माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

1परिमाण की कोटि: ब्रह्मांड को मापना

भौतिकी वहीं से आरंभ होती है जहाँ राय समाप्त होती है: माप से। पर भौतिकी जिन चीज़ों को मापती है, उनका फैलाव बेतुका है — एक परमाणु नाभिक लगभग $10^{-15}\,\mathrm{m}$ चौड़ा है, प्रेक्षणीय ब्रह्मांड लगभग $10^{27}\,\mathrm{m}$ : $10^{42}$ का गुणक, जिसे कोई मानसिक चित्र सँभाल ही नहीं सकता। यह अध्याय वही औज़ार देता है जो इस फैलाव को वश में करते हैं — मात्रक, दस की घातें, सार्थक अंक — और दो आदतें, जो इसके बाद हर पृष्ठ पर काम आएँगी: मात्रक लिखिए, और परिमाण की कोटि जाँचिए।

1.1 मात्रक: मापन का व्याकरण

परिभाषा 1.1 (भौतिक राशियाँ और SI मात्रक)

भौतिक राशि संसार का वह गुण है जिसे मापा जा सकता है: कोई लंबाई, कोई अवधि, कोई द्रव्यमान। उसे मापने का अर्थ है यह गिनना कि कोई संदर्भ राशि — मात्रक — उसमें कितनी बार समाती है। मात्रकों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली (SI) सात मूल मात्रक तय करती है, जिनमें से तीन इस पूरे खंड को चलाते हैं: लंबाई के लिए मीटर ( $\mathrm{m}$ ), द्रव्यमान के लिए किलोग्राम ( $\mathrm{kg}$ ) और समय के लिए सेकंड ( $\mathrm{s}$ )। (शेष चार — ऐम्पियर, केल्विन, मोल, कैंडेला — तब जुड़ेंगे जब कहानी में विद्युत, ऊष्मा और रसायन आएँगे।)

टिप्पणी 1.2 (मात्रक के बिना संख्या कोई परिणाम नहीं)

“दूरी $384$ है” का कोई अर्थ नहीं: $384\,\mathrm{mm}$ , $384\,\mathrm{km}$ और $384\,\mathrm{Mm}$ तीन अलग दुनियाएँ हैं (आखिरी वाली संयोग से चंद्रमा तक की दूरी है)। 1999 में नासा ने $327 मिलियन का मार्स क्लाइमेट ऑर्बिटर इसलिए खो दिया कि एक प्रोग्राम ने प्रणोदक बलों की गणना पाउंड-बल में की और दूसरे ने उन्हें न्यूटन में पढ़ा। इस पंक्ति से पुस्तक के अंत तक का घर का नियम: हर मापी या गणना की गई संख्या अपना मात्रक साथ लिए चलती है, गणना की हर पंक्ति पर।

परिभाषा 1.3 (SI उपसर्ग)

किसी मात्रक से जुड़ा उपसर्ग उसे दस की एक निश्चित घात से गुणा कर देता है:

फेम्टो	f	$10^{-15}$	सेंटी	c	$10^{-2}$
पीको	p	$10^{-12}$	किलो	k	$10^{3}$
नैनो	n	$10^{-9}$	मेगा	M	$10^{6}$
माइक्रो	$\mu$	$10^{-6}$	गीगा	G	$10^{9}$
मिली	m	$10^{-3}$	टेरा	T	$10^{12}$

इस प्रकार $1\,\mathrm{nm} = 10^{-9}\,\mathrm{m}$ और $1\,\mathrm{km} = 10^{3}\,\mathrm{m}$ ।

उदाहरण 1.4 (उपसर्ग पढ़ना)

हरे प्रकाश की तरंगदैर्घ्य लगभग $500\,\mathrm{nm} = 5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ होती है; मनुष्य का बाल लगभग $70\,\text{µ}\mathrm{m} = 7.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}$ मोटा होता है; चंद्रमा $384\,\mathrm{Mm} = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ पर परिक्रमा करता है। वर्षा की एक बूँद का द्रव्यमान लगभग $30\,\mathrm{mg} = 3.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}$ होता है — ध्यान दीजिए कि द्रव्यमान का SI मूल मात्रक, सातों में अकेला, पहले से ही एक उपसर्ग लिए हुए है।

1.2 वैज्ञानिक संकेतन और सार्थक अंक

परिभाषा 1.5 (वैज्ञानिक संकेतन)

कोई संख्या वैज्ञानिक संकेतन में तब होती है जब उसे इस रूप में लिखा जाए:

a \times 10^{n}, \qquad 1 \leq a < 10, \quad n \text{ एक पूर्णांक}

गुणक $a$ अपूर्णांश कहलाता है और पूर्णांक $n$ घातांक। इस प्रकार $149\,600\,000 = 1.496 \times 10^{8}$ और $0.000\,52 = 5.2 \times 10^{-4}$ ।

प्रतिज्ञप्ति 1.6 (दस की घातों के साथ गणना)

सभी पूर्णांकों $m$ और $n$ के लिए:

10^{m} \times 10^{n} = 10^{m+n}, \qquad \frac{1}{10^{n}} = 10^{-n}, \qquad \left(10^{m}\right)^{n} = 10^{mn}.

आंशिक उपपत्ति. धनात्मक घातांकों के लिए गुणनखंड गिन लीजिए: $10^{m} \times 10^{n}$ कुल $m + n$ दहाइयों का गुणनफल है, और $(10^m)^n$ में $n$ समूह, प्रत्येक $m$ दहाइयों का, एक के बाद एक जुड़ते हैं। $1/10^{n}$ के लिए $10^{-n}$ लिखना ठीक वही परिपाटी है जो पहले नियम को सभी पूर्णांकों के लिए सच बनाए रखती है: वह $10^{n} \times 10^{-n} = 10^{0} = 1$ को अनिवार्य कर देती है। साथी गणित का खंड घातांक के नियम पूरे विस्तार से पढ़ता है। ∎

उदाहरण 1.7 (वैज्ञानिक संकेतन में गुणा)

द्रव्यमान के हिसाब से सूर्य में कितनी पृथ्वियाँ समाएँगी? $m_{\text{सूर्य}} = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ और $m_{\text{पृथ्वी}} = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ लेकर:

\frac{1.99 \times 10^{30}}{5.97 \times 10^{24}} = \frac{1.99}{5.97} \times 10^{30-24} = 0.333 \times 10^{6} = 3.33 \times 10^{5}.

