माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

24द्विविमीय शुद्धगतिकी

किसी कार को गोल चक्कर पर स्थिर $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से घूमते देखिए: चालमापी की सुई हिलती तक नहीं, फिर भी हर सवारी को बग़ल की ओर खिंचाव महसूस होता है — यानी गति बदल रही है, और बदल रही चीज़ चाल नहीं है। अब हर क्षण के लिए एक संख्या काफ़ी नहीं रही: समतल में गति के लिए तीर चाहिए। यह अध्याय चलते बिंदु को तीन तीर सौंपता है — स्थिति, वेग, त्वरण — जिन्हें अवकलज एक शृंखला में बाँधता है, और फिर गति के पूरे-के-पूरे कुल उनकी ज्यामिति से पढ़ लेता है।

24.1 स्थिति सदिश

गति केवल किसी स्पष्ट रूप से बताए गए निर्देश तंत्र के सापेक्ष होती है — यानी एक दृढ़ पिंड और एक घड़ी (अध्याय 5)। इस वर्ष नई बात परिशुद्धता है: उस तंत्र में एक मूल बिंदु $O$ और दो परस्पर लंब अंशांकित अक्ष $Ox$ , $Oy$ जोड़ दीजिए, और हर क्षण बिंदु कहाँ है यह फलनों के एक युग्म के रूप में दर्ज कीजिए।

परिभाषा 24.1 (स्थिति सदिश)

मूल बिंदु $O$ और अक्षों $Ox$ , $Oy$ से सजे तंत्र में समय $t$ पर चलते बिंदु $M$ का स्थिति सदिश $\vect{OM}(t)$ है, जिसके निर्देशांक $\bigl(x(t),\, y(t)\bigr)$ हैं: यानी समय के दो फलन, हर अक्ष के लिए एक। $t$ के बदलते जाने पर $M$ जो वक्र खींचता है वही उसका गतिपथ है।

24.2 वेग सदिश

परिभाषा 24.2 (वेग सदिश)

किसी छोटे अंतराल में बिंदु $\vect{OM}(t+\Delta t) - \vect{OM}(t)$ जितना खिसकता है; उसे $\Delta t$ से भाग दीजिए और अंतराल को सिकुड़ने दीजिए: यही आपके गणित के पाठ्यक्रम का अवकलज है, हर निर्देशांक पर लगाया हुआ। $M$ का वेग सदिश उसके स्थिति सदिश का अवकलज है, $\vect v(t) = \bigl(x'(t),\, y'(t)\bigr)$ , जिसका मात्रक $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ है। उसका मानक $v = \sqrt{x'^2 + y'^2}$ ही चाल है — वही एक संख्या जो चालमापी दिखाता है।

उदाहरण 24.3 (समतल उड़ान भरता ड्रोन)

कोई ड्रोन $x(t) = 4.0\,t$ और $y(t) = 3.0\,t$ (मीटर, सेकंड) के साथ उड़ता है: गतिपथ रेखा $y = \tfrac34 x$ , वेग हर समय $\vect v = (4.0, 3.0)$ , और चाल $\sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , अचर।

प्रतिज्ञप्ति 24.4 (गतिपथ का स्पर्शी)

हर क्षण $\vect v(t)$ $M$ की वर्तमान स्थिति पर गतिपथ का स्पर्शी होता है, और चलने की दिशा में संकेत करता है।

उपपत्ति. विस्थापन गतिपथ की एक जीवा है; और $\Delta t$ के सिकुड़ते ही जीवा की दिशा स्पर्शी की दिशा बन जाती है। ∎

24.3 त्वरण सदिश

परिभाषा 24.5 (त्वरण सदिश)

$M$ का त्वरण सदिश उसके वेग सदिश का अवकलज है, $\vect a(t) = \bigl(v_x'(t),\, v_y'(t)\bigr) = \bigl(x''(t),\, y''(t)\bigr)$ , जिसका मात्रक $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ है: यानी वेग सदिश इस समय कितनी तेज़ी से और किस दिशा में बदल रहा है।

टिप्पणी 24.6 (चाल बढ़ाए बिना त्वरण)

