माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

28यांत्रिक दोलित्र और समय का मापन

दादाजी की घड़ी टिकटिक करती है: हर टिक पीतल के एक लोलक का ऊर्ध्वाधर पार करना है, जो नए साल से अब तक डेढ़ करोड़ बार दोहराया जा चुका है। आपकी कलाई-घड़ी में क्वार्ट्ज़ की एक पतली पर्त सेकंड में $32\,768$ बार लचकती है; और सीज़ियम का एक परमाणु उससे नौ अरब गुना तेज़ गुनगुनाता है। जो कुछ झूलता है वह समय रख सकता है: यह अध्याय उसी झूलने के पीछे चलता है, हाइगेंस से लेकर उपग्रहों तक।

28.1 मुक्त दोलन

परिभाषा 28.1 (दोलित्र, आवर्तकाल, आवृत्ति, आयाम)

यांत्रिक दोलित्र वह निकाय है जो किसी स्थायी साम्यावस्था स्थिति से हटाकर छोड़ देने पर उसके चारों ओर आगे-पीछे झूलता रहे: ये मुक्त दोलन हैं। गति आवर्तकाल $T_0$ ( $\mathrm{s}$ ) के बाद दोहरा जाती है; आवृत्ति $f_0 = 1/T_0$ ( $\mathrm{Hz}$ , अध्याय 20); और आयाम अधिकतम विस्थापन है।

उदाहरण 28.2 (दोलित्रों का चिड़ियाघर)

खेल के मैदान का झूला: $T_0 \approx 3\,\mathrm{s}$ । गिटार का A तार: $f_0 = 110\,\mathrm{Hz}$ । क्वार्ट्ज़ का क्रिस्टल: $32\,768\,\mathrm{Hz}$ । सेकंड को परिभाषित करता सीज़ियम का दोलन: लगभग $9.2 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$ । दस कोटियाँ, और काम एक ही: गिनना।

28.2 सरल लोलक

परिभाषा 28.3 (सरल लोलक)

सरल लोलक: लंबाई $L$ के अवितान्य और नगण्य द्रव्यमान वाले तार पर लटका द्रव्यमान $m$ का छोटा गोलक, जो किसी ऊर्ध्वाधर तल में झूलता हो। गोलक पर लगते दोनों बलों (अध्याय 25) में से तनाव गति के लंबवत है, जबकि गतिपथ के अनुदिश भार का घटक सबसे निचले बिंदु की ओर पीछे संकेत करता है: यानी भार ही प्रत्यानयन बल

गोलक पर बल: तनाव T गति के लंबवत है; और भार का स्पर्शरेखीय हिस्सा P_t सदा ऊर्ध्वाधर की ओर पीछे संकेत करता है — यही प्रत्यानयन बल है। — गोलक पर बल: तनाव $\vect T$ गति के लंबवत है; और भार का स्पर्शरेखीय हिस्सा $\vect{P_t}$ सदा ऊर्ध्वाधर की ओर पीछे संकेत करता है — यही प्रत्यानयन बल है।

प्रतिज्ञप्ति 28.4 (सरल लोलक का आवर्तकाल)

छोटे आयामों (लगभग $15^\circ$ से नीचे) के लिए आवर्तकाल है

T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

वह न गोलक के द्रव्यमान पर निर्भर करता है, न — जब तक कोण छोटा रहे — आयाम पर: छोटे झूले समकालिक होते हैं, और सबमें एक ही समय लगता है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 28.5 (विमीय विश्लेषण, और $2\pi$ कहाँ रहता है)

सूत्र का अंदाज़ा लगाया जा सकता है। $m$ ( $\mathrm{kg}$ ), $L$ ( $\mathrm{m}$ ) और $g$ ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ) में से समय के मात्रक वाला एकमात्र संयोजन $\sqrt{L/g}$ है — और द्रव्यमान उसमें आ ही नहीं सकता, क्योंकि उसे काटने के लिए और कोई आँकड़ा किलोग्राम ढोता ही नहीं। पर विमाएँ आगे लगती शुद्ध संख्या नहीं दे सकतीं: $2\pi$ गति-समीकरण हल करने से आता है, जो वर्ष 1 के खंड में किया गया है। और छोटे-कोण की शर्त भी छोड़ी नहीं जा सकती: $30^\circ$ पर सच्चा आवर्तकाल $2\%$ लंबा हो जाता है, और समकालिकता टूट जाती है।

उदाहरण 28.6 (सेकंड वाला लोलक)

कौन-सी लंबाई सेकंड की चाल देती है, $T_0 = 2.00\,\mathrm{s}$ , यानी हर ओर एक टिक? हल करने पर $L = g\,T_0^2/4\pi^2 = 9.81 \times 2.00^2/4\pi^2 \approx 0.994\,\mathrm{m}$ । यानी लगभग एक मीटर: लोलक-घड़ियाँ इसीलिए लंबी होती हैं कि सेकंड लंबा होता है।