अपूर्णांशों और घातांकों को अलग-अलग सँभाला जाता है; अंतिम उत्तर को फिर से सामान्य कर दिया जाता है ताकि अपूर्णांश वापस $[1, 10)$ में आ जाए।

परिभाषा 1.8 (सार्थक अंक)

किसी मापी गई संख्या के सार्थक अंक वे अंक हैं जिनकी माप वास्तव में गवाही देती है: आरंभ के शून्यों को छोड़कर सभी लिखे गए अंक। अंत के शून्य गिने जाते हैं — $5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ (तीन सार्थक अंक) $5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ (दो) से अधिक का वादा करता है। वैज्ञानिक संकेतन यह गिनती एक ही नज़र में दिखा देता है: अपूर्णांश ठीक उतने ही अंक लिए होता है जितने सार्थक हैं।

विधि 1.9 (कितने अंक रखें)

कोई परिकलित परिणाम अपनी सामग्री से अधिक परिशुद्ध नहीं हो सकता।

गुणनफल या भागफल में उतने ही सार्थक अंक रखिए जितने सबसे कम परिशुद्ध गुणक में हैं।
केवल अंतिम उत्तर को पूर्णांकित कीजिए, बीच के चरणों को कभी नहीं।
संदेह हो तो तीन सार्थक अंक — इस पुस्तक की कामकाजी परिशुद्धि यही है।

उदाहरण 1.10 (पृथ्वी की परिधि)

पृथ्वी का व्यास $d = 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ है (तीन सार्थक अंक), इसलिए उसकी परिधि $\pi d = 3.141\,59 \times 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 3.99 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ है — तीन अंक, न कि आठ, जो कैलकुलेटर दिखाता है। $39\,898\,227\,\mathrm{m}$ लिखने का अर्थ होता ग्रह को मीटर तक जानने का दावा करना।

एक ऐसी मापनी जिस पर हर बराबर कदम दस से गुणा करता है। छोटी लकीरें 200, 300, …, 900 हैं: पूरा एक दशक हर खंड में ठुँस जाता है। इस मापनी पर 300 102 की ओर झुकता है और 7000 104 की ओर — यही उनकी परिमाण की कोटियाँ हैं। — एक ऐसी मापनी जिस पर हर बराबर कदम दस से *गुणा* करता है। छोटी लकीरें $200, 300, \dots, 900$ हैं: पूरा एक दशक हर खंड में ठुँस जाता है। इस मापनी पर $300$ $10^{2}$ की ओर झुकता है और $7000$ $10^{4}$ की ओर — यही उनकी परिमाण की कोटियाँ हैं।

1.3 ब्रह्मांड की सीढ़ी

परिभाषा 1.11 (परिमाण की कोटि)

किसी राशि की परिमाण की कोटि दस की वह घात है जो उसके सबसे पास पड़ती है: राशि को $a \times 10^{n}$ के रूप में लिखिए, जहाँ $1 \leq a < 10$ , और $a < 5$ हो तो $10^{n}$ लीजिए, $a \geq 5$ हो तो $10^{n+1}$ । (सीमा की ठीक-ठीक परिपाटी कभी मायने नहीं रखती: परिमाण की कोटि का कथन दस के गुणक तक ही सही माना जाता है।)

उदाहरण 1.12 (परिमाण की कोटियाँ)

मनुष्य का जीवन लगभग $80$ वर्ष चलता है, यानी $80 \times 3.16 \times 10^{7}\,\mathrm{s} \approx 2.5 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$ : परिमाण की कोटि $10^{9}\,\mathrm{s}$ — कुछ अरब सेकंड, इन्हें ठीक से बिताइए। मनुष्य $1.7\,\mathrm{m}$ लंबा होता है: कोटि $10^{0}\,\mathrm{m}$ । माउंट एवरेस्ट, $8848\,\mathrm{m}$ : कोटि $10^{4}\,\mathrm{m}$ , क्योंकि $8.848 \geq 5$ ।

ऐसे अनुमानों को घातांक के हिसाब से एक के ऊपर एक रखने से इस अध्याय का मुख्य चित्र बनता है: एक सीढ़ी, जिसका हर डंडा नीचे वाले से दस गुना चौड़ी दुनिया है।

ब्रह्मांड की सीढ़ी, मीटरों में: परमाणु नाभिक और प्रेक्षणीय ब्रह्मांड के बीच दस की 42 घातें हैं, और मनुष्य परमाणु से दस डंडे ऊपर खड़ा है, पर चोटी से सत्ताईस नीचे। — ब्रह्मांड की सीढ़ी, मीटरों में: परमाणु नाभिक और प्रेक्षणीय ब्रह्मांड के बीच दस की $42$ घातें हैं, और मनुष्य परमाणु से दस डंडे ऊपर खड़ा है, पर चोटी से सत्ताईस नीचे।

पृथ्वी वाले डंडे के ऊपर मीटर सुविधाजनक नहीं रह जाते; खगोल विज्ञान अपने मात्रक रखता है, और दोनों इसी सीढ़ी से परिभाषित होते हैं।

परिभाषा 1.13 (खगोलीय मात्रक और प्रकाश वर्ष)

खगोलीय मात्रक ( $1\,\mathrm{au} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ) पृथ्वी और सूर्य के बीच की औसत दूरी है। प्रकाश वर्ष ( $\mathrm{ly}$ ) वह दूरी है जो प्रकाश एक वर्ष में तय करता है। निर्वात में प्रकाश

c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s},

की चाल से चलता है, जो प्रकृति की अनुमत सबसे तेज़ चाल है — इसलिए प्रकाश वर्ष एक दूरी है, समय नहीं।

गुणात्मक मापनी पर पृथ्वी से दूरियाँ, और हर एक के नीचे लाल रंग में प्रकाश का यात्रा-समय: चंद्रमा प्रकाश-सेकंड दूर है, ग्रह प्रकाश-घंटे, और तारे प्रकाश वर्ष।

उदाहरण 1.14 (प्रकाश वर्ष, मीटरों में)

एक वर्ष में $365.25 \times 24 \times 3600 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ होते हैं (जो सुखद रूप से $\pi \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ के पास है)। अतः

1\,\mathrm{ly} = c \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}.

