प्रतिबिंब और नेत्र

हर साफ़ चित्र — फ़ोन के संवेदक पर, सिनेमा के परदे पर, या आपकी अपनी आँख के पिछले हिस्से पर — एक ही करतब से बनता है: कोई वक्र पारदर्शी माध्यम किरणों को अपवर्तन (अध्याय 3) से इस तरह मोड़ देता है कि एक बिंदु से निकली सारी किरणें दूसरे बिंदु पर फिर मिल जाएँ। यह अध्याय उसी करतब को साधता है: एक लेंस, तीन किरणें, एक सूत्र — और फिर उसी को कैमरों, चश्मों और उस जीवित लेंस पर तान देता है जो यह वाक्य पढ़ रहा है।

10.1 अभिसारी और अपसारी लेंस

परिभाषा 10.1 (पतला लेंस)

लेंस वह पारदर्शी माध्यम है जो दो सतहों से घिरा हो और जिसकी कम से कम एक सतह वक्र हो। जो किनारों की तुलना में बीच में मोटा हो वह अभिसारी है: समांतर किरणें एक-दूसरे की ओर मुड़ जाती हैं; जो किनारों पर मोटा हो वह अपसारी: किरणें फैल जाती हैं। पतले लेंस की मोटाई नगण्य होती है: हम उसे बाहर की ओर (अभिसारी) या भीतर की ओर (अपसारी) नोकों वाले एक खंड के रूप में खींचते हैं। उसका केंद्र OO प्रकाशिक केंद्र है, और OO से गुज़रती लंब रेखा मुख्य अक्ष।

परिभाषा 10.2 (फोकस और फोकस दूरी)

किसी अभिसारी लेंस के अक्ष के समांतर आती किरणें उसके पीछे एक ही बिंदु पर अक्ष को काटती हैं, जो प्रतिबिंब फोकस F′F' है; और सममित रूप से, वस्तु फोकस FF (जो आगे है, और OF=OF′OF = OF') से निकलती किरणें अक्ष के समांतर बाहर जाती हैं। फोकस दूरी f′=OF′‾f' = \overline{OF'} अभिसारी लेंस के लिए धनात्मक होती है; किसी अपसारी लेंस से गुज़रकर समांतर किरणें ऐसे निकलती हैं मानो वे लेंस के आगे पड़े किसी बिंदु F′F' से आ रही हों: f′<0f' < 0।

परिभाषा 10.3 (क्षमता)

f′f' (मीटरों में) फोकस दूरी वाले लेंस की क्षमता C=1/f′C = 1/f' होती है, और उसे डायॉप्टर (संकेत D) में नापा जाता है: 1 D=1 m−11~\text{D} = 1\,\mathrm{m}^{-1}; अपसारी लेंसों की C<0C < 0 होती है। नेत्र-विशेषज्ञ डायॉप्टर में नुस्ख़ा लिखते हैं: सटे हुए पतले लेंसों की क्षमताएँ बस जुड़ जाती हैं (यहाँ स्वीकृत; व्युत्पत्ति स्नातक वर्ष 1 के खंड में)।

उदाहरण 10.4 (नुस्ख़ा पढ़ना)

f′=0.50 mf' = 0.50\,\mathrm{m} वाले लेंस की क्षमता C=1/0.50=+2.0C = 1/0.50 = +2.0 D है: अभिसारी। −4.0-4.0 D का नुस्ख़ा f′=−0.25 mf' = -0.25\,\mathrm{m} का अर्थ रखता है: अपसारी, फोकस दूरी 25 cm25\,\mathrm{cm}।

10.2 प्रतिबिंब की रचना

विधि 10.5 (रचना की तीन किरणें)

मान लीजिए ABAB अक्ष के लंबवत, AA पर रखी कोई वस्तु है। नोक BB से निकलती सारी किरणों में से तीन के रास्ते पहले से पता हैं:

  1. प्रकाशिक केंद्र OO से गुज़रती किरण सीधी चली जाती है;
  2. अक्ष के समांतर आती किरण F′F' से होकर निकलती है;
  3. FF से गुज़रती किरण अक्ष के समांतर निकलती है।

इनमें से कोई दो काफ़ी हैं: उनका कटान-बिंदु ही प्रतिबिंब-बिंदु B′B' है, और प्रतिबिंब A′B′A'B' अक्ष के लंबवत A′A' पर खड़ा होता है। यदि निकलती किरणें फैल जाएँ तो उनकी पीछे की ओर बढ़ाई गई रेखाएँ (बिंदुदार) एक आभासी प्रतिबिंब बिंदु पर मिलती हैं।

रचना की तीन किरणें: वस्तु AB F से परे, प्रतिबिंब A'B' वास्तविक और उलटा (यहाँ OA = -2f': असली आकार का, = -1)।
रचना की तीन किरणें: वस्तु ABAB FF से परे, प्रतिबिंब A′B′A'B' वास्तविक और उलटा (यहाँ OA‾=−2f′\overline{OA} = -2f': असली आकार का, γ=−1\gamma = -1)।

परिभाषा 10.6 (वास्तविक और आभासी प्रतिबिंब)