28.3 स्प्रिंग–द्रव्यमान दोलित्र

परिभाषा 28.7 (स्प्रिंग का प्रत्यानयन बल)

द्रव्यमान $m$ का एक फिसलक क्षैतिज घर्षणहीन पटरी पर सरकता है और दृढ़ता $k$ ( $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ) की स्प्रिंग से बँधा है। साम्यावस्था से उसका विस्थापन $x$ लीजिए। खिंची या दबी हुई स्प्रिंग फिसलक को बल $F = -kx$ से वापस खींचती या धकेलती है: यानी विस्थापन के समानुपाती और उसके विरुद्ध — फिर वही प्रत्यानयन बल, बस अब प्रत्यास्थता से मिला हुआ।

प्रतिज्ञप्ति 28.8 (गति-समीकरण और उसका हल)

पटरी के अनुदिश न्यूटन का दूसरा नियम (अध्याय 25) $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$ देता है, यानी $\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}\,x$ । अचर $A$ और $\varphi$ चाहे जो हों,

x(t) = A \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi\right), \qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},

इस समीकरण को संतुष्ट करता है: यानी आवर्तकाल $T_0$ का दोलन, जो आयाम से स्वतंत्र है।

उपपत्ति. अवकलन करने पर $\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A \sin(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi)$ ; और फिर $\frac{d^2x}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 A\cos(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi) = -(\frac{2\pi}{T_0})^2\,x(t)$ , जो ठीक तभी $-(k/m)\,x$ है जब $(2\pi/T_0)^2 = k/m$ । ∎

टिप्पणी 28.9 (गतियाँ जितनी हैं, सब यही हैं)

फिसलक की हर गति इन्हीं फलनों में से एक है, यह मान लिया गया है और वर्ष 1 के खंड में सिद्ध किया गया है। और $2\pi\sqrt{m/k}$ में $g$ कहीं नहीं है: कड़ी स्प्रिंग तेज़ झूलती है, भारी द्रव्यमान धीमा, और चंद्रमा पर भी वही।

परिभाषा 28.10 (आयाम और कला)

$x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 + \varphi)$ में धनात्मक अचर $A$ आयाम है — छोर $x = \pm A$ पर हैं — और $2\pi t/T_0 + \varphi$ कला है, जो हर आवर्तकाल में $2\pi$ बढ़ जाती है; आरंभिक कला $\varphi$ शुरुआत दर्ज करती है: $x = A$ से विराम में छोड़ा जाए तो $\varphi = 0$ । जैसे $k = 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ पर $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ $T_0 = 2\pi\sqrt{0.20/20} = 0.63\,\mathrm{s}$ देता है; और $5.0\,\mathrm{cm}$ तक खींचकर छोड़ने पर सेंटीमीटर में $x(t) = 5.0\cos(2\pi t/0.63)$ ।

28.4 ऊर्जा, अवमंदन, अनुनाद

प्रतिज्ञप्ति 28.11 (दोलित्र की ऊर्जा)

$x$ जितनी खिंची स्प्रिंग प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा $E_p = \tfrac12 kx^2$ संचित रखती है (अध्याय 29 में इसका औचित्य है)। घर्षणहीन दोलन के दौरान यांत्रिक ऊर्जा

E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2

अचर रहती है: छोरों पर पूरी प्रत्यास्थ, साम्यावस्था पर पूरी गतिज। लोलक भी वही युगल-गान $E_k$ और गुरुत्वीय $E_p$ के बीच गाता है (अध्याय 18)।

उपपत्ति. $v = \frac{dx}{dt}$ के साथ $E_m$ का अवकलज गति-समीकरण से $mv\frac{dv}{dt} + kx\frac{dx}{dt} = v\,(m\frac{d^2x}{dt^2} + kx) = 0$ हो जाता है; और मान $\tfrac12 kA^2$ किसी छोर पर पढ़ लिया जाता है। ∎

एक आवर्तकाल, x = A से छोड़े जाने पर: ऊर्जा प्रत्यास्थ से गतिज और वापस, दो बार छलकती है, जबकि योग 1/2 kA2 पर टँका रहता है। — एक आवर्तकाल, $x = A$ से छोड़े जाने पर: ऊर्जा प्रत्यास्थ से गतिज और वापस, दो बार छलकती है, जबकि योग $\tfrac12 kA^2$ पर टँका रहता है।

परिभाषा 28.12 (अवमंदित दोलन)