सूर्य के बाद का सबसे पास का तारा प्रॉक्सिमा सेंटौरी $4.2\,\mathrm{ly} \approx 4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$ दूर है: प्रकाश, जो पृथ्वी–सूर्य की दूरी आठ मिनट में पार कर लेता है, वहाँ से आने में चार साल से अधिक लेता है।

विधि 1.15 (परिमाण की कोटि से जाँच)

किसी भी परिकलित परिणाम पर भरोसा करने से पहले:

हर आगत को उसकी परिमाण की कोटि तक पूर्णांकित कीजिए;
प्रतिज्ञप्ति 1.6 की सहायता से गणना केवल दस की घातों से दोहराइए — इसमें कुछ ही सेकंड लगते हैं;
तुलना कीजिए: परिशुद्ध उत्तर को अनुमान से दस के गुणक भर के भीतर मेल खाना चाहिए, और उसका मात्रक सही होना चाहिए। इनमें से कोई भी जाँच बिगड़े तो आगे बढ़ने से पहले गलती खोज निकालिए।

टिप्पणी 1.16 (इसकी ज़रूरत क्यों)

कैलकुलेटर खुशी-खुशी बता देगा कि किसी सेब का द्रव्यमान $4 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$ है — उसे इससे बेहतर पता ही नहीं हो सकता। कोई सूत्र बेतुकेपन पर झंडी नहीं उठाता; आदत उठाती है। भौतिक विज्ञानी पहले अनुमान लगाते हैं, गणना बाद में करते हैं: अनुमान खिसके हुए दशमलव बिंदु, अदल-बदल गए मात्रक और उलटी हो गई भिन्नें पकड़ लेता है — हर स्तर पर अधिकांश गलत उत्तरों के पीछे यही तीन गलतियाँ होती हैं।

1.4 मापन और अनिश्चितता

कोई उपकरण सही मान नहीं पढ़ता। कोई माप तभी ईमानदार है जब वह यह भी बताए कि वह कितनी दूर तक चूक सकता है।

परिभाषा 1.17 (निरपेक्ष और सापेक्ष अनिश्चितता)

किसी राशि $x$ की माप इस तरह बताई जाती है:

x = x_{\text{m}} \pm \Delta x ,

जहाँ $x_{\text{m}}$ मापा गया मान है और उसी मात्रक में दी गई निरपेक्ष अनिश्चितता $\Delta x > 0$ संभावित त्रुटि को सीमित करती है: दावा यह है कि सही मान $x_{\text{m}} - \Delta x$ और $x_{\text{m}} + \Delta x$ के बीच है। सापेक्ष अनिश्चितता अनुपात $\Delta x / x_{\text{m}}$ है, जिसे प्रायः प्रतिशत में बताया जाता है; “परिशुद्ध” शब्द इसी को नापता है।

विधि 1.18 (अंशांकित उपकरण पढ़ना)

मापनी, मापक सिलिंडर या डायल के लिए:

निशान के सबसे पास वाला अंशांक पढ़िए, आँख पैमाने के लंबवत रखकर (तिरछी आँख पढ़त को खिसका देती है);
सबसे छोटे अंशांक का कम से कम आधा निरपेक्ष अनिश्चितता मानिए — और अधिक, यदि वस्तु का किनारा या द्रव की सतह धुँधली हो;
परिणाम को उसके मात्रक के साथ $x_{\text{m}} \pm \Delta x$ के रूप में लिखिए, और अनिश्चित अंक से आगे कोई अंक मत रखिए।

मिलीमीटर मापनी पढ़ना: छड़ का सिरा 127\, mm के अंशांक के सबसे पास पड़ता है, और दोनों ओर आधे-आधे अंशांक की छायांकित पट्टी ही ईमानदार दावा है। — मिलीमीटर मापनी पढ़ना: छड़ का सिरा $127\,\mathrm{mm}$ के अंशांक के सबसे पास पड़ता है, और दोनों ओर आधे-आधे अंशांक की छायांकित पट्टी ही ईमानदार दावा है।

उदाहरण 1.19 (सापेक्ष परिशुद्धि)

ऊपर की पढ़त की सापेक्ष अनिश्चितता $\frac{0.5}{127} \approx 0.4\%$ है। वही मापनी जब $12\,\mathrm{mm}$ का बोल्ट मापती है तो $\frac{0.5}{12} \approx 4\%$ देती है: वही उपकरण छोटी वस्तु पर दस गुना कम परिशुद्ध है। परिशुद्धि माप का गुण है, औज़ार का नहीं।

टिप्पणी 1.20 (छोटी निरपेक्ष, विशाल सापेक्ष — और इसका उलटा)

लेज़र केंद्र पृथ्वी–चंद्रमा की दूरी $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ को लगभग $\pm3\,\mathrm{cm}$ तक मापते हैं: $10^{-10}$ की सापेक्ष अनिश्चितता, जो अब तक की सबसे पैनी मापों में गिनी जाती है — और वह भी ऐसी निरपेक्ष त्रुटि के साथ जिस पर कोई मापनी इतराएगी नहीं। हमेशा पूछिए, किसके सापेक्ष: पूरी कहानी युग्म $(\Delta x,\ \Delta x / x_{\text{m}})$ बताता है, और इनमें से कोई एक संख्या अकेले भटका सकती है।

1.5 अभ्यास

अभ्यास 1.1 ★

वैज्ञानिक संकेतन में, मीटरों में बदलिए:

$750\,\mathrm{nm}$ (लाल प्रकाश की तरंगदैर्घ्य);
$2.5\,\mathrm{km}$ ;
$3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ (मिट्टी का एक जीवाणु);
$0.15\,\mathrm{Tm}$ (पृथ्वी–सूर्य की दूरी, एक असामान्य पोशाक में)।

हल

हल — अभ्यास 1.1.