प्रतिबिंब वास्तविक तब होता है जब निकलती किरणें सचमुच उससे होकर गुज़रें: वहाँ रखा परदा उसे पकड़ लेता है; और आभासी तब, जब केवल उनकी पीछे बढ़ाई गई रेखाएँ मिलें: तब कोई परदा उसे नहीं पकड़ता, पर लेंस में झाँकती आँख उसे बख़ूबी देख लेती है। अभिसारी लेंस FF से परे रखी हर वस्तु का वास्तविक, उलटा प्रतिबिंब देता है; वस्तु को फोकस दूरी के भीतर सरका दीजिए और प्रतिबिंब आभासी, सीधा और बड़ा हो जाता है।

वस्तु फोकस दूरी के भीतर (यानी आवर्धक वाली व्यवस्था): पीछे बढ़ाई गई रेखाएँ एक आभासी, सीधा और बड़ा प्रतिबिंब A'B' बनाती हैं।
वस्तु फोकस दूरी के भीतर (यानी आवर्धक वाली व्यवस्था): पीछे बढ़ाई गई रेखाएँ एक आभासी, सीधा और बड़ा प्रतिबिंब A′B′A'B' बनाती हैं।

10.3 एक ही सूत्र: संयुग्मी संबंध

रचनाएँ बताती हैं कि प्रतिबिंब कहाँ है; सूत्र उसे निकाल देता है। अक्ष को प्रकाश की दिशा में लीजिए और बीजीय मापों का उपयोग कीजिए: OA‾\overline{OA} OO के सापेक्ष AA का निर्देशांक है (आगे रखी वास्तविक वस्तु के लिए ऋणात्मक); ऊँचाइयाँ AB‾\overline{AB} ऊपर की ओर धनात्मक गिनी जाती हैं।

प्रमेय 10.7 (पतले लेंस का संयुग्मी संबंध)

f′f' फोकस दूरी वाले पतले लेंस से गुज़रकर अक्ष पर रखा वस्तु-बिंदु AA बिंदु A′A' पर प्रतिबिंबित होता है, जहाँ

1OA′‾−1OA‾=1f′=C.\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = C .

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 10.8

यह संबंध अक्ष के पास वाली किरणों पर स्नेल का नियम लगाने से निकलता है; व्युत्पत्ति — और पतले लेंस वाले प्रतिरूप की सीमाएँ — स्नातक वर्ष 1 के खंड में ईमानदारी से रखी गई हैं।

परिभाषा 10.9 (आवर्धन)

प्रतिबिंब का आवर्धन

γ=A′B′‾AB‾=OA′‾OA‾.\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} .

होता है। ∣γ∣\abs{\gamma} आकारों की तुलना करता है और उसका चिह्न दिशाओं की (γ<0\gamma < 0: उलटा); जबकि OA′‾\overline{OA'} का चिह्न प्रकृति बताता है (धनात्मक: वास्तविक, लेंस के पीछे; ऋणात्मक: आभासी, आगे)।

उदाहरण 10.10 (सूत्र काम पर)

कोई वस्तु f′=10 cmf' = 10\,\mathrm{cm} वाले अभिसारी लेंस के 30 cm30\,\mathrm{cm} आगे खड़ी है: OA‾=−30 cm\overline{OA} = -30\,\mathrm{cm}, इसलिए

1OA′‾=110−130=115,OA′‾=+15 cm,γ=15−30=−0.50:\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{1}{15}, \qquad \overline{OA'} = +15\,\mathrm{cm}, \qquad \gamma = \frac{15}{-30} = -0.50 :

यानी लेंस के 15 cm15\,\mathrm{cm} पीछे एक वास्तविक प्रतिबिंब, उलटा और आधे आकार का — ठीक वही जो तीनों किरणें खींचती हैं।

10.4 नेत्र

परिभाषा 10.11 (एक प्रकाशिक तंत्र के रूप में नेत्र)

प्रकाशिकी की दृष्टि से नेत्र परदे के सामने रखा एक अभिसारी लेंस है: कॉर्निया और नेत्र-लेंस मिलकर बदली जा सकने वाली फोकस दूरी का एक अभिसारी लेंस बनाते हैं; और लगभग 17 mm17\,\mathrm{mm} पीछे रखा दृष्टिपटल स्थिर परदा है। फोकस करना लेंस को दबाकर होता है, कैमरे की तरह उसे खिसकाकर नहीं: समंजन वही f′f' का बदलाव है जो पक्ष्माभी माँसपेशियाँ पैदा करती हैं। पूरे समंजन पर साफ़ दिखने वाला सबसे पास का बिंदु निकट बिंदु है — मानक नेत्र के लिए लगभग 25 cm25\,\mathrm{cm} — और विश्राम में सबसे दूर वाला दूर बिंदु (मानक नेत्र के लिए अनंत)।

समंजन: उसी दृष्टिपटल पर किसी पास की वस्तु को फोकस करने के लिए नेत्र-लेंस फूल जाता है — यानी उसकी क्षमता बढ़ जाती है। समंजन: उसी दृष्टिपटल पर किसी पास की वस्तु को फोकस करने के लिए नेत्र-लेंस फूल जाता है — यानी उसकी क्षमता बढ़ जाती है।
समंजन: उसी दृष्टिपटल पर किसी पास की वस्तु को फोकस करने के लिए नेत्र-लेंस फूल जाता है — यानी उसकी क्षमता बढ़ जाती है।

उदाहरण 10.12 (आपके नेत्र की क्षमता)

