माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

5सापेक्ष गति

एक यात्री हाथ में कॉफ़ी लिए तेज़ रफ़्तार रेलगाड़ी के अगले सिरे की ओर इत्मीनान से टहल रहा है। पटरी के किनारे खड़ा प्रेक्षक उसी यात्री को $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से भी अधिक पर आँकता है। दोनों मापें सही हैं। इनमें से कोई भी यात्री की “असली” चाल नहीं है, क्योंकि ऐसी कोई चीज़ होती ही नहीं: गति अकेले पिंड का गुण नहीं, बल्कि पिंड और उसे बताने के लिए चुने गए दृष्टिकोण का गुण है। यह अध्याय उस दृष्टिकोण को ठीक-ठीक परिभाषित करता है — और आपको अच्छा दृष्टिकोण चुनना सिखाता है।

5.1 गति सापेक्ष होती है

परिभाषा 5.1 (निर्देश तंत्र)

निर्देश तंत्र कोई दृढ़ पिंड है — ज़मीन, रेलगाड़ी का डिब्बा, या समूची पृथ्वी — जिसके सापेक्ष स्थितियाँ दर्ज की जाती हैं, और उनके साथ उन्हें समय देने के लिए एक घड़ी। कोई पिंड किसी तंत्र में विराम में है जब उस तंत्र में उसकी स्थिति समय के साथ नहीं बदलती; वरना वह उस तंत्र में गति में है।

परिभाषा 5.2 (गतिपथ)

किसी दिए गए निर्देश तंत्र में किसी पिंड का गतिपथ उस तंत्र में उसकी लगातार स्थितियों से बना वक्र है: कोई सरल रेखा, कोई वृत्त, कोई चाप… गतिपथ का अर्थ तभी बनता है जब तंत्र का नाम ले लिया गया हो।

उदाहरण 5.3 (रेलगाड़ी में टहलता यात्री)

एक रेलगाड़ी ज़मीन के सापेक्ष $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से चलती है, और उसी समय एक यात्री रेलगाड़ी के सापेक्ष $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से अगले सिरे की ओर चलता है।

रेलगाड़ी के तंत्र में: यात्री गलियारे में $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से चलता है; सीटें विराम में हैं; बाहर के पेड़ पीछे की ओर $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से भागते हैं।
ज़मीन के तंत्र में: सीटें $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से चलती हैं, यात्री $304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से, और पेड़ विराम में हैं।

वही दृश्य, दो तंत्र, दो बिलकुल अलग वर्णन — और रेलगाड़ी के भीतर किया गया कोई भी प्रयोग इनमें से किसी एक को “असली” घोषित नहीं कर सकता।

प्रतिज्ञप्ति 5.4 (गति की सापेक्षता)

किसी पिंड की विराम या गति की अवस्था, उसका गतिपथ और उसकी चाल — ये सब उस निर्देश तंत्र पर निर्भर करते हैं जो उन्हें बताने के लिए चुना गया है।

उपपत्ति. हर दावे को एक-एक उदाहरण तय कर देता है। उदाहरण 5.3 का बैठा हुआ यात्री रेलगाड़ी के तंत्र में विराम में है और भू-निर्देश तंत्र में $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से चलता है (विराम और चाल तंत्र पर निर्भर हैं)। गतिपथ के लिए साइकिल के पहिये का वाल्व देखिए: साइकिल पर सवार प्रेक्षक उसे धुरी के चारों ओर वृत्त बनाते देखता है, जबकि सड़क पर खड़ा प्रेक्षक उसे मेहराबों की एक कतार बनाते देखता है (इस वक्र को चक्रज कहते हैं) — नीचे का चित्र देखिए। ∎

वही वाल्व, दो तंत्र: साइकिल सवार के लिए एक वृत्त, सड़क पर खड़े प्रेक्षक के लिए एक चक्रज — मेहराबों की एक कड़ी।

टिप्पणी 5.5

ध्यान दीजिए कि दोनों चित्रों में क्या नहीं बदलता: वाल्व, पहिया, भौतिकी। केवल वर्णन बदलता है। “क्या वाल्व सचमुच वृत्त में घूम रहा है?” पूछना वैसा ही है जैसे पूछना कि कोई पहाड़ “सचमुच” बाईं ओर है या नहीं: यह इस पर निर्भर है कि आप कहाँ खड़े हैं।

5.2 औसत चाल

परिभाषा 5.6 (औसत चाल)

किसी दिए गए निर्देश तंत्र में किसी पिंड की औसत चाल उस तंत्र में तय की गई दूरी $d$ को यात्रा-समय $t$ से भाग देकर मिलती है:

v = \frac{d}{t} .

$d$ को मीटरों में और $t$ को सेकंडों में लेने पर $v$ मीटर प्रति सेकंड ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) में आता है; रोज़मर्रा की ज़िंदगी किलोमीटर प्रति घंटा ( $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ) पसंद करती है।

विधि 5.7 (m/s और km/h के बीच बदलना)

एक किलोमीटर $1000\,\mathrm{m}$ होता है और एक घंटा $3600\,\mathrm{s}$ , इसलिए $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ :

$\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ में: $3.6$ से गुणा कीजिए;
$\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ में: $3.6$ से भाग दीजिए।

जाँच: $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ वाली संख्या हमेशा दोनों में बड़ी होती है।

उदाहरण 5.8 (जानने लायक कुछ चालें)

तेज़ चाल से चलना: $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.6 = 5.4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ । शहर में $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर चलती कार: $54 / 3.6 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — यानी हर सेकंड लगभग $15\,\mathrm{m}$ , जिसे सड़क पर पैर रखने से पहले याद रखना चाहिए। वायु में ध्वनि: $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.6 = 1224\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ।

उदाहरण 5.9 (बीच में विश्राम वाली एक पदयात्रा)

एक पदयात्री $2\,\mathrm{h}$ चलकर $12\,\mathrm{km}$ तय करता है, फिर $1\,\mathrm{h}$ तक विश्राम करता है, और फिर आख़िरी $1.5\,\mathrm{h}$ में $6\,\mathrm{km}$ तय करता है। पूरी सैर पर औसत चाल:

v = \frac{d}{t} = \frac{12 + 6}{2 + 1 + 1.5} = \frac{18\,\mathrm{km}}{4.5\,\mathrm{h}} = 4.0\,\mathrm{km}/\mathrm{h}.