जब भी वेग-सदिश बदलता है — लंबाई में या दिशा में — $\vect a \neq \vect 0$ : ब्रेक लगाती कार त्वरित होती है (पीछे की ओर); अचर चाल पर मुड़ती कार त्वरित होती है (बग़ल की ओर)। यही वह राशि है जिसे बल नियंत्रित करते हैं (अध्याय 16 और 25)।

विधि 24.7 (कालक्रम-चित्र पढ़ना)

कालक्रम-चित्र किसी चलते बिंदु की स्थितियाँ $M_0, M_1, M_2, \dots$ बराबर समय-अंतरालों $\Delta t$ पर दर्ज करता है।

बिंदुओं का अंतराल चाल बताता है: बराबर अंतराल, अचर चाल; खुलते अंतराल, चाल बढ़ रही है; सिकुड़ते अंतराल, घट रही है।
$M_i$ पर वेग सममित जीवा है, $\vect v_i \approx \vect{M_{i-1}M_{i+1}}/(2\,\Delta t)$ , जो $M_i$ पर खींची जाती है और बिंदुओं वाले पथ की स्पर्शी होती है।
$M_i$ पर त्वरण के लिए: $\vect v_{i-1}$ और $\vect v_{i+1}$ को $M_i$ पर उतार लीजिए, सिरे से सिरे तक $\Delta\vect v = \vect v_{i+1} - \vect v_{i-1}$ खींचिए; फिर $\vect a_i \approx \Delta\vect v/(2\,\Delta t)$ ।

फेंकी गई गेंद का कालक्रम-चित्र: जीवाओं से बने v_2 और v_4 को M_3 पर उतारा गया है; और उनका अंतर v a सौंप देता है — ऊर्ध्वाधर, नीचे की ओर। — फेंकी गई गेंद का कालक्रम-चित्र: जीवाओं से बने $\vect v_2$ और $\vect v_4$ को $M_3$ पर उतारा गया है; और उनका अंतर $\Delta\vect v$ $\vect a$ सौंप देता है — ऊर्ध्वाधर, नीचे की ओर।

24.4 सरल रेखीय गतियाँ

सरल रेखा पर एक ही अक्ष काफ़ी है: $x(t)$ , $v(t) = x'(t)$ , $a(t) = v'(t)$ , और तीनों चिह्न सहित संख्याएँ।

परिभाषा 24.8 (सरल रेखीय एकसमान गति)

कोई गति सरल रेखीय एकसमान तब है जब $\vect v$ अचर सदिश हो: सीधा गतिपथ, अचर चाल, $\vect a = \vect 0$ । तब $x(t) = v\,t + x_0$ ।

प्रतिज्ञप्ति 24.9 (सरल रेखा में एकसमान त्वरित गति)

यदि कोई बिंदु $Ox$ के अनुदिश अचर त्वरण $a$ के साथ चले और $t = 0$ पर स्थिति $x_0$ से वेग $v_0$ लेकर चले, तो

v(t) = a\,t + v_0, \qquad x(t) = \tfrac12\,a\,t^2 + v_0\,t + x_0 .

उपपत्ति. $v$ अचर $a$ का प्रतिअवकलज है: $v(t) = a t + C$ , और $t = 0$ से $C = v_0$ बाध्य हो जाता है। उसी तरह $x$ $a t + v_0$ का प्रतिअवकलज है: $x(t) = \tfrac12 a t^2 + v_0 t + C'$ , जहाँ $C' = x_0$ । ∎

एकसमान त्वरित गति (a = 2.0\, m/ s2, v_0 = 1.0\, m/ s, x_0 = 0): हर आलेख अपने ऊपर वाले का अवकलज है — एक परवलय, उसकी ढाल, और ढाल की ढाल। — एकसमान त्वरित गति ( $a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $v_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $x_0 = 0$ ): हर आलेख अपने ऊपर वाले का अवकलज है — एक परवलय, उसकी ढाल, और ढाल की ढाल।

उदाहरण 24.10 (रुकने की दूरी)

