माध्यमिक भौतिकी · Grades 10–12

8संकेत और तरंगें

आपको आज तक मिला हर संदेश किसी संकेत के रूप में ही आया है: कोई आवाज़ आपके कर्णपटह पर दबकर, और यह पन्ना रेडियो की एक झिलमिल बनकर। इस विविधता के पीछे एक ही विचार बैठा है — समय के साथ बदलती कोई भौतिक राशि — और एक ही औज़ार-पेटी: आवर्तकाल, आवृत्ति, आयाम, और किसी देरी को नापने की कला। इसी से एक जहाज़ समुद्र का तल नाप लेता है और एक चिकित्सक धड़कनें गिन लेता है।

8.1 संकेत जानकारी ढोते हैं

परिभाषा 8.1 (संकेत)

संकेत वह भौतिक राशि है जो जानकारी ढोने के लिए समय के साथ बदलती है: आपके कर्णपटह पर वायु का दाब, माइक्रोफ़ोन के सिरों पर विभव, या किसी प्रकाशिक तंतु में प्रकाश की चमक। किसी संकेत का अध्ययन करने के लिए उसे समय के फलन के रूप में दर्ज कीजिए और जानकारी वक्र से ही पढ़ लीजिए।

किसी फ़ोन कॉल में वही जानकारी बार-बार वाहक बदलती है: पहले वायु में दाब, फिर माइक्रोफ़ोन में विभव, फिर एंटीना पर रेडियो — और दूसरे सिरे पर उलटे क्रम में। इन्हें एक ही शब्दावली सँभाल लेती है; यह अध्याय वही गढ़ता है।

8.2 आवर्ती संकेत

परिभाषा 8.2 (आवर्ती संकेत, आवर्तकाल)

कोई संकेत आवर्ती तब होता है जब वह नियमित अंतरालों पर हूबहू दोहराया जाए। आवर्तकाल $T$ एक पूरे चक्र की अवधि है, सेकंडों में।

परिभाषा 8.3 (आवृत्ति)

किसी आवर्ती संकेत की आवृत्ति प्रति सेकंड चक्रों की संख्या है:

f = \frac{1}{T} .

इसका मात्रक, यानी एक चक्र प्रति सेकंड, हर्ट्ज़ ( $\mathrm{Hz}$ ) कहलाता है, और उसके सामान्य गुणज $\mathrm{kHz}$ , $\mathrm{MHz}$ , $\mathrm{GHz}$ हैं।

परिभाषा 8.4 (आयाम)

किसी आवर्ती संकेत का आयाम विश्राम-मान से उसका अधिकतम विचलन है। शून्य के इर्द-गिर्द सममित रूप से दोलन करते विभव के लिए आयाम शिखर-मान होता है; शिखर से गर्त तक की नाप आयाम का दुगुना (शिखर-से-शिखर मान) देती है।

उदाहरण 8.5 (विद्युत आपूर्ति और संगीत का सुर)

घरेलू विद्युत आपूर्ति का विभव $f = 50\,\mathrm{Hz}$ पर दोलन करता है: उसका आवर्तकाल $T = 1/f = 0.020\,\mathrm{s} = 20\,\mathrm{ms}$ है। किसी वाद्यवृंद का सुर A $440\,\mathrm{Hz}$ पर एक दाब संकेत है: उसका एक चक्र $T = 1/440 = 2.3\,\mathrm{ms}$ चलता है। आवृत्ति जितनी अधिक, चक्र उतना छोटा: $f$ और $T$ एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं।

एक आवर्ती संकेत: पैटर्न हर T सेकंड बाद दोहराया जाता है, और आयाम विश्राम-मान से अधिकतम विचलन है। — एक आवर्ती संकेत: पैटर्न हर $T$ सेकंड बाद दोहराया जाता है, और आयाम विश्राम-मान से अधिकतम विचलन है।

8.3 दोलनलेख पढ़ना

परिभाषा 8.6 (दोलनदर्शी)

दोलनदर्शी किसी विभव का समय के सामने आलेख खींचता है; उसके जालीदार परदे पर बना वक्र दोलनलेख को भौतिक मानों में बदल देती हैं: कालाधार (प्रति क्षैतिज खाना सेकंड) और ऊर्ध्वाधर लब्धि (प्रति ऊर्ध्वाधर खाना वोल्ट)।

विधि 8.7 (परदे से संख्याओं तक)

