Physics · किताब 2 · Grades 10–12

माध्यमिक भौतिकी

माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

35विशिष्ट आपेक्षिकता: काल-विस्तारण

GPS का हर उपग्रह ऐसी परमाणु घड़ी ढोता है जो तीस लाख वर्ष में एक सेकंड भर चूकती है — और प्रक्षेपण से पहले अभियंता जान-बूझकर उसे सुर से उतार देते हैं: ईमानदार छोड़ दी जाए तो वह प्रतिदिन सेकंड के 38 लाखवें हिस्से आगे निकल जाएगी, और कल शाम तक आपका फ़ोन आपको वहाँ से ग्यारह किलोमीटर दूर बिठा देगा जहाँ आप खड़े हैं। दोष घड़ी का नहीं है — समय ख़ुद चलते और ठहरे हुए के लिए अलग-अलग टिकता है: यह अध्याय आइंस्टाइन के पीछे एक ज़िद्दी तथ्य से उसी निष्कर्ष तक चलता है।

35.1 एक चाल जुड़ने से इनकार कर देती है

चालें तंत्र पर निर्भर करती हैं और जोड़ से मिलती हैं (अध्याय 5): 300 km/h300\,\mathrm{km}/\mathrm{h} से चलती रेलगाड़ी में आगे की ओर 4 km/h4\,\mathrm{km}/\mathrm{h} से चलता यात्री पटरी के किनारे खड़े प्रेक्षक के पास से 304 km/h304\,\mathrm{km}/\mathrm{h} पर गुज़रता है।

परिभाषा 35.1 (जड़त्वीय तंत्र)

जड़त्वीय तंत्र वह निर्देश तंत्र (अध्याय 5) है जिसमें बलहीन पिंड अचर वेग बनाए रखता है: ज़मीन, लगभग-लगभग, और उसके सापेक्ष सरल रेखा में एकसमान चलता हर तंत्र।

अब इस नियम को चरम तक खींचिए: रेलगाड़ी की हेडलाइट का पुंज ज़मीन पर खड़े प्रेक्षक के पास से c+300 km/hc + 300\,\mathrm{km}/\mathrm{h} पर गुज़रना चाहिए। सन 1887 में माइकलसन और मॉर्ली ने पृथ्वी की 30 km/s30\,\mathrm{km}/\mathrm{s} वाली कक्षीय दौड़ के अनुदिश और उसके आड़े प्रकाश की चाल की तुलना करके ऐसे ही अंतर खोजे; और अद्भुत परिशुद्धता तक उन्हें कोई नहीं मिला — हर दिशा में, हर ऋतु में वही cc। सन 1905 में आइंस्टाइन ने उस प्रयोग पर भरोसा किया और समय तथा अवकाश को उसी के चारों ओर फिर से खड़ा कर दिया, दो अभिगृहीतों पर, जिनका फ़ैसला उनके परिणामों से होना था — और अब सदी भर की परीक्षा में एक बार भी वे विफल नहीं हुए।

प्रमेय 35.2 (विशिष्ट आपेक्षिकता के अभिगृहीत)

  1. आपेक्षिकता का सिद्धांत: भौतिकी के नियम हर जड़त्वीय तंत्र में एक ही रूप लेते हैं; कोई भी “सचमुच विराम में” नहीं है।
  2. cc की अपरिवर्त्यता: निर्वात में प्रकाश हर जड़त्वीय तंत्र में c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} से चलता है, स्रोत या प्रेक्षक की गति चाहे जो हो।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

35.2 “एक ही क्षण” को विदा

प्रतिज्ञप्ति 35.3 (युगपतता की आपेक्षिकता)

किसी एक जड़त्वीय तंत्र में युगपत दो घटनाएँ आम तौर पर दूसरे तंत्र में युगपत नहीं होतीं: “अभी, हर जगह” तंत्र पर निर्भर है।

उपपत्ति. आइंस्टाइन की रेलगाड़ी। बिजली की दो कड़कें चलती रेलगाड़ी के दोनों सिरों पर गिरती हैं और पटरी पर निशान झुलसा देती हैं। दोनों निशानों के ठीक बीच खड़ा प्लेटफ़ॉर्म का प्रेक्षक MM दोनों चमकें एक साथ पाता है; हर चमक ने वही दूरी उसी चाल cc पर तय की थी, इसलिए दोनों कड़कें युगपत थीं। पर रेलगाड़ी के ठीक बीचोंबीच बैठा यात्री M′M' आगे वाली चमक की ओर बढ़ रहा है, इसलिए वह उस तक पहले पहुँचती है; और उसके तंत्र में भी दोनों चमकों ने बराबर दूरियाँ (आधी गाड़ी) उसी चाल cc पर तय कीं — दूसरा अभिगृहीत! — इसलिए आगे वाली कड़क पहले गिरी थी। दोनों फ़ैसले अपने-अपने तंत्र में सही हैं; और यह असहमति, रेलगाड़ी के लिए नैनोसेकंडों की, इसीलिए किसी की नज़र में नहीं आई। ∎