$v_0$ चाल वाली कार अचर मंदन $a$ (त्वरण $-a$ ) से ब्रेक लगाती है। वह तब रुकती है जब $v(t) = -a t + v_0 = 0$ , यानी $t_s = v_0/a$ पर, और तब तक $d = -\tfrac12 a t_s^2 + v_0 t_s = v_0^2/(2a)$ तय कर चुकी होती है। सड़क-सुरक्षा की सुर्ख़ी यही वर्ग है: चाल दुगुनी कीजिए और रुकने की दूरी चौगुनी हो जाती है — $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ के साथ, $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से $16\,\mathrm{m}$ , और $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से $64\,\mathrm{m}$ ।

24.5 एकसमान वृत्तीय गति और फ्रेने आधार

परिभाषा 24.11 (एकसमान वृत्तीय गति)

कोई गति एकसमान वृत्तीय तब है जब गतिपथ त्रिज्या $R$ का वृत्त हो और चाल $v$ अचर हो। आवर्तकाल $T$ एक चक्कर की अवधि है, और आवृत्ति $f = 1/T$ ( $\mathrm{Hz}$ में) प्रति सेकंड चक्करों की संख्या: $v = 2\pi R/T = 2\pi R f$ ।

अचर चाल — फिर भी वेग मुड़ता जाता है: तो त्वरण है। किस ओर, और कितना बड़ा?

प्रमेय 24.12 (अभिकेंद्र त्वरण)

त्रिज्या $R$ और चाल $v$ वाली एकसमान वृत्तीय गति में त्वरण — जिसे अभिकेंद्र कहते हैं — चलते बिंदु से वृत्त के केंद्र की ओर संकेत करता है, और उसका मानक अचर रहता है:

a = \frac{v^2}{R}.

उपपत्ति. अक्षों को वृत्त के केंद्र पर रखिए और $\omega = v/R$ लीजिए, ताकि चाप $v t$ कोण $\omega t$ बनाए: तब स्थिति $x(t) = R\cos(\omega t)$ , $y(t) = R\sin(\omega t)$ है। अवकलन करने पर $\vect v = (-R\omega\sin(\omega t),\, R\omega\cos(\omega t))$ , जिसका मानक अचर $R\omega = v$ है; और दुबारा अवकलन करने पर $\vect a = -\omega^2\,\vect{OM}$ : यानी स्थिति सदिश के विपरीत — केंद्र की ओर — और मानक $\omega^2 R = v^2/R$ । ∎

एकसमान वृत्तीय गति: v स्पर्शी, नियत लंबाई का; a केंद्र की ओर ताका हुआ, नियत लंबाई v2/R का — यानी वेग को सदा मोड़ता हुआ, पर उसे कभी खींचता नहीं। — एकसमान वृत्तीय गति: $\vect v$ स्पर्शी, नियत लंबाई का; $\vect a$ केंद्र की ओर ताका हुआ, नियत लंबाई $v^2/R$ का — यानी वेग को सदा मोड़ता हुआ, पर उसे कभी खींचता नहीं।

परिभाषा 24.13 (फ्रेने आधार)

वक्र पथ पर चलते बिंदु की वर्तमान स्थिति पर फ्रेने आधार परस्पर लंब एकांक सदिशों का युग्म $(\vect{u_t}, \vect{u_n})$ है: $\vect{u_t}$ स्पर्शी, गति के अनुदिश; और $\vect{u_n}$ अभिलंब, उस त्रिज्या $R$ वाले वृत्त के केंद्र की ओर जो वक्र से वहाँ सबसे अच्छा बैठता है।

प्रतिज्ञप्ति 24.14 (फ्रेने आधार में त्वरण)

स्थानीय त्रिज्या $R$ वाले किसी भी समतल पथ पर, जिसे चाल $v(t)$ से तय किया जा रहा हो,

\vect a = a_t\,\vect{u_t} + a_n\,\vect{u_n}, \qquad a_t = \frac{\dd v}{\dd t}, \qquad a_n = \frac{v^2}{R}:

जहाँ स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t$ चाल बदलता है और अभिलंब त्वरण $a_n$ वेग को मोड़ता है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 24.15 (उपपत्ति कहाँ रहती है)

हमने दोनों सिरे सिद्ध कर लिए हैं: रेखा पर विशुद्ध $a_t$ (प्रतिज्ञप्ति 24.9) और वृत्त पर विशुद्ध $a_n$ (प्रमेय 24.12); और सामान्य विभाजन वर्ष 1 के खंड में निकाला गया है।

