माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

21ध्वनि और ध्वनिकी

गिटार का निचला तार छेड़िए: कमरा एक गहरे A से भर जाता है, फिर भी आपके कान तक दबी और खिंची हवा के सिवा कुछ नहीं पहुँचा। यह अध्याय उसी ढर्रे के पीछे चलता है — उसकी चाल, आवृत्ति कैसे तारत्व बनती है और शक्ति कैसे प्रबलता, और एक ही सुर हर वाद्य पर अलग क्यों लगता है।

21.1 ध्वनि एक दाब-तरंग है

परिभाषा 21.1 (ध्वनि तरंग)

ध्वनि तरंग यांत्रिक दाब-तरंग है (अध्याय 20): कोई कंपित सतह चलते हुए संपीडन (हलका अधिदाब) और विरलन (न्यूनदाब) पैदा करती है। हवा के पिंड सफ़र की दिशा के अनुदिश दोलन करते हैं (ध्वनि अनुदैर्घ्य है), और माध्यम ज़रूरी है: निर्वात की बरनी में रखी घंटी चुप हो जाती है (अध्याय 8)।

लाउडस्पीकर अनुदैर्घ्य तरंग चलाता है: हवा के पिंड सिमटकर एक-एक तरंगदैर्घ्य = v/f की दूरी पर संपीडन बना देते हैं। — लाउडस्पीकर अनुदैर्घ्य तरंग चलाता है: हवा के पिंड सिमटकर एक-एक तरंगदैर्घ्य $\lambda = v/f$ की दूरी पर संपीडन बना देते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 21.2 (ध्वनि की चाल)

ध्वनि $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर हवा में लगभग $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , पानी में $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और इस्पात में $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ चलती है: माध्यम जितना कड़ा, चाल उतनी तेज़।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 21.3 (गरम हवा तेज़ होती है)

ये नापे हुए मान हैं; इनका पूर्वानुमान वर्ष 1 के खंड में लगाया गया है। ध्वनि गरम हवा में तेज़ हो जाती है ( $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $331\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) — और इसीलिए हॉल गरम होते ही फूँक वाले वाद्य सुर से उतर जाते हैं।

उदाहरण 21.4 (ध्वनियों के नाप)

संबंध $\lambda = v/f$ हर ध्वनि का नाप बता देता है: हवा में $20\,\mathrm{Hz}$ की गड़गड़ाहट $340/20 = 17\,\mathrm{m}$ तक फैलती है — यानी एक इमारत जितनी — और $20\,\mathrm{kHz}$ की सरसराहट $1.7\,\mathrm{cm}$ में समा जाती है; मीटर भर वाली ध्वनियाँ दरवाज़ों और कोनों के चारों ओर आसानी से मुड़ जाती हैं।

21.2 तारत्व, प्रबलता और कान

परिभाषा 21.5 (तारत्व और प्रबलता)

तारत्व आवृत्ति का बोध है: $f$ जितनी अधिक, सुर उतना ऊँचा; सुर A $440\,\mathrm{Hz}$ का होता है, और $f$ दुगुनी करने पर सुर एक सप्तक ऊपर चढ़ जाता है। प्रबलता आयाम का बोध है: दाब का दोलन जितना प्रबल, ध्वनि उतनी ऊँची; प्रवर्धन प्रबलता बदलता है, तारत्व नहीं।

टिप्पणी 21.6 (कान की खिड़की)

सुनने की सीमा लगभग $20\,\mathrm{Hz}$ से $20\,\mathrm{kHz}$ तक है (अध्याय 8); उससे नीचे अवश्रव्य है और ऊपर पराश्रव्य — चमगादड़ $50\,\mathrm{kHz}$ पर, चिकित्सा जाँच के यंत्र मेगाहर्ट्ज़ पर। पियानो केवल बीच का हिस्सा छूता है: $27.5\text{ to }4186\,\mathrm{Hz}$ .