एक पूरे चक्र में समाए क्षैतिज खाने गिनिए (शिखर से शिखर तक गिनना सबसे सुरक्षित है); उन्हें कालाधार से गुणा करके $T$ निकालिए, फिर $f = 1/T$ ।
मध्य रेखा से किसी शिखर तक ऊर्ध्वाधर खाने गिनिए और उन्हें लब्धि से गुणा करके आयाम निकालिए (शिखर से गर्त तक गिनने पर शिखर-से-शिखर मान मिलता है: उसे आधा कर लीजिए)।

उदाहरण 8.8 (एक पूरा पाठ)

नीचे दिए दोलनलेख में कालाधार $5\,\mathrm{ms}$ प्रति खाना है और लब्धि $2\,\mathrm{V}$ प्रति खाना। एक चक्र $4.0$ खानों में फैला है: $T = 4.0 \times 5\,\mathrm{ms} = 20\,\mathrm{ms}$ और $f = 1/0.020\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{Hz}$ — यानी फिर वही घरेलू आपूर्ति। एक शिखर अक्ष से $3.0$ खाने ऊपर बैठा है: आयाम $3.0 \times 2\,\mathrm{V} = 6.0\,\mathrm{V}$ है।

एक दोलनलेख, कालाधार 5\, ms/खाना और लब्धि 2\, V/खाना: एक चक्र 4.0 खानों में फैला है (T = 20\, ms, f = 50\, Hz) और शिखर 3.0 खाने ऊपर है (आयाम 6.0\, V)। — एक दोलनलेख, कालाधार $5\,\mathrm{ms}$ /खाना और लब्धि $2\,\mathrm{V}$ /खाना: एक चक्र $4.0$ खानों में फैला है ( $T = 20\,\mathrm{ms}$ , $f = 50\,\mathrm{Hz}$ ) और शिखर $3.0$ खाने ऊपर है (आयाम $6.0\,\mathrm{V}$ )।

8.4 ध्वनि और विद्युतचुंबकीय संकेत

परिभाषा 8.9 (ध्वनि)

ध्वनि एक दाब संकेत है: कोई कंपन करती वस्तु — तार, झिल्ली, स्वर-रज्जु — वायु को लयबद्ध ढंग से धकेलती है, और संपीड़न बाहर की ओर लगभग $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलते हैं। माइक्रोफ़ोन आते हुए दाब को विभव में बदल देता है; कर्णपटह उसे तंत्रिका-स्पंदों में। ध्वनि को माध्यम चाहिए: निर्वात के जार में बजती घंटी वायु निकलते-निकलते चुप हो जाती है।

परिभाषा 8.10 (तरंग)

चलता हुआ कोई विक्षोभ — ध्वनि का संपीड़न-पैटर्न, तालाब की लहर, या रेडियो का कोई स्पंद — तरंग कहलाता है। माध्यम, जब हो, अपनी जगह ही रहता है: लहर तालाब पार करती है जबकि पानी का हर टुकड़ा वहीं ऊपर-नीचे डोलता रहता है। तरंगों की ज्यामिति — तरंगदैर्घ्य, व्यतिकरण, विवर्तन — आगे के किसी अध्याय में उठाई जाएगी; इस अध्याय को केवल उनकी चालें चाहिए।

परिभाषा 8.11 (पराश्रव्य और अवश्रव्य)

मनुष्य का कान लगभग $20\,\mathrm{Hz}$ से $20\,\mathrm{kHz}$ के बीच की ध्वनि सुनता है (ऊपरी सीमा उम्र के साथ गिरती जाती है)। $20\,\mathrm{kHz}$ से ऊपर की ध्वनि पराश्रव्य है — चमगादड़ $50\,\mathrm{kHz}$ पर शिकार करते हैं, और चिकित्सा के स्कैनर कुछ मेगाहर्ट्ज़ पर शरीर के चित्र लेते हैं। $20\,\mathrm{Hz}$ से नीचे की ध्वनि अवश्रव्य है, जिसे हाथी और भूकंपमापी महसूस कर लेते हैं।

प्रतिज्ञप्ति 8.12 (विद्युतचुंबकीय संकेत)

रेडियो, वाई-फ़ाई और प्रकाश विद्युतचुंबकीय संकेत हैं: एक ही कुल, सभी निर्वात से होकर चलते हैं — किसी माध्यम की ज़रूरत नहीं — और सभी एक ही चाल से, यानी अध्याय 3 की प्रकाश-चाल से:

c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \quad \text{(वायु में भी लगभग यही)।}

