3प्रकाश का अपवर्तन

हल — अभ्यास 3.1.

कोण अभिलंब से नापे जाते हैं: आपतन कोण $90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$ है, इसलिए परावर्तन कोण भी $65^\circ$ है। आपतित और परावर्तित किरणें आपस में $2 \times 65^\circ = 130^\circ$ का कोण बनाती हैं।

हल — अभ्यास 3.2.

1. $v = c/n$: पानी में $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.33 = 2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; हीरे में $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/2.42 = 1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$।

2. $n = \dfrac{c}{v} = \dfrac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} {1.97 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} = 1.52$: काँच।

हल — अभ्यास 3.3.

$\sin i_2 = \dfrac{\sin 40^\circ}{1.50} = \dfrac{0.643}{1.50} = 0.429$, इसलिए $i_2 = 25.4^\circ$। प्रकाश-पथों की प्रतिवर्तिता से, काँच के भीतर $25.4^\circ$ पर सतह से टकराती किरण वायु में ठीक $40^\circ$ पर निकलती है।

हल — अभ्यास 3.4.

$\sin i_2 = \dfrac{\sin 55^\circ}{1.33} = \dfrac{0.819}{1.33} = 0.616$, इसलिए $i_2 = 38.0^\circ$। किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है, क्योंकि पानी धीमा माध्यम है ($n_2 > n_1$)।

हल — अभ्यास 3.5.

$n = \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 32^\circ} = \dfrac{0.707}{0.530} = 1.33$: द्रव पानी है।

हल — अभ्यास 3.6.

1. पाँचों अनुपात

हैं — माप की त्रुटि के भीतर अचर, यानी स्नेल का नियम।

2. $n \approx 1.49$: प्लेक्सिग्लास।

3. स्नेल का नियम $\sin i_2 = \sin i_1 / n$ बताता है: ज्या के सामने ज्या रखने पर आँकड़ों को मूल बिंदु से जाती एक सीधी रेखा पर आना ही चाहिए, और इसे एक रूलर पलक झपकते जाँच लेता है। कोण के सामने कोण रखने पर आँकड़े एक वक्र पर पड़ते हैं; छोटे कोणों पर वह वक्र धोखा देकर सीधी रेखा जैसा लगता है — और ठीक इसी ने टॉलेमी को छला था।

हल — अभ्यास 3.7.

$n_2 = 1.00$ के साथ $\sin i_c = n_2/n_1$: पानी $\sin i_c = 1/1.33 = 0.752$, $i_c = 48.8^\circ$; काँच $\sin i_c = 1/1.50 = 0.667$, $i_c = 41.8^\circ$; हीरा $\sin i_c = 1/2.42 = 0.413$, $i_c = 24.4^\circ$।

वायु से पानी में जाते समय हर आपतन के लिए $\sin i_2 = \sin i_1/1.33 \leq 1/1.33 < 1$: अपवर्तित कोण हमेशा मौजूद रहता है, इसलिए कुछ विशेष कभी होता ही नहीं — पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए $n_1 > n_2$ चाहिए।

हल — अभ्यास 3.8.

1. $d' = \dfrac{d}{n} = \dfrac{2.0\,\mathrm{m}}{1.33} = 1.5\,\mathrm{m}$।

2. मछली $40\,\mathrm{cm}/1.33 = 30\,\mathrm{cm}$ पर दिखती है: प्रतिबिंब मछली से ऊपर है, इसलिए बगुले को अपने देखे प्रतिबिंब से नीचे चोंच मारनी चाहिए। बगुले, जिन पर स्नेल के नियम का बोझ नहीं है, यह बात आज़माइश और भूल से सीख लेते हैं।

हल — अभ्यास 3.9.

1. $\sin r = \dfrac{\sin 50^\circ}{1.50} = \dfrac{0.766}{1.50} = 0.511$, इसलिए $r = 30.7^\circ$।

2. $30.7^\circ$ पर काँच से वायु: $\sin i_2 = 1.50 \times 0.511 = 0.766$, इसलिए $i_2 = 50^\circ$ — निर्गत कोण प्रवेश कोण के बराबर है।

3. दोनों अपवर्तन एक-दूसरे को काट देते हैं: किरण अपनी मूल दिशा के समांतर ही निकलती है, बस बगल में खिसक जाती है। इसीलिए खिड़की दृश्य को बिगाड़ती नहीं, केवल (अगोचर रूप से) सरका देती है।

हल — अभ्यास 3.10.

$\sin 55^\circ = 0.819$। लाल: $\sin i_2 = 0.819/1.61 = 0.509$, $i_2 = 30.6^\circ$। नीला: $\sin i_2 = 0.819/1.66 = 0.493$, $i_2 = 29.6^\circ$। दोनों रंग $1.0^\circ$ से अलग होते हैं; बड़े अपवर्तनांक वाला नीला अधिक मुड़ता है और अभिलंब के अधिक पास रह जाता है।

हल — अभ्यास 3.11.