21.3 ध्वनि तीव्रता और डेसिबल पैमाना

परिभाषा 21.7 (ध्वनि तीव्रता)

ध्वनि तीव्रता $I$ वह ध्वनिक शक्ति है जो तरंग के सामने रखे एक वर्ग मीटर से गुज़रती है: $I = P/S$ , जिसे $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ में नापते हैं। सबसे मंद सुनाई देती ध्वनि लगभग $I_0 = 1.0 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ की होती है; और पीड़ा $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ के आसपास शुरू होती है।

प्रतिज्ञप्ति 21.8 (व्युत्क्रम-वर्ग क्षीणन)

हर दिशा में समान रूप से $P$ शक्ति विकिरित करता छोटा स्रोत दूरी $r$ पर $I = P/(4\pi r^2) \propto 1/r^2$ देता है: दूरी दुगुनी करने पर तीव्रता चौथाई रह जाती है।

उपपत्ति. पूरी $P$ शक्ति क्षेत्रफल $4\pi r^2$ वाले गोले से गुज़रती है; भाग दे दीजिए। ∎

परिभाषा 21.9 (ध्वनि स्तर)

कान दस की बारह घातों तक फैला है, इसलिए तीव्रताएँ लघुगणकीय रूप में लिखी जाती हैं। $I$ का ध्वनि स्तर है

L = 10 \log_{10}(I/I_0), \qquad I_0 = 1.0 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2},

जिसे डेसिबल ( $\mathrm{dB}$ ) में नापते हैं: श्रवण-देहली $0\,\mathrm{dB}$ , पीड़ा $120\,\mathrm{dB}$ के आसपास।

प्रतिज्ञप्ति 21.10 (डेसिबल का गणित)

$I$ को $k$ से गुणा करने पर $10\log_{10}k$ डेसिबल जुड़ जाते हैं। विशेष रूप से $\times 10$ $10\,\mathrm{dB}$ जोड़ता है; $\times 2$ $10\log_{10}2 \approx 3.0\,\mathrm{dB}$ जोड़ता है; $N$ असंबद्ध एक जैसे स्रोत तीव्रताएँ जोड़ते हैं, स्तर कभी नहीं, और $L_1 + 10\log_{10}N$ देते हैं; और छोटे स्रोत से दूरी दुगुनी करने पर ( $I$ चौथाई) लगभग $6.0\,\mathrm{dB}$ घट जाते हैं।

उपपत्ति. $10\log_{10}(kI/I_0) = 10\log_{10}(I/I_0) + 10\log_{10}k$ ; दूरी के लिए: प्रतिज्ञप्ति 21.8, $k = 1/4$ । ∎

विधि 21.11 (डेसिबल में काम करना)

$L = 10\log_{10}(I/I_0)$ ; और उलटा: $I = I_0 \times 10^{L/10}$ ।
स्तर कभी मत जोड़िए: तीव्रताओं में बदलिए, जोड़िए, फिर वापस बदलिए — या हर दुगुनेपन पर $+3\,\mathrm{dB}$ , हर दस गुने पर $+10\,\mathrm{dB}$ ।
छोटे स्रोत से दूरी हर बार दुगुनी करने का दाम $6\,\mathrm{dB}$ है।

रोज़मर्रा के स्तरों की सीढ़ी: हर 20\, dB का क़दम तीव्रता में सौ गुने की छलाँग है; और 85\, dB से आगे (लाल क्षेत्र) रहना सुनने की शक्ति को नुक़सान पहुँचाता है। — रोज़मर्रा के स्तरों की सीढ़ी: हर $20\,\mathrm{dB}$ का क़दम तीव्रता में सौ गुने की छलाँग है; और $85\,\mathrm{dB}$ से आगे (लाल क्षेत्र) रहना सुनने की शक्ति को नुक़सान पहुँचाता है।

टिप्पणी 21.12 (श्रवण-हानि)

सुनने की शक्ति का नुक़सान एक मात्रा है: $85\,\mathrm{dB}$ आठ घंटे तक सुरक्षित है, और उसके ऊपर हर $3\,\mathrm{dB}$ — यानी तीव्रता का दुगुनापन — सुरक्षित समय आधा कर देता है; और मरी हुई रोम-कोशिकाएँ फिर नहीं उगतीं।

21.4 गुणता और संनादी

परिभाषा 21.13 (संनादी)

आवृत्ति $f_1$ — यानी मूल स्वर — की कोई आवर्ती ध्वनि आम तौर पर आवृत्तियों $f_n = n f_1$ , $n = 1, 2, 3, \dots$ पर ज्याओं का योग होती है, जिन्हें उसके संनादी कहते हैं। जो ध्वनि केवल अपने मूल स्वर तक सिमटी हो वह शुद्ध स्वर है, जैसा स्वरित्र द्विभुज का।