आइंस्टाइन की रेलगाड़ी: A और B की चमकें M तक एक साथ पहुँचती हैं; जबकि M' B की चमक की ओर बढ़ रहा है, उससे पहले मिलता है — और निष्कर्ष निकालता है कि वही कड़क पहले गिरी।
आइंस्टाइन की रेलगाड़ी: AA और BB की चमकें MM तक एक साथ पहुँचती हैं; जबकि M′M' BB की चमक की ओर बढ़ रहा है, उससे पहले मिलता है — और निष्कर्ष निकालता है कि वही कड़क पहले गिरी।

35.3 प्रकाश-घड़ी और γ\gamma गुणक

परिभाषा 35.4 (घटना, निजी काल)

घटना एक ही जगह और एक ही क्षण पर घटा हुआ कुछ है — एक टिक, एक चमक, एक क्षय। जब दोनों घटनाओं पर एक ही घड़ी मौजूद हो, तो उनके बीच वह जो अंतराल पढ़ती है वही निजी काल Δt0\Delta t_0 है। और जिस तंत्र में वह घड़ी चलती है, वहाँ आम तौर पर कोई और अंतराल Δt\Delta t नापा जाता है।

प्रमेय 35.5 (काल-विस्तारण)

किसी जड़त्वीय तंत्र में अचर चाल vv से चलती घड़ी वहाँ धीमी चलती हुई नापी जाती है: घड़ी पर घटी दो घटनाओं के बीच

Δt=γ Δt0,γ=11−v2/c2≥1.\Delta t = \gamma\, \Delta t_0, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \geq 1 .

उपपत्ति. सबसे सरल कल्पनीय घड़ी बनाइए: LL की दूरी पर आमने-सामने रखे दो दर्पण, और उनके बीच उछलता एक फ़ोटॉन; एक चक्कर एक टिक है, और विराम में एक टिक Δt0=2L/c\Delta t_0 = 2L/c चलती है। अब उस घड़ी को चाल vv से जाते किसी जहाज़ पर कस दीजिए, दर्पण गति के लंबवत, और ज़मीन से एक टिक का समय नापिए: जब तक फ़ोटॉन चढ़ता है, दर्पण बग़ल में सरक जाते हैं, इसलिए फ़ोटॉन तिरछा पथ उड़ता है — यानी एक साथ दो गतियाँ, ठीक अध्याय 24 के प्रक्षेप्य की तरह। यदि टिक Δt\Delta t चले, तो हर आधी टिक में क्षैतिज दिशा में v Δt/2v\,\Delta t/2 और ऊर्ध्वाधर दिशा में LL तय होता है; और — यही निर्णायक क़दम है — दूसरा अभिगृहीत फ़ोटॉन की ज़मीनी चाल cc पर जमा देता है, इसलिए तिरछा आधा-पथ c Δt/2c\,\Delta t/2 नापता है। पाइथागोरस:

(c Δt2) ⁣2=L2+(v Δt2) ⁣2  ⟹  Δt=2L/c1−v2/c2=γ Δt0.\Bigl(\frac{c\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2} = L^2 + \Bigl(\frac{v\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2} \;\Longrightarrow\; \Delta t = \frac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\,\Delta t_0 .

और उसके साथ सवार कोई भी घड़ी — कलाई-घड़ी, दिल की धड़कन, क्षय होता नाभिक — क़दम मिलाए रखनी ही होगी, वरना तुलना जहाज़ की गति खोल देती और पहला अभिगृहीत टूट जाता। ∎

प्रकाश-घड़ी। विराम में फ़ोटॉन L चढ़ता है; और ज़मीन से वह उसी c पर कर्ण उड़ता है — इसलिए टिक को अधिक समय लगना ही है। प्रकाश-घड़ी। विराम में फ़ोटॉन L चढ़ता है; और ज़मीन से वह उसी c पर कर्ण उड़ता है — इसलिए टिक को अधिक समय लगना ही है।
प्रकाश-घड़ी। विराम में फ़ोटॉन LL चढ़ता है; और ज़मीन से वह उसी cc पर कर्ण उड़ता है — इसलिए टिक को अधिक समय लगना ही है।

उदाहरण 35.6 (गामा, संख्याओं में)

v/cv/c0.010.10.50.80.90.990.999
γ\gamma1.000051.0051.1551.6672.2947.0922.4

पन्नों तक कुछ नहीं होता, फिर सब कुछ एक साथ: γ\gamma प्रकाश की चाल के तिहाई तक 11 से चिपका रहता है, 0.9c0.9c के पास 22 पार करता है, और v→cv \to c होते-होते फट पड़ता है।

= 1/√1 - v2/c2: रोज़मर्रा की चालों पर 1 से अलग पहचाना ही नहीं जाता, और अनंतस्पर्शी v = c पर अपसारी — यानी वह चाल जिस तक कोई द्रव्यमान वाला पिंड नहीं पहुँचता।
γ=1/1−v2/c2\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}: रोज़मर्रा की चालों पर 11 से अलग पहचाना ही नहीं जाता, और अनंतस्पर्शी v=cv = c पर अपसारी — यानी वह चाल जिस तक कोई द्रव्यमान वाला पिंड नहीं पहुँचता।