दृष्टिपटल OA′‾=+0.017 m\overline{OA'} = +0.017\,\mathrm{m} पर बैठा है। दूर की वस्तु (1/OA‾≈01/\overline{OA} \approx 0): C=1/0.017≈59C = 1/0.017 \approx 59 D। निकट बिंदु (OA‾=−0.25 m\overline{OA} = -0.25\,\mathrm{m}): C=1/0.017+1/0.25≈63C = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63 D। पढ़ने में लगभग 44 D लगते हैं: यानी नेत्र 5959 D का एक लेंस है, जिसमें +4+4 D की महीन सधाई अंदर ही लगी है।

10.5 दोष, संशोधन और आवर्धक

परिभाषा 10.13 (निकट-दृष्टि और दूर-दृष्टि दोष)

निकट-दृष्टि दोष वाला नेत्र अपनी लंबाई के हिसाब से अधिक अभिसारी होता है: समांतर किरणें दृष्टिपटल के आगे फोकस होती हैं, दूर की वस्तुएँ धुँधली पड़ जाती हैं, और दूर बिंदु किसी परिमित दूरी पर आ जाता है; इसे अपसारी चश्मे का लेंस सुधार देता है। दूर-दृष्टि दोष वाला नेत्र पर्याप्त अभिसारी नहीं होता: पास की वस्तुएँ दृष्टिपटल के पीछे फोकस होतीं, और निकट बिंदु पीछे हट जाता है; इसे अभिसारी लेंस सुधारता है। उम्र के साथ नेत्र-लेंस कड़ा पड़ जाता है (जरा-दृष्टि दोष) और समंजन सिकुड़ जाता है — इलाज वही: पढ़ने का चश्मा।

उदाहरण 10.14 (निकट-दृष्टि दोष का नुस्ख़ा)

निकट-दृष्टि दोष वाले नेत्र का दूर बिंदु 50 cm50\,\mathrm{cm} पर है: सुधारने वाले लेंस को दूर की वस्तुएँ दूर बिंदु पर दिखानी होंगी — यानी वस्तु अनंत पर और प्रतिबिंब OA′‾=−0.50 m\overline{OA'} = -0.50\,\mathrm{m} पर (आभासी, आगे)। तब 1/f′=1/OA′‾1/f' = 1/\overline{OA'}: f′=−0.50 mf' = -0.50\,\mathrm{m}, C=−2.0C = -2.0 D; और विश्राम में रखा नेत्र उसी आभासी प्रतिबिंब को देखकर उसे साफ़ देख लेता है।

निकट-दृष्टि दोष वाला नेत्र समांतर किरणों को दृष्टिपटल से पहले फोकस कर देता है (लाल बिंदु); अपसारी लेंस फोकस को दृष्टिपटल पर ला देता है। निकट-दृष्टि दोष वाला नेत्र समांतर किरणों को दृष्टिपटल से पहले फोकस कर देता है (लाल बिंदु); अपसारी लेंस फोकस को दृष्टिपटल पर ला देता है।
निकट-दृष्टि दोष वाला नेत्र समांतर किरणों को दृष्टिपटल से पहले फोकस कर देता है (लाल बिंदु); अपसारी लेंस फोकस को दृष्टिपटल पर ला देता है।

परिभाषा 10.15 (आवर्धक)

आवर्धक छोटी फोकस दूरी वाला एक अभिसारी लेंस है, जिसे वस्तु को फोकस दूरी के भीतर रखकर काम में लिया जाता है: तब प्रतिबिंब आभासी, सीधा और बड़ा (परिभाषा 10.6) होता है, और नेत्र उसे आराम से दूर रखकर देख लेता है।

उदाहरण 10.16 (जौहरी का आवर्धक)

f′=5.0 cmf' = 5.0\,\mathrm{cm} वाला आवर्धक, और 4.0 cm4.0\,\mathrm{cm} पर रखा नगीना: 1/OA′‾=1/5.0−1/4.0=−1/201/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20, इसलिए OA′‾=−20 cm\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm} और γ=(−20)/(−4.0)=+5.0\gamma = (-20)/(-4.0) = +5.0: यानी एक आभासी, सीधा और पाँच गुना बड़ा प्रतिबिंब, जो लेंस से आरामदेह 20 cm20\,\mathrm{cm} पर बनता है।

10.6 अभ्यास

अभ्यास 10.1 ★

f′=50 cmf' = 50\,\mathrm{cm}, −20 cm-20\,\mathrm{cm} और 4.0 mm4.0\,\mathrm{mm} के लिए क्षमताएँ निकालिए, फिर +8.0+8.0 D के लेंस की फोकस दूरी।

हल

हल — अभ्यास 10.1.

C=1/0.50=+2.0C = 1/0.50 = +2.0 D; 1/(−0.20)=−5.01/(-0.20) = -5.0 D; 1/0.0040=+2501/0.0040 = +250 D. +8.0+8.0 D का लेंस: f′=1/8.0=0.125 m=12.5 cmf' = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{m} = 12.5\,\mathrm{cm}।

अभ्यास 10.2 ★

कोई लेंस बीच की तुलना में किनारों पर मोटा है। अभिसारी या अपसारी? क्या वह आवर्धक का काम कर सकता है? उसे किसी छपे पन्ने के ऊपर रखने पर आपको क्या दिखता है?