उदाहरण 24.16 (मोड़ में ब्रेक)

कोई कार $\dd v/\dd t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ से ब्रेक लगाते हुए त्रिज्या $R = 50\,\mathrm{m}$ के मोड़ में $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर घुसती है: $a_t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $a_n = 15^2/50 = 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , इसलिए $a = \sqrt{3.0^2 + 4.5^2} \approx 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , जो पीछे की ओर और मोड़ के भीतर की ओर संकेत करता है। टायरों को दोनों एक साथ देने पड़ते हैं — और इसीलिए दौड़ के चालक मोड़ से पहले ब्रेक लगाते हैं।

24.6 अभ्यास

अभ्यास 24.1 ★

$x(t) = 3.0\,t$ , $y(t) = 4.0\,t$ (मीटर, सेकंड) के लिए $\vect v$ , चाल, गतिपथ और गति का वर्ग बताइए।

हल

हल — अभ्यास 24.1.

$\vect v = (3.0, 4.0)$ , अचर; चाल $\sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । गतिपथ: रेखा $y = \tfrac43 x$ । वेग सदिश अचर है: यानी सरल रेखीय एकसमान गति।

अभ्यास 24.2 ★

हर $0.10\,\mathrm{s}$ पर लिए गए कालक्रम-चित्र में बिंदु एक रेखा पर, बराबर $0.35\,\mathrm{m}$ की दूरी पर पड़े हैं। गति पहचानिए और चाल निकालिए। खुलते अंतराल किसका संकेत होते?

हल

हल — अभ्यास 24.2.

सीधी रेखा, बराबर अंतराल: सरल रेखीय एकसमान; $v = 0.35/0.10 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । खुलते अंतराल का अर्थ होता कि चाल बढ़ रही है।

अभ्यास 24.3 ★

$Ox$ के अनुदिश $x(t) = 2.0\,t^2$ के लिए (मीटर, सेकंड) $v(t)$ और $a(t)$ निकालिए, गति का वर्ग बताइए, और $t = 3.0\,\mathrm{s}$ पर चाल निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 24.3.

$v(t) = 4.0\,t$ , $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : अचर त्वरण, यानी सरल रेखा में एकसमान त्वरित गति। $v(3.0) = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 24.4 ★

हिंडोले का घोड़ा त्रिज्या $4.5\,\mathrm{m}$ के वृत्त पर हर $8.0\,\mathrm{s}$ में एक चक्कर लगाता है: आवृत्ति, चाल और त्वरण (मानक और दिशा) निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 24.4.

$f = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{Hz}$ ; $v = 2\pi \times 4.5/8.0 \approx 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = v^2/R = 3.53^2/4.5 \approx 2.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , जो हिंडोले की धुरी की ओर संकेत करता है।

अभ्यास 24.5 ★

कोई $v(t)$ आलेख $t = 0$ पर $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से सीधा चढ़कर $t = 4.0\,\mathrm{s}$ पर $10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ हो जाता है। उससे त्वरण पढ़िए, फिर तय की गई दूरी (आलेख के नीचे का क्षेत्रफल)।

हल

हल — अभ्यास 24.5.

ढाल: $a = (10.0 - 2.0)/4.0 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । क्षेत्रफल (समलंब): $d = \tfrac12 (2.0 + 10.0) \times 4.0 = 24\,\mathrm{m}$ ।

अभ्यास 24.6 ★★

कोई तेज़ रफ़्तार रेलगाड़ी त्रिज्या $6.0\,\mathrm{km}$ का मोड़ $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर पार करती है। $a_n$ निकालिए और उसकी तुलना $g$ से कीजिए; तेज़ रफ़्तार पटरियों को कसे हुए मोड़ों से, चाहे वे पूरी तरह झुके ही क्यों न हों, क्यों बचना पड़ता है?

हल

हल — अभ्यास 24.6.