औसत बीता हुआ सारा समय गिनता है, विश्राम भी — और वह प्रायः अलग-अलग चरणों की चालों का औसत नहीं होता।

5.3 तंत्र चुनना: भू, भूकेंद्रीय, सूर्यकेंद्रीय

चूँकि हर तंत्र वैध है, इसलिए हम वही चुनते हैं जिसमें हमारी दिलचस्पी वाली गति सबसे सरल दिखे। इस पुस्तक की अधिकांश भौतिकी तीन चुनावों से चल जाती है।

परिभाषा 5.10 (तीन मानक तंत्र)

भू-निर्देश तंत्र (या प्रयोगशाला तंत्र) पृथ्वी की उसी सतह से जुड़ा है जहाँ प्रयोग हो रहा है। रोज़मर्रा की गति के लिए यही सही तंत्र है: गिरती वस्तुएँ, वाहन, खेल, प्रयोगशाला की मेज़ें।
भूकेंद्रीय तंत्र पृथ्वी पर केंद्रित है पर उसके साथ घूमता नहीं (उसकी दिशाएँ दूर के तारों की ओर सधी रहती हैं)। चंद्रमा और कृत्रिम उपग्रहों के लिए यही सही तंत्र है, क्योंकि वे समूची पृथ्वी की कक्षा में हैं और उसके दैनिक घूर्णन की परवाह नहीं करते।
सूर्यकेंद्रीय तंत्र सूर्य पर केंद्रित है, और उसकी दिशाएँ भी दूर के तारों पर सधी हैं। ग्रहों के लिए यही सही तंत्र है: तब हर ग्रह एक सरल, लगभग वृत्तीय कक्षा पर चलता है।

तीन एक में एक बैठे तंत्र: ज़मीन पृथ्वी के साथ घूमती है, भूकेंद्रीय तंत्र पृथ्वी के साथ चलता है पर घूमता नहीं, और सूर्यकेंद्रीय तंत्र पूरा नृत्य सूर्य से देखता है।

विधि 5.11 (तंत्र चुनना)

पहले उन पिंडों के नाम लीजिए जिनकी गति आपको बतानी है, फिर वह तंत्र चुनिए जिसमें वह गति सबसे सरल हो:

पृथ्वी की सतह के पास की, मिनटों भर चलने वाली गति — भू-निर्देश तंत्र;
पृथ्वी के चारों ओर की कक्षाएँ (चंद्रमा, उपग्रह) — भूकेंद्रीय तंत्र;
सूर्य के चारों ओर की कक्षाएँ (ग्रह, धूमकेतु) — सूर्यकेंद्रीय तंत्र।

किसी भी गति को बताने से पहले अपना चुनाव बता दीजिए: तंत्र बताए बिना कहा गया गतिपथ या कही गई चाल निरर्थक है (प्रतिज्ञप्ति 5.4)।

टिप्पणी 5.12 (कौन सही है, टॉलेमी या कोपरनिकस?)

“सूर्य पूरब में उगता है” और “पृथ्वी पूरब की ओर घूमती है” एक ही प्रेक्षण की दो तंत्रों में दी गई रपटें हैं — पहली भू-निर्देश तंत्र में, जहाँ सूर्य आकाश पार करता है, और दूसरी भूकेंद्रीय तंत्र में, जहाँ प्रेक्षक पृथ्वी की धुरी के चारों ओर ले जाया जाता है। सदियों तक ये तंत्र ही युद्धभूमि बने रहे: टॉलेमी का पृथ्वी-केंद्रित वर्णन आकाश का ठीक-ठीक हिसाब रखता था, पर ग्रहों का पीछा करने के लिए उसे फंदों पर फंदे चाहिए थे, जबकि 1543 में कोपरनिकस द्वारा फिर से खड़ा किया गया सूर्य-केंद्रित वर्णन हर ग्रह को एक सरल अर्ध-वृत्ताकार पथ दे देता था और मंगल के अजीब उलटे फंदों को महज़ तंत्र का असर बता देता था — यानी पृथ्वी का किसी धीमे ग्रह को पीछे छोड़ जाना। आधुनिक फ़ैसला यह नहीं है कि एक तंत्र सच है और दूसरा झूठ, बल्कि यह कि दोनों बराबर सुविधाजनक नहीं हैं; कुछ तंत्रों (जड़त्वीय तंत्रों) को वरीयता देने की गहरी कसौटी अध्याय 6 में जड़त्व के सिद्धांत के साथ आती है।

5.4 एक रेखा पर गतियों का संयोजन

टहलते यात्री की $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ (रेलगाड़ी का तंत्र) को $304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ (भू-निर्देश तंत्र) से क्या जोड़ता है? एक ही रेखा पर उत्तर सीधा जोड़ है।

प्रतिज्ञप्ति 5.13 (एक विमा में चालों का संयोजन)

मान लीजिए कोई पिंड किसी चलते आधार (चलपथ, रेलगाड़ी, बहता पानी) पर एक रेखा के अनुदिश चलता है, और आधार स्वयं ज़मीन के सापेक्ष उसी रेखा के अनुदिश सरकता है। रेखा पर एक धनात्मक दिशा चुनकर और चालों को चिह्न के साथ गिनकर:

v_{\text{पिंड/ज़मीन}} \;=\; v_{\text{पिंड/आधार}} \;+\; v_{\text{आधार/ज़मीन}} .