घर्षण हर असली दोलित्र से यांत्रिक ऊर्जा खींच लेता है: उसके मुक्त दोलन अवमंदित होते हैं। हलके अवमंदन में निकाय अब भी दोलन करता है, आयाम मरता जाता है पर दोहराव का समय लगभग वही रहता है, यानी छद्म-आवर्तकाल जो $T_0$ के पास ही होता है; भारी अवमंदन (शहद) में वह बिना कभी छोर पार किए रेंगते हुए साम्यावस्था पर लौट आता है; और आयाम के वर्ग के समानुपाती ऊर्जा ऊष्मा में क्षय हो जाती है।

अवमंदित और हलके अवमंदित दोलन: आवर्तकाल लगभग वही (यहाँ 2.0\, s), और अवमंदित आयाम सिकुड़ते चरघातांकी आवरण (बिंदुदार) के भीतर मरता जाता है। — अवमंदित और हलके अवमंदित दोलन: आवर्तकाल लगभग वही (यहाँ $2.0\,\mathrm{s}$ ), और अवमंदित आयाम सिकुड़ते चरघातांकी आवरण (बिंदुदार) के भीतर मरता जाता है।

परिभाषा 28.13 (प्रणोदित दोलन और अनुनाद)

किसी दोलित्र को आवर्ती रूप से धकेलिए — प्रणोदित दोलन बाद वह प्रणोदक आवृत्ति $f$ पर दोलन करने लगता है, अपनी वाली पर नहीं। उसका आयाम तब चरम पर होता है जब $f$ मुक्त दोलित्र की स्वाभाविक आवृत्ति के पास पहुँचे: यही अनुनाद है, जिसमें हर धक्का गति के क़दम से क़दम मिलाकर आता है और हर चक्र में ऊर्जा भरता जाता है; और अवमंदन जितना हलका, शिखर उतना ही ऊँचा और तीखा।

अनुनाद-वक्र: प्रणोदक आवृत्ति के सामने प्रणोदित आयाम। f = f_0 के पास प्रतिक्रिया मीनार सी उठ जाती है, और अवमंदन जितना हलका उतनी ही ऊँची। — अनुनाद-वक्र: प्रणोदक आवृत्ति के सामने प्रणोदित आयाम। $f = f_0$ के पास प्रतिक्रिया मीनार सी उठ जाती है, और अवमंदन जितना हलका उतनी ही ऊँची।

उदाहरण 28.14 (अनुनाद, भले के लिए और बुरे के लिए)

झूला झुलाता कोई अभिभावक उसे उसकी अपनी आवृत्ति पर धकेलता है — यानी काम पर लगा अनुनाद। $2000$ में लंदन का नया मिलेनियम पुल तब ख़तरनाक ढंग से डोल उठा जब भीड़ के क़दम $1\,\mathrm{Hz}$ के पास की किसी स्वाभाविक आवृत्ति से बँध गए; उसे अवमंदक लगाने के लिए दो साल बंद रखना पड़ा। और हर क्वार्ट्ज़ घड़ी अपने क्रिस्टल को $32\,768\,\mathrm{Hz}$ पर अनुनाद में चलाकर गाता हुआ बनाए रखती है।

28.5 समय नापना

विधि 28.15 (आवर्तकाल नापना)

एक दोलन का समय कभी मत नापिए: गोलक के ऊर्ध्वाधर पार करते समय (जहाँ वह सबसे तेज़ है और परखना सबसे आसान) स्टॉपवॉच चालू कीजिए, $N = 50$ दोलन गिनिए, और $N$ से भाग दीजिए — $0.2\,\mathrm{s}$ की प्रतिक्रिया-त्रुटि $T_0$ पर $4\,\mathrm{ms}$ रह जाती है। दोहराइए, और दौरों की आपस में तुलना कीजिए।

उदाहरण 28.16 (टिक की तीन सदियाँ)

हाइगेंस ने पहली लोलक-घड़ी $1657$ में बनाई: समकालिकता ने घड़ियों को दिन भर के चौथाई घंटे के बहकाव से सेकंडों तक ले आया, और क्षतिपूरित लोलकों ने दिन भर में सेकंड के अंशों तक। क्वार्ट्ज़ की कलाई-घड़ी ( $1969$ ) ने छड़ की जगह $32\,768\,\mathrm{Hz}$ पर लचकता क्रिस्टल रख दिया: महीने भर में सेकंड के दसवें हिस्से। और $1967$ से सेकंड ख़ुद एक परमाणविक दोलन से परिभाषित होता है: सीज़ियम-133 के एक आंतरिक संक्रमण के सूक्ष्मतरंग विकिरण के $9\,192\,631\,770$ आवर्तकालों की अवधि (अध्याय 34)। सबसे अच्छी सीज़ियम घड़ियाँ दस करोड़ वर्ष में एक सेकंड बहकती हैं।