1. $750\,\mathrm{nm} = 750 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} = 7.50 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ । 2. $2.5\,\mathrm{km} = 2.5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ । 3. $3.2\,\text{µ}\mathrm{m} = 3.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$ । 4. $0.15\,\mathrm{Tm} = 0.15 \times 10^{12}\,\mathrm{m} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ — यानी एक खगोलीय मात्रक।

अभ्यास 1.2 ★

वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए और सार्थक अंकों की संख्या बताइए:

पृथ्वी–सूर्य की दूरी, $149\,600\,000\,\mathrm{km}$ , मीटरों में;
हाइड्रोजन परमाणु का व्यास, $0.000\,000\,000\,106\,\mathrm{m}$ ;
विश्व की जनसंख्या, लगभग $8\,100\,000\,000$ ;
$0.005\,20\,\mathrm{s}$ की एक अवधि।

हल

हल — अभ्यास 1.2.

1. $149\,600\,000\,\mathrm{km} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ : $4$ सार्थक अंक। 2. $1.06 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ : $3$ सार्थक अंक (आरंभ के शून्य कभी नहीं गिने जाते)। 3. $8.1 \times 10^{9}$ : $2$ सार्थक अंक। 4. $5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ : $3$ सार्थक अंक (अंत का शून्य एक वादा है)।

अभ्यास 1.3 ★

कैलकुलेटर के बिना गणना कीजिए और हर परिणाम वैज्ञानिक संकेतन में दीजिए:

(3\times10^{8})\times(2\times10^{-5}), \qquad \frac{8\times10^{4}}{4\times10^{-3}}, \qquad (5\times10^{6})^{2}, \qquad \frac{(4\times10^{-3})\times(3\times10^{-9})}{6\times10^{-7}} .

हल

हल — अभ्यास 1.3.

अपूर्णांशों और घातांकों को अलग-अलग लीजिए (प्रतिज्ञप्ति 1.6):

3 \times 2 \times 10^{8-5} = 6 \times 10^{3}, \qquad \tfrac{8}{4} \times 10^{4-(-3)} = 2 \times 10^{7},

5^{2} \times 10^{12} = 2.5 \times 10^{13}, \qquad \tfrac{4 \times 3}{6} \times 10^{-3-9+7} = 2 \times 10^{-5} .

अभ्यास 1.4 ★

इनकी परिमाण की कोटि उसके मात्रक सहित बताइए: $1.7\,\mathrm{m}$ की मानव-लंबाई; माउंट एवरेस्ट, $8848\,\mathrm{m}$ ; एक ई. कोलाई जीवाणु, $2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$ ; पृथ्वी का द्रव्यमान, $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ।

हल

हल — अभ्यास 1.4.

मनुष्य: $1.7 < 5$ , कोटि $10^{0}\,\mathrm{m}$ । एवरेस्ट: $8848\,\mathrm{m} = 8.848 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ और $8.848 \geq 5$ : कोटि $10^{4}\,\mathrm{m}$ । जीवाणु: कोटि $10^{-6}\,\mathrm{m}$ । पृथ्वी: $5.97 \geq 5$ , कोटि $10^{25}\,\mathrm{kg}$ ।

अभ्यास 1.5 ★

एक मापनी मिलीमीटर में अंशांकित है। आप एक पेंसिल को $127\,\mathrm{mm}$ मापते हैं।

परिणाम को उसकी निरपेक्ष अनिश्चितता सहित लिखिए।
सापेक्ष अनिश्चितता निकालिए।
वही मापनी $12\,\mathrm{mm}$ की रबड़ मापती है। दोनों मापों में कौन-सी अधिक परिशुद्ध है, और कितने गुना?

हल

हल — अभ्यास 1.5.

1. आधा अंशांक: $L = (127.0 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}$ । 2. $\Delta L / L = 0.5/127 \approx 0.4\%$ । 3. रबड़: $0.5/12 \approx 4\%$ । पेंसिल वाली माप लगभग दस गुना अधिक परिशुद्ध है — वही मापनी, वही निरपेक्ष अनिश्चितता, पर वस्तु दस गुना लंबी।

अभ्यास 1.6 ★★

$c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $1\,\mathrm{ly} = 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$ लेकर:

प्रॉक्सिमा सेंटौरी ( $4.24\,\mathrm{ly}$ ) और सिरियस ( $8.6\,\mathrm{ly}$ ) की दूरियाँ मीटरों में व्यक्त कीजिए।
यान वॉयेजर 1 पृथ्वी से लगभग $2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m}$ दूर है। $c$ की चाल से चलते हुए उसके रेडियो संकेत को हम तक पहुँचने में कितना समय लगता है? उत्तर घंटों में दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 1.6.

1. प्रॉक्सिमा: $4.24 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.01 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$ । सिरियस: $8.6 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 8.1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$ (दो सार्थक अंक, जितने आगत में हैं)। 2. $t = d/c = 2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m} / 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 8.0 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ , यानी $8.0 \times 10^{4}/3600 \approx 22\,\mathrm{h}$ : यान के हर संदेश के लिए लगभग पूरा एक दिन।

अभ्यास 1.7 ★★

चंद्रमा ( $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ), सूर्य ( $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ) और नेपच्यून ( $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$ ) से पृथ्वी तक प्रकाश को पहुँचने में कितना समय लगता है? हर उत्तर समझदारी से चुने गए मात्रक में दीजिए, और वाक्य पूरा कीजिए: “जब आप नेपच्यून को देखते हैं, तो आप उसे वैसा देखते हैं जैसा वह…”

हल

हल — अभ्यास 1.7.

हर बार $t = d/c$ । चंद्रमा: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.28\,\mathrm{s}$ । सूर्य: $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 499\,\mathrm{s} \approx 8.3\,\mathrm{min}$ । नेपच्यून: $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.50 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 4.2\,\mathrm{h}$ । जब आप नेपच्यून को देखते हैं, तो आप उसे लगभग चार घंटे पुराना देखते हैं — हर दूरबीन एक हल्की-फुल्की समय-मशीन है।

अभ्यास 1.8 ★★

कागज़ की $500$ शीटों की एक गड्डी मिलीमीटर मापनी से मापने पर $52.0\,\mathrm{mm}$ मोटी निकलती है, अनिश्चितता $\pm0.5\,\mathrm{mm}$ के साथ।

एक शीट की मोटाई उसकी निरपेक्ष अनिश्चितता सहित निकालिए।
उस मोटाई की सापेक्ष अनिश्चितता क्या है?
उसी मापनी से एक अकेली शीट मापने के बजाय पूरी गड्डी मापना बहुत बेहतर क्यों है? संख्याओं में बताइए।

हल

हल — अभ्यास 1.8.