शब्दों में: एक ही दिशा की चालें जुड़ती हैं; उलटी दिशाओं की चालें घटती हैं।

उपपत्ति. एक सेकंड में आधार पिंड को रेखा के अनुदिश $v_{\text{आधार/ज़मीन}}$ मीटर ले जाता है, और पिंड आधार पर $v_{\text{पिंड/आधार}}$ मीटर आगे बढ़ता है। दोनों विस्थापन उसी एक रेखा के अनुदिश होते हैं, इसलिए उस सेकंड में ज़मीन के सापेक्ष पिंड का कुल विस्थापन उनका बीजीय योग है — और वही ज़मीन के सापेक्ष उसकी चाल है। ∎

उदाहरण 5.14 (चलती पट्टी)

हवाई अड्डे का चलपथ $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से सरकता है। एक यात्री उस पर पट्टी के सापेक्ष $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से, चलने की दिशा में ही चलता है: ज़मीन के सापेक्ष चाल $1.5 + 1.0 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । उसी रफ़्तार से उलटी दिशा में चलने पर: $1.5 - 1.0 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , यानी पट्टी के विरुद्ध भी वह (धीरे-धीरे) आगे बढ़ता ही रहता है। पट्टी पर चुपचाप खड़े रहने पर: ज़मीन के सापेक्ष $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , पट्टी के सापेक्ष $0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — यानी दो अलग तंत्रों में एक ही समय विराम में और गति में।

एक विमा में संयोजन: तीर पैमाने पर खींचे गए हैं, और भू-तंत्र वाला तीर बाक़ी दोनों का योग है।

टिप्पणी 5.15 (एक साथ दो दिशाएँ)

जब दोनों गतियाँ एक ही रेखा के अनुदिश न हों — जैसे कोई नाव सीधे नदी पार करने की कोशिश करे और धारा उसे बहाव की ओर धकेलती रहे — तो हर गति अपना काम स्वतंत्र रूप से करती है, और वेग तीरों की तरह नोक-से-पूँछ जुड़ते हैं, ठीक वैसे ही जैसे गणित के खंड के सदिश। नाव फिर भी दूसरे किनारे पर उतने ही समय में पहुँचती है जितना अकेली उसकी पार-चाल तय करती है, पर वह अपने लक्ष्य-बिंदु से बहाव की ओर उतरती है, और भू-तंत्र में उसका गतिपथ एक तिरछी सरल रेखा होता है। पूरा सदिश उपचार आगे के किसी अध्याय में आता है; यहाँ हम केवल चित्र पढ़ रहे हैं।

सीधे नदी पार जाती नाव: पानी के तंत्र में वह सीधे पार जाती है; भू-निर्देश तंत्र में वह तिरछी बिंदुदार रेखा पर चलती है और पार करते-करते बहाव की ओर खिसकती जाती है।

5.5 अभ्यास

अभ्यास 5.1 ★

एक यात्री $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से चलती रेलगाड़ी में सो रहा है। बताइए कि वह इनके सापेक्ष विराम में है या गति में, और किस चाल से: डिब्बे के; ज़मीन के; पटरी के किनारे खड़े पेड़ के; और दूसरी ओर से $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर आती रेलगाड़ी के। फिर यात्री की रेलगाड़ी के तंत्र में पेड़ की गति बताइए।

हल

हल — अभ्यास 5.1.

डिब्बे के सापेक्ष: विराम में। ज़मीन और पेड़ के सापेक्ष: $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से गति में। सामने से आती रेलगाड़ी के सापेक्ष: उलटी दिशाओं की चालें जुड़ती हैं, $100 + 100 = 200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ । यात्री की रेलगाड़ी के तंत्र में पेड़ एक सरल रेखा पर पीछे की ओर $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से चलता है।

अभ्यास 5.2 ★

बदलिए: $72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ और $108\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ को $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ में; $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ को $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ में। हर उत्तर को विधि 5.7 के जाँच-नियम से परखिए।

हल

हल — अभ्यास 5.2.

$72 / 3.6 = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $108 / 3.6 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $25 \times 3.6 = 90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; $340 \times 3.6 = 1224\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ । हर युग्म में $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ वाली संख्या ही बड़ी है, जैसा जाँच-नियम माँगता है।

अभ्यास 5.3 ★

एक साइकिल सवार $1\,\mathrm{h}$ $30\,\mathrm{min}$ में $36\,\mathrm{km}$ तय करता है; एक धावक $10.0\,\mathrm{s}$ में $100\,\mathrm{m}$ तय करता है। दोनों की औसत चाल $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ में निकालिए। कौन तेज़ है, और क्या उत्तर आपको चौंकाता है?

हल

हल — अभ्यास 5.3.

साइकिल सवार: $v = \frac{36\,\mathrm{km}}{1.5\,\mathrm{h}} = 24\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 24/3.6 \approx 6.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । धावक: $v = \frac{100\,\mathrm{m}}{10.0\,\mathrm{s}} = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ । धावक डेढ़ गुना तेज़ है — पर केवल दस सेकंड के लिए, जबकि साइकिल सवार यही रफ़्तार डेढ़ घंटे तक बनाए रखता है। औसत चालों की न्यायसंगत तुलना तभी होती है जब अवधियाँ तुलनीय हों।

अभ्यास 5.4 ★

एक चलपथ $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से सरकता है। एक यात्री पट्टी के सापेक्ष $1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलता है। पट्टी की दिशा में चलते हुए, उसके विरुद्ध चलते हुए, और पट्टी पर चुपचाप खड़े रहते हुए ज़मीन के सापेक्ष यात्री की चाल बताइए।

हल

हल — अभ्यास 5.4.

एक ही दिशा: $1.4 + 0.9 = 2.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । पट्टी के विरुद्ध: $1.4 - 0.9 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । पट्टी पर चुपचाप खड़े: पट्टी की अपनी $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 5.5 ★

हर गति के लिए भू, भूकेंद्रीय और सूर्यकेंद्रीय में से सबसे सुविधाजनक तंत्र चुनिए और एक वाक्य में उसे उचित ठहराइए: चलती रेलगाड़ी के भीतर गिराई गई कलम (बोनस: इससे भी बेहतर एक तंत्र उपलब्ध है); अंतर्राष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन की कक्षा; मंगल का एक वर्ष; $100\,\mathrm{m}$ की दौड़।

हल

हल — अभ्यास 5.5.

