माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

23डॉप्लर प्रभाव

एंबुलेंस सायरन बजाती पास आती है और बग़ल से निकल जाती है — और ठीक उसी क्षण सुर साफ़ सुनाई देने लायक़ नीचे सरक जाता है, जबकि चालक ने कुछ भी नहीं छुआ। सायरन ईमानदार है; बेईमान तरंग है: गति उसे आगे दबा देती है और पीछे खींच देती है। यह अध्याय उस दबाव को नापता है, फिर उसी विचार पर सवार होकर सायरनों से रडार बंदूक़ तक, धमनी में बहते रक्त तक, और आगे उस ग्रह तक जाता है जिसे तारे के प्रकाश की एक हलकी डगमगाहट ने पकड़वा दिया।

23.1 यह प्रभाव

परिभाषा 23.1 (डॉप्लर प्रभाव)

जब स्रोत और ग्राही एक-दूसरे के सापेक्ष चलते हों तब किसी तरंग की मिलती आवृत्ति का बदल जाना डॉप्लर प्रभाव कहलाता है: पास आते समय मिलती आवृत्ति $f'$ छोड़ी गई आवृत्ति $f$ से ऊँची रहती है, दूर जाते समय नीची, और $f$ के बराबर केवल तभी जब उनकी दूरी पल भर के लिए बदलनी बंद कर दे।

टिप्पणी 23.2 (तारत्व, प्रबलता नहीं)

एंबुलेंस के गुज़रते समय दो चीज़ें बदलती हैं। प्रबलता इसलिए चढ़ती-उतरती है कि तरंग दूरी के साथ फैल जाती है (अध्याय 21); और तारत्व पास आने या दूर जाने की चाल के कारण खिसकता है, और गुज़रने के क्षण झटके से गिर जाता है। प्रबलता बताती है “कितनी दूर”; तारत्व बताता है “कितनी तेज़”।

23.2 चलता स्रोत: सटते तरंगाग्र

असली चित्र यह है: शिखर स्रोत से निकल जाने के बाद माध्यम की संपत्ति हो जाता है। हर शिखर $v$ तरंग-चाल से (अध्याय 20) एक वृत्त की तरह फैलता है, और उस बिंदु पर केंद्रित रहता है जहाँ वह छोड़ा गया था — माध्यम को न पता है न परवाह कि स्रोत आगे बढ़ चुका है।

प्रतिज्ञप्ति 23.3 (चलता स्रोत)

कोई स्रोत ऐसे माध्यम में सरल रेखा में चाल $v_s < v$ से चलते हुए आवर्तकाल $T$ (आवृत्ति $f = 1/T$ ) के साथ शिखर छोड़ता है जिसमें तरंग चाल $v$ से चलती है। माध्यम में विराम में बैठा प्रेक्षक पाता है

\lambda' = (v \mp v_s)\,T, \qquad f' = f\,\frac{v}{v \mp v_s},

जहाँ ऊपर वाले चिह्न पास आते स्रोत के लिए हैं और नीचे वाले दूर जाते स्रोत के लिए।

उपपत्ति. दो शिखरों के बीच पहला $vT$ आगे बढ़ता है जबकि स्रोत $v_s T$ । इसलिए आगे की ओर दूसरा शिखर पहले से $v_s T$ पास छूटता है, $\lambda' = (v - v_s)T$ ; और पीछे की ओर वही $v_s T$ जुड़ जाता है। फिर शिखर विराम में बैठे प्रेक्षक के पास से माध्यम की चाल $v$ से गुज़रते हैं, हर $\lambda'/v$ सेकंड में एक, इसलिए $f' = v/\lambda' = f v/(v \mp v_s)$ । ∎

दाईं ओर चलते स्रोत के तरंगाग्र: हर वृत्त उसी बिंदु पर केंद्रित है जहाँ वह छूटा था (धूसर बिंदु), इसलिए शिखर आगे सट जाते हैं, ' = (v - v_s)T, और पीछे खिंच जाते हैं, ' = (v + v_s)T। — दाईं ओर चलते स्रोत के तरंगाग्र: हर वृत्त उसी बिंदु पर केंद्रित है जहाँ वह छूटा था (धूसर बिंदु), इसलिए शिखर आगे सट जाते हैं, $\lambda' = (v - v_s)T$ , और पीछे खिंच जाते हैं, $\lambda' = (v + v_s)T$ ।

उदाहरण 23.4 (एंबुलेंस, संख्याओं में)

$f = 700\,\mathrm{Hz}$ का सायरन $v_s = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से पास आता है; हवा में $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ लीजिए (अध्याय 21)। पास आते समय: $f' = 700 \times 340/315 \approx 756\,\mathrm{Hz}$ ; दूर जाते समय: $f' = 700 \times 340/365 \approx 652\,\mathrm{Hz}$ । गुज़रने पर तारत्व $104\,\mathrm{Hz}$ गिर जाता है — अनुपात $\approx 1.16$ , यानी लगभग ढाई अर्धस्वर, जिसे कोई भी कान चूक नहीं सकता।

टिप्पणी 23.5 (गति किसे नहीं बदलती)

तरंग अब भी $v$ से ही चलती है: चाल केवल माध्यम तय करता है (अध्याय 20)। स्रोत की गति तरंगदैर्घ्य दबाती है, चाल कभी नहीं। और इस दबाव की एक सीमा है: $v_s \to v$ होते-होते आगे के शिखर एक-दूसरे पर चढ़ने लगते हैं और $f' \to \infty$ — यही तरंगाग्रों का वह जाम है जिसे पराध्वनिक विमान झटके के रूप में घसीटता है।

23.3 चलता प्रेक्षक, और धीमी गति का शॉर्टकट

प्रतिज्ञप्ति 23.6 (चलता प्रेक्षक)

कोई प्रेक्षक माध्यम में विराम में बैठे स्रोत की ओर (या उससे दूर) सीधी दिशा में चाल $v_o$ से चलता है। मिलती आवृत्ति है

f' = f\left(1 \pm \frac{v_o}{v}\right) \quad (+\ \text{पास आना},\ -\ \text{दूर जाना}).