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

टिप्पणी 8.13

यहाँ यह एक प्रायोगिक तथ्य है — धूप खाली अंतरिक्ष के $150$ करोड़ किलोमीटर पार कर आती है; इसकी ईमानदार व्युत्पत्ति स्नातक वर्ष 2 के खंड में विद्युत और चुंबकत्व के नियमों से की गई है। यह भेद याद रखिए: ध्वनि माध्यम का कंपन है और उसके बिना मर जाती है; जबकि विद्युतचुंबकीय संकेत अपना क्षेत्र अपने साथ निर्वात के पार ले जाता है, और वह भी दस लाख गुना तेज़।

लघुगणकीय पैमाने पर ध्वनि की आवृत्तियाँ (हर क़दम × 10)। कान 20\, Hz से 20\, kHz तक सुनता है; नीचे अवश्रव्य है और ऊपर पराश्रव्य। — लघुगणकीय पैमाने पर ध्वनि की आवृत्तियाँ (हर क़दम $\times 10$ )। कान $20\,\mathrm{Hz}$ से $20\,\mathrm{kHz}$ तक सुनता है; नीचे अवश्रव्य है और ऊपर पराश्रव्य।

8.5 प्रतिध्वनि: देरी से दूरी

$v$ चाल से चलता कोई संकेत $t$ समय में $d = v\,t$ तय करता है: इसलिए हर देरी भेस बदली हुई दूरी है। इससे भी अच्छा: किसी रुकावट पर एक छोटा स्पंद भेजिए और उसकी प्रतिध्वनि का समय नापिए — आने-जाने में वह $2d$ तय करता है।

विधि 8.14 (प्रतिध्वनि से परास नापना)

एक छोटा स्पंद भेजिए; प्रतिध्वनि के आने-जाने का समय $t$ नापिए।
जिस माध्यम को पार किया गया है उसमें संकेत की चाल $v$ लीजिए।
स्पंद ने $2d = v\,t$ तय किया, इसलिए $d = \dfrac{v\,t}{2}$ ।

पानी में ध्वनि के स्पंद सोनार बनाते हैं ( $v \approx 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ); वायु में रेडियो स्पंद रडार ( $v = c$ ); और शरीर में पराश्रव्य स्पंद चिकित्सा का स्कैनर (मुलायम ऊतक में $v \approx 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )।

उदाहरण 8.15 (सोनार)

किसी जहाज़ का सोनार एक पिंग भेजता है और समुद्र-तल की प्रतिध्वनि $t = 0.80\,\mathrm{s}$ बाद लौटती है: गहराई $d = \frac{1500 \times 0.80}{2} = 600\,\mathrm{m}$ है। गुणक $2$ भूल जाइए और महासागर दुगुना हो जाएगा।

सोनार का पिंग नीचे जाकर लौटता है: नापी गई देरी t में 2d तय होता है, इसलिए समुद्री पानी में v 1500\, m/ s लेकर गहराई d = v\,t/2 होती है। — सोनार का पिंग नीचे जाकर लौटता है: नापी गई देरी $t$ में $2d$ तय होता है, इसलिए समुद्री पानी में $v \approx 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ लेकर गहराई $d = v\,t/2$ होती है।

उदाहरण 8.16 (रडार)

हवाई अड्डे का रडार किसी विमान की प्रतिध्वनि स्पंद के $0.30\,\mathrm{ms}$ बाद पाता है: $d = \frac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}}{2} = 45\,\mathrm{km}$ । $c$ इतना बड़ा है कि रडार माइक्रोसेकंड की घड़ियों पर जीता है: प्रकाश का समय नापना बारीक काम है।

उदाहरण 8.17 (संकेत के रूप में हृदय)

हर धड़कन छाती के आरपार एक छोटा विभव-स्पंद भेजती है; इलेक्ट्रोड उसे विद्युत-हृद्लेख (ECG) के रूप में दर्ज कर लेते हैं, जो लगभग एक आवर्ती संकेत है। यदि ऊँची चोटियाँ $T = 0.75\,\mathrm{s}$ की दूरी पर हों तो हृदय $f = 1/0.75 = 1.33\,\mathrm{Hz}$ पर, यानी $1.33 \times 60 = 80$ धड़कन प्रति मिनट पर धड़क रहा है: किसी लेख से $T$ पढ़ लेना ही वह तरीक़ा है जिससे हृदय-रोग विशेषज्ञ आपकी नाड़ी लेता है।

8.6 अभ्यास

अभ्यास 8.1 ★

निम्नलिखित आवर्तकालों वाले आवर्ती संकेतों की आवृत्ति निकालिए: (क) $T = 20\,\mathrm{ms}$ ; (ख) $T = 4.0\,\mathrm{ms}$ ; (ग) $T = 50\,\text{µ}\mathrm{s}$ ।

हल

हल — अभ्यास 8.1.