परिभाषा 21.14 (वर्णक्रम और गुणता)

किसी ध्वनि का वर्णक्रम उसके संनादियों का स्तंभ चित्र है: हर $f_n$ पर एक स्तंभ, और ऊँचाई उस संनादी की प्रबलता। कान $f_1$ को तारत्व के रूप में सुनता है और प्रबलताओं के मिश्रण को गुणता के रूप में — यानी ध्वनि के रंग के रूप में: एक ही सुर बजाते वाद्यों का $f_1$ एक ही होता है, फ़र्क़ केवल उनके वर्णक्रमों में रहता है।

वही A (220\, Hz): ऊपर तरंग-रूप, नीचे वर्णक्रम — मूल स्वर और तारत्व वही; वायलिन की संनादी-सीढ़ी ही उसकी गुणता है। — वही A ( $220\,\mathrm{Hz}$ ): ऊपर तरंग-रूप, नीचे वर्णक्रम — मूल स्वर और तारत्व वही; वायलिन की संनादी-सीढ़ी ही उसकी गुणता है।

उदाहरण 21.15 (आप फ़ोन करने वाले को पहचान क्यों लेते हैं)

बाँसुरी का A लगभग शुद्ध स्वर है; वही $220\,\mathrm{Hz}$ गज से बजाता वायलिन $440\,\mathrm{Hz}\text{, }660\,\mathrm{Hz}\text{ and }880\,\mathrm{Hz}$ पर प्रबल संनादी जोड़ देता है। तारत्व और प्रबलता एक-सी, फिर भी कोई उन्हें नहीं भ्रमाता: आवाज़ भी वह वर्णक्रम है जो आपको मुँहज़बानी याद है।

21.5 कंपित तार

परिभाषा 21.16 (अप्रगामी तरंग)

तार के जकड़े सिरों के बीच बंद तरंग अप्रगामी तरंग में बैठ सकती है: यानी अपनी जगह होता दोलन, जिसमें निश्चल बिंदु — निस्पंद — और अधिकतम झूल वाले बिंदु — प्रस्पंद — एक के बाद एक आते हैं। अब कुछ चलता नहीं; तार एक जमे हुए ढर्रे में कंपन करता है।

प्रतिज्ञप्ति 21.17 (तार के मोड)

दोनों सिरों पर जकड़ा लंबाई $L$ का तार, जिस पर चाल $v$ की तरंगें चलती हैं, केवल उन्हीं ढर्रों में स्थिर कंपन करता है जिनमें सिरों पर थोपे गए निस्पंदों के बीच पूरी संख्या $n$ भर अर्ध-तरंगदैर्घ्य अँट जाएँ:

\lambda_n = \frac{2L}{n}, \quad f_n = n\,\frac{v}{2L} = n f_1, \quad n = 1, 2, 3, \dots

सबसे निचला मोड $f_1 = v/(2L)$ मूल स्वर है; बाक़ी ठीक उसके संनादी हैं।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 21.18 (ईमानदार उपपत्ति कहाँ रहती है)

बंद तरंगें ठीक यही मोड क्यों चुनती हैं, यह तरंग को उसके परावर्तनों पर अध्यारोपित करने से निकलता है, और वह कलन वर्ष 1 के खंड में किया गया है। ज्यामिति ही मन को मना देती है: दोनों सिरों को निश्चल रहना है, इसलिए पूरी संख्या भर अर्ध-तरंगदैर्घ्य अँटने ही चाहिए।

दोनों सिरों पर जकड़े तार के पहले तीन मोड: L में n अर्ध-तरंगदैर्घ्य अँटते हैं, इसलिए _n = 2L/n और f_n = nf_1। — दोनों सिरों पर जकड़े तार के पहले तीन मोड: $L$ में $n$ अर्ध-तरंगदैर्घ्य अँटते हैं, इसलिए $\lambda_n = 2L/n$ और $f_n = nf_1$ ।

उदाहरण 21.19 (वायलिन का A तार)