टिप्पणी 35.7 (रोज़मर्रा की ज़िंदगी को इसकी भनक क्यों नहीं लगी)

v≪cv \ll c के लिए x=v2/c2x = v^2/c^2 लिखिए: चूँकि (1−x)(1+x)≈1(1-x)(1+x) \approx 1 और (1+x/2)2≈1+x(1 + x/2)^2 \approx 1 + x, इसलिए γ≈1+v2/(2c2)\gamma \approx 1 + v^2/(2c^2) मिलता है। 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h} से चलती कार का γ−1≈7×10−15\gamma - 1 \approx 7 \times 10^{-15} है (यानी चालीस लाख वर्ष चलाने पर एक सेकंड की हानि); और जेट 3.5×10−133.5 \times 10^{-13} तक पहुँचता है, यानी नब्बे हज़ार वर्ष उड़ने पर एक सेकंड। हमारी घड़ियाँ बस बहुत मोटी थीं।

35.4 प्रयोग का फ़ैसला

उदाहरण 35.8 (म्यूऑन ज़मीन तक पहुँच जाते हैं)

ऊपरी वायुमंडल से टकराती ब्रह्मांडीय किरणें म्यूऑन बना देती हैं — यानी Δt0=2.2 µs\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} के निजी जीवनकाल वाले अल्पजीवी कण — और वह भी लगभग 15 km15\,\mathrm{km} ऊपर, लगभग cc पर चलते हुए। आपेक्षिकता के बिना कोई म्यूऑन एक जीवनकाल में c Δt0≈660 mc\,\Delta t_0 \approx 660\,\mathrm{m} तय करता है: उतरने में कोई 2323 जीवनकाल लगते, और बचा हुआ अंश e−23≈10−10\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10} समुद्र-तल पर म्यूऑन को लगभग नामुमकिन बना देता। फिर भी संसूचक प्रति वर्ग सेंटीमीटर प्रति मिनट लगभग एक गिनते हैं। काल-विस्तारण इसे सुलझा देता है: γ≈30\gamma \approx 30 के साथ आते म्यूऑन हमारी घड़ियों पर 30×2.2 µs=66 µs30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 66\,\text{µ}\mathrm{s} जीते हैं — यानी परास ≈20 km\approx 20\,\mathrm{km}, पूरा वायुमंडल।

म्यूऑन की यात्रा: एक चिरसम्मत जीवनकाल जन्म-ऊँचाई से 660\, m नीचे ही मर जाता है; जबकि विस्तारित जीवनकाल पूरे वायुमंडल तक फैल जाता है।
म्यूऑन की यात्रा: एक चिरसम्मत जीवनकाल जन्म-ऊँचाई से 660 m660\,\mathrm{m} नीचे ही मर जाता है; जबकि विस्तारित जीवनकाल पूरे वायुमंडल तक फैल जाता है।

पुष्टियाँ ढेर होती जाती हैं। सन 1971 में हैफ़ेल और कीटिंग सीज़ियम की परमाणु घड़ियाँ (अध्याय 28) यात्री विमानों पर दुनिया भर घुमा लाए; उतरने पर वे ज़मीनी घड़ियों से ठीक उतने ही माइक्रोसेकंड के अंशों से भिन्न मिलीं जितना कहा गया था। त्वरक रोज़ इसी विस्तारण के भरोसे चलते हैं, और उनके कण γ\gamma तक बढ़ाकर हज़ारों ऐसे चक्कर जीते हैं जो चिरसम्मत भौतिकी में कभी पूरे न होते। और GPS तो क़ीमत की चिप्पी लगा हुआ चलता-फिरता प्रयोग है।

टिप्पणी 35.9 (GPS का आपेक्षिकता-बिल)

GPS का उपग्रह लगभग 3.9 km/s3.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s} पर कक्षा में घूमता है, इसलिए विशिष्ट आपेक्षिकता उसकी घड़ी को प्रतिदिन कोई 7 µs7\,\text{µ}\mathrm{s} धीमा कर देती है। पर ऊँचाई पर कमज़ोर गुरुत्व उलटी दिशा में काम करता है और जीत जाता है: सामान्य आपेक्षिकता (यानी आइंस्टाइन का गुरुत्वाकर्षण का सिद्धांत, जो विश्वविद्यालय के खंडों में कहा गया है) उसे प्रतिदिन लगभग 45 µs45\,\text{µ}\mathrm{s} तेज़ कर देती है; और शुद्ध हिसाब में प्रतिदिन 38 µs38\,\text{µ}\mathrm{s} तेज़। स्थिति-निर्धारण घड़ी के पाठ्यांकों को चाल cc पर दूरियों में बदलता है: इसलिए बिना सुधार का एक दिन स्थितियों को c×38 µs≈11 kmc \times 38\,\text{µ}\mathrm{s} \approx 11\,\mathrm{km} तक फैला देता — और शुरुआती पैराग्राफ़ की वे सुर से उतारी गई घड़ियाँ इसीलिए हैं।

प्रतिज्ञप्ति 35.10 (लंबाई-संकुचन)

अपने विराम-तंत्र में लंबाई L0L_0 वाला पिंड उस तंत्र में, जहाँ वह चाल vv से चलता है, अपनी गति की दिशा के अनुदिश छोटा नापा जाता है: L=L0/γL = L_0/\gamma।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 35.11 (म्यूऑन की अपनी कहानी)