1. एक शीट: $52.0\,\mathrm{mm}/500 = 0.104\,\mathrm{mm} = 1.04 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$ । अनिश्चितता भी उसी तरह बँटती है: $0.5\,\mathrm{mm}/500 = 0.001\,\mathrm{mm}$ , इसलिए $t = (104 \pm 1)\,\text{µ}\mathrm{m}$ । 2. $1/104 \approx 1\%$ । 3. एक अकेली शीट को सीधे मापने पर $(0.1 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}$ मिलता: लगभग $500\%$ की सापेक्ष अनिश्चितता — मापनी तो यह भी सिद्ध नहीं कर पाती कि शीट है भी। $500$ शीटों को ढेर करने से मापी गई लंबाई $500$ गुना हो जाती है, जबकि मापनी की निरपेक्ष अनिश्चितता जस की तस रहती है: इसलिए सापेक्ष अनिश्चितता उसी $500$ गुणक से सिकुड़ जाती है।

अभ्यास 1.9 ★★

परमाणु का व्यास $2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ लीजिए। अगल-बगल रखे कितने परमाणु इन्हें पाट देंगे: $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ का एक जीवाणु; $70\,\text{µ}\mathrm{m}$ का एक बाल; $1.7\,\mathrm{m}$ का एक मनुष्य? आखिरी उत्तर परिमाण की कोटि के रूप में भी दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 1.9.

हर लंबाई को $2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ से भाग दीजिए। जीवाणु: $2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{4}$ परमाणु। बाल: $7.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 3.5 \times 10^{5}$ । मनुष्य: $1.7/2 \times 10^{-10} = 8.5 \times 10^{9}$ , परिमाण की कोटि $10^{10}$ : सिर से पैर तक दस अरब परमाणु।

अभ्यास 1.10 ★★

एक मापनी-प्रतिरूप में सूर्य (व्यास $1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ ) को $22\,\mathrm{cm}$ व्यास वाली एक फुटबॉल से दिखाया गया है।

प्रतिरूप का मापनी-गुणक निकालिए।
पृथ्वी ( $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ ) का प्रतिरूप-व्यास और फुटबॉल से उसकी प्रतिरूप-दूरी ज्ञात कीजिए (वास्तविक दूरी $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ )।
प्रतिरूप-पृथ्वी से प्रतिरूप-चंद्रमा कितनी दूर है (वास्तविक दूरी $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ )? और प्रतिरूप-नेपच्यून कितनी दूर है (वास्तविक दूरी $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$ )?

हल

हल — अभ्यास 1.10.

1. $s = 0.22\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 1.58 \times 10^{-10}$ । 2. पृथ्वी: $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m} = 2.0\,\mathrm{mm}$ — यानी काली मिर्च का एक दाना — जो फुटबॉल से $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 23.7\,\mathrm{m} \approx 24\,\mathrm{m}$ दूर परिक्रमा करता है। 3. चंद्रमा: उस दाने से $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 6.1\,\mathrm{cm}$ दूर। नेपच्यून: $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} \approx 710\,\mathrm{m}$ : प्रतिरूप स्कूल के मैदान में नहीं समाता।

अभ्यास 1.11 ★★

सार्थक अंक काम पर।

एक A4 शीट $21.0\,\mathrm{cm}$ गुणा $29.7\,\mathrm{cm}$ की है। उसका क्षेत्रफल सार्थक अंकों की सही संख्या के साथ दीजिए।
एक धावक $100.0\,\mathrm{m}$ की दूरी $12.3\,\mathrm{s}$ में तय करता है। औसत चाल सही पूर्णांकन के साथ दीजिए।
एक वाक्य में बताइए कि क्षेत्रफल को $623.70\,\mathrm{cm}^{2}$ बताने में क्या बेईमानी होगी।

हल

हल — अभ्यास 1.11.

1. $21.0 \times 29.7 = 623.7\,\mathrm{cm}^{2}$ , जिसे आगतों के तीन सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर $624\,\mathrm{cm}^{2}$ । 2. $v = 100.0\,\mathrm{m}/12.3\,\mathrm{s} = 8.13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (तीन अंक, जो समय ने तय किए)। 3. पाँच सार्थक अंक क्षेत्रफल को $0.01\,\mathrm{cm}^{2}$ तक जानने का दावा करते, जबकि मिलीमीटर स्तर के आगतों ने इतनी परिशुद्धि कभी दी ही नहीं — गढ़ा हुआ दशमलव फिर भी जालसाज़ी ही है।

अभ्यास 1.12 ★★★

$1.0\,\mathrm{mm}^{3}$ आयतन के तेल की एक बूँद शांत पानी पर डाली जाती है और $1.1\,\mathrm{m}$ व्यास की एक गोल परत में फैल जाती है — ऐसी परत जो, आगे के अध्याय दिखाएँगे, एक अणु जितनी मोटी है।

परत का क्षेत्रफल निकालिए, फिर उसकी मोटाई।
इससे एक अणु के आकार की परिमाण की कोटि निकालिए, और उसे सीढ़ी के परमाणु वाले डंडे से मिलाकर जाँचिए।

(यह मोटा-मोटी अनुमान वाला प्रयोग सबसे पहले बेंजामिन फ्रैंकलिन ने लंदन के एक तालाब पर किया था, और यह अणुओं की दुनिया की मानवता की पहली ईमानदार मापों में से एक था।)

हल

हल — अभ्यास 1.12.

1. त्रिज्या $r = 0.55\,\mathrm{m}$ , क्षेत्रफल $A = \pi r^{2} = \pi \times 0.55^{2} \approx 0.95\,\mathrm{m}^{2}$ । आयतन $V = 1.0\,\mathrm{mm}^{3} = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}$ , और परत (क्षेत्रफल) $\times$ (मोटाई) होती है, इसलिए

e = \frac{V}{A} = \frac{1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}}{0.95\,\mathrm{m}^{2}} = 1.1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} .