वायलिन के A तार पर $L = 32.8\,\mathrm{cm}$ है और वह $f_1 = 440\,\mathrm{Hz}$ बजाता है: तरंगें उस पर $v = 2Lf_1 = 2 \times 0.328 \times 440 \approx 289\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से दौड़ती हैं — यह चाल तनाव और द्रव्यमान से तय होती है, और खूँटी से सुर में बिठाई जाती है। उँगली दबाने पर $L$ छोटा हो जाता है और हर $f_n$ एक साथ ऊपर चढ़ जाता है: वर्णक्रम पूरा का पूरा सरक जाता है।

टिप्पणी 21.20 (वाद्य अलग-अलग क्यों लगते हैं)

तार को छेड़ा कैसे गया — नोचकर, गज से, या चोट मारकर — यह तय करता है कि हर मोड कितना मौजूद है, और वाद्य का ढाँचा कुछ संनादियों को दूसरों से अधिक प्रवर्धित करता है; छेड़ने का ढंग और ढाँचा मिलकर वर्णक्रम तय कर देते हैं, इसलिए वही $f_1$ गिटार, वायलिन और पियानो से निकलकर हर बार अपने वाद्य जैसा ही सुनाई देता है।

21.6 अभ्यास

अभ्यास 21.1 ★

हवा में ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) इनका तरंगदैर्घ्य निकालिए: (क) $55\,\mathrm{Hz}$ का मंद्र सुर; (ख) $1.0\,\mathrm{kHz}$ की बीप; (ग) $15\,\mathrm{kHz}$ की चीं। सबसे बड़े की तुलना सबसे छोटे से कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 21.1.

$\lambda = v/f$ : (क) $340/55 \approx 6.2\,\mathrm{m}$ ; (ख) $0.34\,\mathrm{m}$ ; (ग) $2.3\,\mathrm{cm}$ । अनुपात $15000/55 \approx 270$ ।

अभ्यास 21.2 ★

इन्हें अवश्रव्य, श्रव्य ध्वनि या पराश्रव्य में बाँटिए: $8\,\mathrm{Hz}$ ; $100\,\mathrm{Hz}$ ; $15\,\mathrm{kHz}$ ; $40\,\mathrm{kHz}$ ; $3\,\mathrm{MHz}$ । श्रव्य वालों में कौन-सी ध्वनि तारत्व में नीची है?

हल

हल — अभ्यास 21.2.

अवश्रव्य: $8\,\mathrm{Hz}$ । श्रव्य: $100\,\mathrm{Hz}$ और $15\,\mathrm{kHz}$ । पराश्रव्य: $40\,\mathrm{kHz}$ और $3\,\mathrm{MHz}$ । तारत्व में नीची: $100\,\mathrm{Hz}$ (आवृत्ति कम)।

अभ्यास 21.3 ★

कोई मज़दूर $1.0\,\mathrm{km}$ दूर पटरी पर हथौड़ा मारता है। इस्पात में और हवा में सफ़र के समय निकालिए। एक कान पटरी से सटाए सुनने वाले को क्या सुनाई देता है?

हल

हल — अभ्यास 21.3.

इस्पात: $1000/5000 = 0.20\,\mathrm{s}$ ; हवा: $1000/340 \approx 2.9\,\mathrm{s}$ । दो खटके, $2.7\,\mathrm{s}$ के अंतर पर — पहले पटरी वाला।

अभ्यास 21.4 ★

(क) $I = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ के लिए ध्वनि स्तर? (ख) $60\,\mathrm{dB}$ पर तीव्रता? (ग) हर स्तर के पास की एक रोज़मर्रा की ध्वनि बताइए।

हल

हल — अभ्यास 21.4.

(क) $L = 10\log_{10}10^{7} = 70\,\mathrm{dB}$ । (ख) $I = 10^{-12} \times 10^{6} = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ । (ग) $70\,\mathrm{dB}$ : वैक्यूम क्लीनर; $60\,\mathrm{dB}$ : आपस की बातचीत।

अभ्यास 21.5 ★

वायलिन का G तार $f_1 = 196\,\mathrm{Hz}$ बजाता है: उसके अगले तीन संनादी दीजिए। $12\,\mathrm{kHz}$ की सीटी स्रोत पर चाहे कितनी ही समृद्ध हो, कान तक शुद्ध स्वर बनकर क्यों पहुँचती है?

