34क्वांटम संसार: फ़ोटॉन और ऊर्जा स्तर

हल — अभ्यास 34.1.

$E = hc/\lambda = 1.99 \times 10^{-25}/5.30 \times 10^{-7} = 3.75 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = 2.35\,\mathrm{eV}$। प्रति सेकंड $N = 1.0 \times 10^{-3}/3.75 \times 10^{-19} \approx 2.7 \times 10^{15}$ फ़ोटॉन।

हल — अभ्यास 34.2.

$E = h\nu = 6.63\times10^{-34} \times 10^{8} = 6.63 \times 10^{-26}\,\mathrm{J} \approx 4.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$ — यानी किसी दृश्य फ़ोटॉन से लगभग पचास लाख गुना कम। पकड़ में आने लायक़ किसी भी रेडियो संकेत में प्रति सेकंड इतने फ़ोटॉन होते हैं कि बहाव बिलकुल चिकना रहता है।

हल — अभ्यास 34.3.

$\nu_0 = W_0/h = 3.04 \times 10^{-19}/6.63 \times 10^{-34} \approx 4.6 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$; $\lambda_0 = c/\nu_0 \approx 654\,\mathrm{nm}$। $633\,\mathrm{nm}$ पर $E = 1240/633 = 1.96\,\mathrm{eV} > 1.9\,\mathrm{eV}$: हाँ, बस-बस, और $E_{k,\max} \approx 0.06\,\mathrm{eV} \approx 1 \times 10^{-20}\,\mathrm{J}$ के साथ।

हल — अभ्यास 34.4.

$E_3 - E_2 = -1.51 + 3.40 = 1.89\,\mathrm{eV}$; $\lambda = 1240/1.89 \approx 656\,\mathrm{nm}$: यानी लाल रेखा।

हल — अभ्यास 34.5.

$\nu_0 \approx 5.6 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$; $W_0 = h\nu_0 \approx 3.7 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 2.3\,\mathrm{eV}$ (यानी $-W_0$ वाला अंतःखंड)। और ढाल प्लांक नियतांक $h$ है।

हल — अभ्यास 34.6.

$E = 1240/400 = 3.10\,\mathrm{eV}$; $E_{k,\max} = 3.10 - 2.3 = 0.80\,\mathrm{eV} = 1.3 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$; $U_s = E_{k,\max}/e = 0.80\,\mathrm{V}$।

हल — अभ्यास 34.7.

तीव्रता दुगुनी: धारा दुगुनी (फ़ोटॉन दुगुने), पर $U_s$ वही (प्रति फ़ोटॉन ऊर्जा वही)। आवृत्ति बढ़ाने पर: $U_s$ बढ़ जाता है, $E_{k,\max} = h\nu - W_0$। तरंग वाला चित्र इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा को तीव्रता से बाँधता है, आवृत्ति से नहीं — और ठीक यही नहीं देखा जाता।

हल — अभ्यास 34.8.

$n = 1$ से: $13.6\,\mathrm{eV}$, $\lambda = 1240/13.6 \approx 91\,\mathrm{nm}$, यानी दूर पराबैंगनी। और $n = 2$ से: $3.40\,\mathrm{eV}$, $\lambda \approx 365\,\mathrm{nm}$, यानी निकट पराबैंगनी।

हल — अभ्यास 34.9.

मूल अवस्था से सबसे छोटी छलाँग का दाम $E_2 - E_1 = 10.2\,\mathrm{eV}$ है ($122\,\mathrm{nm}$): इसलिए हर अवशोषण-रेखा पराबैंगनी है, कोई दृश्य नहीं। पर गरम तारकीय वायुमंडल में टक्करें कुछ परमाणुओं को $n = 2$ में बनाए रखती हैं, जहाँ से दृश्य बामर फ़ोटॉन ($1.89\text{ to }3.40\,\mathrm{eV}$) सोखे जा सकते हैं।

हल — अभ्यास 34.10.

(क) $E_k = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$, $p = \sqrt{2m_e E_k} = 5.4 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\lambda = h/p \approx 1.2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ — यानी परमाणु जितना: इसलिए क्रिस्टल उसे विवर्तित कर देते हैं। (ख) $p = 1.0 \times 10^{-4} \times 1.0 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\lambda \approx 6.6 \times 10^{-30}\,\mathrm{m}$ — यानी किसी परमाणु से भी $10^{20}$ गुना छोटा: मक्खी की तरंग सदा के लिए अदृश्य है।

हल — अभ्यास 34.11.

एक फ़ोटॉन: $1.99 \times 10^{-25}/5.05 \times 10^{-7} = 3.94 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$; नब्बे: $\approx 3.5 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$। मच्छर: $\tfrac12 \times 2.5 \times 10^{-6} \times 0.50^2 = 3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{J}$ — यानी $10^{10}$ गुना अधिक। आँख परम सीमा के सौ दानों के भीतर काम करती है: लगभग एक फ़ोटॉन-गणक।

हल — अभ्यास 34.12.

$\nu_1 = 7.41 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $\nu_2 = 5.49 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$; $h = e\,\Delta U_s/\Delta\nu = 1.60 \times 10^{-19} \times 0.79 / 1.91 \times 10^{14} \approx 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$। $W_0 = h\nu_2 - eU_{s,2} = 3.63 \times 10^{-19} - 0.64 \times 10^{-19} = 3.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 1.9\,\mathrm{eV}$: सीज़ियम।

हल — अभ्यास 34.13.

$1240/486 = 2.55\,\mathrm{eV} = E_4 - E_2 = 3.40 - 0.85$: संक्रमण $4 \to 2$। $1240/434 = 2.86\,\mathrm{eV} = E_5 - E_2 = 3.40 - 0.54$: संक्रमण $5 \to 2$।

हल — अभ्यास 34.14.

अनुप्रस्थ काट $\pi r^2 \approx 3.1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2}$, बटोरी गई शक्ति $3.1 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$; $t = 3.7 \times 10^{-19}/3.1 \times 10^{-26} \approx 1.2 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ — यानी चार महीने, जबकि प्रेक्षण में एक नैनोसेकंड से भी कम। ऊर्जा पूरे तरंगाग्र पर फैली नहीं होती: वह सिमटी हुई, दानों में चलती है।

हल — अभ्यास 34.15.

$E_k = 8.0 \times 10^{-16}\,\mathrm{J}$, $p = \sqrt{2m_e E_k} = 3.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\lambda = h/p \approx 1.7 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 17\,\mathrm{pm}$ — यानी $550\,\mathrm{nm}$ से लगभग $3 \times 10^{4}$ गुना छोटा। विवर्तन $\sim\lambda$ से छोटे ब्योरे को धुँधला कर देता है, इसलिए $\lambda$ को $10^4$ से सिकोड़ने पर विभेदन में $10^4$ मिल जाता है।