गिराई गई कलम: भू-निर्देश तंत्र काम कर जाता है, पर रेलगाड़ी का तंत्र और भी बेहतर है — वहाँ कलम बस सीधी नीचे गिरती है। अंतरिक्ष स्टेशन: भूकेंद्रीय तंत्र (वह समूची पृथ्वी की कक्षा में है और उसके घूर्णन की परवाह नहीं करता)। मंगल का वर्ष: सूर्यकेंद्रीय तंत्र (मंगल सूर्य के चारों ओर लगभग वृत्त बनाता है)। दौड़: भू-निर्देश तंत्र (आरंभ रेखा, अंत रेखा और घड़ी, तीनों ज़मीन से जुड़े हैं)।

अभ्यास 5.6 ★★

एक रेलगाड़ी $108\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से चलती है। एक यात्री रेलगाड़ी के सापेक्ष $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से अगले सिरे की ओर चलता है।

रेलगाड़ी की चाल $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ में बदलिए, फिर ज़मीन के सापेक्ष यात्री की चाल बताइए — अगले सिरे की ओर चलते हुए और पिछले सिरे की ओर चलते हुए।
डिब्बा $60\,\mathrm{m}$ लंबा है। अगले सिरे तक की चहलक़दमी में कितना समय लगता है, और उस दौरान यात्री ज़मीन के सापेक्ष कितनी दूरी तय करता है?

हल

हल — अभ्यास 5.6.

1. $108/3.6 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । अगले सिरे की ओर: $30 + 1.5 = 31.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; पिछले सिरे की ओर: $30 - 1.5 = 28.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ।

2. रेलगाड़ी के सापेक्ष यात्री $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से $60\,\mathrm{m}$ तय करता है: $t = 60/1.5 = 40\,\mathrm{s}$ । ज़मीन के सापेक्ष यात्री $31.5 \times 40 = 1260\,\mathrm{m}$ तय करता है — यानी रेलगाड़ी द्वारा ले जाए गए $1200\,\mathrm{m}$ और चलकर तय किए गए $60\,\mathrm{m}$ का जोड़, ठीक जैसा संयोजन-नियम बताता है।

अभ्यास 5.7 ★★

शांत पानी में एक नाव की चाल $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ है; नदी $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से बहती है। नाव बहाव की ओर $420\,\mathrm{m}$ जाती है, फिर मुड़कर वापस आती है।

हर चरण में किनारे के सापेक्ष नाव की चाल और हर चरण की अवधि निकालिए।
पूरे चक्कर की औसत चाल निकालिए। वह $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से कम क्यों है, जबकि धारा एक चरण में ठीक उतनी ही मदद करती है जितनी दूसरे में अड़चन डालती है?

हल

हल — अभ्यास 5.7.

1. बहाव के साथ: $5.0 + 2.0 = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , इसलिए $t_1 = 420/7.0 = 60\,\mathrm{s}$ । बहाव के विरुद्ध: $5.0 - 2.0 = 3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , इसलिए $t_2 = 420/3.0 = 140\,\mathrm{s}$ ।

2. औसत चाल: $v = \frac{840}{60 + 140} = \frac{840}{200} = 4.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । धारा की मदद और अड़चन चाल में बराबर हैं, समय में नहीं: नाव $140\,\mathrm{s}$ तक धीमी पड़ी रहती है और केवल $60\,\mathrm{s}$ तक मदद पाती है, इसलिए धीमा चरण औसत पर हावी हो जाता है।

अभ्यास 5.8 ★★

दो रेलगाड़ियाँ समांतर पटरियों पर एक-दूसरे के पास से गुज़रती हैं: रेलगाड़ी A ( $180\,\mathrm{m}$ लंबी) $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से, रेलगाड़ी B ( $90\,\mathrm{m}$ लंबी) $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से।

वे उलटी दिशाओं में चल रही हैं। A के तंत्र में B की चाल क्या है, और पूरा पार होना (नाकों के मिलने से पूँछों के अलग होने तक) कितनी देर चलता है?
वही प्रश्न, यदि वे एक ही दिशा में चल रही हों।

हल

हल — अभ्यास 5.8.

1. उलटी दिशाएँ: A के तंत्र में B $25 + 20 = 45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से पास आती है। पार होना तब पूरा होता है जब B कुल लंबाई $180 + 90 = 270\,\mathrm{m}$ भर सरक जाए: $t = 270/45 = 6.0\,\mathrm{s}$ ।

2. एक ही दिशा: सापेक्ष चाल $25 - 20 = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , और $t = 270/5.0 = 54\,\mathrm{s}$ — यानी नौ गुना अधिक, और इसीलिए किसी ट्रक को पीछे छोड़ना कभी न ख़त्म होने वाला लगता है।

अभ्यास 5.9 ★★

एक साइकिल सीधी सड़क पर चल रही है। टायर के वाल्व का गतिपथ इनमें बताइए: साइकिल सवार का तंत्र; भू-निर्देश तंत्र; और स्वयं वाल्व का तंत्र। भू-निर्देश तंत्र में पहिये की धुरी का गतिपथ भी बताइए। कोई गणना नहीं — बस हर वक्र का नाम दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 5.9.

साइकिल सवार का तंत्र: एक वृत्त (रिम का वृत्त, धुरी पर केंद्रित)। भू-निर्देश तंत्र: एक चक्रज — मेहराबों की एक कड़ी, हर चक्कर पर एक। स्वयं वाल्व का तंत्र: वाल्व विराम में है, एक अकेला बिंदु। भू-निर्देश तंत्र में धुरी: पहिये की एक त्रिज्या की ऊँचाई पर एक क्षैतिज सरल रेखा।

अभ्यास 5.10 ★★

पृथ्वी की भूमध्य रेखा लगभग $40\,000\,\mathrm{km}$ लंबी है, और पृथ्वी $24\,\mathrm{h}$ में एक बार घूम जाती है।

भूकेंद्रीय तंत्र में भूमध्य रेखा पर किसी बिंदु की चाल $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ और $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ में निकालिए।
एक-एक वाक्य में समझाइए: हमें यह चाल महसूस क्यों नहीं होती, और “सूर्य उगता है” तथा “पृथ्वी घूमती है” एक ही प्रेक्षण की रपट क्यों हैं।

हल

हल — अभ्यास 5.10.