उपपत्ति. तरंग का ढर्रा ख़ुद अछूता रहता है: $\lambda = vT$ अंतराल के शिखर $v$ से चलते रहते हैं। उनकी ओर दौड़ता प्रेक्षक शिखरों से सापेक्ष चाल $v + v_o$ पर मिलता है, हर $\lambda/(v + v_o)$ सेकंड में एक: $f' = (v + v_o)/\lambda = f(1 + v_o/v)$ । दूर भागते समय $v - v_o$ । ∎

परिभाषा 23.7 (त्रिज्य वेग)

किसी प्रेक्षक के सापेक्ष स्रोत का त्रिज्य वेग $v_r$ उनके सापेक्ष वेग का वह घटक है जो उन्हें जोड़ती रेखा के अनुदिश हो — यानी वह दर जिससे दूरी सिकुड़ती या बढ़ती है। आवृत्ति केवल यही घटक खिसकाता है; दृष्टि-रेखा के आड़े की गति इस कोटि पर कोई खिसकाव नहीं देती।

प्रतिज्ञप्ति 23.8 (धीमी गति: सबके लिए एक ही सूत्र)

जब त्रिज्य चाल छोटी हो, $v_r \ll v$ , तब यह मायने ही नहीं रखता कि चल कौन रहा है:

\frac{\Delta f}{f} = \frac{f' - f}{f} \approx +\frac{v_r}{v} \ \text{(पास आना)}, \qquad \frac{\Delta f}{f} \approx -\frac{v_r}{v} \ \text{(दूर जाना)}.

उपपत्ति. प्रेक्षक वाले सूत्र तो पहले से ही ठीक-ठीक $1 \pm v_o/v$ हैं। स्रोत के लिए $x = v_s/v$ लिखिए: सर्वसमिका $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + \frac{x^2}{1 - x}$ दिखाती है कि $f'/f$ $1 + x$ से $x^2$ की कोटि के एक पद जितना भिन्न है — और $x = 0.1$ के लिए यह $10\%$ के खिसकाव पर $1\%$ का सुधार भर है। पहली कोटि तक चारों सूत्र सिमटकर $1 \pm v_r/v$ बन जाते हैं। ∎

माइक्रोफ़ोन से 8\, m दूर से 15\, m/ s पर गुज़रते 440\, Hz के सायरन की सुनाई देती आवृत्ति: fv/(v v_s) पर पठार, और सच्ची f (बिंदुदार) लगभग ठीक निकटतम पहुँच पर पार होती है, जहाँ गति विशुद्ध अनुप्रस्थ है। — माइक्रोफ़ोन से $8\,\mathrm{m}$ दूर से $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर गुज़रते $440\,\mathrm{Hz}$ के सायरन की सुनाई देती आवृत्ति: $fv/(v \mp v_s)$ पर पठार, और सच्ची $f$ (बिंदुदार) लगभग ठीक निकटतम पहुँच पर पार होती है, जहाँ गति विशुद्ध अनुप्रस्थ है।

विधि 23.9 (गुज़रना पढ़ना)

गुज़रते स्रोत का अभिलेख दो पठार दिखाता है: $f_1$ (पास आना) और $f_2$ (दूर जाना)। तब

f = \frac{2 f_1 f_2}{f_1 + f_2}, \qquad v_s = v\,\frac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}.

सचमुच $f_1 + f_2 = \frac{2fv^2}{v^2 - v_s^2}$ और $f_1 - f_2 = \frac{2fv\,v_s}{v^2 - v_s^2}$ : $v_s$ के लिए भाग दीजिए, और $f$ के लिए $2f_1 f_2/(f_1 + f_2)$ निकाल लीजिए। दो आवृत्ति-पाठ्यांकों से सच्चा तारत्व और चाल, दोनों मिल जाते हैं — न कोई घड़ी, न कोई पैमाना।

23.4 चाल नापती प्रतिध्वनियाँ

किसी चलते लक्ष्य पर तरंग टकराइए और डॉप्लर प्रभाव दो बार चोट करता है।

प्रतिज्ञप्ति 23.10 (परावर्तन खिसकाव को दुगुना कर देता है)

आवृत्ति $f$ की तरंग सीधे सामने से चाल $u \ll v$ पर पास आते परावर्तक की ओर भेजी जाती है। प्रतिध्वनि इस आवृत्ति से लौटती है:

f' = f\,\frac{v + u}{v - u}, \qquad \text{अतः} \qquad \Delta f \approx \frac{2u}{v}\,f .