2. अणु की कोटि $10^{-9}\,\mathrm{m}$ है — परमाणु के $10^{-10}\,\mathrm{m}$ से एक डंडा ऊपर, जो इस बात से मेल खाता है कि अणु परमाणुओं का एक छोटा गुच्छा होता है। फ्रैंकलिन के एक चम्मच तेल ने आधा एकड़ तालाब शांत कर दिया और, उन्हें पता चले बिना, नैनोमीटर नाप दिया।

अभ्यास 1.13 ★★★

मनुष्य के पूरे जीवन में धड़कनों की संख्या का अनुमान लगाइए। अपनी मान्यताएँ बताइए (विश्राम की हृदय-गति, आयु), अंकगणित को दस की घातों और अपूर्णांश के एक ही अंक तक सीमित रखिए, और अंतिम उत्तर केवल परिमाण की कोटि के रूप में दीजिए। इसे चार सार्थक अंकों तक बताना निरर्थक क्यों होगा?

हल

हल — अभ्यास 1.13.

मान्यताएँ: विश्राम में लगभग $70$ धड़कन प्रति मिनट, और $80$ वर्ष की आयु। प्रति दिन: $70 \times 60 \times 24 \approx 1 \times 10^{5}$ धड़कनें। प्रति वर्ष: $1 \times 10^{5} \times 365 \approx 4 \times 10^{7}$ । पूरे जीवन में: $4 \times 10^{7} \times 80 \approx 3 \times 10^{9}$ — परिमाण की कोटि $10^{9}$ , यानी कुछ अरब धड़कनें। चार सार्थक अंक यह दिखावा करते कि अस्सी साल तक हृदय-गति मिनट-दर-मिनट पता है: आगत तो परिमाण की कोटि भर के अनुमान हैं, और कोई निर्गत अपने आगतों से ऊपर नहीं जा सकता (विधि 1.9)।

अभ्यास 1.14 ★★★

कागज़ की एक शीट $0.10\,\mathrm{mm}$ मोटी है, और हर तह ढेर की मोटाई दुगुनी कर देती है। $2^{10} \approx 10^{3}$ लेकर:

कितनी तहों के बाद ढेर माउंट एवरेस्ट ( $8848\,\mathrm{m}$ ) से ऊपर निकल जाएगा?
कितनी तहों के बाद वह चंद्रमा ( $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ) तक पहुँच जाएगा?
व्यवहार में एक शीट को लगभग सात बार से अधिक नहीं मोड़ा जा सकता। क्या इससे अंकगणित गलत हो जाता है, या केवल प्रयोग?

हल

हल — अभ्यास 1.14.

$n$ तहों के बाद मोटाई $2^{n} \times 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$ होती है। 1. चाहिए $2^{n} \geq 8848/1.0 \times 10^{-4} = 8.8 \times 10^{7}$ । चूँकि $2^{26} \approx 6.7 \times 10^{7}$ कम पड़ता है और $2^{27} \approx 1.3 \times 10^{8}$ काफ़ी है: $27$ तहें (ढेर $\approx 13\,\mathrm{km}$ )। 2. चाहिए $2^{n} \geq 3.84 \times 10^{12}$ : $2^{41} \approx 2.2 \times 10^{12}$ कम है, $2^{42} \approx 4.4 \times 10^{12}$ पहुँच जाता है — $42$ तहें, ढेर $4.4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , यानी चंद्रमा से आराम से आगे। 3. केवल प्रयोग गलत होता है: हर तह क्षेत्रफल आधा कर देती है, और सात तहों के बाद ढेर अपनी चौड़ाई से अधिक मोटा हो जाता है। दुगुना करने का अंकगणित अछूता रहता है — चरघातांकी वृद्धि बस कागज़ (और अंतर्ज्ञान) की पहुँच से आगे निकल जाती है।

अभ्यास 1.15 ★★★

लेज़र परासन से पृथ्वी–चंद्रमा की दूरी $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \pm 3\,\mathrm{cm}$ निकलती है; एक अच्छी मापनी किसी मेज़ को $1.000\,\mathrm{m} \pm 1\,\mathrm{mm}$ बताती है।

दोनों सापेक्ष अनिश्चितताएँ निकालिए। कौन-सी माप अधिक परिशुद्ध है, और कितने गुना?
चंद्रमा वाली माप की सापेक्ष परिशुद्धि से मेल खाने के लिए आपको मेज़ को किस निरपेक्ष अनिश्चितता तक मापना पड़ेगा? उस लंबाई की तुलना परमाणु के आकार से कीजिए, और उचित आदर के साथ निष्कर्ष निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 1.15.

1. चंद्रमा: $0.03\,\mathrm{m}/3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} = 7.8 \times 10^{-11}$ । मेज़: $0.001\,\mathrm{m}/1.000\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{-3}$ । चंद्रमा वाली माप $1.0 \times 10^{-3}/7.8 \times 10^{-11} \approx 1.3 \times 10^{7}$ गुना अधिक परिशुद्ध है — यानी एक करोड़ से भी अधिक। 2. एक मीटर की मेज़ पर $7.8 \times 10^{-11}$ की बराबरी करने का अर्थ है $\Delta x = 7.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$ , जो एक परमाणु ( $\approx 10^{-10}\,\mathrm{m}$ ) से भी छोटा है: मेज़ का किनारा तो इतनी पैनी तरह परिभाषित भी नहीं है। सापेक्ष रूप से देखें तो पृथ्वी–चंद्रमा की लेज़र दूरी हमारी प्रजाति की सबसे बारीक मापों में से एक है।

1.6 समस्या: परमाणु से एंड्रोमेडा तक

समस्या 1.1

सप्ताहांत समस्या — रेत का एक अकेला कण परमाणु, सौर मंडल, आकाशगंगा और प्रेक्षणीय ब्रह्मांड को नाप देता है, और इनके बीच की सीढ़ी पर आपकी जगह भी बता देता है