टिप्पणी 28.17 (नैनोसेकंड के पीछे क्यों)

GPS का ग्राही उपग्रहों से आते रेडियो संकेतों का समय नापकर अपनी स्थिति खोजता है; और प्रकाश प्रति नैनोसेकंड $30\,\mathrm{cm}$ चलता है, इसलिए एक माइक्रोसेकंड की घड़ी-त्रुटि आपको $300\,\mathrm{m}$ दूर बिठा देती है। इसीलिए उपग्रह परमाणु-घड़ियाँ ढोते हैं — और उस परिशुद्धता पर किसी घड़ी की चाल इस पर निर्भर करने लगती है कि वह कितनी तेज़ चलती है और कितनी ऊँचाई पर बैठती है, जिससे हम अध्याय 35 में मिलेंगे।

28.6 अभ्यास

अभ्यास 28.1 ★

(क) $1.00\,\mathrm{m}$ के सरल लोलक का आवर्तकाल और आवृत्ति निकालिए। (ख) लंबाई चौगुनी कर दी जाती है: आवर्तकाल का क्या होता है?

हल

हल — अभ्यास 28.1.

(क) $T_0 = 2\pi\sqrt{1.00/9.81} = 2.01\,\mathrm{s}$ ; $f_0 = 1/T_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$ । (ख) $T_0 \propto \sqrt{L}$ : आवर्तकाल दुगुना हो जाता है।

अभ्यास 28.2 ★

विश्राम में हृदय प्रति मिनट $72$ बार धड़कता है; और व्याध-पतंग का पंख $30\,\mathrm{Hz}$ पर। हृदय की आवृत्ति और आवर्तकाल तथा पंख का आवर्तकाल दीजिए; और अध्याय का कौन-सा शब्द प्रति धड़कन छाती के अधिकतम उठाव का नाम है?

हल

हल — अभ्यास 28.2.

हृदय: $f = 72/60 = 1.2\,\mathrm{Hz}$ , $T = 0.83\,\mathrm{s}$ । पंख: $T = 1/30 = 33\,\mathrm{ms}$ । छाती का उठाव आयाम है।

अभ्यास 28.3 ★

$0.10\,\mathrm{kg}$ का फिसलक $25\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ की स्प्रिंग पर सवार है: $T_0$ और $f_0$ निकालिए। द्रव्यमान दुगुना करने पर आवर्तकाल का क्या होता है?

हल

हल — अभ्यास 28.3.

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.10/25} = 0.40\,\mathrm{s}$ , $f_0 = 2.5\,\mathrm{Hz}$ । $m$ दुगुना करने पर: $T_0 \times \sqrt{2} \approx 1.4$ ।

अभ्यास 28.4 ★

किसी अवमंदित दोलित्र के क्रमागत उच्चिष्ठ: $t = 0$ , $2.0$ , $4.0$ , $6.0\,\mathrm{s}$ पर $2.0$ , $1.5$ , $1.13$ , $0.85\,\mathrm{cm}$ । छद्म-आवर्तकाल पढ़िए; दिखाइए कि हर आवर्तकाल में आयाम एक नियत गुणक से गिरता है; और अगले उच्चिष्ठ का पूर्वानुमान लगाइए।

हल

हल — अभ्यास 28.4.

छद्म-आवर्तकाल $2.0\,\mathrm{s}$ । हर आवर्तकाल पर अनुपात $1.5/2.0 = 1.13/1.5 = 0.85/1.13 = 0.75$ ; अगला उच्चिष्ठ $0.85 \times 0.75 \approx 0.64\,\mathrm{cm}$ ।

अभ्यास 28.5 ★

कोई अंतरिक्ष यात्री एक लोलक और एक स्प्रिंग–द्रव्यमान दोलित्र चंद्रमा पर ले जाता है ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ )। हर आवर्तकाल कितने गुना बदलता है? समझाइए।

हल

हल — अभ्यास 28.5.

लोलक: $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$ , इसलिए $\times\sqrt{9.81/1.62} = 2.46$ (धीमा)। स्प्रिंग–द्रव्यमान: अपरिवर्तित — $2\pi\sqrt{m/k}$ में $g$ है ही नहीं।

अभ्यास 28.6 ★★

(क) जाँचिए कि $\sqrt{L/g}$ की विमा समय की है। (ख) $m$ , $L$ , $g$ से बना $T_0$ का कोई सूत्र द्रव्यमान क्यों नहीं रख सकता? (ग) क्या यह तर्क कभी $2\pi$ पैदा कर सकता है?

हल

हल — अभ्यास 28.6.