उपपत्ति. लगातार दो खिसकाव। चलते प्रेक्षक के रूप में परावर्तक $f(1 + u/v)$ पाता है; और जो वह पाता है उसे फिर छोड़ते हुए वह अब चलता स्रोत है, इसलिए प्रतिध्वनि $u \ll v$ के लिए $f' = f(1 + u/v)/(1 - u/v) \approx f(1 + 2u/v)$ पर पहुँचती है। ∎

उदाहरण 23.11 (रडार बंदूक़)

यातायात का रडार $f = 24.15\,\mathrm{GHz}$ ( $v = c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) पर सूक्ष्मतरंगें छोड़ता है और प्रतिध्वनि को जाती हुई तरंग पर चढ़ा देता है; और विस्पंद (अध्याय 21) सीधे कार की चाल के प्रति $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर $\Delta f = 2uf/c \approx 161\,\mathrm{Hz}$ सुना देता है — यानी $24\,\mathrm{GHz}$ के वाहक में से तराशी गई ऐसी श्रव्य आवृत्ति जिसे नापना बच्चों का खेल है। गुणक $2$ छोड़ा नहीं जा सकता: उसे भूल जाइए और हर चालक को आधी रियायत मिल जाएगी।

उदाहरण 23.12 (डॉप्लर पराश्रव्य)

कोई चिकित्सा-यंत्र किसी धमनी में $f = 5.0\,\mathrm{MHz}$ का पराश्रव्य भेजता है (ऊतक में $v \approx 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); और लाल रक्त कोशिकाएँ उसे परावर्तित कर देती हैं। $u = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर बहता रक्त $\Delta f = 2 \times 0.50 \times 5.0 \times 10^{6}/1540 \approx 3.2\,\mathrm{kHz}$ लौटाता है — यानी एक श्रव्य विस्पंद: हृदय-रोग विशेषज्ञ सचमुच हर धड़कन पर रक्त को तेज़ होते सुनता है, और फिर $\Delta f$ से $u$ नाप लेता है।

23.5 तारों के प्रकाश में डॉप्लर

प्रकाश एक तरंग है (अध्याय 22), और उसका वर्णक्रम उन तीखी रेखाओं से धारीदार है जिनके तरंगदैर्घ्य हर रासायनिक तत्व तय कर देता है (अध्याय 2) — यानी हर तारे पर छपा हुआ, प्रयोगशाला में अंशांकित एक पैमाना।

परिभाषा 23.13 (लाल विस्थापन और नील विस्थापन)

जब किसी स्रोत की वर्णक्रम रेखाएँ प्रयोगशाला की तुलना में बड़े तरंगदैर्घ्यों पर दिखें, तो वर्णक्रम लाल-विस्थापित है; और जब वे छोटे पर दिखें, तो नील-विस्थापित — यानी दृश्य वर्णक्रम के लाल या नीले सिरे की ओर खिसका हुआ।

प्रतिज्ञप्ति 23.14 (प्रकाश का डॉप्लर खिसकाव)

त्रिज्य चाल $v_r \ll c$ से दूर जाते स्रोत के लिए हर तरंगदैर्घ्य इतना खिंच जाता है:

\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda} \approx \frac{v_r}{c} \quad \text{(लाल विस्थापन)},

और पास आते स्रोत के लिए उतना ही सिकुड़ जाता है, $\Delta\lambda/\lambda \approx -v_r/c$ (नील विस्थापन)।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 23.15 (ईमानदार सूत्र कहाँ रहता है)

प्रकाश को किसी माध्यम की ज़रूरत नहीं, इसलिए ध्वनि वाली व्युत्पत्ति यहाँ उतारी नहीं जा सकती — “माध्यम में विराम में” जैसी कोई चीज़ ही नहीं है। ठीक सूत्र विशिष्ट आपेक्षिकता से आता है, इसी वर्ष आगे (अध्याय 35); और सुधार $(v_r/c)^2$ की कोटि के हैं, जो विमानों, तारों और पास की आकाशगंगाओं के लिए नगण्य हैं। नीचे हम साफ़ अंतःकरण से धीमी गति वाला सूत्र काम में लेते हैं।

तीन वर्णक्रमों में वही हाइड्रोजन रेखा: प्रयोगशाला में 656.30\, nm पर, पास आते तारे के लिए नील-विस्थापित, और दूर जाते तारे के लिए लाल-विस्थापित। बिंदुदार संदर्भ के सामने पढ़ा गया यह खिसकाव त्रिज्य वेग दे देता है। — तीन वर्णक्रमों में वही हाइड्रोजन रेखा: प्रयोगशाला में $656.30\,\mathrm{nm}$ पर, पास आते तारे के लिए नील-विस्थापित, और दूर जाते तारे के लिए लाल-विस्थापित। बिंदुदार संदर्भ के सामने पढ़ा गया यह खिसकाव त्रिज्य वेग दे देता है।

उदाहरण 23.16 (तारे का भागना तौलना)

चमकीले तारे वेगा के वर्णक्रम में प्रयोगशाला के तरंगदैर्घ्य $656.30\,\mathrm{nm}$ वाली हाइड्रोजन रेखा $656.27\,\mathrm{nm}$ पर नापी जाती है: $\Delta\lambda = -0.03\,\mathrm{nm}$ , यानी नील विस्थापन, इसलिए वेगा $v_r = c\,|\Delta\lambda|/\lambda \approx 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से पास आ रहा है — यानी $14\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , और वह भी बीस हज़ार में एक भाग के खिसकाव से पढ़ा हुआ।

