22तरंग के रूप में प्रकाश: विवर्तन और व्यतिकरण

हल — अभ्यास 22.1.

$f = c/\lambda$: लाल $3.00 \times 10^{8}/7.0 \times 10^{-7} \approx 4.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$; बैंगनी $\approx 7.5 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ — बैंगनी अधिक है (तरंगदैर्घ्य छोटा, चाल $c$ वही)।

हल — अभ्यास 22.2.

$\theta = 5.32 \times 10^{-7}/2.0 \times 10^{-4} = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$; $L = 2\theta D = 2 \times 2.66 \times 10^{-3} \times 1.5 \approx 8.0\,\mathrm{mm}$।

हल — अभ्यास 22.3.

आवाज़: $\lambda = 340/425 = 0.80\,\mathrm{m}$, इसलिए $\lambda/a = 1.0$ — यानी अधिकतम विवर्तन, और ध्वनि पूरे गलियारे में भर जाती है। प्रकाश: $\lambda/a \approx 5.5 \times 10^{-7}/0.80 \approx 7 \times 10^{-7}$ — फैलाव नगण्य: प्रकाश सीधा चलता रहता है, इसलिए कोना उसे छिपा लेता है।

हल — अभ्यास 22.4.

$M$ पर: $\delta = 6.0\,\mathrm{cm} = 3\lambda$, संपोषी — ऊँचा शोर। $N$ पर: $\delta = 5.0\,\mathrm{cm} = (2 + \tfrac12)\lambda$, विनाशी — (लगभग) सन्नाटा।

हल — अभ्यास 22.5.

$i = \lambda D/a = 6.33 \times 10^{-7} \times 1.8/2.5 \times 10^{-4} \approx 4.6\,\mathrm{mm}$। $\pm1.0\,\mathrm{cm}$ के भीतर: $|k| \leq 10/4.6 = 2.2$, इसलिए $k = -2, \dots, 2$: पाँच चमकीले फ़्रिंज।

हल — अभ्यास 22.6.

$d = 2\lambda D/L = 2 \times 6.5 \times 10^{-7} \times 1.6/0.028 \approx 74\,\text{µ}\mathrm{m}$।

हल — अभ्यास 22.7.

$i = 4.7\,\mathrm{mm}$, इसलिए $\lambda = i\,a/D = 4.7 \times 10^{-3} \times 2.0 \times 10^{-4}/1.5 \approx 6.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 630\,\mathrm{nm}$: लाल। दस फ़्रिंज-चौड़ाइयाँ नापने से पैमाने की पाठ-त्रुटि दस से बँट जाती है।

हल — अभ्यास 22.8.

लैंपों की आवृत्तियाँ (मोटे तौर पर) मिलती-जुलती हैं पर वे क़दम मिलाकर नहीं चलते: हर लैंप छोटी तरंग-रेलें छोड़ता है जिनकी कला यादृच्छिक ढंग से उछलती रहती है, इसलिए स्रोत असंबद्ध हैं और तात्क्षणिक फ़्रिंज प्रति सेकंड अरबों बार खिसक जाते हैं — आँख उनका औसत देखती है, जो एकसार होता है। यंग दोनों झिरियों को एक ही तरंग से जलाते हैं: दोनों प्रतियाँ हर कला-उछाल साथ-साथ पातीं हैं और क़दम मिलाए रहती हैं।

हल — अभ्यास 22.9.

पहले से सातवें तक $= 6i = 18.0\,\mathrm{mm}$, इसलिए $i = 3.0\,\mathrm{mm}$; $\lambda = i\,a/D = 3.0 \times 10^{-3} \times 3.0 \times 10^{-4}/1.4 \approx 6.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 640\,\mathrm{nm}$।

हल — अभ्यास 22.10.

$\sin\theta = k\lambda/d = 0.396\,k$: $k = 1$, $\theta = 23^\circ$; $k = 2$, $\sin\theta = 0.79$, $\theta = 52^\circ$; और $k = 3$ के लिए $\sin\theta = 1.19 > 1$ चाहिए: असंभव। सबसे ऊँची कोटि $k = 2$।

हल — अभ्यास 22.11.

$\theta = 5.5 \times 10^{-7}/0.10 = 5.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$। हेडलाइटें $1.5/1.0 \times 10^{5} = 1.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}$ का कोण बनाती हैं, यानी धुँधलेपन का लगभग तीन गुना: इसलिए वे बस-बस अलग दिख जाती हैं।

हल — अभ्यास 22.12.

अगले और पिछले फलक से हुए परावर्तन व्यतिकरण करते हैं; और श्वेत प्रकाश में हर मोटाई कुछ तरंगदैर्घ्यों को बढ़ाती है और बाक़ी को काट देती है, इसलिए एक रंग बनता है। झिल्ली की मोटाई केवल ऊँचाई पर निर्भर करती है, इसलिए एक ही रंग वाले बिंदु क्षैतिज पट्टियाँ बना लेते हैं। बहते-बहते झिल्ली पतली होती जाती है, इसलिए जो मोटाई किसी रंग को रँगती थी वह लगातार नीचे सरकती जाती है: और पट्टियाँ नीचे रेंगती दिखती हैं।

हल — अभ्यास 22.13.

$i = \lambda D/a$: बैंगनी $4.0 \times 10^{-7} \times 1.5/2.0 \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{mm}$; लाल $5.6\,\mathrm{mm}$। बीच में: सारे रंग चमकीले — एक श्वेत फ़्रिंज। कुछ मिलीमीटर बाहर रंगों के ढर्रे एक-दूसरे से सरक चुके होते हैं: रंगदीप्त फ़्रिंज। और उससे दूर हर रंग के उच्चिष्ठ हर जगह चढ़ जाते हैं: एकसार सफ़ेद धुँधलापन।

हल — अभ्यास 22.14.

$\theta = 5.5 \times 10^{-7}/2.4 = 2.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{rad}$; $250\,\mathrm{km}$ पर यह $2.3 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^{5} \approx 6\,\mathrm{cm}$ बनता है। वह कारें गिन सकता है और आदमी देख सकता है, पर अख़बार के अक्षर (मिलीमीटर भर के) विवर्तन की सीमा से बीस गुना नीचे हैं: यानी वह दावा मिथक है।

हल — अभ्यास 22.15.

आवृत्ति स्रोत तय करता है: वह नहीं बदलती। चाल गिरकर $c/n$ रह जाती है, इसलिए $\lambda' = \lambda/n$ और $i' = i/n = 4.0/1.33 \approx 3.0\,\mathrm{mm}$: फ़्रिंज सिमट जाते हैं।