$v = 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $a_n = 88.9^2/6000 \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.13\,g$ । चूँकि $a_n = v^2/R$ , इसलिए ऊँची $v$ के लिए विशाल $R$ चाहिए, ताकि बग़ल का त्वरण (और पटरी तथा यात्रियों पर लगता बल) सहने लायक़ रहे — झुकाव केवल यह बदलता है कि उसे देता कौन है, उसका आकार नहीं।

अभ्यास 24.7 ★★

सीधी पटरी पर चलती ठेली के लिए $x(t) = -1.2\,t^2 + 8.0\,t + 3.0$ है (मीटर, सेकंड)। $v(t)$ और $a$ निकालिए, फिर पलटने का क्षण और स्थान, और उससे पहले तथा बाद की गति का वर्णन कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 24.7.

$v(t) = -2.4\,t + 8.0$ ; $a = -2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , अचर। पलटाव $v = 0$ पर: $t = 8.0/2.4 \approx 3.3\,\mathrm{s}$ , यानी $x \approx 16.3\,\mathrm{m}$ पर। उससे पहले: आगे की ओर, धीमी पड़ती हुई; उसके बाद: पीछे की ओर, तेज़ होती हुई — और पूरे समय एकसमान त्वरित।

अभ्यास 24.8 ★★

किसी रेखा के अनुदिश हर $\Delta t = 0.20\,\mathrm{s}$ पर लिया गया कालक्रम-चित्र $x = 0$ , $0.10$ , $0.28$ , $0.54$ , $0.88\,\mathrm{m}$ देता है। बीच के तीनों बिंदुओं पर वेग का अनुमान लगाइए (विधि 24.7), फिर त्वरण का; और निष्कर्ष लिखिए।

हल

हल — अभ्यास 24.8.

$v_1 = 0.28/0.40 = 0.70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_2 = (0.54 - 0.10)/0.40 = 1.10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_3 = (0.88 - 0.28)/0.40 = 1.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । वेग हर $0.20\,\mathrm{s}$ में $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ बढ़ता है: $a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , अचर — यानी सरल रेखा में एकसमान त्वरित गति।

अभ्यास 24.9 ★★

चंद्रमा $27.3\,\mathrm{d}$ में त्रिज्या $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ के लगभग वृत्त पर पृथ्वी की परिक्रमा करता है। उसकी चाल और उसका अभिकेंद्र त्वरण निकालिए; और यह जानते हुए कि चंद्रमा लगभग $60$ पृथ्वी-त्रिज्या दूर है (अध्याय 4), दूसरे की तुलना $g$ से कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 24.9.

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $v = 2\pi \times 3.84 \times 10^{8}/2.36 \times 10^{6} \approx 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । अनुपात: $g/a_n \approx 3600 = 60^2$ — यानी दूरी के व्युत्क्रम-वर्ग से पतला पड़ा गुरुत्व (अध्याय 4) चंद्रमा के मुड़ने का ठीक-ठीक हिसाब दे देता है।

अभ्यास 24.10 ★★

त्रिज्या $25\,\mathrm{cm}$ का कपड़े धोने की मशीन का ढोल $1200$ चक्कर प्रति मिनट से घूमता है। $f$ , $T$ , किनारे की चाल और किनारे का त्वरण $g$ के गुणजों में निकालिए। कपड़े चिपके क्यों रह जाते हैं जबकि पानी निकल जाता है?

हल

हल — अभ्यास 24.10.

$f = 1200/60 = 20\,\mathrm{Hz}$ , $T = 0.050\,\mathrm{s}$ ; $v = 2\pi R f = 2\pi \times 0.25 \times 20 \approx 31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 400\,g$ । कपड़ों को उनका $a_n$ ढोल की दीवार देती है; पर छेदों से होकर पानी को भीतर की ओर कोई नहीं धकेलता, इसलिए वह स्पर्शी के अनुदिश उड़ जाता है।

अभ्यास 24.11 ★★

$90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर चलती कार अचर $a = 7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ से ब्रेक लगाती है: रुकने का समय और ब्रेक-दूरी निकालिए, और $v(t)$ का रेखाचित्र बनाइए।

हल

हल — अभ्यास 24.11.

$v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $t_s = 25/7.5 \approx 3.3\,\mathrm{s}$ ; $d = v_0^2/(2a) = 625/15 \approx 42\,\mathrm{m}$ । आलेख: $t_s$ पर $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से $0$ तक उतरता एक सीधा खंड।

अभ्यास 24.12 ★★★

$x(t) = R\cos(\omega t)$ , $y(t) = R\sin(\omega t)$ के लिए: $\vect v$ निकालिए; जाँचिए कि चाल अचर $R\omega$ है और $\vect v \perp \vect{OM}$ ; फिर $\vect a$ निकालिए, दिखाइए कि वह $-\omega^2\,\vect{OM}$ है, और $a = v^2/R$ फिर से पाइए।

हल

हल — अभ्यास 24.12.