हल

हल — अभ्यास 10.2.

अपसारी (f′<0f' < 0)। नहीं: वस्तु की किसी भी दूरी dd के लिए γ=f′/(f′−d)\gamma = f'/(f' - d) (जो अभ्यास 10.15 में दिखाया गया है) 00 और 11 के बीच पड़ता है — यानी प्रतिबिंब हमेशा आभासी, सीधा और छोटा होता है। छपाई सीधी और सिकुड़ी हुई दिखती है, कभी बड़ी नहीं।

अभ्यास 10.3 ★

किसी अभिसारी लेंस की f′=10 cmf' = 10\,\mathrm{cm} है; कोई वस्तु उसके 20 cm20\,\mathrm{cm} आगे खड़ी है। तीनों में से दो किरणों से प्रतिबिंब की रचना कीजिए, फिर संयुग्मी संबंध से उसकी स्थिति और आकार जाँचिए।

हल

हल — अभ्यास 10.3.

वस्तु 2f′2f' पर है; केंद्रीय और समांतर किरणें लेंस के 20 cm20\,\mathrm{cm} पीछे कटती हैं। जाँच: 1/OA′‾=1/10−1/20=1/201/\overline{OA'} = 1/10 - 1/20 = 1/20, इसलिए OA′‾=+20 cm\overline{OA'} = +20\,\mathrm{cm} और γ=20/(−20)=−1\gamma = 20/(-20) = -1: वास्तविक, उलटा, असली आकार का — जैसा खींचा गया है।

अभ्यास 10.4 ★

कोई वस्तु f′=8.0 cmf' = 8.0\,\mathrm{cm} वाले अभिसारी लेंस के 24 cm24\,\mathrm{cm} आगे खड़ी है। OA′‾\overline{OA'} और γ\gamma निकालिए, और प्रतिबिंब बताइए (प्रकृति, दिशा, आकार)।

हल

हल — अभ्यास 10.4.

1/OA′‾=1/8.0−1/24=1/121/\overline{OA'} = 1/8.0 - 1/24 = 1/12: OA′‾=+12 cm\overline{OA'} = +12\,\mathrm{cm}, γ=12/(−24)=−0.50\gamma = 12/(-24) = -0.50। लेंस के 12 cm12\,\mathrm{cm} पीछे एक वास्तविक प्रतिबिंब, उलटा और आधे आकार का।

अभ्यास 10.5 ★

नेत्र में: अभिसारी लेंस किससे बनता है? परदे की भूमिका कौन निभाता है? समंजन के दौरान क्या बदलता है — और क्या नहीं बदल सकता? मानक नेत्र का निकट बिंदु परिभाषित कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 10.5.

कॉर्निया और नेत्र-लेंस मिलकर अभिसारी लेंस बनाते हैं; और दृष्टिपटल परदा है। समंजन नेत्र-लेंस की फोकस दूरी (यानी क्षमता) बदलता है; लेंस–दृष्टिपटल दूरी बदल ही नहीं सकती। निकट बिंदु: पूरे समंजन पर साफ़ दिखने वाला सबसे पास का बिंदु — मानक नेत्र के लिए 25 cm25\,\mathrm{cm}।

अभ्यास 10.6 ★★

किसी कैमरे के लेंस की f′=50 mmf' = 50\,\mathrm{mm} है। दूर के दृश्य पर फोकस करने पर संवेदक कहाँ होगा? 3.0 m3.0\,\mathrm{m} दूर बैठे किसी विषय के लिए लेंस–संवेदक दूरी निकालिए, और दोनों सेटिंगों के बीच का सरकाव भी।

हल

हल — अभ्यास 10.6.

दृश्य: संवेदक फोकस तल में, लेंस से 50 mm50\,\mathrm{mm} पर। 3.0 m3.0\,\mathrm{m} पर: 1/OA′‾=1/50−1/3000=59/30001/\overline{OA'} = 1/50 - 1/3000 = 59/3000, इसलिए OA′‾≈50.8 mm\overline{OA'} \approx 50.8\,\mathrm{mm}। सरकाव: लगभग 0.8 mm0.8\,\mathrm{mm}।

अभ्यास 10.7 ★★

किसी आवर्धक की f′=6.0 cmf' = 6.0\,\mathrm{cm} है; एक डाक-टिकट उससे 5.0 cm5.0\,\mathrm{cm} नीचे पड़ा है। प्रतिबिंब की स्थिति, प्रकृति, दिशा और आवर्धन?

हल

हल — अभ्यास 10.7.

1/OA′‾=1/6.0−1/5.0=−1/301/\overline{OA'} = 1/6.0 - 1/5.0 = -1/30: OA′‾=−30 cm\overline{OA'} = -30\,\mathrm{cm} — आभासी, सीधा, γ=(−30)/(−5.0)=+6.0\gamma = (-30)/(-5.0) = +6.0: यानी डाक-टिकट से छह गुना, और लेंस से 30 cm30\,\mathrm{cm} ऊपर।

अभ्यास 10.8 ★★

एक वस्तु और एक परदा आमने-सामने हैं; उनके बीच रखा कोई अभिसारी लेंस तब साफ़ प्रतिबिंब देता है जब दोनों लेंस से 40 cm40\,\mathrm{cm} पर हों। f′f' और γ\gamma निकालिए। यह सममित प्रतिबिंब ठीक असली आकार का क्यों होना ही चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 10.8.