1. $v = \frac{40\,000\,\mathrm{km}}{24\,\mathrm{h}} \approx 1.7 \times 10^{3}\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 1667/3.6 \approx 463\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — यानी ध्वनि से भी तेज़।

2. हमें यह महसूस नहीं होता क्योंकि हमारे चारों ओर की हर चीज़ — ज़मीन, वायु, इमारतें — ठीक वही गति साझा करती है, इसलिए हमारे सापेक्ष कुछ भी नहीं चलता (और जड़त्व का सिद्धांत, अध्याय 6, समझाएगा कि साझा एकसमान गति भीतर से पकड़ में क्यों नहीं आती)। “सूर्य उगता है” भू-तंत्र की रपट है और “पृथ्वी घूमती है” भूकेंद्रीय तंत्र की, और दोनों एक ही प्रेक्षण की।

अभ्यास 5.11 ★★

चलती सीढ़ी पर चुपचाप खड़े रहने पर ऊपर पहुँचने में $60\,\mathrm{s}$ लगते हैं। उसी सीढ़ी के बंद होने पर उस पर चलकर चढ़ने में $90\,\mathrm{s}$ लगते हैं। चलती सीढ़ी पर चलकर चढ़ने में कितना समय लगेगा? (समय के साथ नहीं, चालों के साथ काम कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 5.11.

मान लीजिए सीढ़ी की लंबाई $L$ है। सीढ़ी की चाल: $L/60$ ; चलने की चाल: $L/90$ । चलती सीढ़ी पर चलने से चालें जुड़ जाती हैं:

v = \frac{L}{60} + \frac{L}{90} = L\left(\frac{3 + 2}{180}\right) = \frac{L}{36},

इसलिए चढ़ाई में $36\,\mathrm{s}$ लगते हैं। (यह $60$ और $90$ का औसत नहीं है: चालें जुड़ती हैं, समय नहीं।)

अभ्यास 5.12 ★★★

एक चालक वही दूरी दो बार तय करता है: जाते समय $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से, लौटते समय $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से।

दिखाइए कि पूरे चक्कर की औसत चाल $72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ है, $75\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ नहीं।
समझाइए कि भोला उत्तर कहाँ चूकता है, और बताइए कि औसत पर कौन-सा चरण हावी रहता है।

हल

हल — अभ्यास 5.12.

1. हर ओर $d$ दूरी पर: $t = \frac{d}{60} + \frac{d}{90} = d\,\frac{3 + 2}{180} = \frac{d}{36}$ , इसलिए $v = \frac{2d}{d/36} = 72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ।

2. भोला उत्तर $75$ दोनों चालों का औसत ऐसे लेता है मानो चालक ने हर चरण पर बराबर समय बिताया हो; असल में दूरियाँ बराबर हैं, इसलिए धीमा चरण अधिक देर चलता है ( $\frac{d}{60} > \frac{d}{90}$ ) और औसत को $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ की ओर खींच ले जाता है। औसत चाल कुल दूरी बटा कुल समय है — और कुछ नहीं।

अभ्यास 5.13 ★★★

दो साइकिल सवार $35\,\mathrm{km}$ की दूरी से एक-दूसरे की ओर चलते हैं, एक $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से और दूसरा $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से।

पहले के तंत्र में दूसरे साइकिल सवार की गति बताइए, और इससे निकालिए कि वे कब मिलेंगे।
मिलने तक हर एक ने कितनी दूरी तय की?
यदि वे एक ही दिशा में चलें (तेज़ वाला पीछे), तो पीछा कितनी देर चलेगा?

हल

हल — अभ्यास 5.13.

1. पहले साइकिल सवार के तंत्र में दूसरा $35\,\mathrm{km}$ दूर से एक सरल रेखा पर $15 + 20 = 35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से पास आता है: वे ठीक $1.0\,\mathrm{h}$ बाद मिलते हैं।

2. पहले ने $15 \times 1 = 15\,\mathrm{km}$ तय किए, दूसरे ने $20 \times 1 = 20\,\mathrm{km}$ — कुल $35\,\mathrm{km}$ , जैसा होना ही चाहिए।

3. एक ही दिशा: पास आने की चाल $20 - 15 = 5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , इसलिए पीछा $35/5 = 7\,\mathrm{h}$ चलता है।

अभ्यास 5.14 ★★★

एक तैराक $60\,\mathrm{m}$ चौड़ी नदी पार करता है, पानी के सापेक्ष $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से सीधे पार की ओर तैरते हुए; धारा $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से बहती है।

समझाइए कि पार करने का समय अकेली तैराक की पार-चाल से क्यों तय होता है, और उसे निकालिए।
तैराक बहाव की ओर कितनी दूर उतरता है?
समकोण त्रिभुज की सहायता से भू-निर्देश तंत्र में तैराक की चाल और ज़मीन के सापेक्ष सचमुच तैरे गए पथ की लंबाई निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 5.14.