(क) $[L/g] = \mathrm{m}/(\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}) = \mathrm{s}^{2}$ ; और उसका वर्गमूल एक समय है। (ख) किलोग्राम केवल $m$ में आता है: उसे काटने वाला और कुछ है ही नहीं, इसलिए $m$ आ ही नहीं सकता। (ग) कभी नहीं: $2\pi$ जैसी शुद्ध संख्याएँ विमाओं को दिखती ही नहीं।

अभ्यास 28.7 ★★

दो बार अवकलन करके सत्यापित कीजिए कि $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 + \varphi)$ $\frac{d^2x}{dt^2} = -(k/m)\,x$ को ठीक तभी संतुष्ट करता है जब $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ ।

हल

हल — अभ्यास 28.7.

$\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A\sin(2\pi t/T_0 + \varphi)$ , इसलिए $\frac{d^2x}{dt^2} = -(2\pi/T_0)^2 x(t)$ । सभी $t$ के लिए $-(k/m)x$ से समता ठीक तभी बनती है जब $(2\pi/T_0)^2 = k/m$ , यानी $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ ।

अभ्यास 28.8 ★★

$40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ की दृढ़ता वाली स्प्रिंग $0.20\,\mathrm{kg}$ के फिसलक को $3.0\,\mathrm{cm}$ आयाम के साथ ढोती है। यांत्रिक ऊर्जा और अधिकतम चाल निकालिए। चाल कहाँ अधिकतम है? कहाँ शून्य?

हल

हल — अभ्यास 28.8.

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.030^2 = 1.8 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$ ; $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{0.18} = 0.42\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — और वह $x = 0$ पर; छोरों $x = \pm A$ पर शून्य।

अभ्यास 28.9 ★★

(क) सेकंड वाले लोलक की लंबाई निकालिए ( $T_0 = 2.00\,\mathrm{s}$ )। (ख) उसकी लंबाई $1.0\%$ बढ़ जाती है: $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ के साथ $T_0$ का सापेक्ष बदलाव और दैनिक त्रुटि निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 28.9.

(क) $L = gT_0^2/4\pi^2 = 0.994\,\mathrm{m}$ । (ख) $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 1.0\% = 0.5\%$ : $86400 \times 0.005 \approx 4.3 \times 10^{2}\,\mathrm{s}$ — यानी प्रतिदिन सात मिनट धीमी।

अभ्यास 28.10 ★★

कोई हलका अवमंदित दोलित्र हर आवर्तकाल में अपनी ऊर्जा का $5.0\%$ गँवा देता है। (क) प्रति आवर्तकाल आयाम की गिरावट? (ख) आधी ऊर्जा गँवाने में कितने आवर्तकाल लगेंगे? (ग) क्या छद्म-आवर्तकाल $T_0$ से बहुत दूर है?

हल

हल — अभ्यास 28.10.

(क) $A \propto \sqrt{E}$ : $\sqrt{0.95} \approx 0.975$ , यानी $2.5\%$ की गिरावट। (ख) $0.95^n = 0.5$ : $n = \ln 2/\ln(1/0.95) \approx 14$ आवर्तकाल। (ग) नहीं: हलके अवमंदन के लिए वह $T_0$ के एक प्रतिशत के अंश भर के भीतर रहता है।

अभ्यास 28.11 ★★

अनुनाद-वक्र से समझाइए: (क) झूला झुलाना उसकी अपनी लय पर ही क्यों काम करता है; (ख) सिपाही पैदल-पुल पर क़दम-ताल क्यों तोड़ देते हैं; (ग) कपड़े धोने की मशीन घूमना बढ़ाते समय एक ही चाल पर क्यों काँप उठती है।

हल

हल — अभ्यास 28.11.

(क) $f_0$ पर हर धक्का क़दम मिलाकर आता है और ऊर्जा जोड़ता है; शिखर से हटते ही धक्के बारी-बारी मदद और अड़ंगा करने लगते हैं। (ख) क़दम-ताल एक आवर्ती प्रणोदन है; और पुल के $f_0$ के पास वह अनुनाद के शिखर पर चढ़ जाता। (ग) घूमना बढ़ाते समय ढोल ढाँचे की स्वाभाविक आवृत्ति से होकर गुज़रता है: पल भर का अनुनाद, और फिर शिखर के उस पार।

अभ्यास 28.12 ★★★

समुद्र-तल पर ठीक चलती एक लोलक-घड़ी ऐसी वेधशाला में ले जाई जाती है जहाँ $g = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । (क) तेज़ या धीमी? प्रतिदिन कितने सेकंड? (ख) उसके $0.994\,\mathrm{m}$ के लोलक को कितना छोटा करना पड़ेगा?

हल

हल — अभ्यास 28.12.