हल

हल — अभ्यास 21.5.

$392\,\mathrm{Hz}\text{, }588\,\mathrm{Hz}\text{ and }784\,\mathrm{Hz}$ . उसके ऊँचे संनादी ( $n \ge 2$ ) $24\,\mathrm{kHz}$ से शुरू होते हैं, जो श्रव्य छत के ऊपर है: इसलिए केवल $12\,\mathrm{kHz}$ वाला मूल स्वर ही सुनाई देता है।

अभ्यास 21.6 ★★

कोई सायरन हर दिशा में समान रूप से $P = 0.50\,\mathrm{W}$ विकिरित करता है। $5.0\,\mathrm{m}$ दूर तीव्रता और ध्वनि स्तर निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 21.6.

$I = 0.50/(4\pi \times 25) \approx 1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $L = 10\log_{10}(1.6 \times 10^{9}) \approx 92\,\mathrm{dB}$ ।

अभ्यास 21.7 ★★

आपकी सीट पर एक वायलिन $68\,\mathrm{dB}$ देता है। दो कितना देंगे? चार? $78\,\mathrm{dB}$ तक पहुँचने के लिए कितने वायलिन चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 21.7.

दो: $+3\,\mathrm{dB} \to 71\,\mathrm{dB}$ ; चार: $74\,\mathrm{dB}$ । $+10\,\mathrm{dB}$ के लिए तीव्रता में $\times 10$ चाहिए: यानी $10$ वायलिन।

अभ्यास 21.8 ★★

किसी छोटे लाउडस्पीकर से $2.0\,\mathrm{m}$ पर स्तर $95\,\mathrm{dB}$ है। $8.0\,\mathrm{m}$ पर स्तर का पूर्वानुमान लगाइए: क्या वह $85\,\mathrm{dB}$ के निशान से नीचे है?

हल

हल — अभ्यास 21.8.

$r \times 4$ : $I \div 16$ , इसलिए $-12\,\mathrm{dB}$ : $83\,\mathrm{dB}$ । हाँ — $85\,\mathrm{dB}$ के निशान से ठीक नीचे।

अभ्यास 21.9 ★★

$440\,\mathrm{Hz}$ का सुर हवा से पानी में जाता है। दोनों माध्यमों में उसका तरंगदैर्घ्य निकालिए। गोताख़ोर को वही तारत्व सुनाई देता है: कौन-सी राशि स्रोत तय करता है, और कौन-सी उसके अनुसार बदल जाती है?

हल

हल — अभ्यास 21.9.

हवा: $340/440 \approx 0.77\,\mathrm{m}$ ; पानी: $1500/440 \approx 3.4\,\mathrm{m}$ । स्रोत आवृत्ति तय करता है; तरंगदैर्घ्य $\lambda = v/f$ माध्यम के अनुसार बदल जाता है।

अभ्यास 21.10 ★★

किसी वर्णक्रम में $130\,\mathrm{Hz}\text{, }260\,\mathrm{Hz}\text{, }390\,\mathrm{Hz}\text{ and }520\,\mathrm{Hz}$ पर घटती ऊँचाइयों के शिखर हैं: मूल स्वर क्या है? दूसरा वाद्य उसी प्रबलता पर वही सुर बजाता है: उसके वर्णक्रम में क्या एक-सा रहेगा, क्या अलग?

हल

हल — अभ्यास 21.10.

$f_1 = 130\,\mathrm{Hz}$ (शिखरों का अंतराल)। एक-सा: स्तंभों की जगहें $nf_1$ (वही तारत्व) और कुल तीव्रता; अलग: स्तंभों की ऊँचाइयाँ — यानी वह मिश्रण जो गुणता बनाता है।

अभ्यास 21.11 ★★

लंबाई $65.0\,\mathrm{cm}$ का गिटार-तार $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ बजाता है। तरंग की चाल निकालिए, फिर वे कंपित लंबाइयाँ जो सप्तक ( $220\,\mathrm{Hz}$ ) और पंचम ( $165\,\mathrm{Hz}$ ) देती हैं।

हल

हल — अभ्यास 21.11.