$f = 1/T$ : (क) $1/0.020\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{Hz}$ ; (ख) $1/4.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} = 250\,\mathrm{Hz}$ ; (ग) $1/5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{s} = 20\,\mathrm{kHz}$ ।

अभ्यास 8.2 ★

इनका आवर्तकाल निकालिए: (क) $50\,\mathrm{Hz}$ की घरेलू आपूर्ति; (ख) $440\,\mathrm{Hz}$ का सुर A; (ग) $2.4\,\mathrm{GHz}$ का वाई-फ़ाई संकेत।

हल

हल — अभ्यास 8.2.

$T = 1/f$ : (क) $20\,\mathrm{ms}$ ; (ख) $1/440 = 2.3\,\mathrm{ms}$ ; (ग) $1/2.4 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz} = 0.42\,\mathrm{ns}$ ।

अभ्यास 8.3 ★

इन्हें अवश्रव्य, श्रव्य ध्वनि या पराश्रव्य में बाँटिए: $12\,\mathrm{Hz}$ ; $440\,\mathrm{Hz}$ ; $18\,\mathrm{kHz}$ ; $40\,\mathrm{kHz}$ (कार का पार्किंग संवेदक); $5\,\mathrm{MHz}$ (चिकित्सा की जाँच-छड़)।

हल

हल — अभ्यास 8.3.

$12\,\mathrm{Hz}$ : अवश्रव्य। $440\,\mathrm{Hz}$ और $18\,\mathrm{kHz}$ : श्रव्य (दूसरी केवल युवा कानों को)। $40\,\mathrm{kHz}$ और $5\,\mathrm{MHz}$ : पराश्रव्य।

अभ्यास 8.4 ★

प्रति खाना $2\,\mathrm{ms}$ और प्रति खाना $0.5\,\mathrm{V}$ पर सेट किए दोलनदर्शी में एक चक्र $5.0$ खानों में फैला है और शिखर अक्ष से $4.0$ खाने ऊपर बैठा है। $T$ , $f$ और आयाम ज्ञात कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 8.4.

$T = 5.0 \times 2\,\mathrm{ms} = 10\,\mathrm{ms}$ , इसलिए $f = 100\,\mathrm{Hz}$ ; आयाम $4.0 \times 0.5\,\mathrm{V} = 2.0\,\mathrm{V}$ ।

अभ्यास 8.5 ★

आप बिजली की चमक देखते हैं और $6.0\,\mathrm{s}$ बाद गरज सुनते हैं। बिजली कितनी दूर गिरी ( $v_{\text{ध्वनि}} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )? प्रकाश का यात्रा-समय क्यों छोड़ा जा सकता है?

हल

हल — अभ्यास 8.5.

$d = 340 \times 6.0 = 2040\,\mathrm{m} \approx 2.0\,\mathrm{km}$ । प्रकाश यह दूरी $2040/(3.00\times10^{8}) \approx 7\,\text{µ}\mathrm{s}$ में तय कर लेता है, जो $6.0\,\mathrm{s}$ से दस लाख गुना कम है: इसलिए चमक ही गिरने का क्षण बता देती है।

अभ्यास 8.6 ★★

समुद्र-तल से सोनार की प्रतिध्वनि $0.60\,\mathrm{s}$ बाद लौटती है (समुद्री पानी में $v = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )। गुणनफल $v\,t$ को आधा क्यों करना पड़ता है? गहराई निकालिए। $1200\,\mathrm{m}$ गहरी किसी खाई पर प्रतिध्वनि को कितना समय लगेगा?

हल

हल — अभ्यास 8.6.

ध्वनि नीचे और वापस जाती है, यानी $2d$ तय करती है: $d = \frac{1500 \times 0.60}{2} = 450\,\mathrm{m}$ । खाई पर: $t = 2d/v = 2 \times 1200/1500 = 1.6\,\mathrm{s}$ ।

अभ्यास 8.7 ★★

हवाई अड्डे का रडार किसी विमान की प्रतिध्वनि $0.24\,\mathrm{ms}$ बाद पाता है और ठीक $1.0\,\mathrm{s}$ बाद एक दूसरी प्रतिध्वनि $0.238\,\mathrm{ms}$ बाद। दोनों दूरियाँ निकालिए, फिर विमान की चाल। क्या वह पास आ रहा है?

हल

हल — अभ्यास 8.7.