1. धारा तैराक को नदी के अनुदिश धकेलती है, पार की ओर नहीं: दोनों गतियाँ स्वतंत्र रूप से जुड़ती हैं, और बहाव चाहे जितना हो, दूसरे किनारे की ओर बढ़त $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से ही होती है। पार करने का समय: $t = 60/1.2 = 50\,\mathrm{s}$ ।

2. बहाव: बहाव की ओर $0.9 \times 50 = 45\,\mathrm{m}$ ।

3. भू-तंत्र का वेग $1.2$ और $0.9$ भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण है: $v = \sqrt{1.2^2 + 0.9^2} = \sqrt{2.25} = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (यानी $0.3$ से गुणा किया $3$ – $4$ – $5$ त्रिभुज)। पथ की लंबाई: $1.5 \times 50 = 75\,\mathrm{m}$ — या सीधे $\sqrt{60^2 + 45^2} = 75\,\mathrm{m}$ ।

अभ्यास 5.15 ★★★

पृथ्वी सूर्य की कक्षा में $1.50 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ त्रिज्या के लगभग वृत्त पर एक वर्ष ( $3.16 \times 10^{7}$ सेकंड) में चक्कर लगाती है।

सूर्यकेंद्रीय तंत्र में पृथ्वी की चाल $\mathrm{km}/\mathrm{s}$ में निकालिए।
उसकी तुलना अभ्यास 5.10 में निकाली गई भूमध्य रेखा की घूर्णन चाल से कीजिए।
पृथ्वी से देखने पर मंगल कभी-कभी रुककर कुछ हफ़्तों तक तारों के बीच पीछे की ओर सरकता दिखता है। इस अध्याय की शब्दावली से दो वाक्यों में समझाइए कि सूर्यकेंद्रीय तंत्र यह रहस्य कैसे घोल देता है।

हल

हल — अभ्यास 5.15.

1. $v = \frac{2\pi \times 1.50 \times 10^{11}}{3.16 \times 10^{7}} = \frac{9.42 \times 10^{11}}{3.16 \times 10^{7}} \approx 2.98 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ।

2. $30 / 0.46 \approx 65$ : पृथ्वी हमें अपनी धुरी के चारों ओर घुमाने से लगभग पैंसठ गुना तेज़ी से सूर्य के चारों ओर ले जाती है।

3. भूकेंद्रीय तंत्र में मंगल का आभासी पथ उसकी अपनी कक्षीय गति और पृथ्वी की गति, दोनों को मिलाता है, और जब तेज़ पृथ्वी मंगल को पीछे छोड़ती है तब यह मेल कुछ हफ़्तों के लिए उलटा चलने लगता है। सूर्यकेंद्रीय तंत्र में दोनों ग्रह बस स्थिर दरों से सूर्य के चारों ओर घूमते हैं — “उलटा फंदा” मंगल की गति नहीं, बल्कि तंत्र की गढ़ी हुई चीज़ है।

5.6 समस्या: चलपथ, नदी और उपग्रह

समस्या 5.1

सप्ताहांत समस्या — चलता पथ, नदी और उपग्रह: कौन चल रहा है, किसके सापेक्ष, और आरामकुर्सी पर बैठे यात्री की अंतिम चाल-रपट

एक हवाई अड्डा, एक नौका-यात्रा, और साँझ के आकाश में सरकता एक चमकीला बिंदु: तीन रोज़मर्रा के दृश्य, और तीन बार पूछा गया एक ही सवाल — कौन चल रहा है, किसके सापेक्ष? हर भाग अपना तंत्र चुनता है, गणना करता है, और देखता है कि दृष्टिकोण के साथ उत्तर कैसे बदल जाता है; और समापन जोड़ लगाता है कि आप इस समय, बिलकुल स्थिर बैठे हुए, कितनी तेज़ चल रहे हैं।

भाग I — चलपथ की दौड़। हवाई अड्डे का एक चलपथ $90\,\mathrm{m}$ लंबा है और $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से सरकता है। एक यात्री $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलता है (पैरों तले जो भी हो, उसके सापेक्ष)।

चुपचाप खड़े यात्री को एक सिरे से दूसरे सिरे तक ले जाने में चलपथ को कितना समय लगता है?
चलती पट्टी पर, उसी दिशा में चलते हुए, यात्री को कितना समय लगता है?
चलपथ के बगल में, स्थिर फ़र्श पर चलते हुए कितना समय लगता है?
एक शरारती व्यक्ति पट्टी पर उलटी दिशा में, उसके सापेक्ष $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलता है। ज़मीन के सापेक्ष उसकी चाल, और दूसरे सिरे से वापस प्रवेश तक पहुँचने का समय?
एक बच्चा पट्टी के सापेक्ष ठीक $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से उलटी दिशा में दौड़ता है। भू-निर्देश तंत्र में बच्चे की गति बताइए, और उस व्यायामशाला की मशीन का नाम लीजिए जिसका यह पुनराविष्कार है।
प्रश्न 1–5 को दो स्तंभों की एक सारणी में समेटिए: हर चलने वाले की चाल पट्टी के तंत्र में और भू-निर्देश तंत्र में। यात्रियों की टाँगें कौन-सा स्तंभ महसूस करती हैं?

भाग II — नदी। एक नौका $120\,\mathrm{m}$ चौड़ी नदी पार करती है। पानी के सापेक्ष उसकी चाल $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ है; धारा $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से बहती है। चालक पहले सीधे सामने वाले किनारे की ओर निशाना साधता है।

पार करने में कितना समय लगता है?
नौका बहाव की ओर कितनी दूर उतरती है?
समकोण त्रिभुज की सहायता से भू-निर्देश तंत्र में नौका की चाल और उसके भू-तंत्र वाले गतिपथ की लंबाई निकालिए। (संख्याओं की एक जानी-पहचानी तिकड़ी उभर आती है।)
पानी के तंत्र में और भू-निर्देश तंत्र में नौका का गतिपथ बताइए। दोनों में क्या एक जैसा है और क्या अलग?
पानी के सापेक्ष $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ चाल वाला एक तैराक उसी किनारे से, नौका की तरह सीधे पार की ओर निशाना साधकर चल पड़ता है। पार करने में कितना समय लगता है, और तैराक बहाव की ओर कितनी दूर उतरता है? तैराक की भू-तंत्र चाल निकालिए (फिर वही समकोण त्रिभुज)। धीमा तैराक अधिक दूर क्यों बह जाता है?
नौका के पास से एक लट्ठा बहता हुआ निकलता है। भू-निर्देश तंत्र में और पानी के तंत्र में उसकी चाल बताइए। किस तंत्र में लट्ठा “चल रहा” है? टिप्पणी कीजिए।