रेत का कण भौतिकी की सबसे मामूली वस्तु है, और इस सप्ताहांत वह अतिरिक्त काम करेगा: पहले हम उसके परमाणु गिनेंगे, फिर सूर्य को उसी आकार तक सिकोड़ कर ब्रह्मांड को कदमों में नापेंगे, फिर सर्वेक्षण का काम प्रकाश को सौंपेंगे, और अंत में आप में परमाणु गिनेंगे। पूरे समय काम आने वाले आँकड़े: कण का व्यास $0.5\,\mathrm{mm}$ ; परमाणु का व्यास $2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ ; रेत का घनत्व $2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; व्यास: सूर्य $1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ , पृथ्वी $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ , आकाशगंगा $9.5 \times 10^{20}\,\mathrm{m}$ , प्रेक्षणीय ब्रह्मांड $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}$ ; हमसे दूरियाँ: चंद्रमा $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ , सूर्य $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ , नेपच्यून $4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$ , प्रॉक्सिमा सेंटौरी $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$ , एंड्रोमेडा आकाशगंगा $2.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}$ ; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; पानी के एक अणु का द्रव्यमान $3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ है और उसमें तीन परमाणु होते हैं।

भाग I — कण की बनावट।

कण का व्यास और परमाणु का व्यास वैज्ञानिक संकेतन में, मीटरों में लिखिए, और बताइए कि हर एक किस SI उपसर्ग के सबसे पास है।
एक कण के व्यास भर में अगल-बगल कितने परमाणु बैठते हैं?
कण को $0.5\,\mathrm{mm}$ भुजा के ऐसे घन के रूप में लीजिए जो परमाणुओं से ठसाठस भरा है। कण में परमाणुओं की संख्या का अनुमान परिमाण की कोटि के रूप में लगाइए।
उस घन का आयतन निकालिए, फिर कण का द्रव्यमान। द्रव्यमान को मिलीग्राम में बताइए।
प्रतिरूप की जाँच कीजिए: कण के द्रव्यमान को उसके परमाणुओं की संख्या से भाग दीजिए और परमाणु-द्रव्यमानों की ज्ञात परिमाण की कोटि (कुछ $10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ) से तुलना कीजिए। फैसला?

भाग II — सूर्य, रेत के एक कण जितना। हम ब्रह्मांड का एक ऐसा मापनी-प्रतिरूप बनाते हैं जिसमें सूर्य वही कण है: हर प्रतिरूप-आकार वास्तविक आकार को एक गुणक $s$ से गुणा करने पर मिलता है।

मापनी-गुणक $s$ निकालिए।
प्रतिरूप में पृथ्वी का व्यास और कण-सूर्य से उसकी दूरी ज्ञात कीजिए। भाग I की दुनिया की कौन-सी वस्तु मोटे तौर पर प्रतिरूप-पृथ्वी जितनी है?
प्रतिरूप-नेपच्यून कण से कितनी दूर परिक्रमा करता है? कौन-सा फर्नीचर पूरे ग्रह-मंडल को समा लेगा?
प्रतिरूप-प्रॉक्सिमा सेंटौरी कितनी दूर है?
रेत के दो कण, $14\,\mathrm{km}$ की दूरी पर, और बीच में लगभग कुछ भी नहीं: एक-दो वाक्यों में बताइए कि यह प्रतिरूप आकाशगंगा के खालीपन के बारे में क्या खोल देता है।

भाग III — सर्वेक्षण प्रकाश करता है।

रेत के असली कण को पार करने में प्रकाश को कितना समय लगता है?
चंद्रमा से और सूर्य से हम तक पहुँचने में प्रकाश को कितना समय लगता है?
$c$ और वर्ष की लंबाई से प्रकाश वर्ष को मीटरों में फिर से निकालिए, और जाँचिए कि आँकड़ों वाली प्रॉक्सिमा दूरी लगभग $4.2\,\mathrm{ly}$ बैठती है।
एंड्रोमेडा की दूरी को प्रकाश वर्षों में बदलिए। जो प्रकाश इस समय आपकी आँख में घुस रहा है, वह मोटे तौर पर कब एंड्रोमेडा से चला था, और उस समय पृथ्वी पर कौन चल रहा था?
प्रकाश एक नैनोसेकंड में कितनी दूरी तय करता है? $3\,\mathrm{GHz}$ पर चलने वाला प्रोसेसर हर एक-तिहाई नैनोसेकंड में एक क्रिया शुरू करता है: एक वाक्य में बताइए कि तेज़ कंप्यूटर का छोटा होना क्यों ज़रूरी है।

भाग IV — आप, परमाणु और एंड्रोमेडा के बीच।

मनुष्य मोटे तौर पर $70\,\mathrm{kg}$ पानी है। आँकड़ों की सहायता से पानी में एक परमाणु के औसत द्रव्यमान का अनुमान लगाइए, फिर मनुष्य में परमाणुओं की संख्या का।
उस गिनती की तुलना कण के परमाणुओं से (प्रश्न 3) और प्रेक्षणीय ब्रह्मांड के लगभग $2\times10^{23}$ तारों से कीजिए। दोनों गुणक दीजिए।
सीढ़ी पर आप परमाणु के पास हैं या प्रेक्षणीय ब्रह्मांड के? अपने लिए $1.7\,\mathrm{m}$ लेकर अनुपात $\text{(आप)}/\text{(परमाणु)}$ और $\text{(ब्रह्मांड)}/\text{(आप)}$ की तुलना कीजिए।
वह आकार $x$ ज्ञात कीजिए जो नाभिक ( $10^{-15}\,\mathrm{m}$ ) और प्रेक्षणीय ब्रह्मांड के बीच सीढ़ी पर ठीक आधे पर बैठता है: $x$ को $x / 10^{-15} = 10^{26.9} / x$ संतुष्ट करना चाहिए ( $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \approx 10^{26.9}\,\mathrm{m}$ लेकर)। सौर मंडल की कौन-सी वस्तु संयोग से ठीक इसी आकार की है?
और अंतिम चोट। प्रेक्षणीय ब्रह्मांड को भाग II वाले गुणक $s$ से सिकोड़िए, ताकि सूर्य रेत का एक कण बन जाए। प्रतिरूप-ब्रह्मांड का व्यास मीटरों में दीजिए, फिर खगोलीय मात्रकों में, और एक वाक्य में निष्कर्ष निकालिए: हर तारे को रेत का कण बना देने पर भी ब्रह्मांड हर मानवीय पैमाने से छलक जाता है — उसे केवल दस की घातें थाम पाती हैं।

हल

हल — समस्या 1.1.