$d_1 = \frac{3.00\times10^{8} \times 2.4\times10^{-4}}{2} = 36.0\,\mathrm{km}$ और $d_2 = 35.7\,\mathrm{km}$ : विमान ने $1.0\,\mathrm{s}$ में $300\,\mathrm{m}$ तय किए, इसलिए $v = 300\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 1100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , और वह पास आ रहा है।

अभ्यास 8.8 ★★

कोई ECG $25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ पर छापा जाता है; ऊँची चोटियाँ $20\,\mathrm{mm}$ की दूरी पर हैं। आवर्तकाल और हृदय-गति (धड़कन प्रति मिनट) ज्ञात कीजिए। क्षिप्रहृदयता का अर्थ है $100$ धड़कन प्रति मिनट से अधिक: इस काग़ज़ पर चोटियों की दूरी किससे कम होने पर वह दिखेगी?

हल

हल — अभ्यास 8.8.

$T = 20\,\mathrm{mm}/25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s} = 0.80\,\mathrm{s}$ , इसलिए $f = 1.25\,\mathrm{Hz}$ : यानी $75$ धड़कन प्रति मिनट। $100$ धड़कन प्रति मिनट के लिए $T = 0.60\,\mathrm{s}$ , यानी $25 \times 0.60 = 15\,\mathrm{mm}$ : क्षिप्रहृदयता $15\,\mathrm{mm}$ से नीचे दिखने लगती है।

अभ्यास 8.9 ★★

आपको $3.0\,\mathrm{V}$ आयाम वाला $200\,\mathrm{Hz}$ का एक संकेत ऐसे परदे पर दिखाना है जिसमें $10$ क्षैतिज और $8$ ऊर्ध्वाधर खाने हैं (मध्य रेखा से ऊपर $4$ )। ऐसा कालाधार चुनिए जो लगभग दो पूरे चक्र दिखाए, और ऐसी लब्धि जो बिना कटे परदे का अधिकांश हिस्सा काम में ले।

हल

हल — अभ्यास 8.9.

$T = 1/200 = 5.0\,\mathrm{ms}$ ; दो चक्र $10\,\mathrm{ms}$ चलते हैं और $10$ खानों में फैलते हैं: कालाधार $1\,\mathrm{ms}$ प्रति खाना। शिखर को $4$ खानों में समाना चाहिए: लब्धि कम से कम $3.0/4 = 0.75\,\mathrm{V}$ प्रति खाना — $1\,\mathrm{V}$ प्रति खाना लीजिए (शिखर $3.0$ खाने ऊपर)।

अभ्यास 8.10 ★★

चिकित्सा की एक जाँच-छड़ पेट में पराश्रव्य का एक स्पंद भेजती है (मुलायम ऊतक में $v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) और $40\,\text{µ}\mathrm{s}$ (किसी अंग की अगली दीवार) तथा $60\,\text{µ}\mathrm{s}$ (पिछली दीवार) बाद प्रतिध्वनियाँ सुनती है। हर दीवार की गहराई और अंग की मोटाई ज्ञात कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 8.10.

$d = v\,t/2$ : अगली दीवार $\frac{1540 \times 4.0\times10^{-5}}{2} = 3.1\,\mathrm{cm}$ ; पिछली दीवार $\frac{1540 \times 6.0\times10^{-5}}{2} = 4.6\,\mathrm{cm}$ ; मोटाई लगभग $1.5\,\mathrm{cm}$ ।

अभ्यास 8.11 ★★

किसी संगीत-कार्यक्रम का सीधा प्रसारण हो रहा है। ढोल की थाप पहले कौन सुनेगा: मंच से $30\,\mathrm{m}$ दूर बैठा श्रोता, या $3000\,\mathrm{km}$ दूर रेडियो सुनता श्रोता? और कितना पहले?

हल

हल — अभ्यास 8.11.

ध्वनि: $30/340 = 0.088\,\mathrm{s}$ । रेडियो: $3.0\times10^{6}/(3.00\times10^{8}) = 0.010\,\mathrm{s}$ । दूर बैठा रेडियो श्रोता ढोल पहले सुनता है, लगभग $78\,\mathrm{ms}$ पहले।

अभ्यास 8.12 ★★★

एक चमगादड़ $3.0\,\mathrm{ms}$ तक चलने वाले पराश्रव्य स्पंद छोड़ता है और जब तक छोड़ता रहता है तब तक कोई प्रतिध्वनि सुन नहीं सकता। किस दूरी से पास होने पर पतंगा पकड़ में नहीं आएगा? $1.7\,\mathrm{m}$ दूर बैठे पतंगे की प्रतिध्वनि की देरी कितनी है? अंतिम धावे के समय चमगादड़ को अपने स्पंद छोटे क्यों करने पड़ते हैं?