उदाहरण 23.17 (डगमगाते तारे: युग्म तारे और बहिर्ग्रह)

जब दो तारे एक-दूसरे की परिक्रमा करते हैं तो उनकी रेखाएँ आवर्ती रूप से नीले और लाल की ओर झूलती रहती हैं — यही वर्णक्रमी युग्म तारा है, जिसकी कक्षाएँ जोड़े को अलग-अलग देखे बिना ही नाप ली जाती हैं। कोई ग्रह अपने तारे के साथ यही करता है, बस बहुत मंद ढंग से: दोनों अपने साझा द्रव्यमान केंद्र की परिक्रमा करते हैं, इसलिए तारे का त्रिज्य वेग कुछ दर्जन $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ जितना दोलन करता है — यानी $\Delta\lambda/\lambda \sim 10^{-7}$ का खिसकाव। इसी को पकड़कर सूर्य जैसे किसी तारे के चारों ओर पहला ग्रह खोजा गया था; और सप्ताहांत की समस्या उसी खोज को, संख्याओं समेत, फिर से चला देती है।

टिप्पणी 23.18 (आकाशगंगाओं का लाल विस्थापन)

दूर की आकाशगंगाओं के वर्णक्रम सब के सब लाल-विस्थापित हैं, और जितनी दूर, उतने ही अधिक: ब्रह्मांड की दूरियाँ खिंच रही हैं। पास की आकाशगंगाओं के लिए $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda$ उनके दूर जाने की चाल पढ़ लेता है; और सबसे दूर वालों के लिए खिसकाव उससे आगे निकल जाते हैं जितना धीमी गति का सूत्र ईमानदारी से सँभाल सकता है, इसलिए वह हिसाब अध्याय 35 से आगे और विश्वविद्यालय के खंडों में फिर उठाया जाता है।

23.6 अभ्यास

अभ्यास 23.1 ★

दमकल का सायरन $700\,\mathrm{Hz}$ पर बजता है और गाड़ी $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) से चलती है। आवृत्ति निकालिए जो सुनाई देगी (क) उसके आगे खड़े राहगीर को; (ख) पीछे खड़े को। (ग) चालक को क्या सुनाई देता है?

हल

हल — अभ्यास 23.1.

(क) $f' = 700 \times 340/315 \approx 756\,\mathrm{Hz}$ । (ख) $f' = 700 \times 340/365 \approx 652\,\mathrm{Hz}$ । (ग) $700\,\mathrm{Hz}$ : चालक और सायरन साथ-साथ चलते हैं, उनकी दूरी कभी बदलती ही नहीं।

अभ्यास 23.2 ★

कोई मित्र कहता है: “एंबुलेंस के जाते समय तारत्व इसलिए गिरता है कि दूरी के साथ ध्वनि कमज़ोर पड़ जाती है।” गड्डमड्ड किए जा रहे दोनों प्रभाव अलग कीजिए, और बताइए कि हर एक किस पर निर्भर करता है।

हल

हल — अभ्यास 23.2.

प्रबलता इसलिए मंद पड़ती है कि तरंग फैल जाती है — यह दूरी पर निर्भर करती है। और तारत्व पास आने से दूर जाने तक गिर जाता है — यह डॉप्लर प्रभाव है, जो इस पर निर्भर करता है कि दूरी कितनी तेज़ी से बदल रही है। दो स्वतंत्र प्रभाव।

अभ्यास 23.3 ★

कोई साइकिल-सवार $700\,\mathrm{Hz}$ पर बजते ठहरे हुए सायरन की ओर सीधे $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलता है। उसे कौन-सी आवृत्ति सुनाई देगी? और सीधे दूर जाते समय? कौन-सा सूत्र लागू होता है, और चलते-स्रोत वाला क्यों नहीं?

हल

हल — अभ्यास 23.3.

चलता प्रेक्षक: $f' = 700\,(1 + 6.0/340) \approx 712\,\mathrm{Hz}$ ; दूर जाते समय $700\,(1 - 6.0/340) \approx 688\,\mathrm{Hz}$ । सायरन हवा में विराम में है, इसलिए तरंग का ढर्रा अछूता रहता है; उसमें से दौड़ता केवल प्रेक्षक है।

अभ्यास 23.4 ★

रेलगाड़ी का भोंपू $400\,\mathrm{Hz}$ पर बजता है जबकि गाड़ी $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलती है। गाड़ी के आगे, पीछे, और विराम में तरंगदैर्घ्य निकालिए। कौन-सा प्रेक्षक कौन-सा पाता है?

हल

हल — अभ्यास 23.4.

आगे: $\lambda' = 310/400 = 0.775\,\mathrm{m}$ ; पीछे: $370/400 = 0.925\,\mathrm{m}$ ; विराम में: $340/400 = 0.85\,\mathrm{m}$ । छोटा तरंगदैर्घ्य उसे मिलता है जिसकी ओर गाड़ी बढ़ रही है, लंबा उसे जिसे वह छोड़कर जा रही है।

अभ्यास 23.5 ★

$440\,\mathrm{Hz}$ का स्वर बजाता फ़ोन एक दौड़ने वाला $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से लिए जा रहा है। धीमी गति वाले सूत्र से उस खिसकाव का अनुमान लगाइए जो उस व्यक्ति को सुनाई देगा जिसकी ओर दौड़ने वाला बढ़ रहा है। उसकी तुलना एक अर्धस्वर से कीजिए (आवृत्ति में लगभग $6\%$ ): क्या कोई संगीतकार उसे पकड़ लेगा?