$v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । सप्तक: $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$ ; पंचम: $L' = 143/330 \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$ ।

अभ्यास 21.12 ★★★

कोई चिकित्सा-यंत्र नरम ऊतक ( $v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) में $5.0\,\mathrm{MHz}$ का पराश्रव्य भेजता है: तरंगदैर्घ्य? किसी अंग की दोनों दीवारों से प्रतिध्वनियाँ $26\,\text{µ}\mathrm{s}$ और $58\,\text{µ}\mathrm{s}$ बाद लौटती हैं: उनकी गहराइयाँ और अंग की मोटाई निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 21.12.

$\lambda = 1540/5.0 \times 10^{6} \approx 0.31\,\mathrm{mm}$ । गहराई $= vt/2$ : $1540 \times 26 \times 10^{-6}/2 \approx 2.0\,\mathrm{cm}$ और $1540 \times 58 \times 10^{-6}/2 \approx 4.5\,\mathrm{cm}$ ; मोटाई $\approx 2.5\,\mathrm{cm}$ ।

अभ्यास 21.13 ★★★

कोई खुला मंच $3.0\,\mathrm{m}$ पर $110\,\mathrm{dB}$ पैदा करता है। उसे छोटा स्रोत मानकर बताइए कि किस दूरी पर स्तर गिरकर $85\,\mathrm{dB}$ रह जाता है? असली दूरी अलग होने के दो कारण दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 21.13.

$-25\,\mathrm{dB}$ का अर्थ है $I \div 10^{2.5} \approx 316$ , इसलिए $r \times \sqrt{316} \approx 17.8$ : $r \approx 3.0 \times 17.8 \approx 53\,\mathrm{m}$ । असली हॉल अलग होते हैं: ज़मीन और दीवारों से परावर्तन तीव्रता जोड़ देते हैं, जबकि हवा और भीड़ उसे सोख लेती हैं (और मंच कोई समदैशिक बिंदु-स्रोत भी नहीं है)।

अभ्यास 21.14 ★★★

पीड़ा-देहली ( $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ) और $I_0$ का अनुपात निकालिए। कर्णपटह को $0.5\,\mathrm{cm}^{2}$ मानकर दोनों देहलियों पर मिलती शक्ति निकालिए; और संसूचक के रूप में कान पर टिप्पणी कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 21.14.

$1/10^{-12} = 10^{12}$ । कर्णपटह $S = 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}$ : मिलती शक्ति देहली पर $5 \times 10^{-17}\,\mathrm{W}$ और पीड़ा पर $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ — यानी कान दसियों ऐटोवाट पकड़ लेता है और उससे खरब गुना पर भी काम करता रहता है: बारह दहाइयों के गतिक परास वाला संसूचक।

अभ्यास 21.15 ★★★

उत्सव के एक जैसे हर लाउडस्पीकर अकेले मिश्रण-मेज़ पर $80\,\mathrm{dB}$ देते हैं। $2$ कितना देंगे? $10$ ? $100$ ? हर अतिरिक्त $+10\,\mathrm{dB}$ का दाम क्या पड़ता है — और इससे प्रबलता की होड़ के बारे में क्या निकलता है?

हल

हल — अभ्यास 21.15.

$2$ : $83\,\mathrm{dB}$ ; $10$ : $90\,\mathrm{dB}$ ; $100$ : $100\,\mathrm{dB}$ । हर अतिरिक्त $+10\,\mathrm{dB}$ का दाम लाउडस्पीकरों का दस गुना होना है: प्रबलता की होड़ चरघातांकी रूप से महँगी है (और जीते जाने से बहुत पहले ही ख़तरनाक)।

21.7 समस्या: वाद्य-कारीगर की कार्यशाला

समस्या 21.1

सप्ताहांत समस्या — वाद्य-कारीगर की कार्यशाला: गिटार का एक तार पर्दा-दर-पर्दा बिछाया गया, उसके संनादी एक गुणता में सुर बिठाए गए, एक संगीत-संध्या ख़तरे की रेखा से नीचे रखी गई, और लकड़ी में छिपे दोष की पराश्रव्य खोज

एक वाद्य-कारीगर गिटार पूरा कर रहा है। उसके A तार की कंपित लंबाई $L = 65.0\,\mathrm{cm}$ है और उसे $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ बजाना है। हवा में ध्वनि के लिए $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ लीजिए, और $f_1 = v/(2L)$ (प्रतिज्ञप्ति 21.17) मान लीजिए, जहाँ $v$ तार पर तरंग की चाल है।