हल

हल — अभ्यास 8.12.

$3.0\,\mathrm{ms}$ तक उत्सर्जन करते समय चमगादड़ प्रतिध्वनियों के प्रति बहरा रहता है, यानी $d = \frac{340 \times 3.0\times10^{-3}}{2} = 0.51\,\mathrm{m}$ के भीतर की हर चीज़ के प्रति। $1.7\,\mathrm{m}$ पर पतंगा: $t = 2 \times 1.7/340 = 10\,\mathrm{ms}$ । पास आते-आते प्रतिध्वनि और जल्दी लौटने लगती है; स्पंद को उसके पहुँचने से पहले ख़त्म होना चाहिए, इसलिए उसे छोटा होना ही पड़ता है।

अभ्यास 8.13 ★★★

आप किसी चट्टान की ओर मुँह करके ताली बजाते हैं और $1.5\,\mathrm{s}$ बाद प्रतिध्वनि सुनते हैं। चट्टान कितनी दूर है? आप सीधे उसकी ओर $100\,\mathrm{m}$ चल देते हैं: नई देरी? लगभग $0.1\,\mathrm{s}$ से कम पर कान ताली और प्रतिध्वनि को अलग नहीं कर पाता: किस दूरी के भीतर प्रतिध्वनि ताली में ही घुल जाएगी?

हल

हल — अभ्यास 8.13.

$d = \frac{340 \times 1.5}{2} = 255\,\mathrm{m}$ । $155\,\mathrm{m}$ पर: $t = 2 \times 155/340 = 0.91\,\mathrm{s}$ । प्रतिध्वनि और ताली तब घुल जाती हैं जब $t < 0.1\,\mathrm{s}$ , यानी $d < \frac{340 \times 0.1}{2} = 17\,\mathrm{m}$ के भीतर।

अभ्यास 8.14 ★★★

प्रति खाना $5\,\mathrm{ms}$ पर किसी संकेत का एक चक्र $10$ खानों वाले परदे के $3.0$ खानों में फैला है।

$T$ और $f$ ज्ञात कीजिए।
कालाधार बदलकर प्रति खाना $2\,\mathrm{ms}$ कर दिया जाता है: अब एक चक्र कितने खानों में फैलेगा?
हर सेटिंग पर परदे में कितने पूरे चक्र समाते हैं?

हल

हल — अभ्यास 8.14.

1. $T = 3.0 \times 5\,\mathrm{ms} = 15\,\mathrm{ms}$ , $f = 1/0.015 \approx 67\,\mathrm{Hz}$ । 2. $15\,\mathrm{ms}/2\,\mathrm{ms} = 7.5$ खाने। 3. परदा पहले $50\,\mathrm{ms}$ दिखाता है, फिर $20\,\mathrm{ms}$ : यानी $3$ पूरे चक्र ( $50/15 = 3.3$ ), फिर $1$ ( $20/15 = 1.3$ )।

अभ्यास 8.15 ★★★

कोई “पिंग” $1200\,\mathrm{km}$ दूर बैठे किसी सर्वर तक इंटरनेट के एक पैकेट के आने-जाने का समय नापता है। सबसे कम संभव आने-जाने का समय क्या है ( $c$ पर चलते संकेत)? प्रकाशिक तंतु में प्रकाश लगभग $2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलता है: फिर से निकालिए। नापा गया पिंग $40\,\mathrm{ms}$ है: वह आपके उत्तरों से अधिक क्यों है, इसके दो कारण दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 8.15.

1. $t = 2 \times 1.2\times10^{6}/(3.00\times10^{8}) = 8.0\,\mathrm{ms}$ । 2. $2 \times 1.2\times10^{6}/(2.0\times10^{8}) = 12\,\mathrm{ms}$ । 3. तंतु दोनों मशीनों के बीच सीधा नहीं जाता, और रास्ते का हर राउटर और सर्वर अपनी प्रसंस्करण-देरी जोड़ देता है।

8.7 समस्या: सोनार, तूफ़ान और हृद्लेख

समस्या 8.1

सप्ताहांत समस्या — दुनिया के संकेत पढ़ना: एक ही नियम, $d = v\,t$ , जो तूफ़ान की दूरी नापता है, समुद्र-तल का नक्शा बनाता है, धड़कनें गिनता है और GPS का भेद भी खोल देता है