(क) $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$ : धीमी, $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 0.03/9.81 = 1.5 \times 10^{-3}$ से, यानी प्रतिदिन $\approx 132\,\mathrm{s}$ । (ख) $T_0$ स्थिर रखते हुए $L \propto g$ : $0.994 \times 0.03/9.81 \approx 3.0\,\mathrm{mm}$ छोटा कीजिए।

अभ्यास 28.13 ★★★

$0.20\,\mathrm{kg}$ का फिसलक $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0)$ मानता है, जहाँ $A = 4.0\,\mathrm{cm}$ , $T_0 = 0.63\,\mathrm{s}$ । अधिकतम चाल, अधिकतम त्वरण, दृढ़ता $k$ और यांत्रिक ऊर्जा निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 28.13.

$v_{\max} = 2\pi A/T_0 = 2\pi \times 0.040/0.63 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_{\max} = (2\pi/T_0)^2 A = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $k = m(2\pi/T_0)^2 = 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; $E_m = \tfrac12 kA^2 = 1.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$ ।

अभ्यास 28.14 ★★★

$g$ नापने के लिए: $L = 99.5 \pm 0.2\,\mathrm{cm}$ वाला लोलक $40.1 \pm 0.2\,\mathrm{s}$ में $20$ दोलन करता है। $g$ और उसकी सापेक्ष अनिश्चितता निकालिए ( $L$ और $T_0^2$ की अनिश्चितताएँ जोड़ लीजिए); क्या परिणाम $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ से मेल खाता है?

हल

हल — अभ्यास 28.14.

$T_0 = 40.1/20 = 2.005\,\mathrm{s}$ ; $g = 4\pi^2 L/T_0^2 = 4\pi^2 \times 0.995/4.020 = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । अनिश्चितता $\approx 0.2\% + 2 \times 0.5\% = 1.2\%$ , यानी $\pm0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : अंतराल में $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ आ जाता है — संगत।

अभ्यास 28.15 ★★★

समय रखने वालों की तुलना सापेक्ष बहकाव (बीते समय पर त्रुटि) से कीजिए: प्रतिदिन $10\,\mathrm{s}$ गँवाती लोलक-घड़ी, महीने भर में $0.5\,\mathrm{s}$ वाली क्वार्ट्ज़ घड़ी, और दस करोड़ वर्ष में $1\,\mathrm{s}$ वाली सीज़ियम घड़ी: तीनों अनुपात निकालिए। $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ से ग़लत GPS घड़ी: स्थिति में त्रुटि? GPS को किस कुल की ज़रूरत है?

हल

हल — अभ्यास 28.15.

लोलक $10/86400 \approx 1.2 \times 10^{-4}$ ; क्वार्ट्ज़ $0.5/2.6 \times 10^{6} \approx 1.9 \times 10^{-7}$ ; सीज़ियम $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$ । $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ की त्रुटि स्थिति में $1000 \times 30\,\mathrm{cm} = 300\,\mathrm{m}$ है: GPS को परमाणु-कुल ही चाहिए।

28.7 समस्या: घड़ीसाज़ की मेज़

समस्या 28.1

सप्ताहांत समस्या — घड़ीसाज़ की मेज़: दीवार-घड़ी को फिर से सही समय पर लाना — पचास झूलों का समय, गरमियों में फैलती पीतल की छड़, निर्गम-तंत्र का फुसफुसाता धक्का, और क्वार्ट्ज़ का एक चुनौती-देने वाला — और फ़ैसला, प्रति महीना सेकंडों में

कोई लोलक वाली दीवार-घड़ी “ग़लत चलती” मेज़ पर आती है। उसकी पीतल की छड़ और भारी गोलक को प्रभावी लंबाई $L$ और गोलक-द्रव्यमान $m = 1.2\,\mathrm{kg}$ वाला सरल लोलक मानिए; और दाँतेदार पहिए हर पूरे दोलन को ठीक $2.000\,\mathrm{s}$ गिनते हैं।

भाग I — घड़ी की नब्ज़ देखना।

एक के बजाय $50$ दोलनों का समय क्यों नापा जाए? यदि आपका प्रतिक्रिया-समय $0.2\,\mathrm{s}$ हो तो $T_0$ पर बची त्रुटि का अनुमान लगाइए।
स्टॉपवॉच $50$ दोलनों के लिए $99.4\,\mathrm{s}$ पढ़ती है: आवर्तकाल?
लोलक की वर्तमान प्रभावी लंबाई निकालिए।
कौन-सी लंबाई ठीक $2.000\,\mathrm{s}$ देती? समंजन का पेंच गोलक को ऊपर उठाए या नीचे करे, और कितना?
बिना समंजन घड़ी तेज़ है या धीमी, और प्रतिदिन कितने सेकंड?
$g$ के प्रति संवेदनशीलता: चंद्रमा पर ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ) आवर्तकाल? और उस वेधशाला में दैनिक त्रुटि जहाँ $g = 9.80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ?