$\vect v = (-R\omega\sin\omega t,\, R\omega\cos\omega t)$ , जिसका मानक अचर $R\omega$ है; और $\vect{OM}$ के साथ उसका अदिश गुणनफल लुप्त हो जाता है, इसलिए वह त्रिज्या के लंबवत, यानी स्पर्शी है। दुबारा अवकलन करने पर $\vect a = -\omega^2\vect{OM}$ : $O$ की ओर, मानक $\omega^2 R = (v/R)^2 R = v^2/R$ ।

अभ्यास 24.13 ★★★

कोई मोटरसाइकिल $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ से ब्रेक लगाते हुए त्रिज्या $80\,\mathrm{m}$ के मोड़ में $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर घुसती है। $a_t$ , $a_n$ , $\vect a$ का मानक और गति की दिशा से उसका कोण निकालिए। टायर कुल मिलाकर $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ तक पकड़ते हैं: क्या सवार सीमा के भीतर है?

हल

हल — अभ्यास 24.13.

$a_t = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (पीछे की ओर), $a_n = 20^2/80 = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $a = \sqrt{2.5^2 + 5.0^2} \approx 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; गति की दिशा से कोण: $\theta = 180^\circ - \arctan(5.0/2.5) \approx 117^\circ$ (यानी सीधे पीछे से $63^\circ$ )। $5.6 < 7.0$ : पकड़ के भीतर, पर हाशिया बहुत कम।

अभ्यास 24.14 ★★★

कोई मेट्रो विराम से $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ पर $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ तक त्वरित होती है, $40\,\mathrm{s}$ तक उसी चाल पर चलती है, फिर $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ से ब्रेक लगाकर रुक जाती है। हर चरण की अवधि और लंबाई, कुल दूरी और औसत चाल निकालिए। $v(t)$ का रेखाचित्र बनाइए और दूरी को क्षेत्रफल के रूप में जाँचिए।

हल

हल — अभ्यास 24.14.

चढ़ाई: $t_1 = 20/1.2 \approx 17\,\mathrm{s}$ , $d_1 = 20^2/(2 \times 1.2) \approx 167\,\mathrm{m}$ । एक-सी चाल: $40\,\mathrm{s}$ , $800\,\mathrm{m}$ । ब्रेक: $t_3 = 20/1.5 \approx 13\,\mathrm{s}$ , $d_3 = 400/3.0 \approx 133\,\mathrm{m}$ । कुल: $70\,\mathrm{s}$ में $1.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ ; औसत $1100/70 \approx 16\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ )। $v(t)$ एक समलंब है जिसका क्षेत्रफल $\tfrac12(70 + 40) \times 20 = 1100\,\mathrm{m}$ कुल दूरी की जाँच कर देता है।

अभ्यास 24.15 ★★★

कोई भूस्थिर उपग्रह पृथ्वी के केंद्र से त्रिज्या $4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ पर आवर्तकाल $86\,164\,\mathrm{s}$ के साथ चक्कर लगाता है। उसकी चाल और उसका अभिकेंद्र त्वरण निकालिए। उसे देता कौन है, और उपग्रह भूमध्य रेखा के एक ही नियत बिंदु के ऊपर क्यों टँगा रहता है (अध्याय 27)?

हल

हल — अभ्यास 24.15.