लंबाई-संकुचन काल-विस्तारण का ही दूसरा पहलू है (जिसे विश्वविद्यालय के खंडों में ईमानदारी से निकाला गया है): म्यूऑन की घड़ी उसके अपने तंत्र में सामान्य ही टिकती है, पर उसकी ओर दौड़ता वायुमंडल सिकुड़कर 15 km/30=500 m15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m} रह जाता है, जिसे वह 2.2 µs2.2\,\text{µ}\mathrm{s} के भीतर ही पार कर लेता है — और दोनों तंत्र सहमत हैं कि म्यूऑन ज़मीन तक पहुँच जाता है।

35.5 द्रव्यमान, ऊर्जा, और लौटी हुई चिरसम्मत दुनिया

प्रमेय 35.12 (द्रव्यमान–ऊर्जा तुल्यता)

द्रव्यमान mm का पिंड केवल अपने द्रव्यमान भर से ऊर्जा रखता है:

E=mc2.E = m c^2 .

द्रव्यमान ऊर्जा का सिमटा हुआ रूप है; और उलटे, ऊर्जा का द्रव्यमान होता है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 35.13 (आप इससे कहाँ मिल चुके हैं)

नाभिकीय ऊर्जा (अध्याय 33) के पीछे यही बहीखाता है: किसी अभिक्रिया की द्रव्यमान क्षति गुणा c2c^2 ही छूटी ऊर्जा है। एक ग्राम द्रव्यमान 9.0×1013 J9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J} है — यानी किसी बड़े शक्ति-संयंत्र का पूरे दिन का उत्पादन। ईमानदार व्युत्पत्ति विश्वविद्यालय के खंडों की है; पर रिएक्टर और तारे उसकी परवाह किए बिना उसी पर चलते हैं।

टिप्पणी 35.14 (न्यूटन ग़लत नहीं थे)

v≪cv \ll c रख दीजिए: γ→1\gamma \to 1, समय मेल खाने लगते हैं, लंबाइयाँ फिर तन जाती हैं, युगपतता निरपेक्ष हो जाती है — और पिछले तीन वर्षों की यांत्रिकी ज्यों की त्यों, धीमी चाल की सीमा के रूप में लौट आती है। आपेक्षिकता ने न्यूटन को ढहाया नहीं; उसने उनके साम्राज्य की सरहद खींच दी। भौतिकी इसी तरह बढ़ती है: सिद्धांतों को धार देकर, और हर नया सिद्धांत पुराने को सीमांत स्थिति के रूप में वापस लौटा देता है।

35.6 अभ्यास

अभ्यास 35.1 ★

v=0.1cv = 0.1c, 0.6c0.6c, 0.8c0.8c, 0.995c0.995c के लिए γ\gamma तीन सार्थक अंकों तक निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 35.1.

γ=1/1−(v/c)2\gamma = 1/\sqrt{1 - (v/c)^2}: 1.011.01 (0.1c0.1c); 1.251.25 (0.6c0.6c); 1.671.67 (0.8c0.8c); 10.010.0 (0.995c0.995c)।

अभ्यास 35.2 ★

कोई जहाज़ 0.6c0.6c से चलता है; उसका ताल-यंत्र जहाज़ की घड़ी से हर 10.0 s10.0\,\mathrm{s} पर धड़कता है। ज़मीन कौन-सा अंतराल नापती है? निजी काल कौन-सा है, और क्यों?

हल

हल — अभ्यास 35.2.

γ=1.25\gamma = 1.25, इसलिए ज़मीन 1.25×10.0=12.5 s1.25 \times 10.0 = 12.5\,\mathrm{s} नापती है। जहाज़ का 10.0 s10.0\,\mathrm{s} ही निजी काल है: ताल-यंत्र (एक ही घड़ी) दोनों धड़कनों पर मौजूद है।

अभ्यास 35.3 ★

किस चाल पर (cc के अंश के रूप में) γ=2\gamma = 2 होता है? और γ=10\gamma = 10?

हल

हल — अभ्यास 35.3.

v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}: γ=2\gamma = 2 से v=0.866cv = 0.866c मिलता है; और γ=10\gamma = 10 से v=0.995cv = 0.995c।

अभ्यास 35.4 ★

कोई कार 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h} से चलती है। v/cv/c निकालिए, फिर γ−1\gamma - 1 (टिप्पणी 35.7); उसकी घड़ी को 1 s1\,\mathrm{s} पीछे पड़ने के लिए उसे कितनी देर चलना पड़ेगा?

हल

हल — अभ्यास 35.4.

v=36.1 m/sv = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, v/c=1.2×10−7v/c = 1.2 \times 10^{-7}; γ−1≈(1.2×10−7)2/2≈7.2×10−15\gamma - 1 \approx (1.2 \times 10^{-7})^2/2 \approx 7.2 \times 10^{-15}। एक सेकंड की हानि 1/7.2×10−15≈1.4×1014 s1/7.2 \times 10^{-15} \approx 1.4 \times 10^{14}\,\mathrm{s} बाद — यानी लगभग चालीस लाख वर्ष कार चलाने पर।

अभ्यास 35.5 ★

आइंस्टाइन के रेलगाड़ी वाले प्रयोग में, प्रयुक्त अभिगृहीत का हवाला देते हुए समझाइए कि यात्री आगे वाली कड़क को पहला क्यों ठहराता है, और दोनों में से कोई प्रेक्षक ग़लत क्यों नहीं है।

हल

हल — अभ्यास 35.5.