हल

हल — अभ्यास 23.5.

$\Delta f/f \approx 5.0/340 \approx 1.5\%$ : $\Delta f \approx 6.5\,\mathrm{Hz}$ , इसलिए लगभग $446\,\mathrm{Hz}$ — यानी अर्धस्वर का चौथाई। कोई संगीतकार उसे बस-बस पकड़ लेगा।

अभ्यास 23.6 ★★

कोई चमगादड़ $50.0\,\mathrm{kHz}$ पर आवाज़ छोड़ते हुए $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से सीधे दीवार की ओर उड़ता है। दिखाइए कि उसे सुनाई देती प्रतिध्वनि $f' = f(v + v_b)/(v - v_b)$ पर लौटती है, फिर $f'$ और खिसकाव निकालिए। यह भेस बदले रडार-बंदूक़ का सूत्र ही क्यों है?

हल

हल — अभ्यास 23.6.

दीवार $f\,v/(v - v_b)$ पाती है (चलता स्रोत); और प्रतिध्वनि की ओर बढ़ता चमगादड़, जो अब चलता प्रेक्षक है, उसका $(1 + v_b/v)$ गुना सुनता है: $f' = f(v + v_b)/(v - v_b) = 50.0 \times 346/334 \approx 51.8\,\mathrm{kHz}$ , यानी $+1.8\,\mathrm{kHz}$ का खिसकाव। यह रडार-बंदूक़ वाला दुहरा खिसकाव ही है, बस उत्सर्जक और परावर्तक की भूमिकाएँ बदल गई हैं: मायने केवल पास आने की चाल रखती है।

अभ्यास 23.7 ★★

$24.15\,\mathrm{GHz}$ पर चलती रडार बंदूक़ पास आती कार से $4.0\,\mathrm{kHz}$ का विस्पंद नापती है। कार की चाल $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ में निकालिए। ठीक $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर चलती कार कितना विस्पंद देती?

हल

हल — अभ्यास 23.7.

$u = c\,\Delta f/(2f) = 3.00 \times 10^{8} \times 4000/(2 \times 24.15 \times 10^{9}) \approx 24.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ । $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) पर: $\Delta f = 2 \times 13.9 \times 24.15 \times 10^{9}/3.00 \times 10^{8} \approx 2.2\,\mathrm{kHz}$ ।

अभ्यास 23.8 ★★

किसी धमनी के अनुदिश ताका गया $5.0\,\mathrm{MHz}$ का डॉप्लर पराश्रव्य यंत्र (ऊतक में $v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) $2.6\,\mathrm{kHz}$ का विस्पंद सुनता है। रक्त की चाल निकालिए। यंत्र को बहाव के लंबवत रखने के बजाय उसके अनुदिश तिरछा क्यों रखना पड़ता है?

हल

हल — अभ्यास 23.8.

$u = v\,\Delta f/(2f) = 1540 \times 2600/1.0 \times 10^{7} \approx 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । लंबवत बहाव का त्रिज्य वेग शून्य होता है, इसलिए खिसकाव बिलकुल भी नहीं मिलता।

अभ्यास 23.9 ★★

$f = 1000\,\mathrm{Hz}$ , $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की पास आने की चाल लीजिए। $f'$ ठीक-ठीक निकालिए, जब (क) स्रोत चले, (ख) प्रेक्षक चले। दोनों की तुलना धीमी गति के पूर्वानुमान $f(1 + v_r/v)$ से कीजिए और असहमति के आकार का कारण बताइए।

हल

हल — अभ्यास 23.9.

(क) स्रोत: $f' = 1000 \times 340/306 \approx 1111\,\mathrm{Hz}$ । (ख) प्रेक्षक: $f' = 1000 \times 1.1 = 1100\,\mathrm{Hz}$ । धीमी गति $1100\,\mathrm{Hz}$ बताती है: प्रेक्षक के लिए ठीक-ठीक सही, और स्रोत के लिए $11\,\mathrm{Hz}$ कम — यानी $x^2$ कोटि का सुधार, जो $x = 0.1$ के लिए $f$ का $1\%$ है।

अभ्यास 23.10 ★★

माइक्रोफ़ोन के पास से गुज़रते स्कूटर के अभिलेख में $465\,\mathrm{Hz}$ और $415\,\mathrm{Hz}$ पर पठार दिखते हैं। विधि 23.9 का उपयोग करके भोंपू की सच्ची आवृत्ति और स्कूटर की चाल $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ में निकालिए। सच्ची आवृत्ति उनका औसत क्यों नहीं है?

हल

हल — अभ्यास 23.10.

$f = 2 \times 465 \times 415/880 \approx 439\,\mathrm{Hz}$ ; $v_s = 340 \times 50/880 \approx 19.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 70\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ । सच्ची $f$ संनादी माध्य है: पास आना आवृत्ति को जितना चढ़ाता है, दूर जाना उतना नहीं गिराता, इसलिए $f$ समांतर माध्य से नीचे बैठती है ( $440\,\mathrm{Hz}$ )।

अभ्यास 23.11 ★★

किसी तारे के वर्णक्रम में प्रयोगशाला के तरंगदैर्घ्य $656.3\,\mathrm{nm}$ वाली हाइड्रोजन रेखा $656.5\,\mathrm{nm}$ पर दिखती है। लाल विस्थापन या नील विस्थापन? तारे का त्रिज्य वेग और दिशा निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 23.11.