भाग II — गरमियों की ढील। पीतल फैलता है: $\Delta\theta$ गरम होने पर छड़ खिंचकर $L' = L\,(1 + \lambda\, \Delta\theta)$ हो जाती है, प्रति केल्विन $\lambda = 1.9 \times 10^{-5}$ । घड़ी $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर समंजित की गई है।

$25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ वाले गरमियों के कमरे के लिए $\Delta L$ निकालिए।
$\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ का उपयोग करके दिखाइए कि $\Delta T_0 / T_0 = \tfrac12 \lambda\, \Delta\theta$ ।
$\Delta T_0/T_0$ और गरमियों की दैनिक त्रुटि निकालिए: तेज़ या धीमी?
$10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ वाली सर्दियों की गैलरी के लिए वही प्रश्न।
पुरानी परिशुद्ध घड़ियाँ “ग्रिडआयरन” लोलक इस्तेमाल करती थीं, जिनमें पीतल की छड़ें इस्पात की छड़ों के साथ (जो लगभग आधा फैलती हैं) उलटी-सीधी दिशाओं में लगी होती थीं। समझाइए कि इससे चाल कैसे थमी रह सकती है।

भाग III — फुसफुसाता धक्का। निर्गम-तंत्र अलग कर देने पर आयाम $\theta_m = 2.00^\circ$ से शुरू किया गया झूला $280\,\mathrm{s}$ में अपना आयाम आधा कर लेता है; और सेवा में, हर आवर्तकाल पर निर्गम-तंत्र का ज़रा-सा धक्का $\theta_m$ को अचर बनाए रखता है।

आधा होने में कितने आवर्तकाल लगते हैं?
छोर पर गोलक $h = L(1 - \cos\theta_m) \approx L\,\theta_m^2/2$ (रेडियन) चढ़ चुका होता है: इससे $E_m = \tfrac12 m g L\,\theta_m^2$ निकालिए और उसका मान लीजिए (अध्याय 18)।
ऊर्जा आयाम के वर्ग के समानुपाती है: प्रति आवर्तकाल $E_m$ का कितना अंश गँवाया जाता है?
हर धक्के की ऊर्जा और ज़रूरी औसत शक्ति निकालिए।
चालक भार $M = 2.5\,\mathrm{kg}$ हर सप्ताह $h = 1.0\,\mathrm{m}$ नीचे उतरता है: क्या इतनी ऊर्जा पर्याप्त है, और किस दक्षता पर?

भाग IV — क्वार्ट्ज़ की चुनौती। कोई क्वार्ट्ज़ यंत्र $f = 32\,768\,\mathrm{Hz}$ पर दोलन करता है और महीने भर में लगभग $0.3\,\mathrm{s}$ बहकता है; और सुधरी हुई लोलक-घड़ी अब भी प्रतिदिन $0.5\,\mathrm{s}$ बहकती है।

क्वार्ट्ज़ का आवर्तकाल निकालिए। दिखाइए कि $32\,768 = 2^{15}$ : घड़ी के परिपथ को दो की घात ही क्यों चाहिए?
क्वार्ट्ज़ और सुधरी लोलक-घड़ी के सापेक्ष बहकाव निकालिए, और दोनों को प्रति महीना सेकंडों में भी। कौन जीतता है, और कितने गुना से?
सीज़ियम मानक — जिसके $9\,192\,631\,770$ आवर्तकाल एक सेकंड बनाते हैं — दस करोड़ वर्ष में $1\,\mathrm{s}$ बहकता है: उसका सापेक्ष बहकाव? वह क्वार्ट्ज़ से कितनी कोटि नीचे है, और GPS उसी की माँग क्यों करता है?
फ़ैसला, संख्याओं समेत एक वाक्य में: सुधरी हुई घड़ी दीवार पर क्या कमा लेती है, और सेकंड का मालिक अब कौन है?

हल

हल — समस्या 28.1.