भाग III — उपग्रह का गुज़रना। साँझ के समय अंतर्राष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन कुछ ही मिनटों में आकाश पार कर जाता है। वह $400\,\mathrm{km}$ की ऊँचाई पर कक्षा में है; पृथ्वी की त्रिज्या $6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ है, और एक कक्षा में $5.56 \times 10^{3}\,\mathrm{s}$ (लगभग $93\,\mathrm{min}$ ) लगते हैं।

किस मानक तंत्र में स्टेशन की गति सबसे सरल है? उसी तंत्र में उसकी चाल $\mathrm{km}/\mathrm{s}$ में निकालिए।
दो वाक्यों में समझाइए कि भू-निर्देश तंत्र स्टेशन का वर्णन बेढंगे ढंग से क्यों करता है — एक कक्षा से अगली कक्षा तक ज़मीन पर उसकी पटरी का क्या होता है?
स्टेशन की कक्षीय चाल की तुलना भूमध्य रेखा की घूर्णन चाल ( $\approx 0.46\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) से कीजिए: स्टेशन कितने गुना तेज़ है?
एक भूस्थिर उपग्रह $4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ त्रिज्या पर ठीक एक दिन ( $8.64 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ ) में कक्षा पूरी करता है। भूकेंद्रीय तंत्र में उसकी चाल निकालिए, फिर भू-निर्देश तंत्र में उसकी गति बताइए। एक वाक्य में दोनों उत्तरों में मेल बिठाइए।
भूकेंद्रीय तंत्र में चंद्रमा लगभग $27$ दिनों में पृथ्वी के चारों ओर एक लगभग वृत्त बनाता है। कुछ महीनों में सूर्यकेंद्रीय तंत्र में उसका गतिपथ शब्दों में खींचिए।

भाग IV — चल कौन रहा है?

“सूर्य पूरब में उगता है।” “पृथ्वी पूरब की ओर घूमती है।” बताइए कि हर वाक्य किस तंत्र में प्रेक्षण का वर्णन करता है, और समझाइए कि कोई भी ग़लत क्यों नहीं है।
एक संयत अनुच्छेद में: टॉलेमी के तंत्र ने क्या अच्छा किया, कोपरनिकस के तंत्र ने क्या सरल किया (मंगल के उलटे फंदों का ज़िक्र कीजिए), और आधुनिक फ़ैसला किसी तंत्र के सच होने के बजाय सुविधा के बारे में क्यों है?
आरामकुर्सी वाले यात्री की चाल-रपट। आप भूमध्य रेखा के पास एक आरामकुर्सी पर स्थिर बैठे हैं। भू-निर्देश तंत्र में, भूकेंद्रीय तंत्र में ( $\approx 0.46\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) और सूर्यकेंद्रीय तंत्र में ( $\approx 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) अपनी चाल बताइए। फिर $90\,\mathrm{min}$ की एक फ़िल्म के दौरान सूर्यकेंद्रीय तंत्र में आपके द्वारा तय की गई दूरी निकालिए, और अध्याय की एक वाक्य वाली सीख के साथ समस्या का समापन कीजिए।

हल

हल — समस्या 5.1.

1. $t = 90/1.0 = 90\,\mathrm{s}$ ।

2. ज़मीन के सापेक्ष चाल $1.5 + 1.0 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $t = 90/2.5 = 36\,\mathrm{s}$ ।

3. $t = 90/1.5 = 60\,\mathrm{s}$ ।

4. ज़मीन के सापेक्ष $1.5 - 1.0 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , पट्टी की दिशा के विरुद्ध: $t = 90/0.5 = 180\,\mathrm{s}$ — यानी पूरे तीन मिनट तेज़ चहलक़दमी।

5. ज़मीन के सापेक्ष चाल $1.0 - 1.0 = 0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : बच्चा जी-जान से दौड़ता है और कहीं नहीं पहुँचता, भू-निर्देश तंत्र में विराम में और पट्टी के तंत्र में पूरी रफ़्तार पर। यही तो ट्रेडमिल है।

6. पट्टी का तंत्र / भू-निर्देश तंत्र: खड़ा यात्री $0$ / $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; पट्टी के साथ चलने वाला $1.5$ / $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; फ़र्श पर चलने वाला $0.5$ (पट्टी के तंत्र में फ़र्श पीछे की ओर सरकता है) / $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; शरारती $1.5$ / $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; बच्चा $1.0$ / $0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । हर चलने वाले की टाँगें उसी तंत्र का स्तंभ महसूस करती हैं जो उसके पैरों तले है — पट्टी पर सवार लोगों के लिए पट्टी वाला स्तंभ, फ़र्श पर चलने वाले के लिए भू-तंत्र वाला: मेहनत पैरों तले की चीज़ के सापेक्ष चाल से तय होती है।

7. धारा चाहे जो करे, नदी पार करने की बढ़त $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से ही होती है: $t = 120/2.0 = 60\,\mathrm{s}$ ।

8. बहाव: बहाव की ओर $1.5 \times 60 = 90\,\mathrm{m}$ ।

9. ज़मीन के सापेक्ष चाल: $2.0$ और $1.5$ भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण, $v = \sqrt{2.0^2 + 1.5^2} = \sqrt{6.25} = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । गतिपथ की लंबाई: $2.5 \times 60 = 150\,\mathrm{m}$ — यानी फिर वही $3$ – $4$ – $5$ तिकड़ी, $90$ – $120$ – $150$ के पैमाने पर।

10. पानी का तंत्र: एक सरल रेखा, $120\,\mathrm{m}$ , किनारों के लंबवत। भू-निर्देश तंत्र: भी एक सरल रेखा, पर तिरछी और $150\,\mathrm{m}$ लंबी। आकार वही (सीधा), दिशा और लंबाई अलग: गतिपथ तंत्र का होता है, नौका का नहीं।

