28यांत्रिक दोलित्र और समय का मापन

हल — अभ्यास 28.1.

(क) $T_0 = 2\pi\sqrt{1.00/9.81} = 2.01\,\mathrm{s}$; $f_0 = 1/T_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$। (ख) $T_0 \propto \sqrt{L}$: आवर्तकाल दुगुना हो जाता है।

हल — अभ्यास 28.2.

हृदय: $f = 72/60 = 1.2\,\mathrm{Hz}$, $T = 0.83\,\mathrm{s}$। पंख: $T = 1/30 = 33\,\mathrm{ms}$। छाती का उठाव आयाम है।

हल — अभ्यास 28.3.

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.10/25} = 0.40\,\mathrm{s}$, $f_0 = 2.5\,\mathrm{Hz}$। $m$ दुगुना करने पर: $T_0 \times \sqrt{2} \approx 1.4$।

हल — अभ्यास 28.4.

छद्म-आवर्तकाल $2.0\,\mathrm{s}$। हर आवर्तकाल पर अनुपात $1.5/2.0 = 1.13/1.5 = 0.85/1.13 = 0.75$; अगला उच्चिष्ठ $0.85 \times 0.75 \approx 0.64\,\mathrm{cm}$।

हल — अभ्यास 28.5.

लोलक: $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$, इसलिए $\times\sqrt{9.81/1.62} = 2.46$ (धीमा)। स्प्रिंग–द्रव्यमान: अपरिवर्तित — $2\pi\sqrt{m/k}$ में $g$ है ही नहीं।

हल — अभ्यास 28.6.

(क) $[L/g] = \mathrm{m}/(\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}) = \mathrm{s}^{2}$; और उसका वर्गमूल एक समय है। (ख) किलोग्राम केवल $m$ में आता है: उसे काटने वाला और कुछ है ही नहीं, इसलिए $m$ आ ही नहीं सकता। (ग) कभी नहीं: $2\pi$ जैसी शुद्ध संख्याएँ विमाओं को दिखती ही नहीं।

हल — अभ्यास 28.7.

$\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A\sin(2\pi t/T_0 + \varphi)$, इसलिए $\frac{d^2x}{dt^2} = -(2\pi/T_0)^2 x(t)$। सभी $t$ के लिए $-(k/m)x$ से समता ठीक तभी बनती है जब $(2\pi/T_0)^2 = k/m$, यानी $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$।

हल — अभ्यास 28.8.

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.030^2 = 1.8 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$; $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{0.18} = 0.42\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — और वह $x = 0$ पर; छोरों $x = \pm A$ पर शून्य।

हल — अभ्यास 28.9.

(क) $L = gT_0^2/4\pi^2 = 0.994\,\mathrm{m}$। (ख) $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 1.0\% = 0.5\%$: $86400 \times 0.005 \approx 4.3 \times 10^{2}\,\mathrm{s}$ — यानी प्रतिदिन सात मिनट धीमी।

हल — अभ्यास 28.10.

(क) $A \propto \sqrt{E}$: $\sqrt{0.95} \approx 0.975$, यानी $2.5\%$ की गिरावट। (ख) $0.95^n = 0.5$: $n = \ln 2/\ln(1/0.95) \approx 14$ आवर्तकाल। (ग) नहीं: हलके अवमंदन के लिए वह $T_0$ के एक प्रतिशत के अंश भर के भीतर रहता है।

हल — अभ्यास 28.11.

(क) $f_0$ पर हर धक्का क़दम मिलाकर आता है और ऊर्जा जोड़ता है; शिखर से हटते ही धक्के बारी-बारी मदद और अड़ंगा करने लगते हैं। (ख) क़दम-ताल एक आवर्ती प्रणोदन है; और पुल के $f_0$ के पास वह अनुनाद के शिखर पर चढ़ जाता। (ग) घूमना बढ़ाते समय ढोल ढाँचे की स्वाभाविक आवृत्ति से होकर गुज़रता है: पल भर का अनुनाद, और फिर शिखर के उस पार।

हल — अभ्यास 28.12.

(क) $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$: धीमी, $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 0.03/9.81 = 1.5 \times 10^{-3}$ से, यानी प्रतिदिन $\approx 132\,\mathrm{s}$। (ख) $T_0$ स्थिर रखते हुए $L \propto g$: $0.994 \times 0.03/9.81 \approx 3.0\,\mathrm{mm}$ छोटा कीजिए।

हल — अभ्यास 28.13.

$v_{\max} = 2\pi A/T_0 = 2\pi \times 0.040/0.63 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a_{\max} = (2\pi/T_0)^2 A = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $k = m(2\pi/T_0)^2 = 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$; $E_m = \tfrac12 kA^2 = 1.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$।

हल — अभ्यास 28.14.

$T_0 = 40.1/20 = 2.005\,\mathrm{s}$; $g = 4\pi^2 L/T_0^2 = 4\pi^2 \times 0.995/4.020 = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$। अनिश्चितता $\approx 0.2\% + 2 \times 0.5\% = 1.2\%$, यानी $\pm0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: अंतराल में $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ आ जाता है — संगत।

हल — अभ्यास 28.15.

लोलक $10/86400 \approx 1.2 \times 10^{-4}$; क्वार्ट्ज़ $0.5/2.6 \times 10^{6} \approx 1.9 \times 10^{-7}$; सीज़ियम $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$। $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ की त्रुटि स्थिति में $1000 \times 30\,\mathrm{cm} = 300\,\mathrm{m}$ है: GPS को परमाणु-कुल ही चाहिए।