1/f′=1/40+1/40=1/201/f' = 1/40 + 1/40 = 1/20: f′=20 cmf' = 20\,\mathrm{cm}; γ=40/(−40)=−1\gamma = 40/(-40) = -1। सममिति ∣OA′‾∣=∣OA‾∣\abs{\overline{OA'}} = \abs{\overline{OA}} को बाध्य करती है, इसलिए ∣γ∣=1\abs{\gamma} = 1; प्रतिबिंब वास्तविक और उलटा है, इसलिए γ=−1\gamma = -1: यानी ठीक असली आकार का।

अभ्यास 10.9 ★★

कोई वस्तु f′=−25 cmf' = -25\,\mathrm{cm} वाले अपसारी लेंस के 50 cm50\,\mathrm{cm} आगे खड़ी है। OA′‾\overline{OA'} और γ\gamma निकालिए; प्रतिबिंब बताइए। निकट-दृष्टि दोष वाले किसी व्यक्ति की आँखें उसके चश्मे से होकर थोड़ी छोटी क्यों दिखती हैं?

हल

हल — अभ्यास 10.9.

1/OA′‾=−1/25−1/50=−3/501/\overline{OA'} = -1/25 - 1/50 = -3/50: OA′‾≈−16.7 cm\overline{OA'} \approx -16.7\,\mathrm{cm}, γ=(−16.7)/(−50)=+0.33\gamma = (-16.7)/(-50) = +0.33: आभासी, सीधा, और आकार का एक-तिहाई। निकट-दृष्टि दोष वाले का चश्मा अपसारी होता है: उससे होकर दिखने वाली हर चीज़ — और बाहर से देखने पर पहनने वाले की आँखें भी — छोटी हो जाती है।

अभ्यास 10.10 ★★

निकट-दृष्टि दोष वाले नेत्र का दूर बिंदु 40 cm40\,\mathrm{cm} पर है। सुधारने वाले लेंस की क्षमता कितनी होनी चाहिए, और वह किसी दूर के पहाड़ का प्रतिबिंब कहाँ रखता है? तब पहाड़ बिना मेहनत के क्यों दिखता है?

हल

हल — अभ्यास 10.10.

अनंत का प्रतिबिंब दूर बिंदु पर: f′=−0.40 mf' = -0.40\,\mathrm{m}, इसलिए C=−2.5C = -2.5 D। पहाड़ का प्रतिबिंब लेंस के 40 cm40\,\mathrm{cm} आगे बैठता है — यानी ठीक दूर बिंदु पर, जिसे विश्राम में रखा नेत्र शून्य समंजन के साथ साफ़ देख लेता है।

अभ्यास 10.11 ★★

जरा-दृष्टि दोष वाले किसी पाठक का निकट बिंदु 80 cm80\,\mathrm{cm} पर है पर वह 25 cm25\,\mathrm{cm} पर पढ़ना चाहता है: चश्मे को 25 cm25\,\mathrm{cm} पर रखे पन्ने का प्रतिबिंब 80 cm80\,\mathrm{cm} पर एक आभासी पन्ने के रूप में बनाना होगा। ज़रूरी क्षमता निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 10.11.

C=1/OA′‾−1/OA‾=1/(−0.80)−1/(−0.25)=−1.25+4.00=+2.75C = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/(-0.80) - 1/(-0.25) = -1.25 + 4.00 = +2.75 D।

अभ्यास 10.12 ★★★

किसी प्रक्षेपक को एक स्लाइड का γ=−50\gamma = -50 आवर्धित प्रतिबिंब स्लाइड से 5.1 m5.1\,\mathrm{m} दूर परदे पर फेंकना है।

  1. OA′‾−OA‾=5.1 m\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m} दिया होने पर OA‾\overline{OA}, OA′‾\overline{OA'} ज्ञात कीजिए।
  2. इससे प्रक्षेपण लेंस की फोकस दूरी निकालिए।
  3. 24 mm24\,\mathrm{mm} ऊँची स्लाइड का प्रतिबिंब कितना ऊँचा होगा?
हल

हल — अभ्यास 10.12.

1. γ=OA′‾/OA‾=−50\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA} = -50 से OA′‾=−50 OA‾\overline{OA'} = -50\,\overline{OA} मिलता है; और OA′‾−OA‾=5.1 m\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m} लेकर −51 OA‾=5.1 m-51\,\overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}: OA‾=−0.10 m\overline{OA} = -0.10\,\mathrm{m}, OA′‾=+5.0 m\overline{OA'} = +5.0\,\mathrm{m}।

2. 1/f′=1/5.0+1/0.10=10.21/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2: f′≈9.8 cmf' \approx 9.8\,\mathrm{cm}।

3. 50×24 mm=1.2 m50 \times 24\,\mathrm{mm} = 1.2\,\mathrm{m}, उलटा — और इसीलिए स्लाइडें उलटी लगाई जाती हैं।

अभ्यास 10.13 ★★★

दृष्टिपटल नेत्र के लेंस से 17 mm17\,\mathrm{mm} पीछे है।

  1. अनंत पर फोकस किए नेत्र की क्षमता निकालिए, फिर मानक निकट बिंदु (25 cm25\,\mathrm{cm}) पर। इससे मानक नेत्र का समंजन आयाम निकालिए।
  2. किसी बड़ी उम्र के नेत्र का निकट बिंदु 1.0 m1.0\,\mathrm{m} पर है। उसका आयाम और मानक आयाम का बचा हुआ अंश निकालिए।
हल

हल — अभ्यास 10.13.