$v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx 3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 0.22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ । उस दूरी पर पृथ्वी का गुरुत्व उसे देता है; और आवर्तकाल पृथ्वी के घूर्णन-आवर्तकाल के बराबर है, इसलिए उपग्रह और ज़मीन साथ-साथ घूमते हैं और वह भूमध्य रेखा के एक ही बिंदु के ऊपर टँगा रहता है (अध्याय 27)।

24.7 समस्या: दुर्घटना की रिपोर्ट

समस्या 24.1

सप्ताहांत समस्या — दुर्घटना की रिपोर्ट: फ़्रेम-दर-फ़्रेम पढ़ी गई डैशकैम की फ़िल्म, घिसटन के निशानों से फिर खड़ा किया गया ब्रेक का नियम, पकड़ के बारे में गवाही देता एक गोल चक्कर, और किलोमीटर प्रति घंटे में सुनाया गया फ़ैसला

गली से निकलती एक वैन से कार टकरा जाती है; चोट किसी को नहीं आई, पर बीमा कंपनियाँ आपस में सहमत नहीं। जाँचकर्ता के पास ऊपर से लिया गया कैमरा-फ़ुटेज (हर $0.50\,\mathrm{s}$ पर एक फ़्रेम), नापे गए घिसटन के निशान और कार की डैशकैम है। चाल-सीमा $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ है।

भाग I — फ़िल्म पढ़ना। किसी भी प्रतिक्रिया से पहले के फ़्रेम, सीधी सड़क के अनुदिश, ये देते हैं:

$t$ ( $\mathrm{s}$ )	0.00	0.50	1.00	1.50	2.00
$x$ ( $\mathrm{m}$ )	0.0	9.0	18.0	27.0	36.0

रिपोर्ट को सबसे पहले तंत्र और अक्ष क्यों बताने चाहिए? यहाँ कौन-से लिए गए हैं?
चारों अंतरालों में से हर एक पर औसत वेग निकालिए।
यह गति किस वर्ग की है? सारणी से कारण दीजिए।
कार की चाल $v_0$ $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ में दीजिए।
इन दो सेकंडों में त्वरण क्या है?

भाग II — घिसटन के निशान। इस सूखी डामर पर टायर-परीक्षण अचर ब्रेक-मंदन $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ देते हैं; और घिसटन के निशान $d_b = 27\,\mathrm{m}$ लंबे हैं। ब्रेक लगने के आरंभ पर $t = 0$ , $x = 0$ लीजिए, और अनजान चाल $v_B$ ।

प्रतिअवकलजों से ब्रेक लगने के दौरान $v(t)$ और $x(t)$ लिखिए।
रुकने का समय $t_s$ लिखिए; दिखाइए कि $d_b = v_B^2/(2a)$ ।
घिसटन के निशानों से $v_B$ निकालिए। क्या यह भाग I से संगत है?
प्रतिक्रिया-समय $1.0\,\mathrm{s}$ है: प्रतिक्रिया-दूरी और रुकने की कुल दूरी निकालिए।
प्रश्न 7 से समझाइए कि चाल दुगुनी करने पर ब्रेक-दूरी चौगुनी क्यों हो जाती है; और ठीक $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर $d_b$ निकालिए।

भाग III — गोल चक्कर की गवाही। इससे पहले डैशकैम कार को त्रिज्या $R = 12.5\,\mathrm{m}$ वाली गोल चक्कर की गली में अचर चाल से घूमते दिखाती है, और चौथाई चक्कर $2.5\,\mathrm{s}$ में। सड़क अधिक से अधिक $a_n = \mu g$ दे सकती है, जहाँ $\mu = 0.70$ ।

वहाँ चाल अचर है — क्या वेग भी? क्या कार त्वरित हो रही है? समझाइए।
गोल चक्कर पर कार की चाल निकालिए।
उसका अभिकेंद्र त्वरण (मानक और दिशा) निकालिए।
बिना फिसले अधिकतम चाल निकालिए। क्या कार उसके भीतर थी?
उस चाल पर पूरे चक्कर का आवर्तकाल और आवृत्ति दीजिए।

भाग IV — फ़ैसला। जिस क्षण चालक ने प्रतिक्रिया शुरू की, उस समय वैन कार से $D = 41\,\mathrm{m}$ आगे प्रकट हुई थी।

ब्रेक लगने से पहले की चाल सीमा से कितनी अधिक थी, $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ में और प्रतिशत में?
टक्कर के क्षण कार की चाल निकालिए।
ठीक $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर (वही प्रतिक्रिया, वही ब्रेक) रुकने की गणना दोहराइए: क्या कार रुक जाती, और कितने हाशिये से?
रुकने की दूरी का सामान्य सूत्र $d(v)$ दीजिए; उसमें चाल दो बार क्यों आती है — एक बार रैखिक रूप में, एक बार वर्ग में?
फ़ैसला, संख्याओं समेत एक वाक्य में: चालक किस चाल पर था, और क्या सीमा पर चलते हुए यह दुर्घटना होती?