तरंगदैर्घ्य बड़ा है: लाल विस्थापन, यानी तारा दूर जा रहा है। $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda = 3.00 \times 10^{8} \times 0.2/656.3 \approx 9.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 91\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 23.12 ★★★

कोई तारा किसी अनदेखे ग्रह के कारण $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से डगमगाता है। $500\,\mathrm{nm}$ की रेखा के तरंगदैर्घ्य के झूले का आयाम निकालिए, लंबाई के रूप में भी और $\lambda$ के अंश के रूप में भी। परिमाण की कोटि: ग्रह-खोज को $10^{7}$ में एक भाग तक स्थिर वर्णक्रममापियों की प्रतीक्षा क्यों करनी पड़ी?

हल

हल — अभ्यास 23.12.

$\Delta\lambda = \lambda K/c = 500 \times 55/3.00 \times 10^{8} \approx 9.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{nm}$ ; $\Delta\lambda/\lambda = 55/3.00 \times 10^{8} \approx 1.8 \times 10^{-7}$ । पूरा संकेत एक करोड़ में दो भाग का है: $10^{-7}$ से अधिक खिसक जाने वाला वर्णक्रममापी उसे दफ़्न कर देगा।

अभ्यास 23.13 ★★★

किसी आकाशगंगा के वर्णक्रम की हर रेखा $2.4\%$ जितनी खिंची मिलती है। उसके दूर जाने की चाल निकालिए। खगोलविद पाते हैं कि आकाश की हर दिशा में ऐसी चालें दूरी के समानुपात में बढ़ती हैं: इससे कौन-सा चित्र बनता है? क्या यहाँ धीमी गति का सूत्र अब भी भरोसे लायक़ है?

हल

हल — अभ्यास 23.13.

$v_r = 0.024\,c \approx 7.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । चालें दूरी के समानुपाती, और आकाश की हर दिशा में एक-सी: यानी सारी दूरियाँ एकसार खिंच रही हैं — बिना किसी विशेषाधिकारी केंद्र वाला फैलता ब्रह्मांड। $2.4\%$ पर सुधार $(v_r/c)^2 \approx 6 \times 10^{-4}$ की कोटि के हैं: अब भी भरोसे लायक़।

अभ्यास 23.14 ★★★

सूर्य घूमता है: उसकी चकती का एक किनारा हमारी ओर लगभग $2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ से आता है जबकि दूसरा उतनी ही तेज़ी से दूर जाता है। पूरी चकती से आते प्रकाश की $656.3\,\mathrm{nm}$ रेखा का यह क्या करता है — उसे खिसका देता है या चौड़ा कर देता है? असर $\mathrm{nm}$ में निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 23.14.

दोनों किनारे उलटी दिशाओं में खिसकते हैं, इसलिए पूरी चकती की औसत रेखा चौड़ी होती है, खिसकती नहीं: पूरी चौड़ाई $2\lambda v/c = 2 \times 656.3 \times 2.0 \times 10^{3}/3.00 \times 10^{8} \approx 8.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$ (लगभग $\pm4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$ )।

अभ्यास 23.15 ★★★

$40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलती पुलिस की गाड़ी, जिसका सायरन $700\,\mathrm{Hz}$ पर है, उसी दिशा में $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलते ट्रक का पीछा करती है। (क) ट्रक-चालक के लिए $f' = f(v - v_o)/(v - v_s)$ का औचित्य बताइए। (ख) $f'$ निकालिए। (ग) दिखाइए कि ट्रक गाड़ी की चाल पकड़ ले तो खिसकाव लुप्त हो जाएगा, और बताइए कि ऐसा होना ही क्यों चाहिए।

हल

हल — अभ्यास 23.15.

(क) कार के आगे शिखरों का अंतराल $(v - v_s)T$ है; ट्रक $v_o$ से भागता है और उनसे सापेक्ष चाल $v - v_o$ पर मिलता है: $f' = (v - v_o)/\bigl((v - v_s)T\bigr) = f(v - v_o)/(v - v_s)$ । (ख) $f' = 700 \times 310/300 \approx 723\,\mathrm{Hz}$ । (ग) $v_o = v_s$ रखने पर $f' = f$ मिलता है: दूरी अचर है, और दूरी न बदले तो परिभाषा से ही कोई डॉप्लर खिसकाव नहीं होता।

23.7 समस्या: बहिर्ग्रह की खोज

समस्या 23.1

सप्ताहांत समस्या — बहिर्ग्रह की खोज: रेलगाड़ी का भोंपू कान अंशांकित करता है, रडार बंदूक़ दुहरे खिसकाव का पूर्वाभ्यास कराती है, और रविवार की रात तक पचास लाख में एक भाग जितना डगमगाता एक तारा उस ग्रह को तौल देता है जिसे किसी ने कभी नहीं देखा