1. $\approx 0.2\,\mathrm{s}$ की प्रतिक्रिया-त्रुटि $50$ से बँट जाती है: $T_0$ पर लगभग $4\,\mathrm{ms}$ ।

2. $T = 99.4/50 = 1.988\,\mathrm{s}$ ।

3. $L = gT^2/4\pi^2 = 9.81 \times 1.988^2/4\pi^2 \approx 0.982\,\mathrm{m}$ ।

4. $L = 0.994\,\mathrm{m}$ (सेकंड वाला लोलक): गोलक नीचे कीजिए और लंबाई $\approx 1.2\,\mathrm{cm}$ बढ़ा दीजिए।

5. बहुत छोटा, इसलिए बहुत जल्दी: तेज़, प्रतिदिन $(2.000 - 1.988)/1.988 \times 86400 \approx 5.2 \times 10^{2}\,\mathrm{s} \approx 8.7$ मिनट।

6. चंद्रमा पर: $\times\sqrt{9.81/1.62} = 2.46$ — यानी बेकार। वेधशाला में: $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 0.01/9.81 = 5.1 \times 10^{-4}$ : प्रतिदिन $\approx 44\,\mathrm{s}$ गँवाती है।

7. $\Delta L = L\lambda\,\Delta\theta = 0.994 \times 1.9 \times 10^{-5} \times 5.0 \approx 9.4 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} \approx 0.1\,\mathrm{mm}$ ।

8. $T' = 2\pi\sqrt{L(1 + \lambda\Delta\theta)/g} = T_0\sqrt{1 + \lambda\Delta\theta} \approx T_0\,(1 + \tfrac12 \lambda\Delta\theta)$ ।

9. $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 1.9 \times 10^{-5} \times 5.0 = 4.8 \times 10^{-5}$ : प्रतिदिन $86400 \times 4.8 \times 10^{-5} \approx 4.1\,\mathrm{s}$ , धीमी (छड़ लंबी, आवर्तकाल लंबा)।

10. $\Delta\theta = -10\,\mathrm{K}$ : $\Delta T_0/T_0 = -9.5 \times 10^{-5}$ , प्रतिदिन $\approx 8.2\,\mathrm{s}$ कमा लेती है।

11. इस्पात और पीतल अलग-अलग फैलते हैं; और उलटी-सीधी दिशाओं में लटकाने पर पीतल की छड़ें गोलक को नीचे करती हैं जबकि इस्पात की उसे ऊपर। नाप ऐसा रखिए कि दोनों खिसकाव कट जाएँ, और प्रभावी लंबाई — और इसलिए चाल — ऋतुओं से बची रह जाती है।

12. $280/2.000 = 140$ आवर्तकाल।

13. $\theta_m = 2.00^\circ = 0.0349\,\mathrm{rad}$ : $E_m = \tfrac12 \times 1.2 \times 9.81 \times 0.994 \times 0.0349^2 \approx 7.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}$ ।

14. प्रति आवर्तकाल आयाम $2^{-1/140} \approx 0.9951$ से सिकुड़ता है और ऊर्जा $0.9951^2 \approx 0.990$ से: यानी प्रति आवर्तकाल $E_m$ का लगभग $1.0\%$ ।

15. धक्का $\approx 0.010 \times 7.1 \times 10^{-3} = 7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; शक्ति $7.1 \times 10^{-5}/2.0 \approx 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ — यानी कुछ दर्जन माइक्रोवाट।

16. एक सप्ताह $604800/2.0 = 3.02 \times 10^{5}$ आवर्तकाल है, जिसके लिए $3.02 \times 10^{5} \times 7.1 \times 10^{-5} \approx 21\,\mathrm{J}$ चाहिए; और भार $Mgh = 2.5 \times 9.81 \times 1.0 = 24.5\,\mathrm{J}$ देता है: पर्याप्त, और वह भी $21/24.5 \approx 88\%$ दक्षता पर।

17. $T = 1/32\,768 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ । $32\,768 = 2^{15}$ : दो से भाग देने वाले पंद्रह चरण क्रिस्टल के संकेत को ठीक $1\,\mathrm{Hz}$ की टिक में बदल देते हैं।

18. क्वार्ट्ज़: $0.3/2.6 \times 10^{6} \approx 1.2 \times 10^{-7}$ । लोलक: $0.5/86400 \approx 5.8 \times 10^{-6}$ , यानी प्रति महीना $\approx 15\,\mathrm{s}$ । क्वार्ट्ज़ $\approx 50$ गुना से जीतता है।

19. $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$ : यानी क्वार्ट्ज़ से नौ कोटि नीचे। GPS संकेतों का समय नैनोसेकंडों तक नापता है — और हर नैनोसेकंड प्रकाश की $30\,\mathrm{cm}$ यात्रा है — इसलिए वहाँ परमाणु-घड़ियों के सिवा कुछ नहीं चलेगा।

20. सुधरी हुई दीवार-घड़ी क्वार्ट्ज़ के $\pm0.3\,\mathrm{s}$ के मुक़ाबले महीने भर में $\pm15\,\mathrm{s}$ पर टिकती है: घंटी के लिए उसे रखिए, और रेलगाड़ी के लिए क्वार्ट्ज़ पर भरोसा कीजिए — और सेकंड ख़ुद अब सीज़ियम के परमाणु का है।