1. C∞=1/0.017≈59C_\infty = 1/0.017 \approx 59 D; C25=1/0.017+1/0.25≈63C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63 D। आयाम: 1/0.25=4.01/0.25 = 4.0 D।

2. आयाम =1/1.0=1.0= 1/1.0 = 1.0 D: यानी मानक नेत्र के 4.04.0 D का एक-चौथाई (25%25\%) ही बचा है।

अभ्यास 10.14 ★★★

“×3\times 3” कहकर बेचे गए किसी आवर्धक की फोकस दूरी 3=0.25/f′3 = 0.25/f' से दी जाती है (f′f' मीटरों में)।

  1. f′f' निकालिए।
  2. किसी वस्तु को कहाँ रखना होगा ताकि उसका आभासी प्रतिबिंब लेंस के 25 cm25\,\mathrm{cm} आगे बने? γ\gamma निकालिए; और विज्ञापित ×3\times 3 से तुलना कीजिए।
हल

हल — अभ्यास 10.14.

1. f′=0.25/3≈0.083 m=8.3 cmf' = 0.25/3 \approx 0.083\,\mathrm{m} = 8.3\,\mathrm{cm}।

2. OA′‾=−25 cm\overline{OA'} = -25\,\mathrm{cm}: 1/OA‾=−1/25−3/25=−4/251/\overline{OA} = -1/25 - 3/25 = -4/25, इसलिए OA‾=−6.25 cm\overline{OA} = -6.25\,\mathrm{cm} और γ=(−25)/(−6.25)=+4.0\gamma = (-25)/(-6.25) = +4.0 — यानी विज्ञापित ×3\times 3 से बेहतर, जो प्रतिबिंब को अनंत पर मानता है; उसे निकट बिंदु तक खींच लाने से एक मात्रक और मिल जाता है।

अभ्यास 10.15 ★★★

कोई वास्तविक वस्तु किसी अभिसारी लेंस (OA‾=−d\overline{OA} = -d, f′>0f' > 0) के आगे d>0d > 0 दूरी पर खड़ी है। दिखाइए कि OA′‾=f′dd−f′\overline{OA'} = \frac{f'd}{d - f'} और γ=f′f′−d\gamma = \frac{f'}{f' - d}। इससे निकालिए: d>f′d > f' होने पर प्रतिबिंब वास्तविक और उलटा होता है; और 0<d<f′0 < d < f' होने पर आभासी, सीधा तथा बड़ा (γ>1\gamma > 1) — यानी हर अभिसारी लेंस पर्याप्त पास से देखने पर एक आवर्धक है।

हल

हल — अभ्यास 10.15.

1/OA′‾=1/f′−1/d=(d−f′)/(f′d)1/\overline{OA'} = 1/f' - 1/d = (d - f')/(f'd), इसलिए OA′‾=f′d/(d−f′)\overline{OA'} = f'd/(d - f') और γ=OA′‾/(−d)=f′/(f′−d)\gamma = \overline{OA'}/(-d) = f'/(f' - d)। यदि d>f′d > f': OA′‾>0\overline{OA'} > 0 (वास्तविक) और γ<0\gamma < 0 (उलटा)। यदि 0<d<f′0 < d < f': OA′‾<0\overline{OA'} < 0 (आभासी) और γ=f′/(f′−d)>1\gamma = f'/(f' - d) > 1: सीधा और बड़ा — यानी आवर्धक वाली व्यवस्था।

10.7 समस्या: एक सूत्र, तीन उपकरण

समस्या 10.1

सप्ताहांत समस्या — वही संयुग्मी संबंध एक कैमरा फोकस करता है, पढ़ने का चश्मा लिखता है, एक जौहरी का आवर्धक गढ़ता है, और आपकी अपनी आँख में लगे ज़ूम को भी नाप देता है

एक छायाकार 50 mm50\,\mathrm{mm} का लेंस सधाता है, एक दादी अख़बार हाथ भर दूर पकड़ती है, एक जौहरी हीरे पर झुकता है: बीजगणित की एक ही पंक्ति, 1/OA′‾−1/OA‾=1/f′1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f' (प्रमेय 10.7), तीनों पेशे चलाती है — और फिर स्वयं नेत्र भी।

भाग I — एक ही सूत्र। किसी अभिसारी लेंस की f′=20 cmf' = 20\,\mathrm{cm} है।

  1. वस्तु 60 cm60\,\mathrm{cm} पर: OA′‾\overline{OA'} और γ\gamma निकालिए; प्रतिबिंब बताइए।
  2. वस्तु को 30 cm30\,\mathrm{cm} पर ले जाइए; फिर से निकालिए। प्रश्न 1 के साथ क्या आपस में बदल गया? (प्रकाश-पथ प्रतिवर्ती होते हैं।)
  3. उसे 10 cm10\,\mathrm{cm} पर, यानी f′f' के भीतर ले जाइए: फिर से निकालिए और बताइए।
  4. सार में कहिए: जैसे-जैसे वस्तु बहुत दूर से FF की ओर और फिर उसके पार सरकती है, प्रतिबिंब कैसे चलता है और उसकी प्रकृति कैसे बदलती है?
  5. दिखाइए कि बहुत दूर की वस्तु (1/OA‾≈01/\overline{OA} \approx 0) का प्रतिबिंब हमेशा फोकस तल में बनता है: OA′‾=f′\overline{OA'} = f'।