खगोल-मंडली एक सप्ताहांत एक ही विचार पर बिताती है — डॉप्लर खिसकाव — पहले पृथ्वी पर उसका पूर्वाभ्यास, फिर सूर्य जैसे किसी तारे पर उसका निशाना। आँकड़े: हवा में ध्वनि के लिए $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ ; तारे का द्रव्यमान $M = 2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ । वृत्तीय कक्षाओं की यांत्रिकी से मान लीजिए (अध्याय 27): त्रिज्या $r$ की वृत्तीय कक्षा पर द्रव्यमान $m$ के ग्रह का आवर्तकाल और चाल $r^3 = \frac{G M P^2}{4\pi^2}$ तथा $V = \frac{2\pi r}{P}$ से मिलते हैं, और साझा द्रव्यमान केंद्र की परिक्रमा करता तारा चाल $K = \frac{m}{M}\,V$ से डगमगाता है।

भाग I — शुक्रवार: फाटक वाली क्रॉसिंग। कोई रेलगाड़ी भोंपू बजाती अचर चाल से गुज़रती है; एक फ़ोन पास आते समय $f_1 = 471\,\mathrm{Hz}$ और गुज़र जाने के बाद $f_2 = 411\,\mathrm{Hz}$ दर्ज करता है।

सटते तरंगाग्रों के चित्र से समझाइए कि भोंपू के कभी न बदलने पर भी $f_1 > f_2$ क्यों होता है।
$f_1$ , $f_2$ को सच्ची आवृत्ति $f$ और गाड़ी की चाल $u$ से जोड़ते दोनों समीकरण लिखिए।
दिखाइए कि $u = v\,\dfrac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}$ , और उसे $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ तथा $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ में निकालिए।
दिखाइए कि $f = \dfrac{2 f_1 f_2}{f_1 + f_2}$ , और उसे निकालिए। $f$ $f_1$ और $f_2$ के औसत से थोड़ा नीचे क्यों है?
गाड़ी के आगे और पीछे के तरंगदैर्घ्य और विराम वाला तरंगदैर्घ्य निकालिए।

भाग II — शनिवार: रडार बंदूक़। यातायात दल अपना रडार दिखाता है: $f = 24.125\,\mathrm{GHz}$ , और बंदूक़ जाती हुई तरंग तथा प्रतिध्वनि के बीच का विस्पंद पढ़ती है।

समझाइए कि चलती कार की प्रतिध्वनि दो बार क्यों खिसकती है — हर खिसकाव में कार की भूमिका बताइए।
दिखाइए कि चाल $u \ll c$ पर चलती कार के लिए विस्पंद $\Delta f \approx \dfrac{2u}{c}\,f$ होता है।
कोई कार $\Delta f = 3.55\,\mathrm{kHz}$ लौटाती है: $u$ निकालिए।
उसे $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ में बदलिए और वहाँ लगी $80\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ की सीमा से तुलना कीजिए।
$1\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ के अनुरूप कितने हर्ट्ज़ विस्पंद बनते हैं? टिप्पणी कीजिए: $24\,\mathrm{GHz}$ की तरंग के इतने छोटे सापेक्ष खिसकाव को नापना आसान किस बात से हो जाता है?

भाग III — रविवार: डगमगाता तारा। मंडली सूर्य जैसे किसी तारे का, रात-दर-रात नापा गया त्रिज्य वेग उतार लेती है, जो नीचे आलेखित है।

बारह रातों में तारे का त्रिज्य वेग: एक साफ़ ज्यावक्र — यानी किनारे से देखी गई वृत्तीय कक्षा पर घूमते किसी पिंड की छाप।

रात-दर-रात तारे के वर्णक्रम में असल में नापा क्या जाता है? उसे $v_r$ में बदलने वाला संबंध लिखिए।
वक्र से डगमगाहट का आयाम $K$ और आवर्तकाल $P$ पढ़िए।
$550\,\mathrm{nm}$ की रेखा का उससे बनता झूला $\Delta\lambda$ और $\Delta\lambda/\lambda$ निकालिए। भाग I से तुलना कीजिए: यह माप रेलगाड़ी वाली माप से कितनी गुना कठिन है?
कोई अनदेखा ग्रह तारे को डगमगाता ही क्यों है? ज्यावक्र जैसा आकार कक्षा के बारे में क्या बताता है?
यह विधि तारे की गति का केवल त्रिज्य हिस्सा ही क्यों नापती है, और यदि कक्षा हमारे सामने चपटी पड़ी होती तो क्या दिखता?

भाग IV — रविवार की रात: अदृश्य को तौलना। कक्षा को वृत्तीय और किनारे से देखी हुई मानिए, ताकि $K$ तारे की पूरी कक्षीय चाल हो।

$P$ और मानी हुई संगति $r^3 = G M P^2/(4\pi^2)$ से ग्रह की कक्षीय त्रिज्या $r$ निकालिए। उसकी तुलना पृथ्वी–सूर्य दूरी $1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ से कीजिए।
ग्रह की कक्षीय चाल $V = 2\pi r/P$ निकालिए।
$K = (m/M)\,V$ से ग्रह का द्रव्यमान $m$ निकालिए।
$m$ की तुलना बृहस्पति ( $1.9 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ ) और पृथ्वी ( $6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ) से कीजिए, और $r$ की तुलना सूर्य–बुध दूरी ( $5.8 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ ) से। यह कैसा संसार है?
यदि कक्षा किनारे से नहीं, तिरछी होती तो सच्चा द्रव्यमान आपके मान से बड़ा निकलता या छोटा? एक वाक्य में निष्कर्ष लिखिए: पचास लाख में एक भाग के आवर्ती खिसकाव ने अभी-अभी क्या सौंप दिया?