1. कण: $0.5\,\mathrm{mm} = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$ , यानी मिली पैमाने पर; परमाणु: $2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 0.25\,\mathrm{nm}$ , यानी नैनो पैमाने पर।

2. $5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 2.0 \times 10^{6}$ : आरपार बीस लाख परमाणु।

3. हर भुजा पर $2 \times 10^{6}$ परमाणुओं वाला घन $(2\times10^{6})^{3} = 8 \times 10^{18}$ परमाणु समेटता है: परिमाण की कोटि $10^{19}$ ।

4. $V = (5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m})^{3} = 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3}$ , इसलिए $m = \rho V = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} \times 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3} = 3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg} = 0.31\,\mathrm{mg}$ ।

5. प्रति परमाणु द्रव्यमान: $3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}/(8\times10^{18}) = 3.9 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ — ठीक “कुछ $10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ” वाली सीमा में। परमाणुओं के इस भोले घन से असली परमाणु-द्रव्यमान निकल आते हैं: प्रतिरूप जाँच (विधि 1.15) में पूरे अंकों से पास होता है।

6. $s = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 3.6 \times 10^{-13}$ ।

7. प्रतिरूप-पृथ्वी: व्यास $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$ — यानी एक जीवाणु जितनी — और कण से $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 5.4\,\mathrm{cm}$ की दूरी पर: पृथ्वी रेत के एक कण से पाँच सेंटीमीटर दूर एक सूक्ष्मजीव है।

8. $4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.6\,\mathrm{m}$ : पूरा ग्रह-मंडल एक खाने की मेज़ के भीतर परिक्रमा करता है।

9. $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{m} = 14\,\mathrm{km}$ ।

10. हमारे मेज़ भर के सौर मंडल का सबसे पास का तारा चौदह किलोमीटर दूर रेत का एक और कण है, और बीच में लगभग कुछ भी नहीं: आकाशगंगा भारी बहुमत से खाली जगह है — यही कारण है कि तारों की टक्कर लगभग अनसुनी बात है।

11. $t = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.7 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$ — यानी दो पिकोसेकंड से भी कम।

12. चंद्रमा: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.28\,\mathrm{s}$ । सूर्य: $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 499\,\mathrm{s} \approx 8.3\,\mathrm{min}$ : धूप हमेशा आठ मिनट पुरानी होती है।

13. एक वर्ष $365.25 \times 86400 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ का होता है, इसलिए $1\,\mathrm{ly} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s} = 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$ ; फिर $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.2$ : आँकड़ों वाली दूरी सचमुच लगभग $4.2\,\mathrm{ly}$ है।

14. $2.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 2.5 \times 10^{6}$ : पच्चीस लाख प्रकाश वर्ष। वह प्रकाश एंड्रोमेडा से लगभग $2.5$ लाख वर्ष पहले चला था, जब होमो वंश के पहले सदस्य पत्थर गढ़ना सीख रहे थे — और होमो सेपियन्स तब कहीं था ही नहीं।

15. $3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{s} = 0.30\,\mathrm{m}$ । एक-तिहाई नैनोसेकंड में कोई संकेत अधिक से अधिक लगभग $10\,\mathrm{cm}$ तय करता है, इसलिए मशीन के जिन दो हिस्सों को एक ही घड़ी-टिक के भीतर बात करनी है उन्हें एक-दूसरे से दस सेंटीमीटर के भीतर बैठना पड़ता है: चाल आकार पर सीमा लगा देती है।

16. पानी में औसत परमाणु: $3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}/3 = 1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ । परमाणुओं की संख्या: $70\,\mathrm{kg}/1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} = 7 \times 10^{27}$ ।

17. कण के सामने: $7 \times 10^{27}/8 \times 10^{18} \approx 10^{9}$ — आप में एक अरब कणों जितने परमाणु हैं। तारों के सामने: $7 \times 10^{27}/2 \times 10^{23} = 3.5 \times 10^{4}$ — आपके परमाणु प्रेक्षणीय ब्रह्मांड के सारे तारों से पैंतीस हज़ार गुना अधिक हैं।

18. $\text{(आप)}/\text{(परमाणु)} = 1.7\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} \approx 7 \times 10^{9} \approx 10^{10}$ , जबकि $\text{(ब्रह्मांड)}/\text{(आप)} = 8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}/1.7\,\mathrm{m} \approx 5 \times 10^{26}$ । सीढ़ी पर आप परमाणु से लगभग दस डंडे ऊपर खड़े हैं और ब्रह्मांड से लगभग सत्ताईस नीचे: गुणात्मक रूप से मनुष्य अपने परमाणुओं के बहुत पास रहते हैं।

19. शर्त से $x^{2} = 10^{-15} \times 10^{26.9} = 10^{11.9}$ मिलता है, इसलिए $x = 10^{5.95} \approx 9 \times 10^{5}\,\mathrm{m} \approx 900\,\mathrm{km}$ — जो लगभग ठीक सबसे बड़े क्षुद्रग्रह सीरीस के व्यास ( $\approx 940\,\mathrm{km}$ ) जितना है। नाभिक और ब्रह्मांड के बीच सीढ़ी के ठीक आधे पर एक मामूली बौना ग्रह बैठा है।

20. $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}$ , यानी $3.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}/1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \approx 2.1 \times 10^{3}$ खगोलीय मात्रक। और अंतिम चोट: ब्रह्मांड को तब तक सिकोड़िए जब तक सूर्य रेत का कण न बन जाए, फिर भी प्रेक्षणीय ब्रह्मांड असली पृथ्वी–सूर्य दूरी से दो हज़ार गुना फैला रहता है — कोई मापनी-प्रतिरूप ब्रह्मांड को मानवीय आकार तक नहीं ला पाता; उसे केवल दस की घातें ढो सकती हैं।