हल

हल — समस्या 24.1.

1. गति सापेक्ष होती है (अध्याय 5): हर स्थिति और हर वेग को अपना तंत्र बताना ही पड़ता है। यहाँ: ज़मीन (सड़क) का तंत्र, और सड़क के अनुदिश $x$ , जो पहले फ़्रेम की स्थिति से नापा गया है।

2. हर अंतराल पर: $9.0/0.50 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — चारों बराबर।

3. सीधी सड़क, बराबर समय में बराबर विस्थापन: सरल रेखीय एकसमान गति।

4. $v_0 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 64.8\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ।

5. $\vect a = \vect 0$ ।

6. $v(t) = -a\,t + v_B$ ; $x(t) = -\tfrac12 a t^2 + v_B\,t$ ।

7. $v(t_s) = 0$ से $t_s = v_B/a$ मिलता है; फिर $d_b = -\tfrac12 a (v_B/a)^2 + v_B^2/a = v_B^2/(2a)$ ।

8. $v_B = \sqrt{2 a d_b} = \sqrt{2 \times 6.0 \times 27} = \sqrt{324} = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — यानी ठीक वही चाल जो फ़िल्म में थी: चालक ने ब्रेक लगाने से पहले गति बिलकुल कम नहीं की।

9. प्रतिक्रिया: $18.0 \times 1.0 = 18\,\mathrm{m}$ ; कुल $18 + 27 = 45\,\mathrm{m}$ ।

10. $d_b = v_B^2/(2a) \propto v_B^2$ : $v_B$ दुगुना करने पर $d_b$ $4$ से गुणा हो जाता है। $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) पर: $d_b = 13.9^2/12.0 \approx 16\,\mathrm{m}$ ।

11. चाल अचर है पर वेग की दिशा मुड़ती जाती है: इसलिए $\vect v$ अचर नहीं है, और कार त्वरित हो रही है।

12. चौथाई चक्कर: $2\pi R/4 = 19.6\,\mathrm{m}$ ; $v = 19.6/2.5 \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ )।

13. $a_n = 7.85^2/12.5 \approx 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , गोल चक्कर के केंद्र की ओर।

14. $a_{\max} = \mu g = 0.70 \times 9.81 \approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v_{\max} = \sqrt{\mu g R} = \sqrt{6.87 \times 12.5} \approx 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $33\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ )। $7.9 < 9.3$ : पकड़ के भीतर — और यह उस साफ़, बिना घिसटन वाली गली से मेल खाता है।

15. $T = 2\pi R/v = 78.5/7.85 \approx 10.0\,\mathrm{s}; f = 0.10\,\mathrm{Hz}$ ।

16. $64.8 - 50 \approx 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ अधिक — यानी सीमा से लगभग $30\%$ ऊपर।

17. ब्रेक $41 - 18 = 23\,\mathrm{m}$ पर लगता है: $v^2 = v_B^2 - 2ad = 324 - 2 \times 6.0 \times 23 = 48$ , इसलिए टक्कर के क्षण $v \approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ।

18. $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर: $13.9 \times 1.0 + 13.9^2/12.0 = 13.9 + 16.1 = 30.0\,\mathrm{m} < 41\,\mathrm{m}$ — यानी कार वैन से $11\,\mathrm{m}$ पहले ही रुक जाती।

19. $d(v) = v\,t_r + v^2/(2a)$ : एक बार रैखिक रूप में (प्रतिक्रिया ब्रेक लगने से पहले $v t_r$ तय कर लेती है) और एक बार वर्ग में (गतिज हिस्सा $v^2/(2a)$ ) — और इसीलिए मामूली-सी अधिकता का दाम अनुपात से कहीं अधिक पड़ता है।

20. डैशकैम और घिसटन के निशान एक ही बात कहते हैं: $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ वाले क्षेत्र में $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; और वैध सीमा पर चलती कार वैन से $11\,\mathrm{m}$ पहले रुक जाती — यानी दुर्घटना उस अतिरिक्त $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ का नाम है।