1. $\sin i_c = \dfrac{1.46}{1.48} = 0.986$, इसलिए $i_c = 80.6^\circ$।

2. अभिलंब से $i_c$ पर चलती किरण अक्ष के साथ $90^\circ - i_c$ बनाती है, इसलिए $L$ अक्ष-लंबाई पर उसका पथ $\dfrac{L}{\sin i_c}$ होता है:

यानी अक्षीय किरण से लगभग $14\,\mathrm{m}$ अधिक।

हल — अभ्यास 3.12.

1. क्षितिज से छूता हुआ आता प्रकाश $90^\circ$ के पास $i_1$ पर पहुँचता है; वह अपवर्तित होकर $\sin i_2 = \sin 90^\circ / 1.33 = 0.752$ पर, यानी $i_2 = 48.8^\circ$ पर आता है — यानी ठीक क्रांतिक कोण पर, जैसा प्रतिवर्तिता माँगती है। इसलिए पूरे आकाश की किरणें आँख तक $48.8^\circ$ अर्ध-कोण वाले एक शंकु के भीतर ही पहुँचती हैं।

2. चकती का किनारा वहीं है जहाँ वह शंकु सतह से मिलता है:

3. चकती के बाहर नीचे से आता प्रकाश सतह से क्रांतिक कोण के पार टकराता है और पूरी तरह परावर्तित हो जाता है: गोताखोर को एक चाँदी जैसा दर्पण दिखता है जिसमें तरणताल का तल दिखाई देता है।

हल — अभ्यास 3.13.

1. लाल: $\sin i_2 = 1.51 \times \sin 30^\circ = 0.755$, इसलिए $i_2 = 49.0^\circ$। नीला: $\sin i_2 = 1.53 \times 0.500 = 0.765$, इसलिए $i_2 = 49.9^\circ$। श्वेत किरण $49.9^\circ - 49.0^\circ = 0.9^\circ$ पर पंखे की तरह फैल जाती है — एक ही अपवर्तन से मिला प्रिज़्म का वर्णक्रम।

2. $45^\circ$ पर: $\sin i_2 = 1.51 \times 0.707 = 1.07 > 1$ (और नीले के लिए $1.53 \times 0.707 = 1.08$)। किसी भी रंग के लिए कोई अपवर्तित कोण नहीं बचता: क्रांतिक कोण $\arcsin(1/1.51) = 41.5^\circ < 45^\circ$ है, इसलिए लंबा फलक पूरी किरण को पूर्णतः परावर्तित कर देता है।

हल — अभ्यास 3.14.

1. काँच–वायु का क्रांतिक कोण: $\sin i_c = 1/1.50$, इसलिए $i_c = 41.8^\circ < 45^\circ$: किरण पूरी तरह परावर्तित होती है — प्रकाश का $100\%$, और कोई परत नहीं जो कलंकित हो। धात्विक दर्पण हर उछाल पर कुछ प्रतिशत गँवा देता है, और पेरिस्कोप को दो उछाल चाहिए।

2. काँच–पानी: $\sin i_c = \dfrac{1.33}{1.50} = 0.887$, इसलिए $i_c = 62.5^\circ$। अब $45^\circ < i_c$: आपतन क्रांतिक से नीचे है, अधिकांश प्रकाश अपवर्तित होकर पानी में निकल जाता है, और दर्पण — यानी प्रतिबिंब — बिगड़ जाता है।

3. $\sin i_2 = \dfrac{1.50}{1.33} \times \sin 45^\circ = 1.128 \times 0.707 = 0.798$, इसलिए पानी में $i_2 = 52.9^\circ$।

हल — अभ्यास 3.15.

1. $v = \dfrac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{1.47} = 2.04 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, इसलिए

2. रेडियो: $t = 6.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 20.7\,\mathrm{ms}$। काँच एक तरफ़ $30.4 - 20.7 = 9.7\,\mathrm{ms}$ जोड़ता है, यानी पूरे चक्कर पर लगभग $19\,\mathrm{ms}$।

3. अपवर्तनांक घटाइए — खोखले क्रोड वाले तंतु प्रकाश को वायु ($n \approx 1.00$) में ले जाते हैं, और वायुमंडल से होकर जाती सूक्ष्मतरंग कड़ियाँ भी यही करती हैं — या पथ छोटा कीजिए: दोनों शहरों के बीच वृहत वृत्त वाले रास्ते के अधिक पास बिछी केबल। दोनों सचमुच बिकते हैं, और वह भी प्रति मिलीसेकंड के भाव पर।