भाग I — पर्दे बिछाना।

तार पर तरंग की चाल $v$ निकालिए।
मूल स्वर का तार पर तरंगदैर्घ्य निकालिए, फिर हवा में $110\,\mathrm{Hz}$ की ध्वनि का तरंगदैर्घ्य। एक ही आवृत्ति पर वे अलग क्यों हैं?
सप्तक ( $220\,\mathrm{Hz}$ ): कौन-सी कंपित लंबाई उसे देती है? बारहवाँ पर्दा $L$ के किस अंश पर बैठना चाहिए?
पंचम ( $165\,\mathrm{Hz}$ ): कौन-सी कंपित लंबाई उसे देती है?
हर पर्दा सुर को एक अर्धस्वर ऊपर चढ़ाता है, यानी गुणक $2^{1/12}$ । लघुगणक से जाँचिए कि $110\,\mathrm{Hz}$ और $220\,\mathrm{Hz}$ के बीच कितने अर्धस्वर हैं; और पहले पर्दे पर लंबाई?

भाग II — संनादी और गुणता।

खुले A तार के पहले पाँच संनादी गिनाइए।
वायलिन-वादक का A $440\,\mathrm{Hz}$ बजाता है। यह गिटार-तार का कौन-सा संनादी है, और मूल स्वर से उसका संगीत-अंतराल कितना है? और $330\,\mathrm{Hz}$ ?
कारीगर पहले घोड़ी के पास तार छेड़ता है, फिर पर्दा-पट्टी के ऊपर: वही तारत्व, अलग रंग। वर्णक्रमों से समझाइए।
छेड़ते समय बीचोंबीच हलका-सा छू देने से वहाँ एक निस्पंद बन जाता है। कौन-से संनादी बचते हैं, और कौन-सा तारत्व सुनाई देता है?
सिद्धांततः खुले तार के कितने संनादी श्रव्य परास के भीतर पड़ते हैं?

भाग III — संगीत-संध्या। गिटार के पहले संगीत-कार्यक्रम में हर वाद्य छोटे स्रोत की तरह हर दिशा में समान रूप से $P = 6.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}$ ध्वनिक शक्ति विकिरित करता है।

एक वाद्य से $r = 3.0\,\mathrm{m}$ पर तीव्रता निकालिए।
वहाँ का ध्वनि स्तर निकालिए।
एक चौकड़ी बजती है: ऐसे चार वाद्य उसी जगह कितना स्तर देंगे? वह चार गुना स्तर क्यों नहीं है?
बारह वाद्य बजते हैं: $3.0\,\mathrm{m}$ पर स्तर क्या है?
पूरी मंडली का स्तर $85\,\mathrm{dB}$ तक गिरने के लिए श्रोता को कितना पीछे बैठना पड़ेगा?
सुरक्षा-नियम: $85\,\mathrm{dB}$ आठ घंटे तक सुरक्षित है, और हर $+3\,\mathrm{dB}$ सुरक्षित समय आधा कर देता है। प्रश्न 14 वाला अगली पंक्ति का श्रोता कितनी देर सुरक्षित बैठ सकता है?

भाग IV — लकड़ी में छिपा दोष। वार्निश करने से पहले कारीगर $45\,\mathrm{mm}$ मोटे गरदन-गुटके को $2.0\,\mathrm{MHz}$ के परीक्षक से जाँचता है; इस लकड़ी में $v = 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ लीजिए।

लकड़ी में पराश्रव्य का तरंगदैर्घ्य निकालिए। दोष खोजने वाली तरंग श्रव्य नहीं, पराश्रव्य ही क्यों होनी चाहिए?
गुटके के पिछले फलक से प्रतिध्वनि का विलंब निकालिए।
कोई प्रतिध्वनि $7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ बाद लौटती है: दोष कितना गहरा है?
कार्यशाला का पर्चा लिखिए: तार पर तरंग की चाल, बारहवें और पहले पर्दे की लंबाइयाँ, सुरक्षित श्रवण-दूरी, और दोष की गहराई।

हल

हल — समस्या 21.1.