यात्री आगे वाली चमक की ओर बढ़ रहा है, इसलिए वह उस तक पहले पहुँचती है; और दूसरे अभिगृहीत से उसके तंत्र में दोनों चमकें आधी गाड़ी की बराबर दूरियाँ उसी cc पर तय करती हैं, इसलिए पहले पहुँचने का अर्थ पहले गिरना है। युगपतता तंत्र पर निर्भर है: हर फ़ैसला अपने-अपने तंत्र में सही है।

अभ्यास 35.6 ★★

आवेशित पायॉन Δt0=2.6×10−8 s\Delta t_0 = 2.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{s} जीते हैं। कोई पुंज त्वरक से 0.99c0.99c पर निकलता है। γ\gamma, प्रयोगशाला में जीवनकाल, चिरसम्मत परास v Δt0v\,\Delta t_0, और असली माध्य परास निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 35.6.

γ=1/1−0.992=7.09\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.99^2} = 7.09; प्रयोगशाला में जीवनकाल 7.09×2.6×10−8=1.8×10−7 s7.09 \times 2.6 \times 10^{-8} = 1.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}। चिरसम्मत परास 0.99×3.00×108×2.6×10−8≈7.7 m0.99 \times 3.00 \times 10^{8} \times 2.6 \times 10^{-8} \approx 7.7\,\mathrm{m}; और असली 7.09×7.7≈55 m7.09 \times 7.7 \approx 55\,\mathrm{m}।

अभ्यास 35.7 ★★

γ\gamma के वक्र से वे चालें पढ़िए जो γ=1.5\gamma = 1.5 और γ=3\gamma = 3 देती हैं (गणना से जाँच लीजिए)। v=cv = c पर खड़ी अनंतस्पर्शी द्रव्यमान वाले किसी पिंड को त्वरित करने के बारे में क्या कहती है?

हल

हल — अभ्यास 35.7.

v=c1−1/2.25≈0.75cv = c\sqrt{1 - 1/2.25} \approx 0.75c पर γ=1.5\gamma = 1.5; ≈0.94c\approx 0.94c पर γ=3\gamma = 3। अनंतस्पर्शी: v→cv \to c होते-होते γ\gamma (और और चाल का ऊर्जा-दाम) अपसारी हो जाता है — यानी कोई परिमित मेहनत किसी द्रव्यमान वाले पिंड को प्रकाश की चाल तक नहीं ला सकती।

अभ्यास 35.8 ★★

किसी प्रकाश-घड़ी के दर्पण L=1.5 mL = 1.5\,\mathrm{m} की दूरी पर हैं। विराम में उसकी टिक निकालिए, फिर 0.8c0.8c से चलते समय ज़मीन से नापी गई उसकी टिक।

हल

हल — अभ्यास 35.8.

Δt0=2L/c=3.0/3.00×108=1.0×10−8 s\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}; 0.8c0.8c पर γ=5/3\gamma = 5/3, इसलिए Δt=1.7×10−8 s\Delta t = 1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}।

अभ्यास 35.9 ★★

इनके बीच निजी काल कौन नापता है: (क) कलाई-घड़ी की दो टिक — पहनने वाला, या पास से गुज़रता कोई? (ख) किसी म्यूऑन का जन्म और क्षय — म्यूऑन, या प्रयोगशाला? (ग) पृथ्वी से निकलना और मंगल पहुँचना — चालक, या अभियान-नियंत्रण?

हल

हल — अभ्यास 35.9.

निजी काल उस घड़ी का है जो दोनों घटनाओं पर मौजूद हो: (क) पहनने वाला; (ख) म्यूऑन; (ग) चालक — क्योंकि प्रस्थान और आगमन, दोनों पर केवल यान ही मौजूद है।

अभ्यास 35.10 ★★

अंतरिक्ष स्थानक 7.7 km/s7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s} पर कक्षा में घूमता है। γ−1≈v2/2c2\gamma - 1 \approx v^2/2c^2 निकालिए, फिर छह महीने (1.58×107 s1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s}) बाद किसी अंतरिक्ष यात्री की घड़ी ज़मीनी घड़ी से कितना पीछे रह जाती है।

हल

हल — अभ्यास 35.10.

γ−1≈77002/(2×9.0×1016)≈3.3×10−10\gamma - 1 \approx 7700^2/(2 \times 9.0 \times 10^{16}) \approx 3.3 \times 10^{-10}; और 1.58×107 s1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s} में अंतरिक्ष यात्री 3.3×10−10×1.58×107≈5.2×10−3 s3.3 \times 10^{-10} \times 1.58 \times 10^{7} \approx 5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} पीछे रह जाता है — यानी लगभग पाँच मिलीसेकंड छोटा।

अभ्यास 35.11 ★★

1.0 g1.0\,\mathrm{g} पदार्थ की ऊर्जा-मात्रा E=mc2E = mc^2 निकालिए। उसकी तुलना 1.0 GW1.0\,\mathrm{GW} के शक्ति-संयंत्र के दैनिक उत्पादन से कीजिए, और 130 km/h130\,\mathrm{km}/\mathrm{h} पर चलती 8.5×105 J8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J} की कार की गतिज ऊर्जा से भी।

हल

हल — अभ्यास 35.11.