भाग II — छायाकार। किसी कैमरे के लेंस की f′=50 mmf' = 50\,\mathrm{mm} है; और 24 mm24\,\mathrm{mm} ऊँचे संवेदक को लेंस के सापेक्ष खिसकाया जा सकता है।

  1. दूर के दृश्य पर फोकस करने पर संवेदक कहाँ है?
  2. अब 1.0 m1.0\,\mathrm{m} दूर एक चेहरा: नई लेंस–संवेदक दूरी और दृश्य वाली सेटिंग से सरकाव निकालिए।
  3. यंत्र-रचना अधिक से अधिक 55 mm55\,\mathrm{mm} की लेंस–संवेदक दूरी देती है। सबसे कम फोकस-दूरी निकालिए।
  4. उस सबसे पास वाले फोकस पर γ\gamma निकालिए। क्या 20 cm20\,\mathrm{cm} के चेहरे का प्रतिबिंब संवेदक पर समा जाएगा?
  5. असली आकार वाले “मैक्रो” का अर्थ है γ=−1\gamma = -1: तब वस्तु और संवेदक कहाँ होने चाहिए, और इसके लिए ख़ास लेंस क्यों चाहिए?

भाग III — दादी। उम्र के साथ निकट बिंदु पीछे हटता जाता है: दादी का 1.0 m1.0\,\mathrm{m} पर है।

  1. हाथ भर दूर पकड़े अख़बार की व्याख्या कीजिए।
  2. 25 cm25\,\mathrm{cm} पर पढ़ने के लिए उनके चश्मे को 25 cm25\,\mathrm{cm} पर रखे पन्ने को 1.0 m1.0\,\mathrm{m} पर एक आभासी प्रतिबिंब में बदलना होगा: ज़रूरी क्षमता निकालिए।
  3. γ\gamma निकालिए। प्रतिबिंब चार गुना बड़ा है, फिर भी बड़ा नहीं दिखता: आकारों और दूरियों, दोनों की तुलना करके समझाइए।
  4. दिखाइए कि छपाई केवल 25 cm25\,\mathrm{cm} और f′≈33 cmf' \approx 33\,\mathrm{cm} के बीच ही साफ़ रहती है। और चश्मे से देखी किसी दूर की वस्तु का क्या?
  5. एक वाक्य में निकालिए कि द्विफोकसी लेंस क्यों बने।

भाग IV — जौहरी, और नेत्र का अपना ज़ूम। जौहरी के आवर्धक की f′=5.0 cmf' = 5.0\,\mathrm{cm} है; उसका निकट बिंदु 25 cm25\,\mathrm{cm} पर है; और उसका दृष्टिपटल उसके नेत्र के लेंस से 17 mm17\,\mathrm{mm} पीछे है।

  1. आवर्धक के नीचे 4.0 cm4.0\,\mathrm{cm} पर रखा नगीना: स्थिति, प्रकृति, आवर्धन?
  2. नगीना कहाँ रखा जाए ताकि उसका प्रतिबिंब उसके निकट बिंदु पर पड़े, और तब γ\gamma कितना है?
  3. अनुभवी जौहरी नगीने को इसके बजाय ठीक FF पर क्यों रखते हैं (प्रतिबिंब अनंत पर)?
  4. अब अकेला नेत्र: दूर की वस्तु देखते समय उसकी क्षमता निकालिए, फिर 25 cm25\,\mathrm{cm} पर रखी वस्तु के लिए: समंजन के कितने डायॉप्टर लगे?
  5. दोनों क्षमताओं को फोकस दूरियों में बदलिए: नेत्र अपनी फोकस दूरी कितनी बदलता है, मिलीमीटरों और प्रतिशत में — यानी वही ज़ूम जो कैमरे ने सरकाव से और दादी ने +3+3 D से किया?
हल

हल — समस्या 10.1.

1. 1/OA′‾=1/20−1/60=1/301/\overline{OA'} = 1/20 - 1/60 = 1/30: OA′‾=+30 cm\overline{OA'} = +30\,\mathrm{cm}, γ=−0.50\gamma = -0.50 — वास्तविक, उलटा, आधे आकार का।

2. OA′‾=+60 cm\overline{OA'} = +60\,\mathrm{cm}, γ=−2\gamma = -2: 30 cm30\,\mathrm{cm} और 60 cm60\,\mathrm{cm} ने भूमिकाएँ आपस में बदल लीं, और आवर्धन एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं — उलटी दिशा में चलता प्रकाश वही पथ लेता है।

3. 1/OA′‾=1/20−1/10=−1/201/\overline{OA'} = 1/20 - 1/10 = -1/20: OA′‾=−20 cm\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}, γ=+2\gamma = +2 — आभासी, सीधा, दुगुना।