1. $v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

2. तार पर $\lambda_1 = 2L = 1.30\,\mathrm{m}$ ; हवा में $\lambda = 340/110 \approx 3.1\,\mathrm{m}$ । $f$ वही है, पर $\lambda = v/f$ और तरंग की चालें अलग हैं।

3. $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$ : बारहवाँ पर्दा ठीक बीच में, घोड़ी से $L/2$ पर बैठता है।

4. $L' = 143/(2 \times 165) \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$ ।

5. $\log(220/110)/\log 2^{1/12} = 12$ अर्धस्वर — यानी सप्तक तक बारह पर्दे। पहला पर्दा: $L_1 = L/2^{1/12} = 65.0/1.059 \approx 61.4\,\mathrm{cm}$ ।

6. $110\,\mathrm{Hz}\text{, }220\,\mathrm{Hz}\text{, }330\,\mathrm{Hz}\text{, }440\,\mathrm{Hz}\text{ and }550\,\mathrm{Hz}$ .

7. $440\,\mathrm{Hz} = 4f_1$ : चौथा संनादी, यानी दो सप्तक ऊपर। $330\,\mathrm{Hz} = 3f_1$ : तीसरा संनादी, यानी एक सप्तक और एक पंचम।

8. छेड़ने की जगह मोडों का मिश्रण तय करती है: घोड़ी के पास ऊँचे संनादी प्रबल रहते हैं (चमकीला वर्णक्रम), पर्दा-पट्टी के ऊपर मूल स्वर हावी रहता है (मुलायम)। $f_1$ वही, इसलिए तारत्व वही — वर्णक्रम अलग, गुणता अलग।

9. केवल वे संनादी बचते हैं जिनका बीचोंबीच निस्पंद हो: यानी सम वाले, $220\,\mathrm{Hz}\text{, }440\,\mathrm{Hz}\text{ and }660\,\mathrm{Hz}$ , …और तारत्व एक सप्तक उछलकर $220\,\mathrm{Hz}$ हो जाता है।

10. $nf_1 \le 20\,\mathrm{kHz}$ : $n \le 20000/110 = 181.8$ , इसलिए $181$ संनादी।

11. $I = P/(4\pi r^2) = 6.0 \times 10^{-3}/(4\pi \times 9.0) \approx 5.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ।

12. $L = 10\log_{10}(5.3 \times 10^{7}) \approx 77\,\mathrm{dB}$ ।

13. $I \times 4$ : $+6\,\mathrm{dB} \to 83\,\mathrm{dB}$ । स्तर लघुगणक हैं: तीव्रताएँ जुड़ती हैं, स्तर नहीं।

14. $+10\log_{10}12 \approx +10.8\,\mathrm{dB} \to 88\,\mathrm{dB}$ ।

15. लक्ष्य $I = I_0 \times 10^{8.5} \approx 3.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ , $12P = 7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{W}$ के साथ: $r = \sqrt{12P/(4\pi I)} \approx \sqrt{18.1} \approx 4.3\,\mathrm{m}$ ।

16. $88\,\mathrm{dB}$ आठ घंटे की सीमा से $+3\,\mathrm{dB}$ ऊपर है: सुरक्षित समय एक बार आधा होता है — यानी चार घंटे। संगीत-संध्या इसमें अँट जाती है।

17. $\lambda = 5000/2.0 \times 10^{6} = 2.5\,\mathrm{mm}$ । कोई तरंग उन्हीं दोषों से परावर्तित होती है जो कम से कम लगभग एक तरंगदैर्घ्य चौड़े हों: लकड़ी में श्रव्य ध्वनि का $\lambda$ दसियों सेंटीमीटर होता है और वह किसी भी छोटे दोष के चारों ओर से मुड़ जाती है।

18. $t = 2d/v = 2 \times 0.045/5000 = 18\,\text{µ}\mathrm{s}$ ।

19. $d = vt/2 = 5000 \times 7.2 \times 10^{-6}/2 = 18\,\mathrm{mm}$ ।

20. पर्चा: तार पर $v = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; पर्दे $32.5\,\mathrm{cm}$ (बारहवाँ) और $61.4\,\mathrm{cm}$ (पहला) पर; मंडली $\approx 4.3\,\mathrm{m}$ से आगे सुरक्षित; दोष $18\,\mathrm{mm}$ गहरा — चार संख्याएँ, एक अध्याय।

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