मछली पकड़ने वाला एक जहाज़ तूफ़ानी रात में काम कर रहा है: क्षितिज पर बिजली, तल पर झाड़ू फेरता सोनार, चिकित्सक की काग़ज़-पट्टी पर कप्तान का हृदय, और उपग्रहों को सुनता एक GPS ग्राही। चार उपकरण, एक नियम। वायु में $v_{\text{ध्वनि}} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , समुद्री पानी में $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , और $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ लीजिए।

भाग I — तूफ़ान।

एक चमक; गरज $9.0\,\mathrm{s}$ बाद आती है। वह कितनी दूर है?
उस दूरी पर प्रकाश का यात्रा-समय निकालिए, और चमक को तात्क्षणिक मानना उचित ठहराइए।
नाविक चमक और गरज के बीच के सेकंड गिनकर तीन से भाग दे देते हैं और किलोमीटर पा जाते हैं। इस नियम को उचित ठहराइए।
पाँच मिनट बाद एक चमक $6.0\,\mathrm{s}$ देती है। अब कितनी दूर? तूफ़ान के पास आने की औसत चाल $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ में निकालिए।
गरज कड़कने के बजाय गड़गड़ाती है: बिजली की नाली किलोमीटरों लंबी होती है, इसलिए उसके हिस्से अलग-अलग दूरियों पर पड़ते हैं। यदि वह नाली जहाज़ से $2.0\,\mathrm{km}$ से $5.0\,\mathrm{km}$ तक फैली हो, तो गड़गड़ाहट कितनी देर चलेगी?

भाग II — सोनार।

सोनार पिंग भेजता है; समुद्र-तल $0.90\,\mathrm{s}$ में जवाब देता है। गहराई?
उथले हिस्से पर प्रतिध्वनि घटकर $0.20\,\mathrm{s}$ रह जाती है। गहराई?
एक ही पिंग दो प्रतिध्वनियाँ लौटाता है, $0.16\,\mathrm{s}$ और $0.20\,\mathrm{s}$ पर। उनकी व्याख्या कीजिए; मछलियों का झुंड तल से कितना ऊपर तैर रहा है?
सोनार हर $0.50\,\mathrm{s}$ पर पिंग भेजता है। बिना गड़बड़ाए वह अधिक से अधिक कितनी गहराई नाप सकता है, और उससे आगे क्या गड़बड़ होती है?
वायु में वही $0.60\,\mathrm{s}$ की देरी किस दूरी का अर्थ रखती? सीख: किसी देरी को दूरी में बदलने से पहले आपको क्या पता होना चाहिए?

भाग III — हृद्लेख।

कप्तान के ECG की चोटियाँ $0.86\,\mathrm{s}$ की दूरी पर हैं। आवृत्ति? धड़कन प्रति मिनट?
पट्टी $25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ की दर से आगे बढ़ती है। चिकित्सक ने चोटियों के बीच कितनी दूरी नापी?
जाल खींचने के बाद दूरी $15\,\mathrm{mm}$ रह जाती है। नई हृद्गति?
एक युवा नाविक, जो अभ्यस्त नाविक-खिलाड़ी है, विश्राम में $50$ धड़कन प्रति मिनट पर रहता है। आवर्तकाल? पट्टी पर दूरी?
क्या ECG कड़ाई से आवर्ती है? फिर चिकित्सक उस लेख से क्या पढ़ता है?

भाग IV — प्रकाश के सहारे घर।

जहाज़ $50\,\mathrm{km}$ दूर बंदरगाह को रेडियो संदेश भेजता है। संदेश को कितना समय लगता है? ध्वनि को कितना लगता?
कोई GPS उपग्रह सिर के ऊपर लगभग $20\,200\,\mathrm{km}$ पर कक्षा में है। उसके संकेत को जहाज़ तक पहुँचने में कितना समय लगता है?
GPS समय को स्थिति में बदल देता है। $1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ की घड़ी-त्रुटि कितनी दूरी की त्रुटि पैदा करती है? $3.0\,\mathrm{m}$ की सटीकता के लिए समय कितनी परिशुद्धि से नापना पड़ेगा?
ध्वनि पर आधारित GPS सैद्धांतिक रूप से भी क्यों नहीं बन सकता?
समापन: आज रात काम आई तीनों चालें और चारों उपकरणों के पीछे का इकलौता नियम गिनाइए, फिर एक वाक्य में परास नापने की वह आदत बताइए।

हल

हल — समस्या 8.1.