11. पार की बढ़त $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से होती है, इसलिए $t = 120/1.0 = 120\,\mathrm{s}$ । बहाव: $1.5 \times 120 = 180\,\mathrm{m}$ — यानी नौका के $90\,\mathrm{m}$ से दुगुना। ज़मीन के सापेक्ष चाल: $1.0$ और $1.5$ भुजाओं वाला कर्ण, $v = \sqrt{1.0^2 + 1.5^2} = \sqrt{3.25} \approx 1.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ । धीमे तैराक को पार करने में दुगुना समय लगता है, इसलिए उसी धारा को उसे बहाकर ले जाने के लिए दुगुना समय मिल जाता है।

12. भू-निर्देश तंत्र: लट्ठा धारा की $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से बहता है। पानी का तंत्र: वह विराम में है, अपने चारों ओर के पानी के साथ तैरता हुआ। लट्ठा “चल रहा है” या नहीं, इसका कोई तंत्र-मुक्त उत्तर है ही नहीं — और यही पूरे अध्याय की बात है।

13. भूकेंद्रीय तंत्र। कक्षा की त्रिज्या $r = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , इसलिए

v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi \times 6.77 \times 10^{6}}{5.56 \times 10^{3}} \approx 7.65 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}.

14. जब तक स्टेशन एक कक्षा पूरी करता है, पृथ्वी उसके नीचे लगभग $23^\circ$ घूम जाती है, इसलिए ज़मीन पर उसकी पटरी हर चक्कर में पश्चिम की ओर खिसक जाती है। भू-निर्देश तंत्र में स्टेशन का पथ एक उलझा हुआ लहरदार वक्र है जो कभी ठीक-ठीक दोहराया नहीं जाता; भूकेंद्रीय तंत्र में वह एक ही स्थिर, लगभग वृत्ताकार पथ है।

15. $7.65 / 0.46 \approx 17$ : स्टेशन घूमती भूमध्य रेखा से मोटे तौर पर सत्रह गुना तेज़ दौड़ता है, और इसीलिए वह पूरा आकाश मिनटों में पार कर जाता है।

16. भूकेंद्रीय तंत्र में $v = \frac{2\pi \times 4.22 \times 10^{7}}{8.64 \times 10^{4}} \approx 3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ । भू-निर्देश तंत्र में वह विराम में है, भूमध्य रेखा के एक ही स्थिर बिंदु के ऊपर टँगा हुआ — वह पृथ्वी की धुरी का चक्कर ठीक उतने ही समय में लगाता है जितने में ज़मीन स्वयं, इसलिए भू-निर्देश तंत्र में दोनों गतियाँ कट जाती हैं। विराम में और $3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ पर: दोनों सच, एक-एक तंत्र में।

17. सूर्यकेंद्रीय तंत्र में चंद्रमा लगभग पृथ्वी की ही कक्षा पर चलता है — सूर्य के चारों ओर एक विशाल, लगभग वृत्ताकार पथ — जिस पर $27\,\mathrm{day}$ के चक्र का एक हल्का डगमगाना चढ़ा होता है। सूर्य का प्रभाव इतना हावी है कि पथ हमेशा सूर्य की ओर ही मुड़ता है; वह कभी पीछे की ओर फंदा नहीं बनाता।

18. “सूर्य उगता है” भू-निर्देश तंत्र की रपट है, जहाँ प्रेक्षक विराम में है और सूर्य आकाश पार करता है। “पृथ्वी घूमती है” भूकेंद्रीय तंत्र की रपट है, जहाँ सूर्य की दिशा स्थिर है और प्रेक्षक धुरी के चारों ओर पूरब की ओर ले जाया जाता है। दोनों एक ही प्रेक्षण बताते हैं; हर एक अपने तंत्र में सही है, और प्रतिज्ञप्ति 5.4 कहता है कि अकेली गति का कोई प्रेक्षण इनके बीच फ़ैसला नहीं कर सकता।

19. टॉलेमी का पृथ्वी-केंद्रित तंत्र आकाश की दैनिक गति से स्वाभाविक रूप से मेल खाता था और ग्रहों की स्थितियाँ काम भर ठीक बताता था, पर इसकी क़ीमत यह थी कि हर ग्रह की भटकन दोहराने के लिए फंदों पर फंदे (उपवृत्त) चाहिए थे। कोपरनिकस के सूर्य-केंद्रित तंत्र ने हर ग्रह को एक स्थिर अर्ध-वृत्ताकार पथ दे दिया और मंगल के उलटे फंदों को तंत्र का असर बना दिया — यानी पृथ्वी का भीतरी गलियारे से किसी धीमे धावक को पीछे छोड़ जाना। आधुनिक फ़ैसला यह नहीं है कि सूर्य “सचमुच” स्थिर खड़ा है (वह भी आकाशगंगा के केंद्र के चारों ओर चलता है), बल्कि यह कि तंत्र औज़ार होते हैं: सूर्यकेंद्रीय तंत्र ग्रहों की गति को बेहिसाब सरल कर देता है, और तंत्र सरलता के लिए होता है, सच्चाई के लिए नहीं।

20. भू-निर्देश तंत्र: $0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — आरामकुर्सी पर विराम में। भूकेंद्रीय तंत्र: लगभग $0.46\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , पृथ्वी की धुरी के चारों ओर ले जाए जाते हुए। सूर्यकेंद्रीय तंत्र: लगभग $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ , सूर्य के चारों ओर ले जाए जाते हुए। $90\,\mathrm{min}$ की फ़िल्म के दौरान: $d = 3.0 \times 10^{4} \times 5400 \approx 1.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m} = 160\,000\,\mathrm{km}$ — यानी आरामकुर्सी छोड़े बिना ही चंद्रमा तक के लगभग आधे रास्ते तक। सीख: गति पिंड का गुण नहीं, पिंड और तंत्र का गुण है; वह तंत्र चुनिए जो कहानी को सरल बना दे, और हमेशा बताइए कि आपने कौन-सा चुना।