E=1.0×10−3×(3.00×108)2=9.0×1013 JE = 1.0 \times 10^{-3} \times (3.00 \times 10^{8})^2 = 9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J}। 1.0 GW1.0\,\mathrm{GW} का संयंत्र प्रतिदिन 1.0×109×86400≈8.6×1013 J1.0 \times 10^{9} \times 86400 \approx 8.6 \times 10^{13}\,\mathrm{J} देता है — यानी एक ग्राम उसके एक दिन के उत्पादन के बराबर है, और 9.0×1013/8.5×105≈1089.0 \times 10^{13}/8.5 \times 10^{5} \approx 10^{8}: दस करोड़ तेज़ भागती कारें।

अभ्यास 35.12 ★★★

γ=1/1−v2/c2\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2} से दिखाइए कि v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}; और इससे γ=30\gamma = 30 वाले म्यूऑनों की चाल cc के मात्रकों में पाँच सार्थक अंकों तक निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 35.12.

वर्ग कीजिए और उलटिए: γ2(1−v2/c2)=1\gamma^2(1 - v^2/c^2) = 1, इसलिए v2/c2=1−1/γ2v^2/c^2 = 1 - 1/\gamma^2, यानी v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}। और γ=30\gamma = 30 के लिए: v=c1−1/900=0.99944cv = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c।

अभ्यास 35.13 ★★★

म्यूऑन की यात्रा उसके अपने तंत्र से फिर से सुनाइए: γ=30\gamma = 30 पर वायुमंडल कितना मोटा है, 0.99944c0.99944c पर वह कितनी देर में बग़ल से गुज़र जाता है, और क्या यह एक निजी जीवनकाल में अँट जाता है?

हल

हल — अभ्यास 35.13.

संकुचित मोटाई L=15 km/30=500 mL = 15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m}; और उससे गुज़रने का समय 500/(0.99944×3.00×108)≈1.7×10−6 s<2.2 µs500/(0.99944 \times 3.00 \times 10^{8}) \approx 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{s} < 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}। दोनों तंत्र सहमत हैं कि म्यूऑन ज़मीन तक पहुँच जाता है — एक इसका दोष खिंचे हुए जीवनकाल पर मढ़ता है, दूसरा सिकुड़े हुए वायुमंडल पर।

अभ्यास 35.14 ★★★

कोई रैखिक त्वरक इलेक्ट्रॉनों को 3.2 km3.2\,\mathrm{km} की नली में γ=1.0×105\gamma = 1.0 \times 10^{5} तक धकेलता है। प्रयोगशाला में इस सफ़र में कितना समय लगता है? इलेक्ट्रॉन के तंत्र में कितना, और वहाँ नली कितनी “लंबी” है?

हल

हल — अभ्यास 35.14.

प्रयोगशाला: 3200/3.00×108≈1.1×10−5 s3200/3.00 \times 10^{8} \approx 1.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{s} (चाल ≈c\approx c)। इलेक्ट्रॉन के तंत्र में: नली सिकुड़कर 3200/1.0×105=3.2 cm3200/1.0 \times 10^{5} = 3.2\,\mathrm{cm} रह जाती है, जिसे 1.1×10−5/1.0×105≈1.1×10−10 s1.1 \times 10^{-5}/1.0 \times 10^{5} \approx 1.1 \times 10^{-10}\,\mathrm{s} में पार कर लिया जाता है।

अभ्यास 35.15 ★★★

प्रॉक्सिमा सेंटौरी 4.24.2 प्रकाश वर्ष दूर है (प्रकाश वर्ष वह दूरी है जो प्रकाश एक वर्ष में तय करता है)। कोई यान वहाँ 0.9c0.9c से जाता है: पृथ्वी के पंचांग पर और यान की घड़ी पर इस सफ़र में कितना समय लगता है?

हल

हल — अभ्यास 35.15.

पृथ्वी: 4.2/0.9≈4.7 years4.2/0.9 \approx 4.7\,\mathrm{years}। और γ=1/1−0.81=2.29\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.81} = 2.29 के साथ यान की घड़ी 4.7/2.29≈2.0 years4.7/2.29 \approx 2.0\,\mathrm{years} दर्ज करती है।

35.7 समस्या: म्यूऑन और जुड़वाँ बहन

समस्या 35.1

सप्ताहांत समस्या — म्यूऑन की यात्रा और अंतरिक्ष यात्री की जुड़वाँ बहन: अपनी ही घड़ी से अधिक जीता एक कण, फिर से बनाई गई एक प्रकाश-घड़ी, अपनी जुड़वाँ से छोटी लौटी एक यात्री, और वह बहीखाता जो GPS को ईमानदार रखता है