1. $d = 340 \times 9.0 = 3060\,\mathrm{m} \approx 3.1\,\mathrm{km}$ ।

2. $3060/(3.00\times10^{8}) \approx 10\,\text{µ}\mathrm{s}$ , जो $9.0\,\mathrm{s}$ से दस लाख गुना छोटा है: इसलिए चमक ही गिरने का क्षण बता देती है।

3. $3\,\mathrm{s}$ में ध्वनि $340 \times 3 = 1020\,\mathrm{m} \approx 1\,\mathrm{km}$ तय करती है: सेकंडों को तीन से भाग देने पर किलोमीटर मिल जाते हैं।

4. $d = 340 \times 6.0 = 2040\,\mathrm{m}$ । तूफ़ान ने $300\,\mathrm{s}$ में $1020\,\mathrm{m}$ पाट दिए: $v = 3.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 12\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , और वह जहाज़ की ओर बढ़ रहा है।

5. पास वाला सिरा $2000/340 = 5.9\,\mathrm{s}$ बाद सुनाई देता है और दूर वाला $5000/340 = 14.7\,\mathrm{s}$ बाद: इसलिए गड़गड़ाहट लगभग $8.8\,\mathrm{s}$ चलती है।

6. $d = 1500 \times 0.90/2 = 675\,\mathrm{m}$ ।

7. $d = 1500 \times 0.20/2 = 150\,\mathrm{m}$ ।

8. दो रुकावटें: $1500 \times 0.16/2 = 120\,\mathrm{m}$ पर मछलियों का झुंड और $150\,\mathrm{m}$ पर समुद्र-तल। झुंड तल से $30\,\mathrm{m}$ ऊपर तैर रहा है।

9. प्रतिध्वनि को अगले पिंग से पहले लौट आना चाहिए: $d_{\max} = 1500 \times 0.50/2 = 375\,\mathrm{m}$ । इससे गहरे पानी से प्रतिध्वनि अगले पिंग के बाद पहुँचती है और उसी की मान ली जाती है: परदा एक झूठा, कहीं अधिक उथला तल दिखाने लगता है।

10. वायु में $450\,\mathrm{m}$ के बजाय $340 \times 0.60/2 = 102\,\mathrm{m}$ । कोई देरी दूरी तभी बनती है जब आपको वाहक और पार किए गए माध्यम में उसकी चाल, दोनों पता हों।

11. $f = 1/0.86 = 1.16\,\mathrm{Hz}$ , यानी $1.16 \times 60 \approx 70$ धड़कन प्रति मिनट।

12. $25 \times 0.86 = 21.5\,\mathrm{mm}$ ।

13. $T = 15/25 = 0.60\,\mathrm{s}$ : $100$ धड़कन प्रति मिनट।

14. $T = 60/50 = 1.2\,\mathrm{s}$ ; दूरी $25 \times 1.2 = 30\,\mathrm{mm}$ ।

15. नहीं: मेहनत, साँस और तनाव के साथ आवर्तकाल धड़कन-दर-धड़कन खिसकता रहता है। चिकित्सक आवर्तकाल (यानी गति), उसकी नियमितता, और हर चक्र का आकार पढ़ता है — निदान संकेत में ही छिपा होता है।

16. रेडियो: $5.0\times10^{4}/(3.00\times10^{8}) = 0.17\,\mathrm{ms}$ — मानवीय इंद्रियों के लिए तात्क्षणिक। ध्वनि: $50\,000/340 \approx 147\,\mathrm{s}$ , यानी ढाई मिनट।

17. $t = 2.02\times10^{7}/(3.00\times10^{8}) = 67\,\mathrm{ms}$ ।

18. $c \times 1.0\,\text{µ}\mathrm{s} = 300\,\mathrm{m}$ । $3.0\,\mathrm{m}$ की सटीकता के लिए: $3.0/(3.00\times10^{8}) = 10\,\mathrm{ns}$ — और इसीलिए GPS उपग्रह परमाणु घड़ियाँ लेकर चलते हैं।

19. उपग्रह निर्वात में बैठे हैं, और ध्वनि को माध्यम चाहिए: तब उपग्रह से कोई संकेत निकलता ही नहीं। (पूरे रास्ते वायु मान भी लें, तो $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पर $20\,200\,\mathrm{km}$ $16\,\mathrm{h}$ से अधिक बैठता है — यानी घंटों पुरानी स्थिति।)

20. $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (वायु में ध्वनि), $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (समुद्री पानी में ध्वनि) और $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (रेडियो और प्रकाश); और नियम है $d = v\,t$ , जिसे प्रतिध्वनि के लिए आधा कर दीजिए। आदत यह: अपना वाहक जानिए, माध्यम में उसकी चाल जानिए, और देरी नापिए — हर देरी भेस बदली हुई दूरी है।