16बल और गति

हल — अभ्यास 16.1.

(क) वेग अचर: परिणामी बल शून्य। (ख) चाल बदलती है: शून्येतर, गति के विपरीत। (ग) दिशा बदलती है (वेग सदिश है): शून्येतर, मोड़ के भीतर की ओर। (घ) वेग अचर: शून्य — भार और कर्षण संतुलित हैं।

हल — अभ्यास 16.2.

$d_1 + d_2 = 0.80\,\mathrm{m}$ के साथ $d_1/d_2 = 1.0/3.0$: $3.0\,\mathrm{kg}$ गेंद से $d_1 = 0.20\,\mathrm{m}$। द्रव्यमान बराबर हों तो बीच में, हर एक से $0.40\,\mathrm{m}$।

हल — अभ्यास 16.3.

वही $F\Delta t$, तिगुना द्रव्यमान: लदी हुई ठेली का $\Delta v$ तीन गुना छोटा। ख़ाली ठेली के $\Delta v$ की बराबरी के लिए तीन गुना ज़ोर से धकेलिए (या तीन गुना देर तक)।

हल — अभ्यास 16.4.

$\Delta \vect v$: $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, जिसकी दिशा पीछे की ओर है ($10$ से $8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की ओर)। परिणामी बल भी उसी ओर है: $\vect v$ के विपरीत — यानी स्थिति 2, धीमा पड़ना।

हल — अभ्यास 16.5.

(क) स्थैतिक, आपके धक्के के विपरीत (अभी सरकना शुरू नहीं हुआ)। (ख) गतिज, सरकने के विपरीत। (ग) स्थैतिक, ढलान पर ऊपर की ओर — उस सरकाव के विरुद्ध जिसे गुरुत्व शुरू करना चाहता है।

हल — अभ्यास 16.6.

$\Delta v \propto F\Delta t/m$: (क) $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; (ख) $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; (ग) $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; (घ) $4.0 \times \frac{3 \times 2}{6} = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — तीनों बदलाव आपस में कट जाते हैं।

हल — अभ्यास 16.7.

$v' = \sqrt{8.0^2 + 6.0^2} = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\tan\theta = 6.0/8.0$ पर, यानी पूरब से $\theta \approx 37^\circ$ उत्तर की ओर। वेग सदिशों की तरह जुड़ते हैं: लंबवत योगदान पाइथागोरस से जुड़ते हैं, परिमाणों के जोड़ से नहीं।

हल — अभ्यास 16.8.

पहले से तय: गेंद का द्रव्यमान और उसका $\Delta v$ (आती चाल से शून्य तक), इसलिए गुणनफल $F\Delta t$ भी। $\Delta t$ को $0.02\,\mathrm{s}$ से खींचकर $0.08\,\mathrm{s}$ कर देने पर औसत बल $4$ से बँट जाता है।

हल — अभ्यास 16.9.

जूते पर पटरी का स्थैतिक घर्षण: पैर ज़मीन को पीछे धकेलता है, और परस्पर संस्पर्श बल धावक को आगे। काँटे अधिकतम स्थैतिक घर्षण बढ़ा देते हैं (पूरा ज़ोर लगाने पर भी फिसलन नहीं)। घर्षणहीन बर्फ़ पर कोई बाहरी क्षैतिज बल होता ही नहीं, इसलिए द्रव्यमान केंद्र का वेग बदल ही नहीं सकता — न शुरुआत, न चाल।

हल — अभ्यास 16.10.

लुढ़कते पहिये का संपर्क-बिंदु सरकता नहीं: स्थैतिक घर्षण, जो घिसटने के गतिज घर्षण से प्रबल है (परिभाषा 16.12) — इसलिए रुकाव छोटा। घिसटते टायर का गतिज घर्षण पहियों का कोण चाहे जो हो, सरकने के विपरीत ही रहता है: पहिया घुमाने से कुछ नहीं बदलता, और दिशा-नियंत्रण चला जाता है।

हल — अभ्यास 16.11.

तार का तनाव, जो भीतर की ओर, खिलाड़ी की ओर संकेत करता है। छोड़ने के बाद गेंद स्पर्शी के अनुदिश सरल रेखा में उसी चाल से निकल जाती है जो उसकी थी (जड़त्व)। चंद्रमा का “तार” पृथ्वी का गुरुत्वीय खिंचाव है; गुरुत्व बंद कर दीजिए और वह अपनी स्पर्शी के अनुदिश सीधा, एकसमान, सदा के लिए निकल जाएगा।

हल — अभ्यास 16.12.

ऊपरी सिरे से: $x = \dfrac{1.0 \times 0.60 + 2.0 \times 1.20}{3.0} = 1.00\,\mathrm{m}$। दोनों हिस्सों के केंद्रों तक की दूरियाँ: $0.40\,\mathrm{m}$ (छड़) और $0.20\,\mathrm{m}$ (सिरा), अनुपात $2 : 1$ — यानी द्रव्यमान-अनुपात $1.0 : 2.0$ का व्युत्क्रम, ठीक जैसा परिभाषा 16.1 माँगता है।

हल — अभ्यास 16.13.

1. वही $F$ और $\Delta v$, दुगुना $m$: वैन को दुगुना समय चाहिए। 2. औसत चाल वही, समय दुगुना: दूरी दुगुनी। 3. उसी $F$ और $m$ पर $\Delta v$ दुगुना: समय दुगुना; पर औसत चाल भी दुगुनी हो जाती है, इसलिए दूरी $4$ से गुणा हो जाती है। चाल दुगुनी कीजिए और रुकने की दूरी चौगुनी हो जाती है।

हल — अभ्यास 16.14.

1. $T = 27.3 \times 86\,400\,\mathrm{s} \approx 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, इसलिए $v = \dfrac{2\pi \times 3.84 \times 10^{8}}{2.36 \times 10^{6}} \approx 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$। 2. पृथ्वी की ओर (भीतर की ओर); और उसे पृथ्वी का गुरुत्वीय खिंचाव देता है। 3. चंद्रमा गिर रहा है: उसका वेग-बदलाव हर क्षण पृथ्वी की ओर संकेत करता है। उसकी स्पर्शी चाल बस इतना सुनिश्चित करती है कि वह चूकता रहे — वह पृथ्वी में नहीं, पृथ्वी के चारों ओर गिरता है।

हल — अभ्यास 16.15.

वही $m$ और $\Delta v$, इसलिए $F\Delta t$ तय है: झाग पर $\Delta t$ पचास गुना लंबा होने का अर्थ है औसत बल पचास गुना छोटा। घुटने मोड़ लेने से उतरने का $\Delta t$ एक झटके से लंबे लचकाव तक खिंच जाता है; और यांत्रिकी की भाषा में जिमनास्ट की गद्दी कुछ अतिरिक्त मिलीसेकंडों से बनी होती है।