आँकड़े: म्यूऑन का निजी जीवनकाल Δt0=2.2 µs\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}; म्यूऑन लगभग 15 km15\,\mathrm{km} ऊपर, लगभग cc पर जन्मते हैं; समुद्र-तल पर प्रवाह लगभग एक म्यूऑन प्रति cm2\mathrm{cm}^{2} प्रति मिनट; c=3.00×108 m/sc = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}।

भाग I — म्यूऑन का असंभव आगमन।

  1. आपेक्षिकता के बिना कोई म्यूऑन एक जीवनकाल में कितनी दूर जाता है?
  2. तब 15 km15\,\mathrm{km} के उतार में कितने जीवनकाल लगते हैं?
  3. nn जीवनकाल बाद अंश e−n\mathrm{e}^{-n} बचता है: उसका अनुमान लगाइए, नापे गए प्रवाह से भिड़ाइए, और एक वाक्य में चिरसम्मत भौतिकी पर फ़ैसला सुनाइए।
  4. ये म्यूऑन असल में γ≈30\gamma \approx 30 के साथ पहुँचते हैं। ज़मीन से नापा गया उनका जीवनकाल और उससे निकलता परास निकालिए।
  5. v=c1−1/γ2v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2} का उपयोग करते हुए उनकी चाल cc के मात्रकों में पाँच सार्थक अंकों तक निकालिए।

भाग II — प्रकाश-घड़ी, फिर से बनाई हुई। कोई प्रकाश-घड़ी (L=1.5 mL = 1.5\,\mathrm{m}) v=0.6cv = 0.6c से जाते जहाज़ पर सवार है।

  1. जहाज़ पर पढ़ी जाती टिक Δt0\Delta t_0 निकालिए।
  2. ज़मीन से देखने पर एक टिक Δt\Delta t चलती है: प्रति आधी टिक क्षैतिज बढ़त, फ़ोटॉन की ऊर्ध्वाधर चढ़ाई, और — उस अभिगृहीत का नाम लेते हुए जो उसे जमा देता है — तिरछे आधे-पथ की लंबाई दीजिए।
  3. आधी टिक वाले त्रिभुज पर पाइथागोरस लगाइए और Δt\Delta t के लिए हल कीजिए, यह दिखाते हुए कि Δt=γ Δt0\Delta t = \gamma\,\Delta t_0।
  4. γ\gamma और Δt\Delta t संख्याओं में निकालिए।
  5. दो टिकों के बीच निजी काल कौन-सा प्रेक्षक नापता है? परिभाषा से कारण दीजिए।

भाग III — यात्री और उसकी जुड़वाँ। कोई अंतरिक्ष यात्री अपनी जुड़वाँ बहन को पृथ्वी पर छोड़कर 0.8c0.8c से आने-जाने की यात्रा पर निकलती है; और पृथ्वी की घड़ियाँ पूरे सफ़र का समय 10.0 years10.0\,\mathrm{years} नापती हैं।

  1. 0.8c0.8c पर γ\gamma निकालिए (पहले ठीक भिन्न के रूप में, फिर दशमलव में)।
  2. यात्री की घड़ी पर कितना समय बीतता है?
  3. मुड़ने का बिंदु (पृथ्वी के तंत्र में, प्रकाश वर्ष में) कितनी दूर था?
  4. फिर मिलने पर उम्र का अंतर कितना है, और कौन-सी जुड़वाँ छोटी है?
  5. “पर गति तो सापेक्ष है — यात्री यह भी तो कह सकती है कि यात्रा पृथ्वी ने की!” इस आपत्ति का समाधान एक वाक्य में कीजिए।

भाग IV — GPS का बिल। GPS का उपग्रह त्रिज्या r=2.66×107 mr = 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m} पर आवर्तकाल T=12 hT = 12\,\mathrm{h} के साथ कक्षा में घूमता है।

  1. उसकी कक्षीय चाल v=2πr/Tv = 2\pi r/T निकालिए।
  2. γ−1≈v2/2c2\gamma - 1 \approx v^2/2c^2 निकालिए।
  3. इससे निकालिए कि उपग्रह की घड़ी प्रतिदिन ज़मीनी घड़ियों से कितने माइक्रोसेकंड पीछे रह जाती है (86 400 s86\,400\,\mathrm{s})।
  4. यदि अकेला यही बहकाव बिना सुधार छोड़ दिया जाए तो स्थितियों में c×c \times (बहकाव) की त्रुटि आती है: एक दिन बाद त्रुटि निकालिए।
  5. ऊँचाई पर कमज़ोर गुरुत्व घड़ी को प्रतिदिन 45 µs45\,\text{µ}\mathrm{s} तेज़ कर देता है (सामान्य आपेक्षिकता): शुद्ध बहकाव और किलोमीटरों में दैनिक स्थिति-त्रुटि निकालिए — यानी वह संख्या जो अभियंताओं को हर GPS घड़ी सुर से उतारने पर मजबूर कर देती है।
हल

हल — समस्या 35.1.