4. अनंत से प्रतिबिंब फोकस तल में शुरू होता है; वस्तु के FF के पास आते-आते वास्तविक, उलटा प्रतिबिंब अनंत की ओर हटता और बढ़ता जाता है; और f′f' के भीतर वह लेंस के आगे आभासी, सीधा और बड़ा हो जाता है।

5. 1/OA‾≈01/\overline{OA} \approx 0 से 1/OA′‾=1/f′1/\overline{OA'} = 1/f' बचता है: OA′‾=f′\overline{OA'} = f', यानी फोकस तल।

6. फोकस तल में, लेंस के 50 mm50\,\mathrm{mm} पीछे।

7. 1/OA′‾=1/50−1/1000=19/10001/\overline{OA'} = 1/50 - 1/1000 = 19/1000: OA′‾≈52.6 mm\overline{OA'} \approx 52.6\,\mathrm{mm}; सरकाव ≈2.6 mm\approx 2.6\,\mathrm{mm}।

8. 1/OA‾=1/55−1/50=−1/5501/\overline{OA} = 1/55 - 1/50 = -1/550: सबसे कम फोकस-दूरी 550 mm550\,\mathrm{mm} = 55 cm55\,\mathrm{cm}।

9. γ=55/(−550)=−0.10\gamma = 55/(-550) = -0.10: चेहरे का प्रतिबिंब 20 mm20\,\mathrm{mm} बनता है, यानी 24 mm24\,\mathrm{mm} के संवेदक में बस-बस समा जाता है।

10. γ=−1\gamma = -1 OA′‾=−OA‾\overline{OA'} = -\overline{OA} को बाध्य करता है, इसलिए 2/OA′‾=1/f′2/\overline{OA'} = 1/f': वस्तु 100 mm100\,\mathrm{mm} (=2f′= 2f') आगे, संवेदक 100 mm100\,\mathrm{mm} पीछे — यानी दृश्य वाली सेटिंग का दुगुना, जो 55 mm55\,\mathrm{mm} वाली यंत्र-रचना से कहीं आगे है; मैक्रो लेंस यही अतिरिक्त सरकाव देते हैं।

11. उनके निकट बिंदु (1.0 m1.0\,\mathrm{m}) से पास की हर चीज़ धुँधली पड़ती है: फैली हुई बाँहें पन्ने को 1.0 m1.0\,\mathrm{m} के जितना पास हो सके उतना पास ले आती हैं — साफ़, भले छोटा।

12. C=1/(−1.0)−1/(−0.25)=−1.0+4.0=+3.0C = 1/(-1.0) - 1/(-0.25) = -1.0 + 4.0 = +3.0 D।

13. γ=(−1.0)/(−0.25)=+4.0\gamma = (-1.0)/(-0.25) = +4.0: चार गुना बड़ा, पर चार गुना दूर भी — यानी वही कोणीय आकार; लाभ आकार का नहीं, साफ़ी का है, क्योंकि प्रतिबिंब अब उनके निकट बिंदु पर पड़ता है।

14. साफ़ दिखने के लिए प्रतिबिंब 1.0 m1.0\,\mathrm{m} से परे होना चाहिए: यानी पन्ना 25 cm25\,\mathrm{cm} पर (प्रतिबिंब 1.0 m1.0\,\mathrm{m} पर) से लेकर पन्ना f′=1/3.0≈0.33 mf' = 1/3.0 \approx 0.33\,\mathrm{m} पर (प्रतिबिंब अनंत पर) तक। किसी दूर की वस्तु का प्रतिबिंब चश्मे के 33 cm33\,\mathrm{cm} पीछे बनता है — यानी एक वास्तविक प्रतिबिंब जिसे नेत्र काम में नहीं ले सकता: दूर की दुनिया धुँधली पड़ जाती है।

15. इसीलिए द्विफोकसी लेंस: लेंस के निचले आधे हिस्से में पढ़ने की क्षमता, और ऊपरी आधे में कोई नहीं (या दूर का सुधार)।

16. 1/OA′‾=1/5.0−1/4.0=−1/201/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20: OA′‾=−20 cm\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}, आभासी, सीधा, γ=+5.0\gamma = +5.0।

17. 1/OA‾=−1/25−1/5.0=−6/251/\overline{OA} = -1/25 - 1/5.0 = -6/25: OA‾≈−4.2 cm\overline{OA} \approx -4.2\,\mathrm{cm}; γ=(−25)/(−25/6)=+6.0\gamma = (-25)/(-25/6) = +6.0।

18. नगीना FF पर: प्रतिबिंब अनंत पर, और उसे शून्य समंजन के साथ देखा जाता है — यानी घंटों की जाँच बिना आँख थके।

19. C∞=1/0.017≈59C_\infty = 1/0.017 \approx 59 D; C25=1/0.017+1/0.25≈63C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63 D: यानी लगभग 44 D का समंजन।

20. 1/62.8≈15.9 mm1/62.8 \approx 15.9\,\mathrm{mm} के सामने f′=1/58.8≈17.0 mmf' = 1/58.8 \approx 17.0\,\mathrm{mm}: लगभग 1.1 mm1.1\,\mathrm{mm}, यानी क़रीब 6%6\% — वही अंदरूनी ज़ूम, जिसकी नक़ल कैमरे ने 2.6 mm2.6\,\mathrm{mm} के सरकाव से की और दादी ने +3+3 D से।