हल

हल — समस्या 23.1.

1. हर शिखर उसी बिंदु से फैलता है जहाँ वह छूटा था: इसलिए शिखर चलते भोंपू के आगे सट जाते हैं और पीछे खिंच जाते हैं, और पास आता फ़ोन उनसे दूर जाते फ़ोन ( $f_2$ ) की तुलना में तेज़ी से मिलता है ( $f_1$ )।

2. $f_1 = f\,\dfrac{v}{v - u}$ , $f_2 = f\,\dfrac{v}{v + u}$ .

3. $f_1 - f_2 = \frac{2fv\,u}{v^2 - u^2}$ और $f_1 + f_2 = \frac{2fv^2}{v^2 - u^2}$ ; भाग देने पर $u = v\,\frac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2} = 340 \times 60/882 \approx 23\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 83\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ।

4. $\dfrac{2f_1 f_2}{f_1 + f_2} = f$ (साझा गुणक कट जाता है): $f = 2 \times 471 \times 411/882 \approx 439\,\mathrm{Hz}$ — यानी संनादी माध्य, जो औसत $441\,\mathrm{Hz}$ से नीचे है क्योंकि पास आना $f$ को जितना चढ़ाता है, दूर जाना उतना नहीं काटता।

5. आगे: $(v - u)/f = 316.9/439 \approx 0.72\,\mathrm{m}$ ; पीछे: $363.1/439 \approx 0.83\,\mathrm{m}$ ; विराम में: $340/439 \approx 0.77\,\mathrm{m}$ ।

6. एक बार तरंग पाते चलते प्रेक्षक के रूप में, और एक बार जो पाया उसे फिर छोड़ते चलते स्रोत के रूप में।

7. $f' = f\,(1 + u/c)/(1 - u/c) \approx f(1 + 2u/c)$ , इसलिए $\Delta f = f' - f \approx \dfrac{2u}{c}\,f$ ।

8. $u = c\,\Delta f/(2f) = 3.00 \times 10^{8} \times 3550/(2 \times 24.125 \times 10^{9}) \approx 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

9. $22.1 \times 3.6 \approx 79\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : यानी $80\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ की सीमा से ज़रा-सा नीचे।

10. प्रति $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $\Delta f = 2f/(3.6\,c) \approx 45\,\mathrm{Hz}$ । प्रतिध्वनि को छोड़ी गई तरंग से टकराने पर केवल अंतर बचता है: एक श्रव्य आवृत्ति, जिसे गिनना बच्चों का खेल है, भले वह वाहक का $10^{-7}$ भर अंश हो।

11. रात-दर-रात ज्ञात वर्णक्रम रेखाओं के तरंगदैर्घ्य; और फिर $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda$ ।

12. $K = 55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $P = 4.2\,\mathrm{days}$ ।

13. $\Delta\lambda = 550 \times 55/3.00 \times 10^{8} \approx 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{nm}$ , $\Delta\lambda/\lambda \approx 1.8 \times 10^{-7}$ — यानी पचास लाख में एक भाग, जो रेलगाड़ी के $7\%$ खिसकाव से लगभग $4 \times 10^{5}$ गुना छोटा है।

14. तारा और ग्रह एक-दूसरे को बराबर खींचते हैं, इसलिए दोनों अपने साझा द्रव्यमान केंद्र की परिक्रमा करते हैं: तारा ठहरा रह ही नहीं सकता। और ज्यावक्र जैसा $v_r$ किनारे से देखी गई एकसमान वृत्तीय गति है — यानी वृत्तीय कक्षा।

15. तारे और पृथ्वी की दूरी, और इसलिए तरंगदैर्घ्य, केवल दृष्टि-रेखा वाला घटक बदलता है। कक्षा सामने चपटी पड़ी हो तो हर समय $v_r = 0$ : कोई संकेत ही नहीं।

16. $P = 3.63 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : $r^3 = 6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} \times (3.63 \times 10^{5})^2/(4\pi^2) \approx 4.4 \times 10^{29}$ , इसलिए $r \approx 7.6 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ — यानी पृथ्वी–सूर्य दूरी का लगभग $1/20$ ।

17. $V = 2\pi r/P = 2\pi \times 7.6 \times 10^{9}/3.63 \times 10^{5} \approx 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

18. $m = M K/V = 2.0 \times 10^{30} \times 55/1.3 \times 10^{5} \approx 8.3 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$ ।

19. लगभग $0.4$ बृहस्पति-द्रव्यमान ( $\approx 140$ पृथ्वियाँ), और वह भी बुध से $8$ गुना पास परिक्रमा करता हुआ: यानी अपने तारे से सिंकता एक गैस-दानव — “तप्त बृहस्पति”।

20. तिरछापन गति का कुछ हिस्सा छिपा लेता है: नापा गया $K$ केवल त्रिज्य हिस्सा है, इसलिए सच्चा द्रव्यमान बड़ा होगा — $8.3 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$ एक न्यूनतम है। पचास लाख में एक भाग के आवर्ती खिसकाव ने अभी-अभी उस ग्रह की कक्षा, चाल और न्यूनतम द्रव्यमान सौंप दिए जिसे किसी ने कभी नहीं देखा।