1. c Δt0=3.00×108×2.2×10−6≈660 mc\,\Delta t_0 = 3.00 \times 10^{8} \times 2.2 \times 10^{-6} \approx 660\,\mathrm{m}।

2. 15 000/660≈2315\,000/660 \approx 23 जीवनकाल।

3. e−23≈10−10\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10}: यानी दस अरब में एक से भी कम म्यूऑन पहुँचना चाहिए, जबकि प्रवाह प्रति cm2\mathrm{cm}^{2} प्रति मिनट एक है — यानी आसमान चिरसम्मत भौतिकी का सीधा खंडन कर देता है।

4. ज़मीनी जीवनकाल 30×2.2 µs=66 µs30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 66\,\text{µ}\mathrm{s}; परास ≈3.00×108×6.6×10−5≈20 km>15 km\approx 3.00 \times 10^{8} \times 6.6 \times 10^{-5} \approx 20\,\mathrm{km} > 15\,\mathrm{km}: आगमन की व्याख्या हो गई।

5. v=c1−1/900=0.99944cv = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c।

6. Δt0=2L/c=3.0/3.00×108=1.0×10−8 s\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}।

7. क्षैतिज v Δt/2v\,\Delta t/2; ऊर्ध्वाधर LL; और तिरछा आधा-पथ c Δt/2c\,\Delta t/2 नापता है, क्योंकि दूसरा अभिगृहीत ज़मीनी तंत्र में भी फ़ोटॉन की चाल cc पर जमा देता है।

8. (c Δt/2)2=L2+(v Δt/2)2(c\,\Delta t/2)^2 = L^2 + (v\,\Delta t/2)^2 से Δt2(c2−v2)=4L2\Delta t^2(c^2 - v^2) = 4L^2 मिलता है, इसलिए Δt=(2L/c)/1−v2/c2=γ Δt0\Delta t = (2L/c)/\sqrt{1 - v^2/c^2} = \gamma\,\Delta t_0।

9. γ=1/1−0.36=1.25\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.36} = 1.25; Δt=1.25×10−8 s\Delta t = 1.25 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}।

10. जहाज़ वाला: उसकी एक ही घड़ी दोनों टिकों पर मौजूद है, इसलिए वही निजी काल पढ़ती है; ज़मीन को दो तालमेल बिठाई हुई घड़ियाँ चाहिए।

11. γ=1/1−0.64=1/0.6=5/3≈1.67\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.64} = 1/0.6 = 5/3 \approx 1.67।

12. 10.0/(5/3)=6.0 years10.0/(5/3) = 6.0\,\mathrm{years}।

13. 0.8c0.8c पर बाहर की ओर 5.0 years5.0\,\mathrm{years}: यानी 4.04.0 प्रकाश वर्ष।

14. 10.0−6.0=4.0 years10.0 - 6.0 = 4.0\,\mathrm{years}: अंतरिक्ष यात्री अपनी जुड़वाँ से चार वर्ष छोटी है।

15. स्थिति सममित नहीं है: मुड़ती केवल यात्री है — वह त्वरित होती है और जड़त्वीय तंत्र बदल देती है, जबकि पृथ्वी वाली जुड़वाँ एक ही तंत्र में बनी रहती है — इसलिए छोटा समय केवल उसी की घड़ी दर्ज करती है।

16. v=2π×2.66×107/43 200≈3.9×103 m/sv = 2\pi \times 2.66 \times 10^{7}/43\,200 \approx 3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}।

17. γ−1≈(3.87×103)2/(2×9.0×1016)≈8.3×10−11\gamma - 1 \approx (3.87 \times 10^{3})^2/(2 \times 9.0 \times 10^{16}) \approx 8.3 \times 10^{-11}।

18. प्रतिदिन 8.3×10−11×86 400≈7.2×10−6 s=7.2 µs8.3 \times 10^{-11} \times 86\,400 \approx 7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{s} = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s} धीमी।

19. प्रतिदिन c×7.2×10−6≈2.2 kmc \times 7.2 \times 10^{-6} \approx 2.2\,\mathrm{km} की स्थिति-त्रुटि।

20. शुद्ध बहकाव प्रतिदिन 45−7.2≈38 µs45 - 7.2 \approx 38\,\text{µ}\mathrm{s} तेज़; और त्रुटि प्रतिदिन c×38×10−6≈11 kmc \times 38 \times 10^{-6} \approx 11\,\mathrm{km} — यानी आपेक्षिकता का वह बिल जो हर GPS घड़ी पहले ही चुका देती है, ज़मीन पर सुर से उतारकर, ताकि कक्षा में वह सही टिके।

यहाँ स्कूल की भौतिकी समाप्त होती है — भौतिकी नहीं। विश्वविद्यालय के खंडों में यांत्रिकी कलन से लैस होकर लौटती है; बिजली और चुंबकत्व ख़ुद को एक ही ढाँचे के रूप में खोल देते हैं, जिसमें प्रकाश, और स्वयं आपेक्षिकता, शुरू से छिपे बैठे थे; और पिछले अध्याय में झलका क्वांटम संसार पदार्थ का काम करता सिद्धांत बन जाता है। हर सिद्धांत को, आपेक्षिकता की तरह, वह लौटाना ही पड़ेगा जो आप अब जानते हैं, सीमांत स्थिति के रूप में। उसे साथ लेकर आगे बढ़िए: वही हिस्सा है जो नहीं बदलेगा।